26.3　二次函数与一元二次方程 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的关系，涵盖交点与根的情况、图象法解近似解及不等式解集。通过小球飞行高度问题（h=20t-5t²）导入，联系二次函数图象与一元二次方程解法，搭建从实际情境到数学关系的学习支架。 以情境探究为主线，例1“以形定数”、例2判别式分析培养数学思维（推理意识、运算能力），例3两种图象法求近似解、例4结合图象解不等式发展数学眼光（几何直观）和数学语言（模型意识）。帮助学生感悟数形结合思想，为教师提供清晰探究路径与方法总结，提升教学效率。

26.3　二次函数与一元二次方程 教学目标 1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，准确表述何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根. 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想. 重点难点 重点：掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程的近似解. 难点：理解二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 教学过程 情景导入 如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2.球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要飞行多长时间？球从飞出到落地要用多长时间？ 探究新知 探究点一　二次函数与一元二次方程的关系 【例1】（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是　　　　　　； （2）求抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标. 【解析】（1） 观察图象与x轴交点为（－3，0），（1，0） 　　　　　　　　　　↓ 结论一元二次方程的解是x1＝－3，x2＝1 （2）解方程x2＋3x＋2＝0，即得交点的横坐标. 【解】（1）x1＝－3，x2＝1 （2）由y＝0，得x2＋3x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝－1，∴抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标是（－2，0）和（－1，0）. 【解题方法】（1）以形定数，抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的两实根； （2）以数定形，求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，便得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标. 探究点二　抛物线与x轴的交点个数与一元二次方程根的情况之间的关系 【例2】已知函数y＝（k－3）x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A.k＜4 B.k≤4 C.k＜4且k≠3　　 D.k≤4且k≠3 【解析】函数y＝（k－3）x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，说明方程（k－3）x2＋2x＋1＝0有实根.当k－3＝0，即k＝3时，该方程是一元一次方程，有实根x＝－；当k－3≠0时，（k－3）x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，有实根的条件是Δ＝22－4（k－3）×1≥0，解得k≤4，即k≤4且k≠3.综上所述k≤4. 【答案】B 【方法总结】抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac. （1）Δ＝b2－4ac＞0抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点； （2）Δ＝b2－4ac＝0抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点； （3）Δ＝b2－4ac＜0抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点. 探究点三　用图象法解一元二次方程 【例3】用图象法求一元二次方程x2－2x－1＝0的近似解（结果精确到0.1）. 【解析】可画出函数y＝x2－2x－1的图象，观察其与x轴的交点坐标，也可转化为求直线y＝2x＋1与抛物线y＝x2的交点的横坐标. 【解】解法1：y＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，即对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－2）. 列表如下： x 1 2 2.5 3 y＝（x－1）2－2 －2 －1 0.25 2 　　描点、连线，画出图象在对称轴右边的部分，利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，即得函数图象如图①所示.由图象知，当x≈2.4时，y≈0.因此方程x2－2x－1＝0的近似解为－0.4或2.4. 图①　　图② 解法2：将方程x2－2x－1＝0变形得x2＝2x＋1. 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x2与y＝2x＋1的图象如图②.抛物线y＝x2与直线y＝2x＋1交于点A，B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足横坐标分别约为－0.4和2.4，所以方程x2－2x－1＝0的近似解为－0.4或2.4. 【探究点拨】图象法解方程（组）是一种直观法，其实质是观察交点处的坐标，得出方程（组）的解.解法1是观察抛物线与x轴（直线y＝0）的交点；解法2是观察抛物线与直线的交点. 探究点四　二次函数与一元二次不等式的关系 【例4】如图，已知抛物线y＝x2＋x－6与x轴的两个交点分别是A，B（点A在点B的左侧）. （1）求点A，B的坐标； （2）利用函数图象，写出y＞0时，x的取值范围. 【解析】（1）根据题意，令y＝0即可求解；（2）由图象可知，y＞0时，x的取值范围为点A的左侧和点B的右侧. 【解】（1）令y＝x2＋x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3， 即点A，B的坐标分别为（－3，0），（2，0）. （2）由图象可知，y＞0时，x的取值范围为x＞2或x＜－3. 【规律总结】利用函数图象解一元二次不等式是典型的“形帮数”.求y＞0（ax2＋bx＋c＞0）的解集，就是观察当图象在x轴上方时，对应的自变量x的取值范围；求y＜0（ax2＋bx＋c＜0）的解集，就是观察当图象在x轴下方时，对应的自变量x的取值范围. 课堂训练 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0根的情况是（　　） A.有两个不相等但同号的实数根 B.有两个异号的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 2.已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P（3，4m）. （1）求这两个函数的解析式； （2）设抛物线与直线的另一个交点为Q，求点Q的坐标. 板书设计 26.3　二次函数与一元二次方程 1.二次函数的图象与坐标轴交点的求法. 与x轴交点：令y＝0. 与y轴交点：令x＝0. 2.二次函数的图象与x轴的交点个数. 当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点. 课堂小结 本节课我们学习了二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，会判断何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根；还学会了利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 教学反思 　　通过本节课的学习，学生知道了一元二次方程的图象解法，体会了数形结合思想，并且从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的联系，一元二次方程是二次函数的特殊情况（y＝0时的情况）.一方面可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根；另一方面，也可以借助求一元二次方程的根来判断二次函数图象的位置，这样可以使所画的抛物线更加准确.本节课应了解：（1）抛物线与坐标轴交点的求法，即把已知坐标代入；（2）抛物线与x轴交点的个数可通过计算Δ＝b2－4ac进行判断. 答案 课堂训练 1.B 2.解：（1）∵点P（3，4m）在直线y2＝mx＋1上， ∴4m＝3m＋1， 解得m＝1， ∴y2＝x＋1，P（3，4）. ∵点P（3，4）在抛物线上， ∴4＝18－24＋k＋8， 解得k＝2， ∴y1＝2x2－8x＋10. （2）令2x2－8x＋10＝x＋1， 即2x2－9x＋9＝0， 解得x1＝，x2＝3. 将x＝代入y2＝x＋1，得y2＝. 故点Q的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $