专题一 解一元二次方程【（挑战压轴题）导图知识卡片+十大考点讲练+优选题训练 共45题】-2026-2027学年人教版数学九年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦解一元二次方程核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法及应用、判别式、公式法、因式分解法、换元法、分式方程转化、根与系数关系等十大考点，通过思维导图构建知识脉络，形成从基础解法到综合应用的学习支架。 该资料以“思维导图+考点讲练+优选题训练”为特色，思维导图助力抽象能力与空间观念培养（数学眼光），典例精讲结合错误分析提升运算能力与推理意识（数学思维），优选题融入几何、应用题强化模型意识与应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生强化练习，有效查漏补缺。

2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一解一元二次方程 【思维导图+十大考点讲练+优选题训练共45题〔原卷版)】 目录 【压轴考向一配方法解一元二次方程】 2 ②。【压轴考点O1】解一元二次方程直接开平方法★★★ .2 ②。【压轴考点02】解一元二次方程配方法★女★ .3 【压轴考点03】配方法的应用★★★ 04. 【压轴考向二公式法解一元二次方程】 【压轴考点04】根据判别式判断一元二次方程根的情况★★★★ 6 【压轴考点05】根据一元二次方程根的情况求参数★★★ .6 二【瓜抽考点6】公式法解一元二次方指★★★女 .7 【压轴考向三因式分解法解一元二次方程】 【压轴考点07】因式分解法解一元二次方程★★★★ .8 二【乐箱考点08】换元法解-元二次方程★女★★ .9 二【压轴考点9】解分式方程（化为一元=次★女★女 .10 【压轴考向四一元二次方程的根与系数的关系】 二【压轴考点10】一元二次方程的根与系数的头系★女★★ 11 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 .12 第1页共15页 【专题复习思维导图指引】 人教版数学新教材九年级上册挑战压轴题专题一《解一元二次方程》知识点思维导图 一、一元二次方程的概念 五、解题技巧（压轴题方法） 只含有一个未如数。并且未如数的量高次数是2的整式方程 四、一元二次方程的根与系数的关系 叫作一元二次方程 食选择合适方法 0-搬形式：r2+br+e=0a0 如果方程4r+r+r一0(a0)的两个根为，) 观察方程特征，灵活选择直接开平方法。配方法，公式法或 说明：a,,e为常数，0， 那么 围式分解法，简化运算过程 (1)+=- =。 ?方程变形技巧 二、一元二次方程的解 (2)ax2+6r+e=a(-)(x-2) 将方程化为一般形式或能直接套用公式的形式，如配方 能使方程左右两边相等的来知数的值，叫做方程的解】 ax+b+emar2-a(ri+ra)+arirs 因式分解、换元等 1.当一4a>0时，方程有两个不相等的实数粮， ar:-br+e. 合判别式的应用 2.当一4a=0时，方程有两个相等的实数根1一到 利用△=炉一4a判断方程根的情况，结合题意讨论方程 是否有实败根。 3.当-4ac<0时，方程没有实数极 判别式：△=-4ac(a≠0 [△>0，两不等安根 解一元二次方程 ☆根与系数的关系应用 已知方程根的情况，求a,有，：的值或代数式的值 已知系效关系，求方程的根或参数的取值。 三、解一元二次方程的方法 句分类讨论思想 ①直被开平方法○ 涉及根的情况。参数取值国等问题时，要进行分类讨论 2=”x=士 避免解。 2配方法 6检验与验证○ 适用：形知2+b缸+c=0(a=1, 配方公：产如=中护-号 解出方程的根后，代入原方程检验，确保结果正确 日公式法 注意盟目中的实际享义限制 适用：一般形式r2+b+=0(e≠0) 判别式：△=-4ae ☆常用公式汇总 日式分船法 1.直接开平方法： 六、典型题型与思路 {r+b(r+)=0中r+=0或+d=0 红+mP=n→五十m=土V石(n0) r2=p→r=士vp(B20) 2配方公黄：户+缸=仁+》-号 1.基碥求解题 2已知根求参数 3根的情况判断 4相与系数关系应用 5综合应用题 (直接求根) 题型：判断方程根的情况或果参 已知根与系数的关系 题型：结合几句，实际问题等 玉求根公式：r=二b士v不 题型：已知方程有一个根或两个根 题型：直接求一元二次方程的报 求参数， 数的取值范圈。 求代数式的值或方程的根 建立方程并求解。 (适用aF++-0a南0)】 思路：根方程特征选择合适的 用路：代入方程结合經与系敬的 思路：利用判别式△= 思路：直接利用十为= 思路：设来知数，建立方程 4判别式：△--4a: 解法。求出方程的根 关系求解 建立不等式求解 =求解 求解并检验。 5根与系数的关系： +=-= @注意：解方程要检独根的正确性：实际问题要烤合实年意义服合极， 整体兽想：先化简，再方法，灵活变形。善用关系，分类讨论，注意检验 【压轴考向一配方法解一元二次方程】 【压轴考点01】解一元二次方程直接开平方法★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)解方程： (1)2y2-100=0: (2)3x2+7=1: (3)(x+6)(x-6)=64. 【对应练习1】解方程： (1)2(x-1)2=4 (②)2x2-x-=0(配方法) 第2页共15页 【对应练习2】(26-27九年级上·广西南宁·开学考试)计算与解方程： ①计算：6÷5-xV西+， (2)解方程：x2-4x+2=0. 【压轴考点02】解一元二次方程配方法★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)用配方法解一元二次方程： (1)x2-2x-2=0: (2)4x2+2=6x. 【对应练习1】(26-27九年级上·全国·课后作业)阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程x2+6x一4=0的过程如下： 解：x2+6x-4=0. x2+6x=4,…① x2+6x+9=4,…② (x+3)2=4,…③ X+3=士2…④ X+3=2或x+3=-2. x1=-1,x2=-5. 问题： (1)佳佳解方程的方法是」 A.直接开平方法 B.配方法 (2)上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是 第3页共15页 (3)请写出正确的解答过程. 【对应练习2】(26-27九年级上·全国·单元复习)有m(m是正整数)个方程：x2-4x-12=0: x2-2×4x-12×22=0;…;x2-m×4x-12m2=0.小明用配方法解方程x2-4x-12=0,过程 为： 移项，得x2-4x=12…①， 配方，得x2-4x+4=12+4…②， 即(x+2)2=16…③， 直接开平方，得x+2=士4…④， 所以x=-2士4…⑤， X1=2,X2=-6…⑥. (1)小明的解法是从过程 开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法： (3)用配方法解第m个方程x2-m×4x-12m2=0(用含m的式子表示方程的根). 二【压轴考点3】配方法的应用★女女 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)我们知道：(a-b)2=a2-2ab+b2,所以a2- 2ab+b2=(a-b)2≥0. 解答下列问题： (1)填空： 第4页共15页 设A=a2+5,B=4a,则A-B=a2+5-4a=(a-)2+一 所以，AB:(填“>”“<”或“=”) ②)已知M=号a-1,W=a2-a,请判断M,N的大小关系，并说明理由. 【对应练习1】(26-27九年级上·北京·开学考试)用配方法解一元二次方程x2-6x+3=0时，将 它化为(x+m)2=n的形式，则m+n= 【对应练习2】(25-26八年级下·山东济南·期末)配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法 是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们规定：一个整 数能表示成a2+b2(α，b是整数)的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，10是“和谐数”，理由： 因为10=32+12，所以10是“和谐数”. 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数” (填“是”或“否”) 【探究问题】 (2)若a2-8a+25可配方成(a-m)2+n2(m,n为常数)，则mn的值 (3)已知M=a2+4ab+5b2-6b+k(a,b是整数，k是常数)，要使M为“和谐数”，试求出符合条件 的一个k值，并说明理由. 【拓展应用】 (4)已知实数x,y满足y=x2-5x+10,当x为多少时，y一x能取得最小值，并求出最小值. 第5页共15页 【压轴考向二公式法解一元二次方程】 二【压轴考点4】根据判别式判断一元二次方程根的情况★★女★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)利用判别式判断下列方程的根的情况： (09x2-9x+1=0: (2)4x2-4V5x+5=0: 2 (3)9x2=4(3x+1): (4)x2-(2-V3)x-1+V3=0. 【对应练习1】(26-27九年级上·陕西西安·开学考试)在平面直角坐标系中，若直线y=3x+Q不经 过第二象限，则关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0的实数根的个数为( A.1个 B.2个 C.0或1个 D.1或2个 【对应练习2】(25-26八年级下·山东济南·期末)定义：关于x的方程cx2+bx+a=0是方程ax2+ bx+c=0(a≠c≠0)的“倒方程”.有下列五个结论：①-4x2+3x+1=0的“倒方程”是x2-3x- 4=0:②如果x=-2是x2+2x+c=0的“倒方程”的解，则c=:③若一元二次方程ax2-3x+c=0 没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根：④如果x=t是一元二次方程Qx2+bx+c=0的根，则x= 是其“倒方程”cx2+bx+a=0的根；⑤若m是一元二次方程-3x2+x+1=0的“倒方程”的一个实 数根，则m3+m2-3m+2026的值为2026.其中，正确的有( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二【压轴考点5】根据一元二次方程根的情况求参数★女★ 【典例精讲】(23-24九年级上·河北邢台·期末)若关于x的一元二次方程kx2-3x-?=0有实数 根，则实数k的取值范围是( A.k<0 B.k≥-1且k≠0 第6页共15页 C.k≥-1 D.k>-1且k≠0 【对应练习1】(26-27九年级上·全国·课后作业)关于x的方程kx2+2x-1=0有实数根，则的 值可以是下列哪个数( A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 【对应练习2】若关于x的一元二次方程x2+4x-Q=0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方 程，品=，一1的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ A.-15 B.-13 C.-7 D.-5 二【压轴考点6】公式法解一元二次方程★★女★ 【典例精讲】(26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试)解方程： (1)x2-4x+3=0(配方法) (2)x2-7x-18=0(公式法). 【对应练习1】(26-27九年级上·全国·课后作业)用公式法解下列方程： (1)x2-8x-5=0: (2)x(x-4W2+8=0: (2)(3x-5)(x-2)=1: (4)x(x+6)=2(x-8). 【对应练习2】(25-26八年级下·安徽滁州·期末)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，给出 下列说法： ①若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根： ②若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立： ③若x是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2axo+b)2: 第7页共15页 ④存在实数m,n(m≠n),使得am2+bm+c=am2+bn+c. 其中正确的是( ) A.只有①③ B.只有①② C.只有①③④ D.①②③④ 【压轴考向三因式分解法解一元二次方程】 【压轴考点07】因式分解法解一元二次方程★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·陕西西安·开学考试)用因式分解法解下列方程： (1)(3x-2)2+(2-3x)=0 (2)3x+15=-2x2-10x 【对应练习1】(26-27九年级上·广西南宁·开学考试)按要求解答问题： (1)解方程：x2+6x-7=0. (2)已知x=V5+1,求代数式x2-2x+2的值. 【对应练习2】(25-26八年级下·北京·期末)已知关于x的方程mx2-(2m+2)x+m+2=0. (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根. (2)若关于x的方程mx2-(2m+2)x+m+2=0根均为正整数，求整数m的值. 第8页共15页 。【压轴考点8】换元法解一元二次方程★★女女 【典例精讲】(25-26八年级下·北京·期末)解方程： (1)2x2-x+1=0: (2)2(x2+x)2-(x2+x)-3=0. 【对应练习1】(25-26八年级下·山东济南·期末)解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0时，我们可以 将x-1看成一个整体，设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4,当y=1, 即x-1=1,解得x=2;当y=4,即x-1=4,解得x=5.所以原方程的解x1=2,x2=5. (1)请你利用这种方法解方程：(2x-1)2-4(2x-1)+3=0: (2)己知△ABC三条边的长度分别为a,b,c,若满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-4=0,且c=2,请判断 △ABC的形状，并说明理由. 【对应练习2】(26-27九年级上·全国·课后作业)阅读材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4= 0,我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y… 那么原方程可化为y2-5y+4=0, 解得y1=1,y2=4, 当y=1时，x2-1=1,.x2=2,x=士V2: 当y=4时，x2-1=4,.x2=5,x=士V5, 故原方程的解为x1=V2,x2=-√2，x3=√5，x4=-√5 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化 第9页共15页 为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”· 解答问题：请用换元法解下列方程： (1÷-+6=0: (2)x4-2x2-3=0. 二【压轴考点9】解分式方程（化为一元二火）★女★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·山东青岛·期末)解分式方程： )g+=4 ②+品= 2 【对应练习1】(25-26八年级上·北京海淀·期末)若P和Q是关于x的两个分式，且P-Q=k(k 是一个整数)，则称Q是P的“k相关分式”，例如：P=3Q=气则Q是P的“-3相关分式”· (1)若P=(4是关于x的整式)，Q=气且Q是P的“2相关分式”，则A=: (②)若P=+a++D,Q=++D(a,b,c都是整数，且a<b)且Q是P的“5相关分式”，求b的 所有可能取值. 第10页共15页 【对应练习2】(25-26九年级上·福建泉州·期末)在△ABC中，BC=3V2cm,∠B=45 D 图1 图2 (1)如图1，CD1AB于点D,求CD的长度： (2)若AB=7cm,动点P从C开始沿CA运动，同时动点Q从点A开始沿AB运动，它们的速度均为每秒 1cm,当点P运动到A点时PQ两点同时停止运动，设运动时间为t秒. ①当以A、PQ为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值： ②如图2，连接PQ、PB,若∠BPQ=45°，求t的值， 【压轴考向四一元二次方程的根与系数的关系】 【压轴考点10】一元二次方程的根与系数的关系★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·广西南宁·开学考试)设x1,x2是关于x的一元二次方程x2-4x+3- m2=0的两根 (1)当x1=0时，求x2及m的值： (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. 第11页共15页 【对应练习1】(26-27九年级上·吉林长春·开学考试)在复习一元二次方程x2+bx+c=0( α≠0)时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为x1, 红：则x1+x2=-名x1=合 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程x2一5x+3=0的两根为x1与x2,则x1+x2=_,x1x2=-· (2)已知：x1、x2是方程x2-4x+2=0的两个实数根，求(x1-1)(x2-1)的值. 【对应练习2】(25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测)已知m,n是方程x2+2025x+7=0的两个 根，则(m2+2024m+6)(n2+2026n+8)=() A.2017 B.2018 C.2019 D.2020 【压轴题专项列练优选题15题思维拓展练习】 1.(26-27九年级上·吉林长春·开学考试)己知关于x的方程x2-6x+k=0有两个不相等的实数根， 则k的值可能是( ）. A.8 B.4W6 C.9 D.10 2.(26-27九年级上·全国·课后作业)用配方法将二次三项式x2+4x-5变形，结果是 A.(x+2)2-9 B.(x-2)2-9 C.(x+2)2-1 D.(x-2)2-1 3.(26-27九年级上·全国·课后作业)用因式分解法解方程，下列方法正确的是( ) A.(2x-2)(3x-49=0,.2x-2=0或3x-4=0 B.(x+3)(x-1)=1,·x+3=1或x-1=1 C.(x-2)(x-3)=2×3,X-2=2或x-3=3 D.x(x+2)=0,.x+2=0 第12页共15页 4.(26-27九年级上·全国·单元复习)设x1、x2是方程x2-2025x+2027=0的两个实数根，实数a、 b满足：ax12025+bx22025=2025,Qx12026+bx22026=2026,则ax12027+bx22027的值为（ ) A.2027 B.2025 C.-2027 D.-2025 5.(26-27九年级上·全国·单元复习)已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2+2=0的两个 实数根为x1和x2,设t=1+2,则t的最大值为( k ) A.-4 B.4 C.-6 D.6 6.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0的两个不 相等的实数根α，B满足+日1，则m的值为 一- 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)关于x的一元二次方程2x2+x-k=0无实数根，则k的取值 范围为 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)关于x的一元二次方程2x2+x-k=0有两个不相等的实数 根，则的取值范围是 9.(25-26八年级下·山东淄博·期末)阅读材料：如果a,b是一元二次方程x2+x-1=0的两个实数 根，则有a2+a-1=0,b2+b-1=0.创新应用：如果m,n是两个不相等的实数，且满足 m2-m=3,n2-n=3,那么代数式2n2-mm+2m+2015= 10.（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末)已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m-1=0的两根都 小于1，则m的取值范围是 11.(26-27九年级上·浙江金华·开学考试)解方程 (1)x(x-2)=x-2; (2)(3x-4)2=(4x-3)2. 12.(26-27九年级上·山东青岛·开学考试)【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解a2±2ab+b2=(a±b)2. 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)变形成局部为完全平方式与一 个常数的和的形式：a(x+m)2+n,我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0)的配方 法.配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最 第13页共15页 值”. 【理解新知】 配方法的应用.例如： (1)将x2-3x+1配方成a(x+m)2+n的形式为： (2)利用配方法分解因式：a2-12a+32= (3)多项式3x2+12x+2038的最小值为】 (4)如图，在四边形ABCD中，AC 1 BD.若AC+BD=8,则四边形ABCD面积的最大值为 B 13.(26-27九年级上·全国·周测)某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角 (阴影部分，两边足够长)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜地ABCD(篱笆只围AB,AD两边)· P. B (1)若菜地的面积为75m2,求AB的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙CD的距离为12m.若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边 界，不考虑树的粗细)，判断该菜地的面积能否为100m2？说明理由. 第14页共15页 14.(25-26九年级下·山东济南·自主招生)若实数a,b,c满足：a2-a-bc=m,b+c=5. (1)若b=1,求m的最小值： (②若m=-华且a为整数，求abc: (3)若a,b,c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由. 15.(25-26九年级上·安微芜湖·期中)若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则有 x1+x?=一-总，x1·名=：由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把 这个关系称为一元二次方程根与系数的关系， (1)已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2一1=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,且满足： |x1+x2=x1x2,求k的值： (2)若a,B是方程x2-x-1=0的两根，记S1=a+B,S2=a2+B2,,Sn=+m, ①当n为不小于3的整数时，证明：Sm-2+Sn-1=Sn: ②计算S2,S7的值， 第15页共15页 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一 解一元二次方程 【思维导图+十大考点讲练+优选题训练 共45题〔解析版〕】 目 录 2 【压轴考点01】解一元二次方程直接开平方法 2 【压轴考点02】解一元二次方程配方法 4 【压轴考点03】配方法的应用 7 【压轴考点04】根据判别式判断一元二次方程根的情况 9 【压轴考点05】根据一元二次方程根的情况求参数 12 【压轴考点06】公式法解一元二次方程 14 【压轴考点07】因式分解法解一元二次方程 16 【压轴考点08】换元法解一元二次方程 18 【压轴考点09】解分式方程（化为一元二次) 21 【压轴考点10】一元二次方程的根与系数的关系 27 28 【压轴考点01】解一元二次方程直接开平方法 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)方程无实数根 (3) 【规范解答】（1）解： 即； （2）解： ∵， ∴原方程无实数根； （3）解： 即． 【对应练习1】解方程： (1) (2)（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】（1）先两边同时乘以2，然后用直接开方法即可解答； （2）先把二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，最后利用开平方法求解即可． 【规范解答】（1）解： ，； （2）解： ，． 【对应练习2】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 【压轴考点02】解一元二次方程配方法 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ∴， ∴，． 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)B (2)②；等号右边没有加9 (3)解：． 移项，得， 配方，得， 即， ， 或， ． 【规范解答】（1）解：佳佳解方程的方法是配方法； （2）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加9． 【对应练习2】（26-27九年级上·全国·单元复习）有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 【答案】(1)③ (2)解：移项，得， 配方，得，即， 直接开平方，得， 所以，； (3)解：， ， ， ， ， ∴，． 【思路引导】（1）过程③应该是，出现错误； （2）根据配方法的步骤进行作答即可； （3）根据配方法的步骤进行作答即可. 【压轴考点03】配方法的应用 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)．理由如下： ， ． ， 即， ． 【思路引导】（1）根据差值比较法比较两式大小即可； （2）求出，据此得出结论即可； 【规范解答】（1）解：设， 则． 所以，； 【对应练习1】（26-27九年级上·北京·开学考试）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【思路引导】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【规范解答】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 【对应练习2】（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【思路引导】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【规范解答】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 【压轴考点04】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)无实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)有两个不相等的实数根 (4)无实数根 【思路引导】对于不是一元二次方程一般形式的方程，先移项、去括号整理为（）的形式，确定对应系数．代入一元二次方程判别式公式计算判别式的值。根据判别式的符号判断根的情况：如果，那么方程有两个不相等的实数根；如果，那么方程有两个相等的实数根；如果，那么方程没有实数根． （1）， 方程没有实数根． （2），方程有两个相等的实数根． （3）先整理为一般形式：，，方程有两个不相等的实数根． （4），因为，所以， ．所以方程没有实数根． 【规范解答】（1）解：这里 ，，， 代入判别式： ， ∴方程没有实数根． （2）解：这里 ，，， 代入判别式： ， ∴方程有两个相等的实数根． （3）解：先整理为一般形式：， 此时 ，，， 代入判别式： ， ∴方程有两个不相等的实数根． （4）解：这里，，， 代入判别式： ， ∵ ， ，且， ∴， 即， ∴ ． ∴方程没有实数根． 【对应练习1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【思路引导】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【规范解答】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 【对应练习2】（25-26八年级下·山东济南·期末）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【规范解答】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 【压轴考点05】根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（23-24九年级上·河北邢台·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【思路引导】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【规范解答】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】分和两种情况讨论，结合方程有实数根的条件确定的取值范围，再对照选项判断． 【规范解答】解：当时，方程为，解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，∵ 方程有实数根， ∴，即，解得且， 综上，的取值范围是，故选项A符合题意． 【对应练习2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且分式有意义，确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的的和即可． 【规范解答】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得； 解分式方程， 方程两边同乘（，否则分式无意义）得：， 整理得， 解得， ∵分式方程的解为负整数， ∴，且为整数，且， 即，是的倍数，， 结合且为整数，可得符合条件的整数只有， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 【压轴考点06】公式法解一元二次方程 【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）解方程： (1)（配方法） (2)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【规范解答】（1）解：整理得， 配方得，即， ∴或， 解得，； （2）解：， ，，， ， ∴， 解得，． 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)方程无实数根 【规范解答】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 整理得， ，， ∴ 解得； （3）解： 整理得， ，， ∴ 解得，； （4）解： 整理得， ，， ∴方程无实数根． 【对应练习2】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【规范解答】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 【压轴考点07】因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用因式分解法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【规范解答】（1）解：原方程可变形为， 提取公因式得， 即， 因此或， 解得，； （2）解：移项整理原方程得， 因式分解得， 因此或， 解得，． 【对应练习1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）按要求解答问题： (1)解方程：． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【规范解答】（1）解： 或 ， （2）解： ， 原式 【对应练习2】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时 ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【思路引导】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【规范解答】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 【压轴考点08】换元法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26八年级下·北京·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【思路引导】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 【对应练习1】（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设 ， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【思路引导】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【规范解答】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； 【对应练习2】（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答； （2）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答． 【规范解答】（1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 【压轴考点09】解分式方程（化为一元二次) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤． （1）先去分母，再解一元二次方程，最后检验即可； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可． 【规范解答】（1）解： ， 解得，， 经检验，，都是原方程的解， ∴原方程的解为，； （2）解： 方程两边同乘以，得， 解得，， 经检验，是方程的解， ∴原方程的解为． 【对应练习1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）若P和Q是关于x的两个分式，且（k是一个整数），则称Q是P的“k相关分式”，例如：，，则Q是P的“相关分式”． (1)若（A是关于x的整式），，且Q是P的“2相关分式”，则______； (2)若，（a，b，c都是整数，且）且Q是P的“5相关分式”，求b的所有可能取值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了异分母分式加减法、根据分式恒等式求值等知识点，注意计算的准确性即可． （1）根据“k相关分式”的定义，即可求解； （2）根据“k相关分式”的定义，可得，可得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：，，且Q是P的“2相关分式”， ， ∴， ． （2）解：∵，，且Q是P的“5相关分式”， ． ． ． ． ，b都是整数，且， 或． 或． 经检验，或符合题意． 【对应练习2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）在中，， (1)如图1，于点D，求的长度； (2)若，动点P从C开始沿运动，同时动点Q从点A开始沿运动，它们的速度均为每秒，当点P运动到A点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒． ①当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； ②如图2，连接，若，求t的值． 【答案】(1)3 (2)①或；②t的值为 【思路引导】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）推导出为等腰直角三角形，且，得到，再根据勾股定理，得到，求出或（不符合题意，舍去），即可解答． （2）①先求出，，，分两种相似情况讨论：情况1： ，情况2：，逐个分析求解即可；②过点B作，交的延长线于点M，过点B作于点N，推导出，设，则，进而求出，证明，得到，求出，由，推导出，根据勾股定理，得到，则，化简求解即可． 【规范解答】（1）解：如图 ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴． （2）解：①如图 由（1）得，， ∴， ∴， ∵动点P、Q的速度均为，运动时间为， ∴， ∴， ∵是与的公共角， ∴分两种相似情况讨论： 情况1：，如图， ∵， ∴， 即， 解得； 情况2： ∵， ∴， 即， 解得． ∴或； ②过点B作，交的延长线于点M，过点B作于点N，如图 ∵ ∴ ∴，即，， 设，则， 由(1)，同理可得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∵， ， ∴ 即 ， ， ， ， ，(不符合题意，舍去)． 答：t的值为． 【压轴考点10】一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)证明：∵， ∴ ； ∵， ∴， ∴． 【思路引导】（1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）根据根与系数的关系进行证明即可. 【规范解答】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； 【对应练习1】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 【答案】(1)5，3 (2) 【思路引导】（1）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果. 【规范解答】（1）解：∵方程的两根为与， ∴，； （2）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ . 【对应练习2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【规范解答】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 1．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【规范解答】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 【答案】A 【思路引导】本题主要考查利用因式分解法解方程，解题需抓住两个关键点：方程右边是否为0，是否遗漏为0的因式． 【规范解答】解：A选项中，∵，∴或，方法正确； B、C选项中，方程右边不为0，不能直接令因式分别等于右侧的数，方法均错误； D选项中，∵，∴或，选项遗漏的情况，方法错误； 故选：A． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【规范解答】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【思路引导】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【规范解答】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【思路引导】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 【答案】 【思路引导】根据一元二次方程无实数根的条件，可得根的判别式小于0，据此列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【规范解答】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ 根的判别式， ∴ ， 解得． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】 【思路引导】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解参数的范围． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，此处，，， 代入得：， 解不等式得． 9．（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【思路引导】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【规范解答】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 10．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于的一元二次方程的两根都小于1，则的取值范围是__________． 【答案】 【思路引导】根据两根都小于1的条件，推导得到两根减1后同为负数，因此和小于0且乘积大于0，据此列不等式求解即可． 【规范解答】解：设方程的两根为， 由根与系数的关系得：， ∵，对任意实数恒成立， ∴方程总有两个不相等的实根 ∵两根都小于1，即，， ∴，， ∴ 整理第一个不等式得： 代入得：， 解得 整理第二个不等式得： 代入和得： 解得 ∴的取值范围是． 11．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【规范解答】（1）解：， 移项，得：， 提取公因式，得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 根据平方根的性质，得：， ∴或， 解得：，． 12．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【答案】(1) (2) (3)2026 (4)8 【思路引导】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）先对代数式进行配方，然后再根据偶次幂的非负性进行求解即可； （4）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【规范解答】（1）解：； ∴将配方成的形式为：； （2）解：； （3）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； （4）解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 13．（26-27九年级上·全国·周测）某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 【答案】(1)的长为或 (2)该菜地的面积不能为，理由如下： 设的长为，则， 由题意，得， 整理，得，解得， 当时，， 即当时，， ∴这棵古树没有被围在菜地里， ∴要将这棵古树围在矩形菜地内，该菜地的面积不能为． 【思路引导】（1）设的长为，则，由矩形面积公式得出方程，解方程即可； （2）根据题意可得方程，求出y的值，然后再根据P处这棵树是否被围在菜地内进行分析即可． 【规范解答】（1）解：设的长为，则， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 答：的长为或． （2）略 14．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【思路引导】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． 【规范解答】（1）解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； （3）略 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【思路引导】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【规范解答】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一 解一元二次方程 【思维导图+十大考点讲练+优选题训练 共45题〔原卷版〕】 目 录 2 【压轴考点01】解一元二次方程直接开平方法 2 【压轴考点02】解一元二次方程配方法 3 【压轴考点03】配方法的应用 4 【压轴考点04】根据判别式判断一元二次方程根的情况 6 【压轴考点05】根据一元二次方程根的情况求参数 6 【压轴考点06】公式法解一元二次方程 7 【压轴考点07】因式分解法解一元二次方程 8 【压轴考点08】换元法解一元二次方程 9 【压轴考点09】解分式方程（化为一元二次) 10 【压轴考点10】一元二次方程的根与系数的关系 11 12 【压轴考点01】解一元二次方程直接开平方法 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)． 【对应练习1】解方程： (1) (2)（配方法） 【对应练习2】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）计算与解方程： (1) 计算：； (2)解方程：． 【压轴考点02】解一元二次方程配方法 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程： (1) ； (2)． 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 【对应练习2】（26-27九年级上·全国·单元复习）有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 【压轴考点03】配方法的应用 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【对应练习1】（26-27九年级上·北京·开学考试）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【对应练习2】（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【压轴考点04】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）利用判别式判断下列方程的根的情况： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【对应练习1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【对应练习2】（25-26八年级下·山东济南·期末）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【压轴考点05】根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（23-24九年级上·河北邢台·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【对应练习2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 【压轴考点06】公式法解一元二次方程 【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）解方程： (1) （配方法） (2)（公式法）． 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【对应练习2】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【压轴考点07】因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用因式分解法解下列方程： (1) (2) 【对应练习1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）按要求解答问题： (1)解方程：． (2)已知，求代数式的值． 【对应练习2】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【压轴考点08】换元法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26八年级下·北京·期末）解方程： (1) ； (2)． 【对应练习1】（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【对应练习2】（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【压轴考点09】解分式方程（化为一元二次) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解分式方程： (1) (2) 【对应练习1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）若P和Q是关于x的两个分式，且（k是一个整数），则称Q是P的“k相关分式”，例如：，，则Q是P的“相关分式”． (1)若（A是关于x的整式），，且Q是P的“2相关分式”，则______； (2)若，（a，b，c都是整数，且）且Q是P的“5相关分式”，求b的所有可能取值． 【对应练习2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）在中，， (1)如图1，于点D，求的长度； (2)若，动点P从C开始沿运动，同时动点Q从点A开始沿运动，它们的速度均为每秒，当点P运动到A点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒． ①当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； ②如图2，连接，若，求t的值． 【压轴考点10】一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【对应练习1】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 【对应练习2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 1．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 9．（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 10．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于的一元二次方程的两根都小于1，则的取值范围是__________． 11．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）解方程 (1)； (2)． 12．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 13．（26-27九年级上·全国·周测）某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 14．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null