专题三 二次函数的图形和性质【（挑战压轴题）导图知识卡片+22大考点讲练+优选题训练 共59题】-2026-2027学年人教版数学九年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦二次函数的图形和性质核心知识点，从y=ax²等基础形式入手，逐步延伸至平移、顶点式转化、图象绘制，再到与系数符号关系、对称性、最值及综合应用如面积、特殊图形问题，构建从基础到综合的学习支架。 资料以思维导图梳理知识脉络培养抽象能力与几何直观，典例结合菱形在抛物线、小车运动等情境渗透模型观念，综合题融合多知识点提升推理意识。课中辅助系统教学，课后优选题助学生查漏补缺。

2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三 二次函数的图形和性质 【思维导图+二十二大考点讲练+优选题训练 共59题〔解析版〕】 目 录 3 【压轴考点01】y=ax²的图象和性质 3 【压轴考点02】y=ax²+k的图象和性质 5 【压轴考点03】y=a(x-h)²的图象和性质 7 【压轴考点04】y=a (x-h) ²+k的图象和性质 12 【压轴考点05】二次函数图象的平移 14 【压轴考点06】把y=ax²+bx+c化成顶点式 16 【压轴考点07】画y=ax²+bx+c的图象 17 【压轴考点08】y=ax²+bx+c的图象与性质 20 【压轴考点09】二次函数图象与各项系数符号 24 【压轴考点10】一次函数、二次函数图象综合判断 26 【压轴考点11】根据二次函数的图象判断式子符号 31 【压轴考点12】已知抛物线上对称的两点求对称轴 33 【压轴考点13】根据二次函数的对称性求函数值 36 【压轴考点14】y=ax²+bx+c的最值 38 【压轴考点15】利用二次函数对称性求最短路径 40 【压轴考点16】待定系数法求二次函数解析式 42 【压轴考点17】线段周长问题（二次函数综合） 47 【压轴考点18】面积问题（次函数综合） 51 【压轴考点19】角度问题（二次函数综合） 56 【压轴考点20】特殊三角形问题（二次函数综合） 62 【压轴考点21】特殊四边形（二次函数综合） 67 【压轴考点22】其他问题（二次函数综合） 70 74 【压轴考点01】y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积为 【思路引导】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【规范解答】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 【对应练习】（2026·江苏盐城·三模）小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【规范解答】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵将对称轴左侧的图象作关于轴对称， ∴图象关于点中心对称， ∵这20个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……，， ∴， ∵，， ∴当时，，当时，， ∴． 【压轴考点02】y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)平移前的抛物线的解析式为． (2)当时，函数取得最大值，最大值为2． (3)当时，y随x的增大而减小． 【思路引导】（1）根据平移的性质“上加下减”可求出a、c的值，由此即可得出平移前的抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质即可解决最值问题； （3）根据原抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可找出函数值y随x的增大而减小时的取值范围． 【规范解答】（1）解：抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线， ，． ． 平移前的抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，函数取最大值，最大值为2． （3）解：由（1）可知抛物线的解析式为，对称轴为直线，且， 当时，函数的值y随x的增大而减小． 【对应练习】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合的能力；抛物线的顶点为，所以c的变化会使得抛物线沿着y轴上下移动，结合图象找到临界状态即可确定c的范围． 【规范解答】解：如图所示，由题意得，， 当抛物线经过C点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得， 当抛物线经过A点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得，解得， 由图象得：当时，抛物线与矩形边界会有两个公共点， 故选：D． 【压轴考点03】y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的对称轴为． (1)求a的值； (2)若点都在此抛物线上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大， ， ， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ． 【思路引导】（1）根据抛物线的性质求解； （2）首先判断出抛物线开口向上，得到抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大，然后结合求解即可． 【规范解答】（1）解：抛物线的对称轴为， ∴； 【对应练习】（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【思路引导】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【规范解答】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 【压轴考点04】y=a (x-h) ²+k的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·天津·开学考试）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 【对应练习】（25-26九年级下·浙江温州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)①点的纵坐标为；② 【思路引导】（1）化为顶点式求解即可． （2）①利用抛物线平移的性质（左加右减变横坐标）求出平移后的抛物线解析式，将两个抛物线联立方程推出即点横坐标，代入任意一个抛物线即可求出点纵坐标．②根据题意，将分别代入各自的抛物线，表示出，将其转化成 关于的一次函数，利用一次函数的图像性质和取值范围即可求出的取值范围． 【规范解答】（1）解：①， ， 顶点坐标为． （2）解：①∵， ∴抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线的解析式为． 是和的交点， ， ， ， 将代入得． ② ；，点、分别在抛物线，上，， ∴， ． 是关于的一次函数，且， 的值是随着的增加而减小， 当时，； 当时，， ． 【压轴考点05】二次函数图象的平移 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】将抛物线向下平移2个单位可得到抛物线；将抛物线向上平移4个单位可得到抛物线；函数的图象开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为 【思路引导】本题考查二次函数图象的平移规律和型二次函数的性质，上下平移遵循“上加下减常数项”的规律，再根据二次项系数的符号判断开口方向，直接确定对称轴和顶点坐标即可． 【规范解答】解：已知原抛物线解析式为，要得到抛物线，对比原解析式可知常数项减2，因此将向下平移2个单位即可得到． 要得到抛物线，对比原解析式可知常数项加4，因此将向上平移4个单位即可得到． 对于函数，二次项系数，因此图象开口向下． 对称轴为直线，即轴． 将代入解析式，得，因此顶点坐标为． 【对应练习】（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【规范解答】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 【压轴考点06】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）把函数解析式化为，可得当，即时，，即可； （3）求出原函数的顶点的纵坐标，再根据二次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 此时该函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴当，即时，， ∴该定点坐标为； （3）解：∵，且， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2． 【对应练习】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【思路引导】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【规范解答】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 【压轴考点07】画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的 (3)如图： 【思路引导】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，再写出对称轴和顶点坐标即可； （2）对比（1）中所得的顶点式与抛物线，结合平移规律即可得到平移过程； （3）利用描点法画函数图象即可． 【规范解答】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由（1）得， ∴抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； 【对应练习】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）【项目】小车沿斜面运动中路程与时间的关系． 图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米．小温和小明共同填写了如下实验记录表． （秒） 0 2 3 … （分米） 0 4 9 … (1)小温发现，路程与时间可采用一次函数，反比例函数，二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出关于的函数表达式． (2)若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个秒和第二个秒通过的路程． (3)小明说：把单位时间设为1秒，还可以研究第秒内通过的路程（分米）与第秒之间的函数关系．请写出路程（分米）与第秒之间的函数关系，并通过计算说明理由． 【答案】(1)采用的二次函数模型， (2)第一个5秒通过的路程为分米，第二个5秒通过的路程为分米 (3) 【思路引导】本题考查了画二次函数图象、用待定系数法求二次函数解析式、根据自变量求函数值，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）在图中描点画图，即可判断采用的函数模型，再利用待定系数法求出关于的函数表达式即可； （2）先求出小车在斜面上第一个秒通过的路程，再算出小车在斜面上第二个秒通过的路程，作差即可得答案； （3）根据第秒通过的路程等于前秒通过的路程减去前秒通过的路程列式化简即可解答． 【规范解答】（1）解：将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示： 这条线不是直线，所以不是一次函数， 这条线过原点，所以不是反比例函数， 所以可以采用的函数模型是二次函数， 设路程与时间的函数关系式为：， 将，，代入，得， 解得， ∴路程与时间的函数关系式为． （2）解：当时，（分米）， 当时，（分米）， ∴第个秒小车通过的路程为（分米）． （3）解：∵， ∴第秒通过的路程． 【压轴考点08】y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①或；② 【思路引导】（1）利用待定系数法即可求解； （2）点关于轴的对称点为，当、、共线时，取等号，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求解； （3）①先得到新的抛物线的解析式，求得，，根据点是线段的三等分点，再分类求解即可．②将分别代入，根据建立不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线：过点，且对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， ∴点的坐标为， 为定值， ∴当最小时，周长取得最小值， ∵点关于轴的对称点为， ， 当、、共线时，取等号，有最小值， 设直线的解析式为， 把点的坐标为代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为； （3）解：①根据题意，新的抛物线的解析式为：， 解方程， 得， ∵点在点的左边， ，， 对于抛物线，令，则， 解得：或1， ∴点的坐标为， ∵点是线段的三等分点，则点在线段上， ，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或； ②当时，， 当时，， 当时，， 解得：． 【对应练习】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【思路引导】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 【压轴考点09】二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 【对应练习】二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【思路引导】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【规范解答】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 【压轴考点10】一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【规范解答】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 【对应练习】（25-26九年级上·重庆南川·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，在轴上有两个动点，，，且点在点的左侧，连接，当线段取得最大值时，求的最小值： (3)将抛物线沿轴向左平移2个单位后得到新抛物线平移后的对应点分别为点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3) 或，理由如下： ∵， ∴平移后的解析式为：，，， 由，将抛物线沿轴向左平移2个单位后得到新抛物线平移后的对应点分别为点，得 ，，， ∴ ∴， ①当点K在上方时，如图 ∵， ∴， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联解， 得， 解得（舍去），， 当时，， ∴； ②当点K在下方时，如图，过点K作轴于点F， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， 设，则 ，， ∴， 解得（不符合题意，舍去） ∴， 当时，， ∴， 综上所述，或． 【思路引导】本题考查待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，一次函数与二次函数的图像与性质，图形的平移，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）待定系数法求二次函数的解析式的步骤，逐步计算求解即可； （2）先求出直线的解析式，设， 得到，推导出当时，取得最大值，此时，将作点关于x轴对称的点，将点向右平移1个单位到，连接与轴的交点即为点Q，此时取得最小值，求得，即可解答； （3）先推导出平移后的解析式为：，，，继而证明，分类讨论：①当点K在上方时，②当点K在下方时，逐个分析求解即可． 【规范解答】（1）解：由题可得， 解得 抛物线的表达式； （2）解：设直线的解析式为， 将，分别代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则 ， ∴当时，取得最大值，此时， 作点关于x轴对称的点，将点向右平移1个单位到，连接与轴的交点即为点Q，如图， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，此时取得最小值， ， ∴． （3）略 【压轴考点11】根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【规范解答】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 【对应练习】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 【压轴考点12】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【规范解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 【对应练习】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，两条线段和关于直线对称，（点分别与点对应），且两点的坐标分别为． (1)直接写出两点的坐标； (2)以直线为对称轴的抛物线经过四点． ①求抛物线的函数解析式； ②若点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，与直线分别相交于两点，设点的横坐标为，记，求关于的函数解析式，并求的最大值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②， 的最大值为4 (3)或或 【思路引导】本题考查二次函数解析式，二次函数最值问题，等腰三角形的性质与判定； （1）根据关于轴对称的性质即可得到点A和点B的坐标； （2）①设抛物线的表达式为，利用待定系数法即可求解； ②用待定系数法求出直线的解析式，先证明PM=PN，由点P的坐标为，点M的坐标为，即可表示，即的函数解析式，同时化成顶点式，再根据函数性质即可找到函数的最大值； （3）设，根据为等腰三角形，分类讨论，结合勾股定理，列出方程即可求解． 【规范解答】（1）解：∵两条线段和关于直线对称，（点分别与点对应），且两点的坐标分别为． ∴； （2）①设抛物线的函数解析式为， ∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， 即抛物线的函数解析式为或． ②设直线的解析式为， 把代入得到， ， 解得， 所以直线的函数解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， ， 过点分别作轴和轴的垂线，与直线分别相交于，两点， 轴，轴， ，， ， ， ∴， 即， ， ∴当时，的值最大，且最大值为4． （3）设， ∵， ∴，，， ∵为等腰三角形， ①当时，， 解得： ， ∴， ②当时，， 解得：， ∴， ③当时， 解得：， ∴， 综上所述， 或或． 【压轴考点13】根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【思路引导】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【规范解答】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 【对应练习】（26-27九年级上·北京·开学考试）已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【答案】 【思路引导】先根据关于轴对称的坐标变换规律求出的解析式，再结合两点都在抛物线上得到对任意m成立的恒等式，利用对应系数相等求解k，验证后得到结果． 【规范解答】解：∵抛物线与关于轴对称，关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴将中的替换为，得的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴． ∵点也在抛物线上， ∴将点坐标代入解析式得． 把代入等式左边，得左边， 展开整理等式右边，得右边． ∵等式对任意实数m都成立， ∴对应项系数相等，可得一次项系数关系，解得． 将代入常数项验证，得，与左边常数项相等，符合要求，因此． 【压轴考点14】y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)当时，函数有最大值0 (2)6或1 【思路引导】（1）由题意得，由二次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解； （2）分、及三种情况，利用二次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：， ∴二次函数的解析式为． ∴当时，函数有最大值0． （2）解：二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数值y的最大值为， 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去）； 若，则函数的最大值为0，与题意不符． 综上所述，h的值是6或1． 【对应练习】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再结合图象可得答案； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，然后分和两种情况，利用二次函数的性质，结合一元二次方程的解法求解即可． 【规范解答】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，则，即， 解得，， ， ∴结合图象可知，当点在轴上方时，； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 若，则点右侧部分（含点）的最高点为抛物线顶点， ∴当时，，解得； 若，则点右侧部分（含点）的最高点为点P， 当时，，解得（舍去），． 综上所述，的值为或4． 【压轴考点15】利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（2026九年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【规范解答】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 【对应练习】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【思路引导】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【规范解答】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 【压轴考点16】待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后设，则，然后再分情况或，分别计算即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去） 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【对应练习】（26-27九年级上·天津·开学考试）已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点 (1)当时，求此抛物线顶点的坐标； (2)当时，若的面积为4，求此抛物线的解析式； (3)将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位；得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有 ，直按写出的值和四边形周长的最小值． 【答案】(1) 顶点的坐标为 (2) 抛物线的解析式为 (3) 的值为，四边形周长的最小值为 【思路引导】（1）先由抛物线过点求出的值，再将代入解析式，配方得到顶点坐标． （2）先写出顶点的坐标，利用割补法表示的面积，结合面积为和的条件求，进而得到抛物线解析式． （3）先根据平移规律得到点、的坐标，利用轴对称性质找到周长最小时点、的位置，结合的条件求出的值，再计算周长的最小值． 【规范解答】（1）解：∵（为常数，）过点， ∴， ∴， 当时，抛物线， ∴此抛物线顶点的坐标为； （2）解：由（1）可知，， ∵抛物线， ∴此抛物线顶点的坐标为， 设直线的表达式为，代入点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， 过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此抛物线的解析式为：； （3）解：∵原抛物线顶点的坐标为， 将抛物线向左平移个单位，向下平移个单位， ∴新顶点的坐标为，即． ∵抛物线，向左平移个单位，向下平移个单位， ∴新抛物线的解析式为， 令，得， ∴． ∵的长度为定值， ∴四边形的周长最小等价于最小． 作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点， 由对称性质得，， ∴， 当且仅当、、、四点共线时，等号成立，此时四边形周长最小． 由对称性质可得： 的坐标为， 的坐标为． 此时在直线上， ∵， ∴． 过点作轴，过点作轴，交于点， 则， 则，，． 过点作轴，过点作轴，交于点， 则， 则，，． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 当时， ， ， ∴四边形周长的最小值为． 综上所述，的值为，四边形周长的最小值为． 【压轴考点17】线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【规范解答】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 【对应练习】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点M作轴，交于点D，设，则，可得，则可得到，据此可得答案； （3）作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接，则，可证明当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T，求出的长，根据，求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时， ∴当的面积最大时，点M的坐标为； （3）解：如图3-1所示，作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接， 在中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图3-2所示，当有最小值时，过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T， 由（2）得点M的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【压轴考点18】面积问题（次函数综合） 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【规范解答】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 【对应练习】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【思路引导】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【压轴考点19】角度问题（二次函数综合） 【典例精讲】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①过点作轴，交直线AC于点，作轴．交直线于点，求周长的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②-2或 【思路引导】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①设点，则，，可得，，再由，可得，然后周长为，结合二次函数的性质解答即可；②根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，求得，得到，过作轴的平行线交轴于，交的延长线于，情况一：，情况二，，解直角三角形即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴，， 抛物线经过、两点， ， ，， ∴抛物线解析式为； （2）解：①如图， 设点， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴周长为 ， ∵， ∴当时，周长最大，最大值为； ②对于， 当时，， 解得：， ∴， ∵，， ，，， ， ∴是以为直角的直角三角形， 取的中点， ∴， ， ，， ， 过点作轴的平行线交轴于，交的延长线于，则， 设， ，， 分以下两种情况： 情况一：当时，如图2， ∵， ， ， 即， ∴， （舍去），， ， 情况二：当时， ， 设， ，， ∵， ， ，， ∵，， ，， ∴， ， （舍去），， 综上所述：点的横坐标为或． 【考点剖析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数，解直角三角形，勾股定理等知识点． 【对应练习】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【思路引导】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【规范解答】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 【压轴考点20】特殊三角形问题（二次函数综合） 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【思路引导】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【规范解答】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 【对应练习】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)面积的最大值是； (3)或 【思路引导】（1） 已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于一点，用待定系数法将三点坐标代入，解三元一次方程组即可求出系数． （2）点在第二象限抛物线上运动，连接、、，求面积最大值．过点作x轴垂线交于点，利用铅垂高与水平宽表示面积，将面积化为关于点横坐标的二次函数，配方求最值． （3）直角三角形需分三种情况讨论直角顶点：、、．前两种情况分别通过构造相似三角形和等腰直角三角形列方程求解；第三种情况利用点在直线上方，说明，从而排除． 【规范解答】（1）解：抛物线经过点，，， ， 解得：． （2）解：设点的横坐标为（）， 抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点作x轴于点，交于点， ， ， ， ， 当时，最大． （3）解：存在． ① 当时，过点作轴于点，轴于点， ， 又，， ， ， ， ， ，且，， ，，，， ， 整理得：， 又，， ， 解得：，不符合题意，舍去． ② 当时，过点作轴于点， ，， ， 点在y轴上， ， 又， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． ③ 当时， 点的坐标为，直线的解析式为， ， 又， ， 点在直线上方，且射线在x轴上方， ， ， ． 综上所述，存在点，使为直角三角形，的值为或． 【压轴考点21】特殊四边形（二次函数综合） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)； (2)， 【思路引导】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． 【对应练习】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， ∴或 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴当时，，当时，， ∴或； （3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，即，， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） 综上所述，当时，m的取值范围为或． 【压轴考点22】其他问题（二次函数综合） 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的图象经过原点和点． (1)求的值及二次函数图象的对称轴； (2)过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，交直线于点． ①若，，且为线段的中点，求的值； ②当时，在点的运动过程中，的最大值为10，求的值． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①；② 【思路引导】本题考查二次函数的图像与性质，线段的中点，一次函数的图像与性质，绝对值的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，由二次函数的图象经过点，得到， 即，则对称轴为直线，即可解答； （2）①先求出，，推导出，，由B为线段的中点，得到，求出（舍去）或，即可解答； ②先求出，，得到，当时，有最大值，最大值为，则，解得，即可解答． 【规范解答】（1）解：把原点代入，得 ， ∴二次函数， 二次函数的图象经过点， ， 即． 对称轴为直线． （2）解：①， ， 经过点且平行轴， ， 为线段的中点， ． 解得（舍去）或． ． ②，， ，． 又， 当时，有最大值，最大值为． ， 解得． 【对应练习】2026·安徽·二模）已知抛物线的对称轴在轴右侧，当时，的最小值为，最大值为． (1)求整数，的值； (2)在（1）的条件下，直线与抛物线在范围内有两个交点，点，均在抛物线上，在的左侧． ①求的取值范围； ②若，过点作轴，垂足为，交直线于点．设的面积为，的面积为，若，且，求的近似值． 【答案】(1)， (2)①；② 【思路引导】（1）根据题意求得抛物线对称轴为，根据对称轴在轴右侧得出，分情况讨论，当对称轴在时，求得最小值和最大值，进而求得的值，当对称轴时，同理求得最值，根据是整数进行取舍，即可求解； （2）①联立直线与抛物线得出，根据题意得出且，，解不等式组，求得的范围，即可求解； ②分别表示出，，，将代入，进而根据建立方程， 解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：抛物线开口向上， 对称轴为， 由对称轴在轴右侧得 ∴ ∵当时，的最小值为，最大值为 情形一：当对称轴在时，即， 又 ∴ ∴最小值为，即最小值在顶点处，得：，即① 最大值在或， 当时，， 代入①解得：，或，（舍去） 当时，， 代入①解得：（舍去）或（舍去） 情形二：当对称轴时，即 ∴， ∴最大值为时， 最小值为时， 解得：，不是整数， 综上所述，，； （2）解：①联立直线与抛物线 得 ∵直线与抛物线在范围内有两个交点， 设， ∴且， 解 ∴或 解得： 解得 综上所述： ②设的面积为，的面积为，， ∵在上， ∴，，， ∴，， 又∵，则 ∴ ∴ ∵ ∴① ∵在的左侧 ∴，则 ∴ （i）当时， ∴ 当时， 解得：（舍去） （ii）当或时， ∴ 当时， 解得： 1．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【规范解答】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【规范解答】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】观察三点横坐标的特点，代入解析式可直接得到，，关于的表达式，通过找两两相等的临界点分区间讨论大小关系，判断不可能的选项． 【规范解答】解：将三点横坐标分别代入函数解析式得： ， ， ， 令，解得； 令，解得； 令，解得， 结合二次函数，分区间讨论： 当时，，选项D成立； 当时，，选项C成立； 当时，，无对应选项； 当时，，选项A成立； 故不可能，答案为B． 4．（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【思路引导】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【规范解答】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】根据三个性质确定二次函数的解析式形式和参数取值范围，即可写出符合要求的解析式． 【规范解答】解：∵函数图象的顶点在轴上， ∴设二次函数的解析式为， ∵该函数图象的形状与的图象相同， ∴， ∵当时，随的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴，且对称轴， ∴取，可得满足所有性质的二次函数为． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 【答案】 【思路引导】根据，顶点，设抛物线的解析式为，用待定系数法求解析式即可． 【规范解答】解：设抛物线的解析式为， 顶点， ， 把代入得， , ， ． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线与x轴的交点坐标是，且经过点，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【思路引导】已知抛物线与轴的两个交点，可设交点式求解析式，再代入已知点求出系数，展开整理即可． 【规范解答】解：∵抛物线与轴的交点坐标是， ∴设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴，展开整理得． 9．（26-27九年级上·北京·课堂例题）二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【思路引导】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【规范解答】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 10．（21-22九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 【答案】 【思路引导】确定，，，，进一步确定直线的解析式为，直线的解析式为，如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，，根据轴对称的性质及等腰三角形的性质得，点为的中点，点是的中点，继而得，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，确定，最后根据在直线：上，得，解方程即可． 【规范解答】解：∵抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为， 当时，得：或；当时，得：， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，， ∴垂直平分， ∴，点为的中点， ∵，，，， ∴，是边上的中线即点是的中点， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵点为的中点，，， ∴， 解得：， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好落在直线：上，即点在直线：上， ∴， 解得：， ∴点的横坐标是． 11．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【思路引导】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 12．（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）已知线段，点为线段上一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，且． (1)如图，若，则的度数为________； (2)如图，在点的运动过程中． ①直线与的位置关系是否发生变化，请说明理由； ②、分别为对角线，的中点，连接，的最小值为________． 【答案】(1)90 (2) ①的关系不变，理由如下： 如图，连接， 同（1）可得是等边三角形， ， 四边形是菱形， ∴， ∴， 直线与的位置关系不发生变化； ② 【思路引导】（1）根据菱形的性质，结合已知可得是等边三角形，计算得出，进而可得，即可求解； （2）①证明，结合菱形的性质，即可得出结论； ②连接，证明，根据勾股定理表示出，进而根据配方法求得最值，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵线段，，四边形、是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①略 ②如图，连接 ∵分别为对角线，的中点，则分别过点， ∴分别平分，， ∴ ∴， 同（1）可得是等边三角形， 设，则，， ， ∴时，有最小值，最小值为. 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）点都在二次函数的图象上，且． (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是______； (2)该二次函数的图象的对称轴为______，顶点坐标为______； (3)若该二次函数的图象经过点， ①直接写出该二次函数的表达式； ②若，则______；（填“”“”或“”） ③若，求点M的坐标； (4)若，求该二次函数的表达式； (5)【拓展设问】当且时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①；②；③ (4) (5) 【思路引导】（1）提公因式再根据完全平方公式进行化简即可； （2）根据顶点式即可得到对称轴和顶点坐标； （3）①将代入，求出即可得到解析式； ②根据开口方向以及对称轴判断函数增减性，即可得到答案； ③由题意得到，再根据求出，将代入，得，即可得到答案； （4）根据题意求出，将分别代入，得，再根据求出，即可得到函数解析式； （5）分若和两种情况进行讨论即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：对称轴，顶点坐标为； （3）解：①将代入， 即， 解得， 该二次函数的表达式为； ②，开口向上，对称轴， 故在时，，距离对称轴更远， 若，则； ③， 两点关于直线对称， ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； （4）解：， ， 将分别代入， 得， ， ， 该二次函数的表达式为； （5）解：， 二次函数的图象开口向上， 由（2）可知，二次函数图象的顶点坐标为． 又点在二次函数图象的对称轴的异侧，， 点在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧， 当时，函数在处取得最小值， 当时，函数的最大值与最小值的差为1， 当时，函数的最大值为0， ①若，则，即，解得， 由点在二次函数图象的对称轴的异侧，且， 可得， ， 函数的最大值为， ； ， ②若，则，即， 根据点在对称轴左侧可知， 解得． ， 函数的最大值为， ， ， 综上所述，的取值范围为． 14．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，已知四边形是矩形，，，点，分别从点，同时出发沿，向终点，运动，点和点的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，若，此时 ； (2)设的长为，小明对关于的函数关系式进行了探究． ①请求出关于的函数关系式； ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了关于的函数图像，其中点为函数图像的最低点，则点的坐标为 ； (3)当时，的值为 ； (4)连接，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) (4)或 【思路引导】（1）过作于，由矩形性质得．当时，，，可算得．在中，由勾股定理即可计算； （2）①由、得水平距离，结合竖直边，由勾股定理得．由到终点时间得，故；②根号内二次函数开口向上，对称轴时取最小值4，故，最低点； （3）由题意得，结合的表达式列方程，两边平方消去二次项，即可求解； （4）等腰分三类讨论：①，解得；②，解得（构不成三角形舍去）；③，方程无实根． 【规范解答】（1）解：过点作于点，如下图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，， ，， ， 在中，； （2）解：①由题意得，，，则，， ， 在中， ， ∵点F运动到终点的时间为（秒）， ∴自变量范围为 ∴关于的函数关系式为：； ②由题意得，求出的最小值，即为求出根号内的二次函数的最小值， ∴设， ∵其开口向上， ∴对称轴为直线， ∴ ， ， ∴最低点的坐标为； （3）解：∵，， ， ∵， ∴ 解得； （4）解：连接，如图： 在中，；；， 当时， ∴ ， ∴， ，（舍去）， ； 当时， ， 解得，， 当时，点与点重合，不能构成三角形，舍去， 故； 当时， ， ∴，方程无实数根，舍去； 综上所述，符合条件的的值为或． 15．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【规范解答】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三 二次函数的图形和性质 【思维导图+二十二大考点讲练+优选题训练 共59题〔原卷版〕】 目 录 3 【压轴考点01】y=ax²的图象和性质 3 【压轴考点02】y=ax²+k的图象和性质 4 【压轴考点03】y=a(x-h)²的图象和性质 5 【压轴考点04】y=a (x-h) ²+k的图象和性质 6 【压轴考点05】二次函数图象的平移 6 【压轴考点06】把y=ax²+bx+c化成顶点式 7 【压轴考点07】画y=ax²+bx+c的图象 8 【压轴考点08】y=ax²+bx+c的图象与性质 10 【压轴考点09】二次函数图象与各项系数符号 11 【压轴考点10】一次函数、二次函数图象综合判断 11 【压轴考点11】根据二次函数的图象判断式子符号 13 【压轴考点12】已知抛物线上对称的两点求对称轴 13 【压轴考点13】根据二次函数的对称性求函数值 15 【压轴考点14】y=ax²+bx+c的最值 15 【压轴考点15】利用二次函数对称性求最短路径 16 【压轴考点16】待定系数法求二次函数解析式 17 【压轴考点17】线段周长问题（二次函数综合） 18 【压轴考点18】面积问题（二次函数综合） 20 【压轴考点19】角度问题（二次函数综合） 21 【压轴考点20】特殊三角形问题（二次函数综合） 23 【压轴考点21】特殊四边形（二次函数综合） 25 【压轴考点22】其他问题（二次函数综合） 26 27 【压轴考点01】y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【对应练习】（2026·江苏盐城·三模）小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（     ） A． B． C． D． 【压轴考点02】y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【对应练习】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 【压轴考点03】y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的对称轴为． (1)求a的值； (2)若点都在此抛物线上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【对应练习】（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【压轴考点04】y=a (x-h) ²+k的图象和性质 【典例精讲】（26-27九年级上·天津·开学考试）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【对应练习】（25-26九年级下·浙江温州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 【压轴考点05】二次函数图象的平移 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【对应练习】（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【压轴考点06】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 【对应练习】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【压轴考点07】画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 【对应练习】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）【项目】小车沿斜面运动中路程与时间的关系． 图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米．小温和小明共同填写了如下实验记录表． （秒） 0 2 3 … （分米） 0 4 9 … (1)小温发现，路程与时间可采用一次函数，反比例函数，二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出关于的函数表达式． (2)若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个秒和第二个秒通过的路程． (3)小明说：把单位时间设为1秒，还可以研究第秒内通过的路程（分米）与第秒之间的函数关系．请写出路程（分米）与第秒之间的函数关系，并通过计算说明理由． 【压轴考点08】y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 【对应练习】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【压轴考点09】二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B． C． D． 【对应练习】二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【压轴考点10】一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【对应练习】（25-26九年级上·重庆南川·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，在轴上有两个动点，，，且点在点的左侧，连接，当线段取得最大值时，求的最小值： (3)将抛物线沿轴向左平移2个单位后得到新抛物线平移后的对应点分别为点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【压轴考点11】根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对应练习】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【压轴考点12】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【对应练习】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，两条线段和关于直线对称，（点分别与点对应），且两点的坐标分别为． (1)直接写出两点的坐标； (2)以直线为对称轴的抛物线经过四点． ①求抛物线的函数解析式； ②若点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，与直线分别相交于两点，设点的横坐标为，记，求关于的函数解析式，并求的最大值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【压轴考点13】根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【对应练习】（26-27九年级上·北京·开学考试）已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【压轴考点14】y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【对应练习】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 【压轴考点15】利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（2026九年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【对应练习】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【压轴考点16】待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【对应练习】（26-27九年级上·天津·开学考试）已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点 (1)当时，求此抛物线顶点的坐标； (2)当时，若的面积为4，求此抛物线的解析式； (3)将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位；得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有 ，直按写出的值和四边形周长的最小值． 【压轴考点17】线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【对应练习】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【压轴考点18】面积问题（二次函数综合） 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【对应练习】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【压轴考点19】角度问题（二次函数综合） 【典例精讲】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①过点作轴，交直线AC于点，作轴．交直线于点，求周长的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【对应练习】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【压轴考点20】特殊三角形问题（二次函数综合） 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【对应练习】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 【压轴考点21】特殊四边形（二次函数综合） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【对应练习】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【压轴考点22】其他问题（二次函数综合） 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的图象经过原点和点． (1)求的值及二次函数图象的对称轴； (2)过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，交直线于点． ①若，，且为线段的中点，求的值； ②当时，在点的运动过程中，的最大值为10，求的值． 【对应练习】2026·安徽·二模）已知抛物线的对称轴在轴右侧，当时，的最小值为，最大值为． (1)求整数，的值； (2)在（1）的条件下，直线与抛物线在范围内有两个交点，点，均在抛物线上，在的左侧． ①求的取值范围； ②若，过点作轴，垂足为，交直线于点．设的面积为，的面积为，若，且，求的近似值． 1．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线与x轴的交点坐标是，且经过点，则此抛物线的解析式为______． 9．（26-27九年级上·北京·课堂例题）二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 10．（21-22九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 11．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）已知线段，点为线段上一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，且． (1)如图，若，则的度数为________； (2)如图，在点的运动过程中． ①直线与的位置关系是否发生变化，请说明理由； ②、分别为对角线，的中点，连接，的最小值为________． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）点都在二次函数的图象上，且． (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是______； (2)该二次函数的图象的对称轴为______，顶点坐标为______； (3)若该二次函数的图象经过点， ①直接写出该二次函数的表达式； ②若，则______；（填“”“”或“”） ③若，求点M的坐标； (4)若，求该二次函数的表达式； (5)【拓展设问】当且时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出a的取值范围． 14．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，已知四边形是矩形，，，点，分别从点，同时出发沿，向终点，运动，点和点的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，若，此时 ； (2)设的长为，小明对关于的函数关系式进行了探究． ①请求出关于的函数关系式； ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了关于的函数图像，其中点为函数图像的最低点，则点的坐标为 ； (3)当时，的值为 ； (4)连接，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的的值． 15．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三二次函数的图形和性质 【思维导图+二十二大考点讲练+优选题训练共59题〔原卷版〕】 目录 【专题复习思维导图指引】 3 【压轴考向一二次函数y=ax的图象和性质】 【压轴考点01】yaX的图象和性质★★★.3 【压轴考向二二次函数y=a(x-h)+k的图象和性质】 【压轴考点02】y=aX2+k的图象和性质★★★ .4 5 ,【压轴考点03】y=a(xh)的图象和性质★★★ 5 【压轴考点04】y=axh)2k的图象和性质★★★★ .6 二【瓜拍考点5】二次函数图象的平移★★★女 .6 【压轴考向三二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】 。 【压轴考点06】把y=ax2+bx+c化成顶点式… .7 二【压轴考点07】画yx+bxc的图象 ..8 二【乐销考点o8】y=ax+bxc的图象与性质 .10 【压轴考点09】二次函数图象与各项系数符号 .11 【压轴考点10】一次函数、二次函数图象综合判断11 【压轴考点11】根据二次函数的图象判断式子符号… .13 【压轴考点12】已知抛物线上对称的两点求对称轴 ..13 【压轴考点13】根据二次函数的对称性求函数值. .15 第1页共33页 【压轴考点14】yX+bxtC的最值d .15 一【压轴老点15】利用二次函数对称性求最短路径 .16 压轴考16】待定系救法求次函数解祈式 【压轴考向四二次函数与几何图形的综合应用】 。 【压轴考点17】线段周长问题（二次函数综合)… .18 【压轴考点18】面积问题（二次函数综合).20 ,【压轴考点19】角度问题（二次函数综合） .21 二【压挂考点20】特殊三角形问愿（二次画数综合） 23 。 【压轴考点21】特殊四边形（二次函数综合) .25 。 【压轴考点22】其他问题（二次函数综合)… .26 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 27 第2页共33页 【专题复习思维导图指引】 一、二次函数的概念 四、图象平移 一般地，形如y=a+hr+c(a≠0,4，b,c为常致) 把抛物战y=r2向上（下）平移k侯>0)个单位长度，得到y=x2+: 的系数，叫做二次函数 把端物线y=r向左（右）平移力(>0)个单位长度，得到y=r+). 其中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 一般地，抛物线y=a(x-h)+k可由y=ar经过“先平移，再平移”得到 先向左（右）平移个单位，再向上（下）平移k个单位 二、图象和性质 =r2+最 y=r+P+转 =(x-产+ 1.图象：二次函数y=2+h:+c(a)的图象是一条抛物线. 向左平移 2.性质(a≠0) 常用公式 肉上平移 向右平移力 的行号开口方向对栋结 顶点坐标 预点坐标： 向上 当x-时. v有最小- 对称轴：=一 当-时 判别式：△--4 五、待定系数法求二次函数解析式 <0 向下 有最大值一尔 顶点，坐标： 一般形式：y=a2+bx+ca0.常用条件 《1)已知图象上三点坐标：(2)已知顶点坐标和另一点坐标：(3)已知与x轴的交点坐标等 3增减性 步骤：设解斯式一代入条件一建立方程组一解方程组一得解析式 >g 对称始左侧(<-)，y随x的增大而减小 专题三 对称轴右侧(x>, 品)y陆x的增大而增大」 次函数的图形和性质 六、二次函数的图形和性质的解题技巧（压轴题） 1,数形结合思想：利用图象直观分析问题，数形结合，常能化复杂为商单： <0 对称轴左侧(x<一)，y随x的增大而增大 2.分类讨论思想：涉及的符号、判别式。增减性。最值等问题时，垫注意分类讨论 对称轴右解(>一：y随x的增大而减小 3.转化思：将二次函数问题转化为一元二次方程。几何问题或函数最值问题 4,参数思想：含有参数的问题要注意参数的取值范围，结合图象分折参数变化对图象和结论的影响 4,与坐标轴的交 5.几何意义的运用：利用抛物线的对称性。平移。与坐标轴交点等几何性质解决动点。最值。面积第问题 七、常见压轴题类型与方法 )当广-m>0时，与x轴有两个不同交点： 颗型 特征 解题方法与技巧 2)当-c=0时.与x轴有一个交点： 1动点间塑 边点在物线直线上塘 设出请点坐标，表示相关线骏暖医数美系，和用二次函数的最值 3)当-4r<0时：与r无交点 果最值。最值政存右性间 几问性质建判刚式求解，注意分类时论 之开口向、顶点已如图象棒这求数蓝国 三、二次函数与一元二次方程 对称结相关同题成解斯式 品和= 列不等式或方程解 玉与坐标点问题 已知交坐标，求解新试度 代入交点坐标建立方程组。求出，.或相关参对 即：抛物线与：袖的交点个数一元二次方程根的情况 4面飘问 表示面积，用含参的式子表示面积，列用二次画数最值或分典计论术解 5综合齿用题 结会实情如桥，侧 建立二次函数模型，结合图象。最值。交点等性质解决实际问题 0 <0 鹅物线与：轴的交点个数 2个变点 1个交点 0个交点 了食关键提醒 —无二次方程期的情况 有两个不相等的实数想有两个相等的实数有实数 解题时要注意：0，注意判式△=2-4的符号，活运用图和公式 善于分类讨论，才能准。快速解决压轴题。 【压轴考向一二次函数y=ax的图象和性质】 【压轴考点01】y=ax2的图象和性质★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，菱形0ABC的顶点0，A,C在抛物线y=x2上， 其中点O为坐标原点，对角线0B在y轴上，且OB=2. 0 (1)求A,C两点的坐标： (2)求菱形OABC的面积. 第3页共33页 【对应练习】(2026·江苏盐城·三模)小雨同学用计算机软件绘制函数y=x2-2x+2的图象后， 将其对称轴左侧的图象作关于x轴对称的图象，得到新的图象G(如图所示)·若点A1(02,y1), A2(0.4,y2),A3(0.6,y3),,A19(3.8,y19),A20(4,y20)都在图象G上，这20个点的横坐标从0.2开始依 次增加0.2，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是( A. -2 B.0 C.1 D.2 【压轴考向二二次函数y=a(x-h)+k的图象和性质】 【压轴考点02】y=ax2+k的图象和性质★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)把抛物线y=ax2+c向下平移3个单位长度后得到 抛物线y=-2x2-1. (1)求平移前的抛物线的解析式： (2)求函数y=ax2+c的最大值或最小值，并指出相应的x的值： (3)对于y=ax2+c,指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【对应练习】(25-26九年级上·北京·阶段检测)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标为(2,0) ,C是y轴上的点，四边形0ABC为矩形，AB=1.若抛物线y=2x2+c与矩形0ABC的边界总有两个公共 点，则实数c的取值范围是() A.c>8或c<-1 B.-1<c<8 C.c>1或c<-8 D.-8<c<1 第4页共33页 【压轴考点03】y=axhP的图象和性质★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)已知抛物线y=(x-a)的对称轴为x=1. (1)求a的值： (2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)都在此抛物线上，且-1<x1<0,1<x2<2,试比较y1与y2的大小，并说明理 由 【对应练习】(25-26八年级下·北京·期末)在平面直角坐标系x0y中，对于给定的两个关于x的函 数，任取自变量x的一个值，当x<m时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥时，它们对应的函数值 相等，则称这样的两个函数互为“m一相关函数”. 4 3 3 2 2 D A -6-54-3-2-10 1234x -6-5-4-3-2-101234x C -2 B -2 -3 -4 -4 (1)①在点P1(-1,-2),P2(-1,2),P3(1,-2),P4(1,2)中， 在正比例函数y=2x的“1-相关函数”图象上的点是 ②若一次函数y=2x+b的“2一相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为 (2)已知A(2,1),B(2,-1),C(-4,-1),D(-4,1) ①若二次函数y=(x一-五)的“m一相关函数”图象与四边形ABCD始终有2个公共点，求h的取值范围： ②若二次函数y=x2+2x+n的“1-相关函数”的图象与线段AD有2个公共点，直接写出n的取值范 围 第5页共33页 【压轴考点04】y=ax-h)2+k的图象和性质★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·天津·开学考试)抛物线y=2x-1)2+c过(-2，y),(0,y2),(y3)三 点，则y,y2,y3大小关系是( ) A.y2<y3<y1 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 【对应练习】(25-26九年级下·浙江温州·期中)已知抛物线 L1:y=-x2+mx-m2+8(0m>0) (1)求抛物线L1的顶点坐标（用含m的代数式表示）： (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线L2,两抛物线交于点A. ①求点A的纵坐标. ②若点P(x1,y1),Q(x2,y2)分别在抛物线L1,L2上，若x2-x1=8,m-3≤x1≤m,求y2-y1的取值范 围 【压轴考点05】二次函数图象的平移★★★★ 【典例精讲】(25-26九年级下·全国·课后作业)试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线y=-x2 得到抛物线)=一2-2？如果要得到抛物线y=一2+4，应将抛物线y=一2作怎样的平移？试说出 函数y=一x2+4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 第6页共33页 【对应练习】(2026·四川达州·一模)如图，将函数y=(x-3)2+1的图象沿y轴向上平移得到一 条新函数的图象，其中点A(2,m),B(7,n)平移后的对应点分别为点A',B'.若曲线段AB扫过的面积为 20(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是() A.y=3x+2)2+1 B.y=x-3)2-3 c.y=x-3)2+5 D.y=号x-3)2+7 【压轴考向三二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】 【压轴考点06】把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例精讲】(26-27九年级上·浙江金华·开学考试)已知b为实数，y是关于x的二次函数，其函数表 达式为y=x2-bx+b+1. (1)当b=4时，求该函数的顶点坐标： (2)无论b取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标： (3)求该函数项点纵坐标的最大值. 第7页共33页 【对应练习】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2一 4x+5上运动，过点A作ACIx轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为 A.5 B.4 C.2 D.1 二【匹轴考点071画y=ax24bx+c的国象 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)我们已经知道二次函数y=α(x-无)2+k的图象和 性质，利用这些知识来讨论二次函数y=x2-4x+3的图象和性质. (1)求抛物线y=x2-4x+3的对称轴和顶点坐标. (2)抛物线y=x2一4x+3可以看作是由抛物线y=x2怎样平移得到的？ (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线y=x2一4x+3. 【对应练习】(25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测)【项目】小车沿斜面运动中路程s与时间t的关 系 图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米.小温和小明共同填写了如下实验记录 表 t(秒) 0 2 3 s(分米) 0 4 9 第8页共33页 9 15:35:20 8 15:35:22 76 -h 5 1535:23 10 2 012341 图1 图2 (1)小温发现，路程s与时间可采用一次函数，反比例函数，二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据 在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出s关于t的函数表达式， (2)若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个5秒和第二个5秒通过的路程， (3)小明说：把单位时间设为1秒，还可以研究第t秒内通过的路程s'(分米)与第t秒之间的函数关 系.请写出路程s'（分米)与第t秒之间的函数关系，并通过计算说明理由. 第9页共33页 【压轴考点08】y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例精讲】(23-24九年级上·河北邢台·期末)如图，抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C,且点A的坐标为(-3,0)，抛物线L的对称轴为直线x=-1,其顶点记为D D (1)求抛物线L的解析式和点D坐标： (2)点M是x轴上任意一点，连接DM、CM、CD,当△CDM周长取到最小值时，求点M的坐标： (3)将抛物线L向右平移m个单位长度得到新的抛物线G: ①抛物线G与x轴交于E、F两点（点E在点F的左边），当点B是线段EF三等分点时，求m的值： ②点(0，y)、(1,y2)是抛物线G上两点，当y1>y2时，请直接写出m的取值范围. 【对应练习】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=,且图象经过点(2,0).下 列说法：①abc<0:②c-2b=0:③若(y1）(虎y2)是抛物线上的两点，则y1<y2:④b+ c>m(am+b)+c(其中m≠之)；⑤a-b+c<0.其中正确的结论是( X= A.①②③ B.①③⑤ C.②④⑤ D.①②④ 第10页共33页 【压轴考点09】二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】已知：a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中 的( 【对应练习】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc<0,②b<a+c,③ 4a+2b+c>0,④2c<3b,⑤a+b<m(am+b)(m≠1)中正确的是( A.②④⑤ B.①③④ C.①③⑤ D.①③④⑤ 【压轴考点10】一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)函数y=ax2和y=-ax+a(a≠0)在同一平面直角 坐标系中的图象可能为( 第11页共33页 【对应练习】(25-26九年级上·重庆南川·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c 与x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,-4). 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点G为直线BC下方抛物线上一动点，过点G作GHI‖y轴交BC于点H,在x轴上有两个动点P,Q, PQ=1,且点P在点Q的左侧，连接CP,QG,当线段GH取得最大值时，求CP+PQ+GQ的最小值： (3)将抛物线沿x轴向左平移2个单位后得到新抛物线y',A,B平移后的对应点分别为点M,N,点K为平移后 的抛物线y'上一点，若∠BMK=∠ABC,请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标 的其中一种情况的过程. 第12页共33页 【压轴考点11】根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)已知某二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图 象如图所示，下列结论中正确的有( ①abc<0:②a-b+c<0:③a=-:④8a+c>0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【对应练习】(25-26八年级下·辽宁盘锦·期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点 A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.下列说法：①abc<0:②抛物线的对称轴为直线x=-1:③当 -3<x<0时，ax2+bx+c>0;④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a-b(m为任意实 数)，其中正确的个数是( A.2 B.3 C.4 D.5 【压轴考点12】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，其对称轴为x=-1,且过点（一 3,0).下列说法：①abc<0;②2a-b=0:③4a+2b+c<0;④m(am+b)≥a-b(m为任意实数)： ⑤若(-5，y1),(2,y2)是抛物线上两点，则y1>y2:其中说法正确的个数是( ) YA -3 -1:O A.2 B.3 C.4 D.5 第13页共33页 【对应练习】(24-25九年级上·河北邯郸·期中)在平面直角坐标系中，两条线段AB和CD关于直线 x=1对称，（点A、B分别与点C、D对应），且C,D两点的坐标分别为C(-2,0),D(2,-4). N B (1)直接写出A,B两点的坐标； (2)以直线x=1为对称轴的抛物线经过A,B,C,D四点. ①求抛物线的函数解析式： ②若点P是抛物线l上，AB之间的一个动点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，与直线AB分别相交于M,N两 点，设点P的横坐标为m,记W=PM+PN,求W关于m的函数解析式，并求W的最大值 (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使△ABQ为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不 存在，说明理由. 第14页共33页 【压轴考点13】根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】(25-26八年级下·重庆·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ c(a≠0)的图象上有点A(-2,y1),B(0,y2),C(5,y3),则y1,y2,y3的大小关系是 (请用 “<”符号连接)》 x=2 【对应练习】(26-27九年级上·北京·开学考试)已知抛物线C1:y=x2+2x-3与抛物线C2关于y轴 对称，点P(m,n)为抛物线C2上的一点，若存在实数k,使得m取任意实数时，点Q(m+2k,n+4m)也在抛 物线C2上，则k的值为 2二【压轴考点141y=ax24bx+c的景值 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)已知二次函数y=-(x-)2(h是常数)，且自变 量的取值范围是2≤x≤5. (1)当=3时，求函数的最大值： (2)若函数的最大值为-1，求h的值. 第15页共33页 【对应练习】(25-26九年级上·陕西安康·期中)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-1,0),B 两点，交y轴于C(0,3),点P在抛物线上，横坐标为m. (1)求抛物线的解析式. (2)当点P在x轴上方时，求出的取值范围. (3)若抛物线在点P右侧部分（含点P)的最高点的纵坐标为-1-m,求m的值. 【压轴考点15】利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲 】(2026九年级上·浙江·专题练习)如图，在直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+4 经过A(-4,0),B(0,4),C(4,4)三个点. B 4 -4 (1)求该二次函数的解析式： (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D,求当点D坐标为何值时，△ABD的周长最小. 第16页共33页 【对应练习】(25-26九年级上·河北沧州·阶段检测)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B( 4,0),C(0,4)两点，与x轴的另一个交点为A. (1)求抛物线的解析式： (2)若直线y=mx+n经过B,C两点，则m= ,n= (3)在抛物线的对称轴上找一点E,使得AE+CE的值最小，求出点E的坐标. 【压轴考点16】待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴正半轴交于点 A(3,0),与y轴交于点B(0,-3),连接AB. (1)求抛物线的解析式： (2)若点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作PCIx轴，垂足为C,PC交AB于点D,当点D是CP的三 等分点时，求点P的坐标 第17页共33页 【对应练习】(26-27九年级上·天津·开学考试)已知抛物线y=ax2-2ax+c(a,c为常数，a≠0) 过点Q(2,2),顶点为点P (1)当a=-1时，求此抛物线顶点P的坐标； (2)当a<0时，若△0PQ的面积为4，求此抛物线的解析式； (3)将抛物线y=ax2-2ax+c向左平移2个单位，向下平移(a+1)个单位(a>0):得到新抛物线的顶点 为A,与y轴交点为B,点M在直线x=1上，点N在直线y=-5上，当四边形ABMN的周长最小时，恰好有 MN II AB,直按写出a的值和四边形ABMN周长的最小值. 【压轴考向四二次函数与几何图形的综合应用】 【压轴考点17】线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4,0),B(-1,0),交y轴于点 C. D B (1)求抛物线的解析式： (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式： (3)若点D是线段AC上一动点，过点D作DEIx轴于点E,交抛物线于点F,求线段DF长度的最大值. 第18页共33页 【对应练习】如图，在平面直角坐标系x0y中，已知直线y=一x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C, 过A,C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B(1,0),抛物线对称轴为直线1. (1)求抛物线的解析式： (2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标： (3)在(2)的条件下，点N为y轴上一点，求MN+ON的最小值. 第19页共33页 【压轴考点18】面积问题（二次函数综合) 【典例精讲】(26-27九年级上·北京·课后作业)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于 A,B两点，与y轴交于点C,其中A点坐标为(-1,0)，M(2,9)为二次函数图象的顶点. A (1)求二次函数的表达式. (2)求△MCB的面积. 【对应练习】如图，抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A,B两点，与y轴交于C(0,-3) B (1)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积. (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使得四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若 不存在，说明理由， (3)在抛物线y=x2-2x+k上求点Q,使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形. 第20页共33页 【压轴考点19】角度问题（二次函数综合） 【典例精讲 】(25-26九年级上·山东济南·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，直线)y=x+2 与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过小、C两点，与x轴的另一交点为点B. O B O B (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D为直线AC上方抛物线上一动点： ①过点D作DP‖x轴，交直线AC于点P,作DQ‖y轴.交直线AC于点Q,求△DPQ周长的最大值： ②过点D作DF LAC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2 倍？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由. 第21页共33页 【对应练习】(2026·四川雅安·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两 点，与y轴交于点C B (1)求抛物线及直线BC的解析式： (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴： (3)若P为抛物线上一点，当∠CAB=∠ACP时，求点P的横坐标. 第22页共33页 【压轴考点20】特殊三角形问题（二次函数综合） 【典例精讲】(2026九年级上·全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+ bx+c过A,B,C三点，点A的坐标是(3,0)，点C的坐标是(0，-3)，动点P在抛物线上 (1)b=，c=,点B的坐标为一一 (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC边为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐 标；若不存在，说明理由. 第23页共33页 【对应练习】如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(1,0) 两点，与y轴交于点C(O,3),连接AC,点P为第二象限抛物线上的动点， A 备用图 (1)求a、b、c的值： (2)连接PA、PC、AC,求△PAC面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m,是否存在点P,使△PAC为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横 坐标m的值；若不存在，请说明理由。 第24页共33页 【压轴考点21】特殊四边形（二次函数综合） 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线 y=(x-)的顶点为B(2,0),与y轴交于点A,过点A作AC1y轴，交该抛物线于点C,连接BC,以 AC、BC为边作口ACBD,点D在x轴的负半轴上. D 0 B (1)求该抛物线的解析式： (2)求点C的坐标及□ACBD的面积. 【对应练习】(25-26八年级下·辽宁盘锦·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+ bx+3经过A(-1,0),B(3,0)两点，交y轴于点C.动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线 交BC于点N,交抛物线于点P. VA 6 M 备用图 (1)求抛物线解析式： (②)抛物线的对称轴交BC于点E,顶点是点D,以、从P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求 第25页共33页 点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q,Q的横坐标为m,设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q) 的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s,t,当s-t=1时，直接写出m的取值范围. 【压轴考点22】其他问题（二次函数综合） 【典例精讲】(25-26九年级上·浙江台州·期末)在平面直角坐标系中，已知关于x的二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点0和点A(3,-3a). (1)求c的值及二次函数图象的对称轴： (2)过点B(t,0)作y轴的平行线，交二次函数的图象于点P,交直线y=ax于点Q. ①若a=-1,t>0,且B为线段PQ的中点，求t的值： ②当-1≤t≤3时，在点B的运动过程中，PQ的最大值为10，求a的值. 第26页共33页 【对应练习】2026·安徽·二模)已知抛物线y=x2+mx+n的对称轴在y轴右侧，当-1≤x≤4时，y 的最小值为-5，最大值为11. (1)求整数m,n的值； (2)在(1)的条件下，直线y=kx-2与抛物线在-1≤x≤4范围内有两个交点，点P(x1,y1),Q(x2,y2) 均在抛物线上，P在Q的左侧. ①求k的取值范围： ②若k=-1,过点P作PN1x轴，垂足为N,交直线于点M.设△PMQ的面积为S1,△OMN的面积为S2, 若6x2=18x1-2x12,且S2=2S1,求x1的近似值. 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(26-27九年级上·浙江金华·开学考试)已知A(4,y1),B(1,y2),C(-3,y3)在函数y=-3(x-2)2+ 2的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是( A.y3<y1<y2 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y1<y2<y3 2.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知抛物线y=Qx2+bx+c过(1,0)，(2,0)，(3,4)三点，则该抛物 线的解析式为( A.y=x2-3x+2 B.y=2x2-6x+4 C.y=2x2+6x-4 D.y=x2-3x-2 3.(26-27九年级上·浙江杭州·开学考试)已知二次函数y=a(x-a)2+x-a的图象上有三点(a+ 1,y1),(a+2,y2),(a-3,y3),则y1,y2,y3的大小关系不可能是( A.y3>y2>y1 B.y3>y1>y2 C.y2>y1>y3 D.y1>y2>y3 4.(26-27九年级上·天津·开学考试)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为 第27页共33页 x=子且图象经过点(2,0).下列说法：①abc<0:②c-2b=0:③若(-y),(⑤)是抛物线上的两 点，则y1<y2:④b+c>m(am+b)+c(其中m≠)：⑤a-b+c<0.其中正确的结论是 A.①②③ B.①③④ C.②④⑤ D.①②④ 5.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，有下列结论：① abc>0;②8a+c>0;③9a+3b+c<0,其中正确的有( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.(26-27九年级上·全国·单元复习)老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的 一个性质.甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x<1时，y随x的增大而减小；丙：该函数图象的形状与 函数y=x的图象相同.已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达 式： 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过 光学原理折射出图象.水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P,PBI AB,BP=10m,AB=2m,水嘴高AD=6m,以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线 为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为 (不用写出自变量的取值范 围)· P 水嘴D A 水槽 第28页共33页 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(-3,0)，且经过点 (1,40),则此抛物线的解析式为 9.(26-27九年级上·北京·课堂例题)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，已知 图象过点(-1,0)，对称轴为直线x=2,有下列结论：①a>0,b>0,c>0:②4a+b=0:③9a+c> 3b;④若点A(-2,y1)、点B(2,y2)、点C(3,y)在该函数图象上，则y1<y3<y2·其中正确的结论有 个 10.(21-22九年级下·浙江湖州·阶段检测)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=x2- 2x-3交x轴于点A和点B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C,抛物线的顶点为D.在x轴下方的抛物线上 取一点M,若点M关于直线BC的对称点恰好落在直线AD上，则点M的横坐标是-一-· 11.（2026九年级上·全国·专题练习)如图，二次函数y=(x+4)2的图象与x轴交于点A,与y轴交于 点B A (1)求抛物线的对称轴： (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P,使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由 第29页共33页 12.(26-27九年级上·湖南长沙·开学考试)己知线段AB=6,点P为线段AB上一个动点，分别以AP, BP为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBEF,且∠DAP=∠FPB=60°. D D D 图1 图2 (1)如图1，若AP=2,则∠DFB的度数为 (2)如图2，在点P的运动过程中. ①直线AC与BF的位置关系是否发生变化，请说明理由： ②M、N分别为对角线AC,BF的中点，连接MN,MN的最小值为 第30页共33页 13.（26-27九年级上·全国·单元复习)点M(x1,y1),N(x2,y2)都在二次函数y=ax2-4ax+4a-1的 图象上，且x2-x1=2. (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是_一： (2)该二次函数的图象的对称轴为一一，顶点坐标为-一一： (3)若该二次函数的图象经过点(4,1)， ①直接写出该二次函数的表达式： ②若0<x1<1,则y1一y2:(填“>”“<”或“=”) ③若y1=y2,求点M的坐标： (4)若x1=-1,y1-y2=3,求该二次函数的表达式： (⑤)【拓展设问】当a>0且x1≤x≤x2时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点M,N在二次函数图 象的对称轴的异侧，直接写出a的取值范围. 14.(26-27九年级上·广东深圳·开学考试)如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2,AD=4,点E, F分别从点A,C同时出发沿AD,CB向终点D,B运动，点E和点F的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2 个单位长度，记点E的运动时间为x秒，连接EF, (1)如图1，若x=子此时EF=-: D B F 图1 (2)设EF的长为y,小明对y关于x的函数关系式进行了探究. ①请求出y关于x的函数关系式： ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了y关于x的函数图像，其中点A为函数图像的 最低点，则点A的坐标为_； 第31页共33页 0 图2 (3)当EF=AE+CF时，x的值为_： (4)连接BE,当△BFE为等腰三角形时，请求出所有符合条件的x的值. A E D A D B F C B 图3 备用图 第32页共33页 15.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)如图，二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与x 轴分别交于点A(-4,0)、B两点，与y轴交于点C,直线CD平行于x轴，交抛物线于点D,CD=OC. 备用图1 备用图2 (1)求该二次函数的解析式： (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t,连接PC、PD,设△PCD的面积为S,求S关于t的函数关 系式： (3)在(2)的条件下，延长DP交x轴于点M,点N在C点上方的y轴上，连接DN,使∠DNC-∠DMA= 45°，若BM=2CN,求△PCD的面积. 第33页共33页null