平面向量及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量与三角形综合应用，通过多样题型构建从概念到综合应用的知识逻辑链，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量运算|3题|投影向量、垂直关系、共线条件|从向量定义到数量积运算，构建运算体系| |三角形应用|8题|边角关系、面积计算、形状判断|结合正余弦定理，形成“概念-定理-应用”推导链| |最值与动态问题|4题|扇形动点、周长面积最值|通过几何直观转化，培养推理与建模能力|

高中数学必修二平面向量及其应用 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C A C C B BC BD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】由正弦定理将条件中的角的正弦化为边，并配方得到，进而利用余弦定理得到，求得的值（有两种情况），分情况利用余弦定理和基本不等式可以求得的最大值，利用三角形面积公式得到S的最大值. 【详解】由正弦定理得，即． 由余弦定理，得，即． 由，得或． ， 当且仅当时，等号成立． 当时，，即； 当时，，即． ∵，∴的最大值在时取到， 所以当时，． 故选：B． 2．C 【分析】设，则，利用向量的线性运算的几何意义和向量的数量积的运算法则求得，进而得到最小值. 【详解】设，则， 则 ， 当时取得最小值为， 故选：C 3．C 【分析】根据得到，根据角的范围得到，根据得到结果. 【详解】由得，． 因为，，所以．而，所以，即， 因此，．由和得到，， 因此，．于是． 故选：C． 4．C 【分析】由得到，根据投影向量的公式即可得出结果. 【详解】， ， ， 在上的投影向量为. 故选：C. 5．A 【分析】先利用余弦定理的变形：，结合三角形的面积公式，可把条件转化为：，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中，可求得. 【详解】因为，所以， 又由， 所以. 所以 所以，又因为在中，，所以. 故选：A 6．C 【分析】可以结合投影向量的定义将其分为投影与单位向量来更好理解与求解. 【详解】由于， 由在方向上的投影向量 故选:C. 7．C 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 8．B 【分析】用表示，由向量共线定理得出的关系式，然后由基本不等式得结论． 【详解】如图． 由题得D为BC的中点，，．又，． 则． ∵E，G，F三点共线．．即， ．当且仅当时取等号，则的最小值为． 故选：B． 9．BC 【分析】选项A，转化，结合题干条件，可得，故可判断； 选项B，，可得，可判断； 选项C，转化，代入，可判断； 选项D，，结合均值不等式和，可判断 【详解】 为锐角，故选项A不正确； 又，化简得，故选项B正确； 将代入得： 故选项C正确； 当且仅当时等号成立 ，故选项D不正确 故选：BC 【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 10．BD 【分析】利用向量的数量积的定义得到角C为钝角，从而否定A；利用向量的和、差的模的平方的关系求得，进而判定B；注意到与同向的情况，可以否定C；延长交于,∵共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到,进而，然后得到，利用分比定理得到，从而判定D. 【详解】即,∴,∴为钝角，故A错误； ，， ，，故B正确； ，当时，与同向，夹角不是锐角，故C错误； ∵，∴， 延长交于,如图所示.    ∵共线，∴存在实数，， ∵共线，∴,∴, ∴，∴，∴. ∴，∴，故D正确. 故选：BD. 11．ABC 【分析】利用平面向量的平行四边形法则和三角形法则求解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 12．0 【分析】求出的坐标，再利用向量平行公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，即． 故答案为：0. 13． 【分析】建立直角坐标系，将向量数量积取值范围问题转换为一次函数求值域问题 【详解】如图，以为原点建立平面直角坐标系，，，，， 设，直线上点的坐标满足， 将的坐标代入得，解得，则直线上点的坐标满足， 则， 因为，所以. 14． 【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得，再根据余弦定理求，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知化简为 ， 即 ，, ，解得：， 根据面积公式可知 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合三角形面积公式求出A角正弦值，最后根据A为钝角确定角A大小； （2）先用余弦定理求出a与b的关系，再结合周长条件解出b，最后代入面积公式得到结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，  因为的面积为，所以， 即，所以，  因为为钝角，所以．   （2）由余弦定理，所以，   又，  所以，故. 16．（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】(1)利用补角余弦值互为相反数求解； (2)作高拆分底边的几何思路，利用正切定义求出未知数表示出高与底边两段的长度，再代入面积公式列方程求解； (3)利用等腰三角形性质与中线公式得到三边边长，再用余弦定理表示目标角余弦值，通过换元法转化为单变量函数，最后利用配凑分式求最值. 【详解】（1）由得，，化简得， ． （2）作于， 设，则，． ， 解得，． （3）设，则，， 由（1）得，， ， 令，， ， 当时，．此时． 17．(1) (2)3 【分析】(1)用正弦定理化边为角，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角A； (2)用向量中线公式表示，结合余弦定理与基本不等式，求出AD最大值. 【详解】【小题1】因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以. 【小题2】因为，，所以， 因为D是BC的中点，所以，所以 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和性质、两角和的正弦公式化简得的值，结合角B的范围求角B； （2）先由正弦定理结合已知的值求，再由余弦定理求，进而得三角形周长， 【详解】（1）由正弦定理（为外接圆半径），得，， 代入已知等式： 因为，故， 两边约去得： 又， 故， 代入上式： ， 展开左边消去两边同类项得： 由， 得，又，故 （2）由正弦定理得： 故，，则， 代入得。;由余弦定理， 代入已知值： 化简得，结合， 代入得： 解得，因故， 因此的周长为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量共线条件得到边角关系，再通过正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换与，直接求出，得； （2）用余弦定理结合基本不等式，将转化为关于的不等式，求出最大值，进而得周长最大值； （3）先由锐角三角形条件确定A的取值范围，再用正弦定理将b表示为关于A的函数，结合tanA的范围求出b的范围，最后代入面积公式，得到面积范围. 【详解】【小题1】在中，， 与共线，， 由正弦定理可得 ， ， ，又，所以． 【小题2】由（1）知，又，由余弦定理， 得， 即，因为，当且仅当时等号成立， 所以， 即，则，所以周长的最大值为12． 【小题3】为锐角三角形，且角，所以，故， 由正弦定理得，   ， 所以， 所以， 即， 面积的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学必修二平面向量及其应用 一、单选题 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，若，且，则S的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2．在半径为2的扇形中，，是弧的中点，分别是线段，上的动点，且满足，则的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 3．在锐角△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 8．在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 二、多选题 9．在中，若，则下列说法正确的是（    ） A．为钝角 B． C． D． 10．下列说法中正确的是（　　） A．在中，，，，若，则为锐角三角形 B．非零向量和满足，，则 C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在中，若，则与的面积之比为 11．已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知向量，若，则____． 13．已知正方形的边长为2，为的中点，点为线段上的动点，则的取值范围是_______． 14．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为______． 四、解答题 15．已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 16．（1）在中，边上的中线为，证明：； （2）已知面积为，，，求的长． （3）在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值. 17．已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. (1)求A； (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若，，求的周长. 19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求； (2)若，求周长的最大值； (3)若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $