26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与二次函数”第1课时，核心为运动类、几何面积类问题的二次函数建模及最值求解。通过复习配方法与公式法求顶点，以“顶点即最值”为支架，衔接旧知与实际问题，自然导入新课。 此设计亮点在于以运动（运动员重心高度）、几何（靠墙矩形面积）实例为载体，引导学生用数学眼光抽象变量关系，通过取值范围辨析培养推理意识，提炼“建模—定范围—画草图—求最值”流程强化模型意识。采用探究法与合作交流，结合多媒体直观演示，助力学生掌握实际最值求解，为教师提供清晰教学路径与标准化解题模板。

26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 教学设计 课题 26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1.能分析运动类、几何面积类实际问题，找出变量之间的二次函数关系； 2.熟练运用配方法、公式法求二次函数顶点，解决实际问题的最大（小）值； 3.掌握利用二次函数解决靠墙矩形最大面积问题，明确实际问题中自变量取值范围的限制。 教学重点 根据实际情境建立二次函数解析式，掌握靠墙矩形面积最值模型的解题思路。 教学难点 结合实际意义确定自变量的取值范围，区分纯函数最值与受取值范围限制的实际最值。 教学方法 讲授法、探究法、演示法、合作交流、练习巩固 教学准备 多媒体课件、三角板、网格纸 课后练习 完成课本第26.4节随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习回顾 教师出示两道复习题：（1）用配方法求二次函数顶点（化成 y=a(x−h)²+k 形式）；（2）用公式法求二次函数顶点。师生共同订正。 配方法：把一般式化成顶点式 ，顶点为 (h，k)；公式法：对称轴 ，顶点坐标 。 教师提问：二次函数顶点的作用是什么？学生齐答：顶点是最值点，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。 过渡导入：生活中很多运动、面积问题都存在最大值、最小值，这节课我们用二次函数解决实际最值问题。（揭示课题） 用配方法把一般式化为 ，用公式法由 、顶点 求顶点，明确顶点即最值点 复习二次函数用配方法、公式法求顶点（最值）两种工具，为本节课实际求最值做方法铺垫；通过提问聚焦“顶点＝最值”的核心知识点，自然引出新课主题。 二、探究1： 运动类实际问题（例1） 探究1：运动类实际问题。 【典例精讲】 例1（教材P51）：某运动员从起跳点起跳后，其重心高度 h（m）与时间 t（s）满足二次函数关系 h=at²+bt+c（a<0），图象为开口向下的抛物线。起跳时（t=0）重心高度为 11 m，重心高度先升高后回落。问：何时达到最高点？最大高度是多少？（结果保留一位小数） （1）教师出示题目，带领学生审题：变量为时间 t（自变量）与重心高度 h（因变量）；函数为二次函数且 a<0，抛物线开口向下，存在最高点（最大值）。 （2）分层提问，引导学生把“运动语言”转化为“数学问题”： 问题1：“何时达到最高点”对应什么数学问题？→ 求顶点横坐标 ； 问题2：“最大高度是多少”对应什么数学问题？→ 求顶点纵坐标 。 （3）学生独立计算：先求对称轴（顶点横坐标），再把对称轴 t 的值代入解析式求出顶点纵坐标，即最大高度，结果保留一位小数（最高约 11.4 m）。 （4）教师规范板书解题步骤，统一“结果保留一位小数”的要求。 （5）结合图象深度探究：教师出示图象，小组讨论——①顶点坐标的实际含义；②描述从起跳至入水的完整运动过程。小组代表发言，教师总结： t=0 起跳，重心高度 11 m，随后高度上升；达到最高点约 11.4 m 后，高度持续下降；当 h=0 时运动员入水（即求图象与 t 轴正半轴交点的横坐标）。 教师用课件展示例题答案。 认识到 a<0 开口向下有最高点，并把“何时最高”对应顶点横坐标 、“最大高度”对应顶点纵坐标 ，独立算出最高约 11.4 m，并描述 t=0 起跳 11 m 后上升、达最高、再下降至 h=0 入水的全过程 以体育场景激发兴趣，让学生学会把“最高、最远”等生活语言转化为二次函数的顶点最值问题；结合图象解读顶点的现实意义，强化数形结合思想；完整规范解题步骤，建立运动类二次函数应用题的解题模板。 三、探究2： 几何面积类问题（例2） 探究2：几何面积类问题。 【典例精讲】 例2（教材P51）：用总长 20 m 的篱笆围成一个矩形花园，其中一边靠墙（靠墙的一边不用篱笆）。设垂直于墙的一边长为 x m，平行于墙的一边长为（20−2x）m。问：当 x 取何值时，围成的矩形面积最大？最大面积是多少？ （1）教师出示图形，引导学生设未知数：总篱笆 20 m 围成两条垂直边与一条平行边，所以平行边长为（20−2x）m。 （2）师生共同列面积关系式：矩形面积 。 （3）关键提问：x 能取任意实数吗？为什么？学生小组讨论，得出边长必须大于 0，即 x>0 且 20−2x>0，解得 0<x<10，标注自变量取值范围。 （4）学生独立求顶点：a=−2<0，开口向下，顶点处面积最大。对称轴 ，在范围 (0，10) 内；代入得 。 （5）教师总结结论：垂直于墙的边长为 5 m（此时平行于墙的边长为 10 m）时，围成的矩形面积最大，最大面积为 50 m²。 归纳：利用二次函数解决几何图形中最值问题的要点—— 1．根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2．确定自变量的取值范围；3．根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4．根据草图求所得函数在自变量允许范围内的最大值或最小值。 设垂直边 x，得平行边 、面积 ，由边长大于 0 得 0<x<10，求顶点 ∈(0,10)，得 Smax=50 m²，并梳理“建模—定范围—画草图—求最值”流程 重点突破“自变量取值范围”这一难点，区分纯数学函数与实际问题函数的最值；由例题提炼通用解题流程，形成标准化解题思路，便于迁移同类几何面积题；借助图形直观理解篱笆分配逻辑，降低建模难度。 四、深化辨析： 顶点不在范围内的最值 深化辨析：若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，还能直接用顶点求最值吗？ 当顶点横坐标 落在自变量的取值范围内时，最值就是顶点的纵坐标；当顶点横坐标不在取值范围内时，不能用顶点坐标，而应根据图象的增减性，在自变量的端点处取得最值。 方法：先画草图，在自变量允许范围内观察函数图象，取范围两端的函数值比较，确定最大值或最小值。 理解并口述：顶点横坐标在范围内可直接用顶点求最值；不在范围内时，要根据增减性在自变量端点处取最值，学会结合草图判断 突破“受取值范围限制的实际最值”这一难点，让学生明确求实际最值必须先结合取值范围，再依据开口方向与增减性取舍，避免机械套用顶点坐标公式。 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 两类实际问题：运动高度最值、几何图形面积最值。 2. 解题核心流程：建模 → 定自变量取值范围 → 求顶点（最值）→ 结合实际取最值。 3. 重要提醒：若顶点横坐标不在自变量取值范围内，需利用函数增减性求最值。 回顾：两类实际问题、建模求最值的基本流程，以及“顶点是否在取值范围内”的辨析，说一说如何避免只套公式的方向性错误 通过小结梳理“实际问题→二次函数→顶点最值”的建模方法与应用步骤，强化取值范围意识，帮助学生形成解实际最值问题的完整套路。 板书设计 26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 一、求顶点—最值的工具 配方法：y=a(x−h)²+k 公式法：x= 顶点(，) 顶点＝最值：开口上最小、开口下最大 二、例1 运动类 何时最高→顶点横坐标 最大高度→顶点纵坐标（留一位小数） 起跳11m→最高11.4m→h=0入水 三、例2 靠墙矩形面积 S=x(20−2x)=−2x²+20x 范围：0<x<10 顶点 x=5∈(0,10)→Smax=50 m² 四、解题流程 建模型→定范围→画草图→求最值 顶点不在范围内→按增减性取端点值 板演：例1、例2 完整解答 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $