第4章 4.1 4.1.1 n次方根与分数指数幂-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦“n次方根与分数指数幂”核心知识点，从初中勾股定理引入无理数切入，系统梳理n次方根定义（区分奇偶性）、根式性质，再过渡到分数指数幂意义及有理数指数幂运算性质，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以毕达哥拉斯学派故事情境引入激发兴趣，通过问题驱动引导数学抽象，例题与变式训练强化数学运算和逻辑推理。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升核心素养。

4．1　指数 4．1.1　n次方根与分数指数幂 课程标准 素养解读 1.通过对有理数指数幂 (a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)含义的认识，了解指数幂的拓展过程 2．掌握指数幂的运算性质 1.通过运用根式的性质应用提升数学抽象和数学运算素养 2．通过学习指数幂的运算性质，提升逻辑推理及数学运算素养 [情境引入] 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生． [问题]　根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长是如何计算出来的呢？ 提示：根据勾股定理正方形的对角线长为＝. [知识梳理] [知识点一]　方根与根式的定义　 1．a的n次方根定义 如果　xn＝a　，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做　根指数　，a叫做　被开方数　. [知识点二]　根式的性质　 1.＝　0　(n∈N*，且n>1)． 2．()n＝　a　(n∈N*，且n>1)． 3.＝　a　(n为大于1的奇数)． ＝　|a|　＝(n为大于1的偶数)． 1.正数a的n次方根一定有两个吗？ 提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数． 2．()n与中的字母a的取值范围是否一样？ 提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R. [知识点三]　分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)　 正分数指数幂 负分数指数幂 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 [知识点四]　有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)　 (1)aras＝ar＋s.(2)(ar)s＝ars.(3)(ab)r＝arbr. 3.为什么分数指数幂的底数规定a>0? 提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则无意义； ②当a＝0时，a0无意义． 4．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？ 提示：①ar÷as＝ar－s；②＝r. [预习自测] 1.的值是(　　) A．2　　　　　　　　 B．－2 C．±2 D．－8 答案：B 2．下列说法： ①的运算结果是±3； ②16是4次方根是2； ③当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义； ④当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义． 正确的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 3.－ ＋的值等于　________　. 答案： 　　　n次方根的概念 [例1] (1)16的平方根为　________　，－27的5次方根为　________　. (2)已知x7＝6，则x＝　________　. (3)若有意义，则实数x的取值范围是　________　. [思路点拨]　依a的n次方根的定义判断求解． [解析]　(1)∵(±4)2＝16， ∴16的平方根为±4.－27的5次方根为. (2)∵x7＝6，∴x＝. (3)要使有意义， 则需x－2≥0，即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． [答案]　(1)±4　　 (2)　(3)[2，＋∞) (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，为非负实数；②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． [变式训练] 1．有下列说法： ①＝3； ②16的4次方根是±2； ③＝±3； ④ ＝|x＋y|； ⑤若x＜2，则 ＋()3＝2－. 其中正确的是　________　.(填正确说法的序号) 解析：当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故＝－3，①错误；16的4次方根有两个，为±2，②正确；＝3，③错误；是正数，所以＝|x＋y|，④正确．由题意知x－2＜0，故＋()3＝|x－2|＋x－＝2－x＋x－＝2－，⑤正确． 答案：②④⑤ 　　　利用根式的性质化简与求值 [例2] 求下列各式的值： (1) ； (2) ＋ . [思路点拨] 利用＝，要注意n为奇数还是偶数及a的正负． [解]　(1)∵3－π＜0， ∴ ＝|3－π|＝π－3. (2)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 即原式＝ 当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|，本题中要注意n的奇偶性对式子的值的影响，做到理解，并能熟练应用． [变式训练] 2．求下列各式的值： (1) ＋ ； (2)＋(b＞a)； (3) ＋ . 解：(1) ＋ ＝－8＋π－3＝π－11. (2)＋ ＝a－b＋b－a＝0. (3) ＋ ＝1＋＋－1 ＝2. 　　　根式与分数指数幂的互化 [例3] 用根式或分数指数幂表示下列各式： [思路点拨]　依据根式与分数指数幂的转化规律求解． 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [变式训练] 3．下列根式与分数指数幂的互化错误的是(　　) 　　分数指数幂的综合运算 [例4] (1)化简： ··(xy)－1(xy≠0)； [思路点拨]　先化根式为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算性质计算、化简． (1)幂的运算的常规方法 ①化负指数幂为正指数幂； ②化根式为分数指数幂； ③化小数为分数进行运算． (2)分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数． [变式训练] 4．计算下列各式： 1．化简的结果是(　　) A．－　　　　　　　　 B. C．－ D. 答案：A 2．下列等式成立的是(　　) 答案：D 3．根式a化成分数指数幂是　________　. 答案： 4．计算＝　________　. 答案： 5．化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4)＋. 解：(1)＝－5. (2)＝＝＝3. (3)∵a≤，∴1－2a≥0， ∴＝＝＝. (4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． ∴＋ ＝ 1．下列说法正确的是(　　) A．负数的n次方程根不存在，其中n＞1，n∈N* B．因为(－2)5＝－32，所以－2是－32的五次方根 C．因为34＝81，所以81的四次方根是3 D．1的n次方根是1，其中n＞1，n∈N* 答案：B 2．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞) 答案：B 3．化简()2＋＋＋()3＋＋的结果是(　　) A．1－a　　　　　　　 B．2(1－a) C．a－1 D．2(a－1) 答案：D 4．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) 答案：C 5．(多选)下列各式不正确的是(　　) 解析：ABC　[对于A，7＝n7m－7，A不正确；对于B，＝|3－π|＝π－3，B不正确；对于C不正确；对于D，e2x＝(ex)2，D正确．] 6．(多选)若＜1，则化简－－3的结果可能是(　　) A．2x－6 B．4x－6 C．－2x D．2x＋4 解析：AC　[由＜1化简可得＞0，所以(x＋2)(x－2)＞0，所以x＞2或x＜－2.－－3＝－－3＝|5－3x|－|x－2|－3， 当x＞2时，－－3＝ 3x－5－x＋2－3＝2x－6； 当x＜－2时，－－3＝5－3x＋x－2－3＝－2x.] 8．已知a满足＋＝a，则a－2 0252的值为　________　. 解析：由＋＝a，得|2 025－a|＋＝a，因为a≥2 026，所以＝2 025，故a－2 0252＝2 026. 答案：2 026 9．若有意义，则实数x，y分别为　______________　，　______________　. 解析： ＋，要使式子有意义，必须有解得x＝，所以y＝. 答案：　 10．求下列各式的值： (1)；(2)； (3)； (4)－，x∈(－3,3)． 解：(1)＝－2. (2)＝＝. (3)＝|3－π|＝π－3. (4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|， 当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 11．将下列根式化成分数指数幂形式： (1)·；(2)； (3)·；(4)()2·. 12．已知a＜b＜0，n＞1，n∈N*，化简： ＋ . 解：当n＝2k＋1(k∈N*)时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；当n＝2k(k∈N*)时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a. 所以＋ ＝. 13．(1)若 有意义，化简 －|3－x|； (2)已知y＝＋＋，求实数x及y. 解：(1)由题意知x≤2，则－|3－x|＝|x－2|－|3－x|＝2－x－3＋x＝－1. (2)由题意知∴x＝，从而y＝. 学科网（北京）股份有限公司 $