4.1 指数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦指数核心知识点，从n次方根的定义及奇偶性性质出发，衔接根式的概念与性质，延伸至分数指数幂（正、负、0的规定）和有理数指数幂运算性质，通过根式与分式指数幂互化、指数幂化简求值、综合计算三个题型构建从概念到应用的学习支架。 该资料突出方法提炼与题型分层设计，如互化题型强调公式应用与双重根式处理，综合计算融入整体代换法，培养学生运算能力与推理意识。实例丰富且梯度合理，课中助力教师系统授课，课后便于学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

§4.1 指数 目录 题型1：根式与分式指数幂的互化 3 题型2：指数幂的化简与求值 5 题型3：有附加条件的求值问题与综合计算 8 1. n次方根 若（，），则称为的次方根. (1) 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根为负数，记为. (2) 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.负数没有偶次方根。 (3) 0的任意次方根都是0，记作. 2. 根式的定义与性质 式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． 根据次方根的意义可得： ①（且）. ② 3. 分数指数幂 (1) 正数的分数指数幂：； (2) 负分数指数幂：＝; (3) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 提醒 分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法. 4. 有理数指数幂的运算性质 (1) ； (2) ； (3) . 有理数指数幂除上述运算性质之外，还有如下性质： ①； ②. 题型1：根式与分式指数幂的互化 方法提炼 (1) 利用公式，将根式化为分数指数幂，便于运算。注意负数的奇偶次方根的处理。运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. (2) 如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出. (3) 对于形如的双重根式，当满足时，时，有，即． 【例1.1.】 已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.77 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 【例1.2.】 化简算式 等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】原式. 故选：B. 【例1.3.】 化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值、数与式 【详解】易知 ， 因为，因此 ； 而 ， 因为，因此 ， 所以 原式. 【例1.4.】 化简的结果为____________ 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】由根式与指数幂的关系及指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由 . 故答案为：1 【例1.5.】 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值 【分析】分子、分母通过提取公因式化简，再结合分母有理化即可求解. 【详解】因为 ； ； 所以 . 题型2：指数幂的化简与求值 方法提炼 关于指数式的化简、求值问题 (1) 无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减. (2) 若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算. 【例2.1.】 计算____________ 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【详解】． 【例2.2.】 计算___________. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用根式的化简及指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】 . 故答案为：3. 【例2.3.】 （1）化简：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算. 【详解】（1）原式． （2） 原式． 【例2.4.】 计算下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）（2）根据幂的运算法则及分数指数幂的性质计算可得. 【详解】（1） （2） 【例2.5.】 （1）； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用分数指数幂的性质化简求值可计算结果； （2）利用根式的性质以及分数指数幂的运算性质化简式子，再代入求值计算即可. 【详解】（1） . （2）， 因为，，所以原式. 题型3：有附加条件的求值问题与综合计算 方法提炼 利用整体代换法求分数指数幂 (1) 整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2) 利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 常见的变形公式： a. ； b. ； c. ； d. 。 【例3.1.】 已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解. （2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意，所以. （2）由题意， 所以. 【例3.2.】 已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 【例3.3.】 已知，，则的值为______． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则化简求解. 【详解】因为， 所以， 故. 【例3.4.】 （多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.1 指数 目录 题型1：根式与分式指数幂的互化 3 题型2：指数幂的化简与求值 3 题型3：有附加条件的求值问题与综合计算 4 1. n次方根 若（，），则称为的次方根. (1) 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根为负数，记为. (2) 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.负数没有偶次方根。 (3) 0的任意次方根都是0，记作. 2. 根式的定义与性质 式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． 根据次方根的意义可得： ①（且）. ② 3. 分数指数幂 (1) 正数的分数指数幂：； (2) 负分数指数幂：＝; (3) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 提醒 分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法. 4. 有理数指数幂的运算性质 (1) ； (2) ； (3) . 有理数指数幂除上述运算性质之外，还有如下性质： ①； ②. 题型1：根式与分式指数幂的互化 方法提炼 (1) 利用公式，将根式化为分数指数幂，便于运算。注意负数的奇偶次方根的处理。运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. (2) 如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出. (3) 对于形如的双重根式，当满足时，时，有，即． 【例1.1.】 已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 化简算式 等于（    ） A．1 B． C． D． 【例1.3.】 化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 化简的结果为____________ 【例1.5.】 （   ） A． B． C． D． 题型2：指数幂的化简与求值 方法提炼 关于指数式的化简、求值问题 (1) 无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减. (2) 若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算. 【例2.1.】 计算____________ 【例2.2.】 计算___________. 【例2.3.】 （1）化简：； （2）计算：． 【例2.4.】 计算下列各式的值： (1)； (2) 【例2.5.】 （1）； （2）若，，求的值. 题型3：有附加条件的求值问题与综合计算 方法提炼 利用整体代换法求分数指数幂 (1) 整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2) 利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 常见的变形公式： a. ； b. ； c. ； d. 。 【例3.1.】 已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【例3.2.】 已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知，，则的值为______． 【例3.4.】 （多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $