26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

课题

26.4 实际问题与二次函数（第1课时）

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2024）

课时

第1课时

课型

新授课

教学目标

1.能分析运动类、几何面积类实际问题，找出变量之间的二次函数关系；

2.熟练运用配方法、公式法求二次函数顶点，解决实际问题的最大（小）值；

3.掌握利用二次函数解决靠墙矩形最大面积问题，明确实际问题中自变量取值范围的限制。

教学重点

根据实际情境建立二次函数解析式，掌握靠墙矩形面积最值模型的解题思路。

教学难点

结合实际意义确定自变量的取值范围，区分纯函数最值与受取值范围限制的实际最值。

教学方法

讲授法、探究法、演示法、合作交流、练习巩固

教学准备

多媒体课件、三角板、网格纸

课后练习

完成课本第26.4节随堂练习及课后巩固练习

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、复习回顾

教师出示两道复习题：（1）用配方法求二次函数顶点（化成 y=a(x−h)²+k 形式）；（2）用公式法求二次函数顶点。师生共同订正。

配方法：把一般式化成顶点式 ，顶点为 (h，k)；公式法：对称轴 ，顶点坐标 。

教师提问：二次函数顶点的作用是什么？学生齐答：顶点是最值点，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。

过渡导入：生活中很多运动、面积问题都存在最大值、最小值，这节课我们用二次函数解决实际最值问题。（揭示课题）

用配方法把一般式化为 ，用公式法由 、顶点 求顶点，明确顶点即最值点

复习二次函数用配方法、公式法求顶点（最值）两种工具，为本节课实际求最值做方法铺垫；通过提问聚焦“顶点＝最值”的核心知识点，自然引出新课主题。

二、探究1：
 

探究1：运动类实际问题。

认识到 a<0 开口向下

以体育场景激发兴

运动类实际问题（例1）

【典例精讲】

例1（教材P51）：某运动员从起跳点起跳后，其重心高度 h（m）与时间 t（s）满足二次函数关系 h=at²+bt+c（a<0），图象为开口向下的抛物线。起跳时（t=0）重心高度为 11 m，重心高度先升高后回落。问：何时达到最高点？最大高度是多少？（结果保留一位小数）

（1）教师出示题目，带领学生审题：变量为时间 t（自变量）与重心高度 h（因变量）；函数为二次函数且 a<0，抛物线开口向下，存在最高点（最大值）。

（2）分层提问，引导学生把“运动语言”转化为“数学问题”：

问题1：“何时达到最高点”对应什么数学问题？→ 求顶点横坐标 ；

问题2：“最大高度是多少”对应什么数学问题？→ 求顶点纵坐标 。

（3）学生独立计算：先求对称轴（顶点横坐标），再把对称轴 t 的值代入解析式求出顶点纵坐标，即最大高度，结果保留一位小数（最高约 11.4 m）。

（4）教师规范板书解题步骤，统一“结果保留一位小数”的要求。

（5）结合图象深度探究：教师出示图象，小组讨论——①顶点坐标的实际含义；②描述从起跳至入水的完整运动过程。小组代表发言，教师总结：

t=0 起跳，重心高度 11 m，随后高度上升；达到最高点约 11.4 m 后，高度持续下降；当 h=0 时运动员入水（即求图象与 t 轴正半轴交点的横坐标）。

教师用课件展示例题答案。

有最高点，并把“何时最高”对应顶点横坐标 、“最大高度”对应顶点纵坐标 ，独立算出最高约 11.4 m，并描述 t=0 起跳 11 m 后上升、达最高、再下降至 h=0 入水的全过程

趣，让学生学会把“最高、最远”等生活语言转化为二次函数的顶点最值问题；结合图象解读顶点的现实意义，强化数形结合思想；完整规范解题步骤，建立运动类二次函数应用题的解题模板。

三、探究2：
几何面积类问题（例2）

探究2：几何面积类问题。

【典例精讲】

例2（教材P51）：用总长 20 m 的

设垂直边 x，得平行边 、面积

重点突破“自变量取值范围”这一难点，区分纯数学函数与