向量法解决空间位置关系问题小专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间位置关系的向量法应用，通过平行与垂直模块整合多样题型，构建从概念到应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间平行与垂直关系|16题（含8单选、3多选、3填空、2解答）|分层覆盖基础判断与综合证明|以方向向量、法向量为核心，通过向量运算推理空间位置关系，体现数学思维的逻辑性与数学语言的精确性|

向量法解决空间位置关系问题小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 1．空间中直线、平面的平行 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设，分别是不重合的直线，的方向向量，则________________ 线面平行 设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则________________ 面面平行 设，分别是不重合的平面，的法向量，则________________ 2．空间中直线、平面的垂直 位置关系 向量表示 图形表示 线线 垂直 设直线，的方向向量分别为，，则________________ 线面垂直 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则________________ 面面垂直 设平面，的法向量分别为，，则________________ 小专题训练 一、单选题 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 2．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 3．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 4．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 6．（25-26高二上·河南叶县·阶段检测）若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 7．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高二上·广东·期中）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·期末）直线的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山东·期中）已知平面的法向量为，设平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则平面平面 B．若，则直线平面 C．若，则平面平面 D．若，则直线平面 11．（25-26高二下·福建龙岩·期末）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（25-26高二下·福建厦门·期中）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 13．（25-26高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 14．（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____. 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．求证：平面； 16．（26-27高三上·浙江·开学考试节选）如图，矩形中，，．将沿对角线折起，得到三棱锥，在底面上的投影在上． (1)证明：； (2)证明：平面平面； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 向量法解决空间位置关系问题小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 1．空间中直线、平面的平行 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设，分别是不重合的直线，的方向向量，则________________ 线面平行 设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则________________ 面面平行 设，分别是不重合的平面，的法向量，则________________ 【答案】 ，使得 ，使得 2．空间中直线、平面的垂直 位置关系 向量表示 图形表示 线线 垂直 设直线，的方向向量分别为，，则________________ 线面垂直 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则________________ 面面垂直 设平面，的法向量分别为，，则________________ 【答案】 ，使得 小专题训练 一、单选题 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 【答案】D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 2．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，解得. 3．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【详解】由，为平面的法向量，为平面内的一个向量，得， 则，所以. 4．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合空间向量垂直的坐标关系求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，即，解得 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】由题设，且， 综上，法向量既不平行，也不垂直，则平面与平面相交. 6．（25-26高二上·河南叶县·阶段检测）若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，得，利用数量积坐标运算列式计算求解. 【详解】因为平面，所以，则，解得. 故选：B. 7．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用可得，逐一检验即可得正确选项. 【详解】若，则需，即. 对于选项A：，故选项A不正确； 对于选项B：，故选项B不正确； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D不正确. 故选:C. 8．（25-26高二上·广东·期中）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用空间向量分析空间中的线、面位置关系，结合空间向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，得，则，解得，故B错误； 对于C，若，得，所以，所以， 则或，故C错误； 对于D，若，得，则，解得，，故D错误. 故选：A 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·期末）直线的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】计算各选项中的向量是否与共线后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故可为平面的法向量； 对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于C，，故可为平面的法向量； 对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量； 故选：AC. 10．（25-26高二上·山东·期中）已知平面的法向量为，设平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则平面平面 B．若，则直线平面 C．若，则平面平面 D．若，则直线平面 【答案】AC 【分析】由空间向量平行或垂直得到面面平行或垂直；由空间向量平行或垂直得到线面平行或垂直，逐个判断各个选项即可. 【详解】设平面的法向量为 ∵，∴平面平面，A选项正确； ∵，∴直线平面，B选项错误； ∵，∴平面平面，C选项正确； ∵，∴直线平面或平面，D选项错误； 故选：AC. 11．（25-26高二下·福建龙岩·期末）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 三、填空题 12．（25-26高二下·福建厦门·期中）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 【答案】1 【详解】依题意，向量与向量垂直， 因此，所以. 13．（25-26高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 【答案】 【分析】由直线垂直平面，推得直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量平行的坐标比例关系列方程求解. 【详解】已知，， 若，则与平行， 所以，则，即. 14．（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____. 【答案】/ 【分析】由题可建立空间直角坐标系，然后设，结合，求出，再求出平面的一个法向量，由平面，可得，即可求解. 【详解】以D为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 则，，， 设，因，可得，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 又因为平面，则，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．求证：平面； 【答案】以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点， 则：， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法可证，，然后由线面垂直判定定理可得平面. 【详解】略. 16．（26-27高三上·浙江·开学考试节选）如图，矩形中，，．将沿对角线折起，得到三棱锥，在底面上的投影在上． (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)如图，作面，以为原点建立空间直角坐标系， 由题意得，，，设，， 由折叠性质得，， 由两点间距离公式得， 解得，则，， 可得，， 得到，故得证. (2)由题意得，，，， 则，，，， 设面的法向量为，则， 令，解得，，得到， 设面的法向量为，则， 令，解得，，得到， 可得，故平面平面得证. 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $