专题二 实际问题与一元二次方程【（挑战压轴题）导图知识卡片+十大考点讲练+优选题训练 共45题】-2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与一元二次方程”核心知识点，承接一元二次方程解法，通过传播问题、增长率问题、图形问题等十大考点搭建应用支架，结合思维导图系统梳理知识脉络，形成从理论到实践的完整学习路径。 该资料以思维导图助力知识结构化（数学眼光），典例精讲与分层练习强化推理运算（数学思维），融入丹东草莓产量、营销利润等真实情境（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后学生可通过优选题训练查漏补缺，提升应用能力。

null 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二 实际问题与一元二次方程 【思维导图+十大考点讲练+优选题训练 共45题〔解析版〕】 目 录 2 【压轴考点01】传播问题（一元二次方程的应用） 2 【压轴考点02】增长率问题（一元二次方程的应用） 4 【压轴考点03】与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 7 【压轴考点04】数字问题（一元二次方程的应用） 9 【压轴考点05】营销问题（一元二次方程的应用） 12 【压轴考点06】动态几何问题（一元二次方程的应用） 14 【压轴考点07】工程问题（一元二次方程的应用） 20 【压轴考点08】行程问题（一元二次方程的应用） 22 【压轴考点09】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 26 【压轴考点10】其他问题（一元二次方程的应用） 29 32 【压轴考点01】传播问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 【答案】 【思路引导】设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合新增120人得到等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可． 【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， ∵经过两轮传染后共有人患病， ∴列方程得 ， ∵人数为正整数， ， ∴， 解得， 答：每轮传染中平均一个人传染10人． 【对应练习1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 【对应练习2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 【答案】125 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用；设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据两轮感染的总人数25即可列出方程求解，再计算三轮传染后的总感染人数即可． 【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 三轮传染后总感染人数为， 故答案为：125． 【压轴考点02】增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2) 【思路引导】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 【对应练习1】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【思路引导】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【规范解答】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 【对应练习2】受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【答案】(1)， (2)①；②第周或第周销售额最大，最大销售额是元 (3) 【思路引导】本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）①利用待定系数法即可求解； ②分和两种情况讨论，利用销售额=销售量销售价格，再运用二次函数的性质求解即可； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【规范解答】（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）①设函数关系式为： 把，代入得：， 解得：， 与的函数表达式为：； ②当时， ，， ， ， 是正整数， 当或时，有最大值； 当时，，， 当时， ，， ， 是正整数，， 当时，有最大值； 综上所得：第周或第周销售额最大，最大销售额是元； （3）由题意得： ， 解得：或(舍去)， ∵， ∴． 【压轴考点03】与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【思路引导】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【规范解答】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 【对应练习1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先由竿长与门宽、门高的大小关系表示出门宽与门高，再结合勾股定理列方程． 【规范解答】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 【对应练习2】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【思路引导】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【规范解答】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 【压轴考点04】数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 【对应练习1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）（1）解方程：； （2）两个数的差等于4，积等于45，求这两个数． 【答案】（1）；（2）这两个数是9，5或， 【思路引导】此题考查解一元二次方程及一元二次方程的应用， （1）利用公式法解方程； （2）设这两个数中较小的一个数是，则较大的一个数是，根据这两个数的积等于45列方程解答 【规范解答】（1）解： 这里； ； （2）解：设这两个数中较小的一个数是，则较大的一个数是 根据题意得：解得：． 当时，， 当时，， 这两个数是9，5或， 【对应练习2】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【思路引导】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【规范解答】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 【压轴考点05】营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【答案】应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元 【思路引导】设应将每千克小型西瓜的售价降低元，根据总利润每千克的利润销售量固定成本建立方程求解即可． 【规范解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元， 根据题意得：， 整理得, 解得，, ∵要更多地让利消费者， ∴， 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元． 【对应练习1】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 【思路引导】设每件商品应降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每天销售利润为1200元”，列出方程，即可求解． 【规范解答】解：设每件商品应降价元． 由题意，得， 解得． 让顾客得到更大实惠， ． 故当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润为1200元． 【对应练习2】（25-26九年级上·四川成都·期末）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 【答案】(1)且为正整数 (2)公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元 【思路引导】（）分，和三种情形分别解答即可； （）依据题意，结合（）分三种情况列出方程解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：当时，购买数量不超过件，按原价销售， ； ∵销售单价最低为元， 令， 解得， ∴当购买数量超过件且不超过件时，单价随购买数量增加而降低， 当时，每多买件，单价降低元， ， 即； 当时，单价已降至最低元，不再继续降价， ； 综上，与的函数关系式为且为正整数； （2）解：当时，销售单价，单件利润， 当时， 解得，不在的范围内，故此情况不成立； 当时，销售单价，单件利润为， 当时， 解得， ，符合题意， ∴此时销售单价元； 当时，销售单价，单件利润， 当时， 解得， ∵购买数量必须为正整数， ∴此情况不成立； 综上，公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元． 【压轴考点06】动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【思路引导】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【规范解答】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【对应练习1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【规范解答】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 【对应练习2】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【答案】(1)， (2) (3)的值为7 (4)2秒 【思路引导】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【规范解答】（1）当点在边上运动时， ， 则， ； （2）矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； （3）点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． （4）当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． 【压轴考点07】工程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【思路引导】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【规范解答】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【考点剖析】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 【对应练习1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【思路引导】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【规范解答】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 【对应练习2】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【思路引导】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【考点剖析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【压轴考点08】行程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【规范解答】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为 ， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为 ， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 【对应练习1】（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 【答案】(1) (2)飞机滑行的最远距离为 (3)此时飞机的滑行速度是 (4)飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 【思路引导】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可； （2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解； （3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解； （4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设y关于t的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， y关于t的函数解析式为， 当时，则， 解得， y关于t的函数解析式； （2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为， 答：飞机滑行的最远距离为； （3）解：，， ，即， 解得：或（舍去）， 答：此时飞机的滑行速度是； （4）解：设飞机滑行的距离为， 则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：， 通勤车与飞机之间的距离为：， 令通勤车与飞机之间的距离0，则，即， 解得或（舍去）， 在飞机滑行时，通勤车与飞机之间的距离为0， 飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 【对应练习2】周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【规范解答】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 【压轴考点09】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【答案】(1)应该邀请支球队参加比赛 (2)有支球队参加比赛 【思路引导】（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解：设应该邀请支球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛， ∴ 整理得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）解：设有支球队参加比赛， ∵所有球队直接进行双循环赛，总共进行场比赛， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 答：有支球队参加比赛． 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【思路引导】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【规范解答】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 【对应练习2】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【思路引导】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【规范解答】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 【压轴考点10】其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【答案】(1)， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2) (3)或 【思路引导】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【规范解答】（1）略 （2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． （3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 【对应练习1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票 元； (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 【答案】(1) (2)该公司有名或名员工参加观影 【思路引导】（1）根据人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元，列式求解即可； （2）设该公司有名员工参加观影，得到人均票价为元，且，再根据共支付给电影院电影票费用1008元列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元， ∴组织25人观影时，元， ∵， ∴人均需支付票价为元； （2）解：观影人数不超过20人，人均票价为50元，则支付总费用为元， ∵， ∴观影人数超过20人， 设该公司有名员工参加观影， ∴ 人均票价为元，且， 解得， ∵共支付给电影院电影票费用1008元， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴该公司有名或名员工参加观影． 【对应练习2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 【答案】(1)应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗 (2)的值为1． 【思路引导】（1）设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗，根据“组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等”列方程即可求解； （2）根据“机器狗总数量比无人机总数量仍少180个”列方程即可求解． 【规范解答】（1）解：设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解且满足题意， ， 应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗； （2）解：无人机单人日产量：架，抽调m人后，组装无人机人数： ，日总产量：， 机器狗单人日产量： 个，组装机器狗人数： ，日总产量：， 根据题意得： ， 解得或（舍去）， 即的值为1． 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【规范解答】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】利用单循环赛制总场数与球队个数的等量关系，设未知数列方程求解． 【规范解答】解：设参加比赛的球队个数为个．由题意得 ， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 【答案】B 【思路引导】根据互赠贺卡的总张数与人数的等量关系列方程求解． 【规范解答】解：设该合唱小组人数为人，根据题意，得 ． 整理得， 解得或（舍去）， ∴该合唱小组人数为6． 4．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在中，是上一点，过点作交于点．若，则的长为（） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】本题考查解直角三角形，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． 设，，则，，过点C作于点F，根据求得，根据列出方程，求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴． 过点C作于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：C 5．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 【答案】 【思路引导】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【规范解答】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 【答案】 【思路引导】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解． 【规范解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，得， 解得，． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 7．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，连接，将沿翻折得到；线段所在直线与所在直线交于点G，当时，求线段的长______． 【答案】 【思路引导】利用菱形的性质和翻折的性质，结合解30度直角三角形和勾股定理设未知数列出方程，即可求得的长度． 【规范解答】解：在菱形中，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 如图，设与交点为H， ∴，即， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 8．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】(1)1600； (2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【思路引导】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【规范解答】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 【答案】上、下边衬的宽分别为；左、右边衬的宽分别为 【思路引导】由题意设中央的矩形的长和宽分别是和，要使四周的边衬所占面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的，由此列出方程即可求解． 【规范解答】解：∵封面的长、宽之比为，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画， ∴中央的矩形的长、宽之比也应为， 设中央的矩形的长和宽分别是和， 由题意得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则上、下边衬的宽分别为，左、右边衬的宽分别为． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】(1)车道宽度符合标准 (2)每个车位月租金上涨25元 【思路引导】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【思路引导】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【规范解答】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 12．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【思路引导】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 13．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②米； (2)解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【思路引导】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【规范解答】（1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）略 14．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t． ①用含t的代数式表示； ②当时，求点E的坐标； (3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足． ①求点M的坐标； ②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；②存在，点D的坐标为或或 【思路引导】（1）首先确定点，坐标，设，则，利用面积公式解得的值，即可确定点坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式； （2）①根据题意，可知，由轴可知，然后由求解即可；②首先确定，结合轴可得，将其代入直线并求解，可得点坐标，进一步可得，结合计算的值，即可获得答案； （3）①设，设直线的表达式为，将点，代入并计算，即可确定直线的表达式，进一步确定点坐标，结合求得的值，即可获得答案；②结合①确定直线的表达式，设，，设该平行四边形的对角线交点为，然后分为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线、以为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：对于直线， 当时，可得，即， 当时，可得，解得，即， ∴， 设，则， ∵面积为7， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①∵点E的横坐标为t，且点E在线段上， ∴， ∵轴， ∴， 由（1）可知直线的解析式为， ∴，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵轴，， ∴， 将其代入直线，可得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴； （3）解：①设，设直线的表达式为， 将点，点代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； ②由①可知，直线的表达式为， 设，， 设该平行四边形的对角线交点为， 分情况讨论： 情况1，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∵，， ∴，解得， ∴； 情况2，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∴，解得， ∴； 情况3，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∴，解得， ∴． 综上所述，点坐标为或或． 15．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【思路引导】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二实际问题与一元二次方程 【思维导图+十大考点讲练+优选题训练共45题〔原卷版)】 目录 【专题复习思维导图指引】 .2 二【压轴考点O1传插问题（一元二次方程的应用）★★★ 2 2二【压销考点021增长车问题（一元二次方程的应用）★女★ 3 【压轴考点03】与图形有关的问题（一元二次方程的应用）★★★★ .5 【压轴考点04】数字间题（一元二次方程的应用）★★★.6 s 【压轴考点05】营销问题（一元二次方程的应用）★★★★ 7 【压轴考点06】动态几何问题（一元二次方程的应用）★★★★ ….8 【压轴考点07】工程问题（一元二次方程的应用）★★★★ 9 ,【压轴考点08】行程问题（一元二次方程的应用）★★★★ .11 【压轴考点09】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）★★★★ .12 5 【压轴考点10】其他问题（一元二次方程的应用）★★★ .14 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 .15 第1页共22页 【专题复习思维导图指引】 一、一元二次方程 三、实际问题类型及建立方程的方法 四、典型例题与模型 只含有一个来知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次】 例1三角形的三边长向题 的整式方程叫做一元二次方程 =.增长下降)问颗 一般形式：ar2+br+c=0(a≠0 若存在三边长依次为x,工+1，x十2的三角形 那么工为正整数 其中，a,b,c是常数，a≠0. 由勾服定理，得 2.几何图形问颗 a2++e0(-一般式) 2+(红+1=(x+2 常见形式 ar+br=0(缺常数项) 解方程，得=3，=一1（舍去） 因此。三边长为生。4.5 r+e=0(缺-次项 一③.经济问题 直接开平方法：(x+m产■n(m≥0) 侧2面积阿题（矩形 一元二次方程 的解法 配方法：广+r+9=0→(r+)产=号-9 一根长为40m的子，能香围成一个面积为96㎡的矩形区域？ 设矩形一边长为上m,则另一边长为(20-)m(周长为40m以 因式分解法：2+r+e=ar-到)任-】 1 根据面积公式，得r20-)=96, 解方程，得x1=12,x=8. 九年级上册挑战压轴题专题二 因此，矩形的两边长分别为12m,8m 二、实际向题与一元二次方程 实际问题与 侧3成本利润问题 实际问题一建立数学模型一列一元二次方程一求方程的解一 一元二次方程 甲种食品成本每年平均下降额为元，则一年后成本为10000(1-元 检验并取舍→得到实际问题的解 两年后成本为100001- 列方程的基本步骤 已知两年后成本比一年后成本少00元，得 核心思想 10000(1-r2=10000(1-xj-6000 ①审题：理解题意，找出已知量、来知量及相等关系： 解方程，得1=0.225。南=1775. ②设元：选择恰当的朱知数，用字母表示： 实际章义：不=225%或￥=177.5%（舍去） ③列式：根据题日中的等量关系，列出一元二次方程： 得到问的解】 检验井取舍 因此，甲种食品成本的年平均下裤率约为22,5% ④求解：解方程，求出未知数的值： 5检验：检验所求解是否符合实际章义 五、常用公式与结论● 六、压轴题解题技巧 6作答：写出符合题意的答案 ①配方法：+四+9=0→(x+号》产=号-4 ★审题要深：准确理解题意，辄住隐含条件和关键词： 常见等量关系 色求报公式：=b生y-c(-c≥0)， ★设元要巧：选择合适的未知数，设元后能简化等量关系： ★建模要准：正确列出等量关系，避免漏项或多余： 增长/下降问题：增长（下降后的量=原来的量×(1士增长率） 3勾股定理：直角三角形中，若两直角边分别为a,b, ★计算要细：解方程时注意运算准确，避免相心铅误： ,几何周形问题：面积、圈长、边长之间的关系： 斜边为c,则a2+=c2. ·利润成本问题：利润=售价一成本，利润率=餐×100% ④矩形周长：2(a+b):面积：ab. ★检险要严：检验结果是香符合实际意义，舍去不合题意的解 ★验证答案：结合实际情境，验证答案的合理性与完整性。 5增长（下降）后的量=原来的量×(1士增长率) 注意：实际问题的解可能有多个，但要符合实际意义；若题目要求整数解，要注意取值范围和条件限制。 【压轴考点01】传播问题（一元二次方程的应用）★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·山东滨州·开学考试)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为 【对应练习1】(25-26八年级下·安徽阜阳·期末)秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流 感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等.若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流 感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为 ) A.x+(1+x)=81 B.1+x+x2=81 C.1+x+x(1+x)=81 D.x+x(1+x)=81 【对应练习2】(25-26九年级上·广东东莞·期末)甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染 病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若 得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有人感染 第2页共22页 了“甲流病毒”. 【压轴考点02】增长率问题（一元三次方程的应用）★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试)丹东草莓是丹东市的特产之一.请你运用数学 知识，根据素材，帮果农解决问题。 信息及素材 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进 行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录， 素材一 2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9 千克，每年的增长率基本相同 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖. (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长80cm,宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方 体纸盒（如图2）.为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，设此时纸盒的高为 acm,则可列方程为 75 80 (图1) (图2) 【对应练习1】(26-27九年级上·山东聊城·开学考试)2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩 偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷 屏社交平台.某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价 格出售.经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套. 哭哭马 第3页共22页 (1)求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率. (2)从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1 元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套，当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为 4800元？ 【对应练习2】受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上 涨.如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格y(元/kg)与周次x(x是正整数，1≤x<5)的关系可近似用 函数y=x+a刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格y(元/g)从第5 周的6元g下降至第6周的56元kg,y与周次x(5≤x≤7)的关系可近似用函数y=-击x2+bx+5刻 画. 本m(kg) y(元/kg) 140 6.01 5.6 ● ● 4.4 ----------- 100 56 4.4 6y(元/kg) 图1 图2 (1)求a,b的值， (2)若前五周该蔬菜的销售量mQkg)与每周的平均销售价格y(元/kg)之间的关系可近似地用如图2所示的函 数图象刻画，第6周的销售量与第5周相同： ①求m与y的函数表达式： ②在前六周中，哪一周的销售额w(元)最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是100kg,由于受降雨的影响，此种蔬菜第8周的可销售量将比第7周减少 %(n>0).为此，公司又紧急从外地调运了5kg此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第 第4页共22页 8周的销售价格比第7周仅上涨0.8%.若在这一举措下，此种蔬菜在第8周的总销售额与第7周刚好持 平，请通过计算估算出n的整数值. 【压轴考点03】与图形有关的问题（一元二次方程的应用）★★★★ 【典例精讲】(2026·湖北武汉·中考真题)对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解 法.以方程x2+8x=48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为 48+4×22=64,则该方程的正数解为8-2×2=4.小美尝试用此方法解关于x的方程 x2+12x+c=0,构造如图2所示的图形.若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c=0的 正数解是( ) 2x 2 2x 2x 图1 图2 A.4 B.5 C.6 D.7 【对应练习1】(25-26八年级下·辽宁大连·期末)我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问 题：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几 何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比 门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为x尺，可 列方程为( A.x2+x+2)2=(x+4)2 B.(x-4)2+(x-2)2=x2 C.(x-2)2+x2=(x+4)2 D.(x-2)2+x2=(x+2)2 【对应练习2】(25-26八年级下·安徽滁州·期末)如图，一块长16m、宽10m的矩形地块，规划了 两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的品，则石板小 径的宽度为 m 第5页共22页 10m 16m 【压轴考点04】数字问题（一元二次方程的应用）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·福建福州·期末)月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月 的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6,7,8,13,14,15,20,21， 22).试解决以下的问题： 日 四 五 六 2 3 4 6 个 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 30 31 (1)用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x,那么最中间的数可用x表示为 ,最 大的数可用x表示为 (2)若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 【对应练习1】(25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测)(1)解方程：3x2-2x-1=0: (2)两个数的差等于4，积等于45，求这两个数. 第6页共22页 【对应练习2】(25-26八年级下·浙江湖州·期末)“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3×3积 幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等.如图，已 知一个“3×3积幻方”只呈现了4个小方格中的数，则其中x的值是 x14 x+16 【压轴考点05】营销问题（一元二次方程的应用）★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试)西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型 西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克.为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销 售.经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成 本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【对应练习1】(26-27九年级上·吉林长春·开学考试)超市销售某种商品，平均每天可售出20件， 每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每 降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店 每天销售利润为1200元？ 第7页共22页 【对应练习2】(25-26九年级上·四川成都·期末)某公司研制出一种新产品，每件产品成本1000 元，销售单价定为1200元.为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过10件，每件按 1200元销售：若一次购买该产品超过10件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低5元，但销售单 价均不低于1050元. (1)设一次购买该产品的数量为x件(x为正整数)，销售单价为y元，请写出y与x的函数关系式： (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利3125元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能， 说明理由. 【压轴考点06】动态几何问题（一元二次方程的应用）★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·陕西咸阳·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm, AC=8cm,点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动：同时点Q也从点C开始沿射线CB方向以 3cm/s的速度运动. 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为20cm2. B 【对应练习1】(25-26八年级下·安徽合肥·期中)如图，在长方形ABCD中，AB=6cm,AD= 14cm,动点P从D点出发，以1cm/s的速度沿着DA向A点运动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC 向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止.运动时间为t,将四边形PDCQ以直线PQ为 轴进行翻折，得到四边形PD'C'Q,射线QC'经过点A时，可以是() A.t=3 B.t=7 c.t=9 D.t=4 第8页共22页 【对应练习2】(25-26九年级上·河北唐山·阶段检测)如图1~图3，在矩形ABCD中，AB=8, AD=4,点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿A→D→C→B的路线移动，到达点B时停止；点 Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿BA方向到达点A时停止.己知P,Q两点同时出发，设运动的 时间为t秒 O B B B D 图1 图2 图3 (1)当点P在AD边上运动时，用含t的代数式分别表示PD和AQ的长： (2)在(1)的条件下，当五边形BCDPQ的面积为25时，求t的值； (3)如图2和图3，点P沿D→C→B的路线运动到点B的过程中，当△PAQ的面积为1时，求t的值； (4)设矩形ABCD对角线的交点为O,在P,Q运动过程中，直接写出点O落在△PAQ内部（包括边界）的时 长 【压轴考点07】工程问题（一元二次方程的应用）★★★★ 【典例精讲】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的 加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划 缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每 天加固的长度还要再增加多少米？ 第9页共22页 【对应练习1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量.某头盔经销商 5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月 增长率相同.请解决下列问题. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (②)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产 能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天 生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生 产线？ 【对应练习2】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成.甲 工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务， (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工 中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时：甲工程队的修路速度比原 计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值. 第10页共22页 【压轴考点08】行程问题（一元二次方程的应用）★★★★ 【典例精讲】(2026·广东茂名·二模)2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉 松赛事，机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录.已知机 器人初始速度为24m/h,经过两次速度调整后，速度提升至48.4m/.设这两次调整中，速度的平均增 长率为x.根据题意列出方程，正确的是( ). A.24(1+x2)=48.4 B.48.4(1+x)2=24 C.24(1+x)+24(1+x)2=48.4 D.24(1+x)2=48.4 【对应练习1】(2024·湖北宜昌·二模)一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 t/s 滑行速度 60 57 54 51 48 y/m/s 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y(单位：ms)与滑行时间t(单位：s)之间满足一次函数 关系.而滑行距离=平均速度DX时间t,D=o,其中是初始速度，v是t秒时的速度. (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离： (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m,求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方300m有一辆通勤车正以54m/h的速度匀速同向行驶， 试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 第11页共22页 【对应练习2】周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离 12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地 (1)求小明、小红的跑步速度： (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开 始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的 热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用 多少分钟. 【压轴考点09】握手、循环赛问意（一元二次方程的应用）★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15 场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比 赛)，总共进行110场比赛，求有多少支球队参加比赛. 【对应练习1】(26-27九年级上·全国·课后作业)某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用 单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）· 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场. 第12页共22页 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场 假设有x人报名参加比赛. (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是： ·请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适， 只参加了4场比赛后就中途退赛.请直接写出此时x的值. 【对应练习2】(25-26八年级下·广西百色·期中)为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮 球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小 组赛.当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队 伍数多1个.小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2 名晋级半决赛，最后进行决赛.积分规则：胜一场得2分，负一场得0分.小组赛结束后，某数学学习小 组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论.具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛.小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分： (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分.求本次比赛参赛队伍 个数： (3)当参赛队伍总数为奇数个时.小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时 参赛的队伍数；若不能，请说明理由。 第13页共22页 【压轴考点10】其他问题（一元二次方程的应用）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·浙江绍兴·期末)我们把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根 记为x1,x2,若方程的两根满足x1+x2=2k,则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为k: 对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互 补对. 己知关于x的方程x2-(2m+4)x+4m=0 (1)求证：不论m取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为5，求的值； (3)若x2-10x+21=0是它的互补对，求m的值. 【对应练习1】(25-26八年级下·浙江绍兴·期末)某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元： 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元. (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票_元： (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 第14页共22页 【对应练习2】(25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测)列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天 可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装 100个机器狗所用的时间相等. (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机2架，每人每天组装机器狗的数量比原来 多驾，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总 数量仍少180个，求m的值. 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(26-27九年级上·广西南宁·开学考试)如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为42m,宽为 24m.院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为640m2,求石板路的宽度.设石板路 的宽度为xm,根据题意所列方程为( 42m 水池 24m 石板路通道 入口 水池 A.(42-2x)(24-x)=640 B.(42-x)(24-2x)=640 C.(42-2x)(24+x)=640 D.(42-x)(24-x)=640 第15页共22页 2.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都 赛一场)，共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.(26-27九年级上·全国·课后作业)某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡， 共赠贺卡30张，该合唱小组人数为( A.5 B.6 C.29 D.30 4.(25-26九年级上·安徽六安·阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90,0sA=手D是AB上- 点，过点D作DE1AB交AC于点E.若S8cD=名台，AD=4,则BD的长为() A.4 B.5 C.6 D.7 5.(26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试)某种服装平均每天可售出50件，每件利润为40元.为了 尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价5元，则每天多售出10件.如果每天销售 这种服装的总利润达到2100元，那么每件应降价」 元 6.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的 住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，当 所围矩形猪舍的长为 m、宽为m时，猪舍面积为80m. 住房墙 m 7.(25-26八年级下·四川成都·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BCD=120°，点E是BC边 上一点，连接AE,将△ABE沿AE翻折得到△AFE;线段EF所在直线与CD所在直线交于点G,当EF⊥CD 时，求线段BE的长 第16页共22页 D B G 8.(26-27九年级上·广东深圳·开学考试)某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明： 当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个. (1)若售价下降5元，每月能售出_个A种商品，若售价下降x元(x>0),每月能售出_个A种商品： (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种 商品的售价： (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由. 9.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm,宽30cm,正中央 是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等 宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 第17页共22页 10.（26-27九年级上·全国·课后作业)综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、 顺利地转弯、停入和驶出车位.为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允 许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.56.5米. 【数据收集】我市某小区地下车库分为AB,C,D,E等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形 场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米.另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元 时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金 额为y元. 40米 停车位 22米 停车位 x 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为544m时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为 10125元？ 11.(26-27九年级上·全国·单元复习)综合与实践， xx+10 x+10 x+10 x+10 图1 图2 (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2+ax=b2的方程，可用如图1的几何解法： 作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC=b,BC=号，在斜边AB上截取BD-BC,则该方程的其中一个 正根是哪段线段的长？说明你的理由 (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解 法：以方程x2+10x=36为例，因为x2+10x=36,所以有x(x+10)=36.如图2，用4个长都是(x+ 10),宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为 第18页共22页 (用含x的代数式表示)；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于4× 36+100,故可得原方程的一个正根是 (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程x2+2x-4=0的正根（请在下面画出图形， 注意在图中标注出相关线段的长度)· 12.(25-26八年级下·浙江金华·期末)根据以下素材，探索完成任务。 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但 由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实 体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案. 素 材 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克. 1 素 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/ 材 千克时，当天实体店销售量是50千克.一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际 2 情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价， 素 材 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克. 3 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额- 成本)与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利 第19页共22页 润)为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少 元？若不能，请说明理由， 13.(25-26八年级下·浙江杭州·期末)某农场要建一个大饲养场（矩形ABCD),两面靠墙，AD位置 的墙最大可用长度为17米，AB位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留 一个1米宽的门（不用木栏）·建成后木栏总长34米.设木栏CD的长为x米. (1)①BC= 米（用含x的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求CD的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出CD的长，若不能，请说明理由， 第20页共22页 14.(25-26八年级下·湖南衡阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴交于点 A,与y轴交于点B,过点B的直线交x轴负半轴于点C,且△ABC面积为7. G 图1 图2 (1)求直线BC的解析式： (2)点E为线段AB上一点，过点E作EF∥y轴交直线BC于点R,作EG∥x轴交直线BC于点G,设点E的横坐 标为t. ①用含t的代数式表示EF: ②当EF+EG=AC时，求点E的坐标： (3)如图2，若M为线段CB上一点，直线AM交y轴于N点，且满足S△BMN=S△AON, ①求点M的坐标： ②点Q为直线AM上一动点，在y轴上是否存在点D,使得以点QDB、C为项点的四边形为平行四边 形？若存在，请直接写出点D的坐标：若不存在，请说明理由， 第21页共22页 15.(25-26九年级下·山东淄博·期末)如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点P从A开始沿 AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P,Q两点分别 从A,B同时出发. B (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动. ①经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2? ②△PBQ的面积能否等于10cm2？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由. (2)若点P到达B后不停止，立即以原速沿BA返回：点Q到达C后不停止，继续以原速沿射线BC方向运动， 直到点P第一次回到A时，两点同时停止运动.在整个运动过程中，第几秒△PBQ的面积等于6cm2? 第22页共22页 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二 实际问题与一元二次方程 【思维导图+十大考点讲练+优选题训练 共45题〔原卷版〕】 目 录 2 【压轴考点01】传播问题（一元二次方程的应用） 2 【压轴考点02】增长率问题（一元二次方程的应用） 3 【压轴考点03】与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 5 【压轴考点04】数字问题（一元二次方程的应用） 6 【压轴考点05】营销问题（一元二次方程的应用） 7 【压轴考点06】动态几何问题（一元二次方程的应用） 8 【压轴考点07】工程问题（一元二次方程的应用） 9 【压轴考点08】行程问题（一元二次方程的应用） 11 【压轴考点09】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 12 【压轴考点10】其他问题（一元二次方程的应用） 14 15 【压轴考点01】传播问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 【对应练习1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【对应练习2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 【压轴考点02】增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【对应练习1】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【对应练习2】受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【压轴考点03】与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【对应练习1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【对应练习2】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【压轴考点04】数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·福建福州·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【对应练习1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）（1）解方程：； （2）两个数的差等于4，积等于45，求这两个数． 【对应练习2】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【压轴考点05】营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【对应练习1】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【对应练习2】（25-26九年级上·四川成都·期末）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 【压轴考点06】动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【对应练习1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【对应练习2】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【压轴考点07】工程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【对应练习1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【对应练习2】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【压轴考点08】行程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【对应练习1】（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 【对应练习2】周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【压轴考点09】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【对应练习2】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【压轴考点10】其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【对应练习1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票 元； (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 【对应练习2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 4．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在中，是上一点，过点作交于点．若，则的长为（） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 7．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，连接，将沿翻折得到；线段所在直线与所在直线交于点G，当时，求线段的长______． 8．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 12．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 13．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 14．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t． ①用含t的代数式表示； ②当时，求点E的坐标； (3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足． ①求点M的坐标； ②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null