向量法求空间中的角小专题训练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以向量法为核心，系统整合空间角（异面直线、线面、面面）求解方法，通过分层题型构建从概念到应用的逻辑链条，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题依据|3类空间角|向量法公式框架（方向向量/法向量应用）|空间角概念→向量量化计算→公式推导| |小专题训练|16题（含正方体/直三棱柱等典例）|坐标建系与向量运算结合|基础应用→折叠/动态几何等复杂情境→综合能力提升|

向量法求空间中的角小专题训练（适合全国I卷地区） 解题依据 用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 设异面直线1,1，所成的角为8，其方向向量分别为i,立，则cos日=cos<山，V (2)直线和平面所成的角 直线AB与平面a相交于B,设直线AB与平面Q所成的角为日，直线AB的方向向量为u,平面Q的法向量为 44 i,则sin0=cos<u,ni= (3)平面与平面的夹角 ①两平面的夹角：平面与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称 为平面a与平面β的夹角. ②两平面夹角的计算：设平面，B的法向量分别是 是n,'n,'平面a与平面g的夹角为6，则 cos 0=cos<n1,n2i 小专题训练 一、单选题 1.(25-26高一下·江苏连云港·期末)在正方体ABCD-A1BC1D1中，M为AA1的中点，则BM与 A,C,夹角的余弦值为() 4.6 B.0 5 c.5 D.25 5 5 2.(24-25高二上·福建厦门阶段检测)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形， AA1=4,点E、M分别为棱CC1、BB1的中点.若平面ACMn平面A1BC1D1=1,则直线l与平面 B1D,E所成角的正切值为() 试卷第1页（共3页） D B B 4.6 3 B. 3 2 c.2V2 D.V2 3.(25-26高二下·福建漳州·期中)如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=4,BC=3,AC=5, BB=3'D为棱AB的中点，则异面直线A,D和B,C所成的角的余弦值为(） B B A.326 V26 c.203 /13 D. 26 B.26 13 13 4.(2026河南·三模)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD是以 AD为斜边的等腰直角三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD,E是PC的中点，则异面直线PA与BE所成角 的余弦值为() B. 4 c. D. 5.(2026江苏徐州·模拟预测)如图，在正方形AA1D1D中，E,F是AD1的两个三等分点，将该正方 形折成一个正三棱柱ABC-A1B,C1(AA1与DD1重合)，则直线AE与平面A1EF所成角的正弦值为 () 0 F E D 试卷第2页（共3页） 1 A.3 5 B. 5 c.0 D. 3只V10 10 10 6.(2026河北邢台二模)如图，AB为圆柱OO1的一条母线，BC是下底面圆的直径，弦DE与BC交于 点M.己知圆柱的高为1，侧面积 32严若BM=2,且M恰为DB的中点，则直线AM与平面ABE 2 所成角的正弦值为() O D V2 3 A. B. 3 3 V6 R7 C. 3 D. 7.(25-26高二下·福建龙岩·期中)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何 体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的 曲池，AA1,BB1,CC1,DD1均与曲池的底面垂直，且AA1=4,底面扇环对应的两个圆的半径分别为2 和4对应的圆心角为宁 则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为() 6 D C D A 7 B. C. 4-5 o D. 试卷第3页（共3页） B D C CD1=(2,0,4)AB1=(0,-2,4) C D无所以 因为AB·CD1=2×0+0×(-2)+4×4=0+0+16=16 1CD,l=22+02+42=V4+0+16=V20=25 |AB=02+(-22+42=V0+4+16=V20=2V5: 8.(25-26高二下江苏南京期中)在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC,BD=CD,E为BC的中点，且 AB=4,ED=3,若二面角A-BC-D的大小为号则恋-办=《) A.6 B.2V3 c.-6 D.-23 二、多选题 9.(26-27高三上·湖南长沙开学考试)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC⊥1AB,AB=AC=AA1=2点D,E,F分别为A,B1,AA1,CD的中点.下列结论正确的是(） E D --->B1 B A.EF/I平面ABC V10 B.异面直线EF与BC所成角的余弦值为 10 C.直线BE与平面CC,D所成角的正弦值为行 D.平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为 10 10 10.(25-26高一下·广东珠海-阶段检测)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,BC=CC1=1,则 试卷第4页（共3页） ) A.BC1⊥DA V10 B.直线AB与BC1所成角的余弦值为 10 C.直线AB与平面ABC1D1所成角的余弦值为 5 D,直线BC与平面ABCD所成角的余弦值为？ 11.(25-26高二下·河南濮阳·期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AC=BC=2VS,AB=4, PC=4V2,E,F分别为BC,AC的中点，则() D B E A F A.平面PAB⊥平面ABC V10 B.直线PC与平面PEF所成角的正弦值为 10 C.异面直线PB与AC所成角的余弦值为亏 V30 D.平面PEF与平面PAC夹角的余弦值为 10 三、填空题 12.(2026广东深圳二模)在菱形ABCD中，∠DAB=60°，将△ABD沿BD折起得到△A,BD.若 二面角A1-BD-C为60°，则异面直线DA1与BC所成角的余弦值为· 13.(25-26高二上江西景德镇期末)已知一个四棱锥P-ABCD,如图，四边形ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,M是线段PB的中点，则异面直线DM与PA所成角的正切值为 D C A B M 14.(25-26高二上·江西·阶段检测)如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F分别是AA1,C1D1 试卷第5页（共3页） 的中点，P是线段A1D1上的动点，则直线AC1与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为 F B B 四、解答题 15.(26-27高二上·湖南长沙开学考试)如图，在所有棱长都为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，点E是 棱AA1的中点，AB1⊥CE B (1)求证：平面A1ABB1⊥平面ABC: (②若∠AAB=号点P清足AC=3AP, (i)求直线CP与平面A1ABB1所成角的正弦值； (i)求二面角C-AA1-B的平面角的余弦值. 16.(25-26高二上·河南叶县高中.阶段检测)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为V2,底面边长 为2，D为AB的中点 B (1)证明：CD⊥AD: (2)求平面A1CD和平面AA1C夹角的大小： (3)求直线CA与平面A1CD所成角的正弦值， 试卷第6页（共3页） 向量法求空间中的角小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 用空间向量求空间角 （1）两条异面直线所成的角 设异面直线，所成的角为，其方向向量分别为，，则________________． （2）直线和平面所成的角 直线与平面相交于，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则________________． （3）平面与平面的夹角 ①两平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角． ②两平面夹角的计算：设平面，的法向量分别是，，平面与平面的夹角为，则________________． 【答案】 小专题训练 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设正方体棱长并建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到两条直线的方向向量，通过向量点积公式求出向量夹角余弦，再取其绝对值得到异面直线夹角的余弦值． 【详解】 设正方体棱长为， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，， ，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． 2．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 3．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建系，利用空间向量求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则 则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则. 4．（2026·河南·三模）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量，通过向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值． 【详解】取的中点，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面． 以为坐标原点，方向为轴正方向，底面内垂直于的方向为轴正方向， 方向为轴正方向建立空间直角坐标系，可得各点坐标： ，，，． 因为是的中点，所以，则，． 设异面直线与所成角为，，则． 计算得： ，， ， ， 代入得． 5．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在正方形中，E，F是的两个三等分点，将该正方形折成一个正三棱柱（与重合），则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用折叠后正三棱柱的几何关系建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而得到直线方向向量与平面法向量，通过向量夹角公式计算线面角的正弦值. 【详解】如图1所示，沿着，两条折痕将正方形折叠成正三棱柱， 如图2所示，E，F是的两个三等分点，折叠后，分别为的三等分点，设，所以，，， 如图3所示，作，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 作轴，因为，，所以，所以，，， 所以，，， 设平面的法向量，所以，不妨取， 所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为 6．（2026·河北邢台·二模）如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由圆柱侧面积公式求出底面半径，再利用线段差求出，借助勾股定理算出；接着以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标；然后通过平面法向量的方程组求得平面的法向量，最后利用线面角与向量夹角的关系，代入公式算出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】设圆柱的底面半径为，则其侧面积，解得. 连接，则， 所以，易知， 所以. 以为坐标原点，平面内过点且与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 7．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，并计算向量，再计算向量的数量积与模长，最后利用向量的点积公式计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 8．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，二面角的平面角就是向量与的夹角，进而得与的夹角为，再根据数量积定义求解即可. 【详解】因为，为的中点，所以， 因为， 所以二面角的平面角就是向量与的夹角，为， 因为向量与方向相反， 所以与的夹角为 ， 因为，， 所以 二、多选题 9．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，在直三棱柱 中， ，点 分别为 的中点. 下列结论正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面 所成角的正弦值为 D．平面 与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】利用向量法，分别计算线面平行的条件、异面直线夹角、线面角以及二面角的余弦值，逐一判断选项. 【详解】在直三棱柱 中， ，所以， 以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 因为为的中点，所以， 对于A，因为平面，所以为平面的一个法向量， 又， 所以，又不在平面内，所以平面，A正确； 对于B，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为 ，B正确； 对于C，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，则， 所以， 所以， 所以直线与平面 所成角的正弦值为，C错误； 对于D，，设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为 ，D正确. 10．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知长方体，，则（） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算判断线线垂直、计算异面直线所成角、线面角，逐一验证选项即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得各点坐标：，，，，，，，. 选项A：，，所以，故，A正确. 选项B：，，异面直线所成角的余弦值为，B正确. 选项C：向量，， 设平面的法向量为，则，取，则. 设线面角为，则， ，C错误. 选项D：平面的一个法向量为，设线面角为，则， 故，，D正确. 11．（25-26高二下·河南濮阳·期末）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】若中点为，根据已知并应用线面、面面垂直的判定定理证明平面平面判断A，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求线面角、异面直线所成角、面面角的正余弦值判断B、C、D. 【详解】由 ​，，可得和均为等腰三角形， 若中点为，则，且，又， 故，所以， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则平面平面，故A正确； 以为原点， 为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由为中点，即，为中点，即， 由，，， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 由，， 则，故C正确； 由，，设平面的一个法向量， 则，取，则，，故， 又平面法向量， 则，故D正确. 三、填空题 12．（2026·广东深圳·二模）在菱形中，，将沿折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 【答案】 【分析】作的中点，作平面，以为坐标原点，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，根据几何关系可得为正三角形，分别表示出各点的坐标，利用向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】作的中点，作平面，以为坐标原点，为轴， 过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，可得为正三角形， 于是，得到， 且， 则， 故． 故答案为： 13．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 由平面及正方形，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由，得，线段中点， 则，， 设异面直线与所成角为，即， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 14．（25-26高二上·江西·阶段检测）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________.    【答案】 【分析】设，建立适当空间直角坐标系，设，依次求出和平面的一个法向量，接着由空间角的向量法公式计算，再结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】设，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设，则. 设平面的一个法向量， 则，取，得，，故. 设直线与平面所成角为，则， 又，所以，故， 即直线与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点满足， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，，， 因为为的中点，为的中点，所以， 在三棱柱中，， 则四边形是菱形，得，则， 又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为是等边三角形，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． (2)（i）（ii） 【分析】（1）如图，由题意可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据和空间向量的坐标表示求得，再求出和平面的法向量，利用空间向量法即可求解； （ii）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法即可求解． 【详解】（1）略 （2）（i）连接，因为，，所以是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 而平面，故，， 如图，以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，又，解得， 则， 易得平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则． （ii），则，， 设平面的法向量为， 则即可取， 设二面角的平面角为，则， 故二面角的平面角的余弦值为． 16．（25-26高二上·河南叶县高中·阶段检测）已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：由为正三棱柱可知，平面， 又平面，所以， 又因点D为正三角形的边AB的中点，所以； 又，平面，所以平面； 又平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）先由正三棱柱的性质可得平面，再利用线面垂直的判定定理证明平面，由线面垂直的性质定理可得； （2）以的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，及平面的一个法向量，利用 求平面与平面夹角的大小； （3）设直线CA与平面所成的角为，利用求直线CA与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）分别取线段的中点，连接，易知两两垂直， 可以O为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示; 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 易得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则      ， 因,则，即平面与平面夹角为； （3）由（2）可知，平面的一个法向量为， 设直线CA与平面所成的角为， 所以， 即直线CA与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $