25.3 实际问题与一元二次方程第3课时 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦单循环赛问题与一元二次方程的应用，核心是推导单循环总场数公式并解决同类实际问题。课堂导入从校园足球联赛情境出发，先复习列方程解决实际问题的六步法，再通过枚举3队、4队比赛场次制造多队伍计数的认知冲突，引导学生从具体枚举过渡到公式推导，搭建从特殊到一般的学习支架。 资料特色在于以“情境感知→手动枚举→规律推导→模型归纳→变式应用”为主线，培养学生数学眼光、思维与语言。通过校园球赛、握手等生活情境，引导学生用数学眼光发现数量关系，分层设问推导公式（如每队对手数x-1、除以2去重）体现推理意识，模型归类迁移（握手、互通电话等同模型）强化模型意识。帮助学生提升抽象与建模能力，为教师提供清晰的教学流程和分层练习设计。

25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时 单循环赛问题） 教学设计 课题 25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时 单循环赛问题） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第3课时 课型 新授课 教学目标 （1）理解单循环赛制的比赛规则，自主推导并掌握单循环总场数通用公式；能识别球赛、握手、互通电话等同模型问题，熟练建立一元二次方程求解，并根据人数、队伍数为正整数的实际意义检验、舍去不合理的根； （2）经历「情境感知→手动枚举→规律推导→模型归纳→变式应用」的探究过程，掌握组合计数类问题的建模方法，提升从生活情境中抽象数量模型的能力； （3）感受数学与体育、生活的紧密联系，在自主探究与合作交流中增强探究意识与严谨规范的解题习惯。 教学重点 理解单循环赛制规则，推导并掌握单循环比赛总场数公式，利用单循环通用模型建立一元二次方程，解决球赛、握手等同类实际问题。 教学难点 理解单循环公式中 x−1 与「除以2去重」的实际意义，区分单循环与双循环，结合人数、队伍数为正整数精准取舍方程根。 教学方法 讲授法、枚举探究、合作交流、变式对比 教学准备 多媒体课件、学案、球赛/社交情境素材 课后练习 必做：课本习题25.3第3、9题；探究性作业：课本第25.3节巩固题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景， 引入新课 复习回顾：列一元二次方程解决实际问题的六步流程——审题意 → 巧设元 → 找等量 → 列方程 → 解方程 → 验实际 → 写答案。 情境导入：学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为 21 场，一共有多少个班级参赛？ 师生活动：1. 教师通俗解读单循环规则——任意两队只赛一场，不重复、不设主客场双赛；2. 抛出疑问——若有 3 支队伍、4 支队伍，分别需要比赛多少场？引导学生手动枚举计数；3. 学生枚举——3 队共 3 场、4 队共 6 场，发现无法逐一枚举多队伍场次，自然引出公式推导的必要性。 过渡：当参赛队伍很多时，逐队枚举已不可行，必须先从少量特例中提炼规律，得到单循环总场数的通用公式。 回顾六步法，枚举 3 队赛 场、4 队赛 场，思考多队伍总场数如何快速求得 以熟悉的校园球赛情境导入，直观解读单循环规则，通过少量队伍枚举制造多队伍计数的认知冲突，为公式推导铺垫具象基础。 二、探究点1： 单循环模型 探究点1：单循环问题——自主探究、推导模型。 活动1：设有 x 支队伍参赛、遵循单循环赛制。 追问1：每一支队伍需要和除自身外的多少支队伍比赛？（答：x−1 支） 追问2：所有队伍累计的总比赛次数（含重复）是多少？（答：x(x−1) 场） 追问3：单循环每两队只赛一场，存在重复计数，需要如何修正？（答：除以 2 去重） 模型归纳：总场数＝总配对次数÷2，即单循环通用公式 。 规范解题（回到导入情境）：设共有 x 个班级参赛，根据题意列方程： ，整理得 解得 、；根据班级数量为正整数，舍去 x＝−6。 答：一共有 7 个班级参赛。 推导总场数公式 ，列 解得 、（舍去），答参赛 7 个班 分层设问引导学生自主拆解公式构成，理解「x−1 是每队对手数、除以2是去除重复场次」的推导逻辑，从根源理解公式、杜绝死记硬背，落实核心重点。 三、探究点2： 模型归类 探究点2：模型归类、同类迁移。 活动2：学生交流讨论——所有「两两一次互动、无重复」的问题均可套用单循环公式，例如：① 体育单循环球赛、棋类比赛；② 多人两两握手、两两拥抱；③ 多人之间互通一次电话，等等。 教师辨析要点：题干出现「只一次、两两一场、不重复」为单循环；「主客场、互赠、双向互动」则属双循环。 及时巩固：某次座谈会结束后，在场所有人两两握手一次，统计总握手次数为 45 次，求参会总人数。 设参会人数为 n，则 ，即 ，解得 （ 舍去）。 答：参会的共有 10 人。 辨析两类题干条件，解 得 ，答参会 10 人 完成单一题型到通用模型的迁移，帮助学生建立题型识别思维、实现举一反三，为后续拓展变式训练奠定基础。 四、典例精讲 【典型例题】 例1：在一次聚会上每两人都握了一次手，所有人共握手 66 次，有多少人参加聚会？ 【分析】设共有 x 人参加聚会，每个人都与另外 (x−1) 人握手，且任意两人之间只握手一次，故总握手次数为 。 【详解】由题意得 ，整理得 ，即 ，解得 、（不合题意，舍去）。 答：有 12 人参加聚会。 例2：某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），赛程计划 7 天完成，每天安排 4 场比赛。 (1) 比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？设应邀请 x 个队，每队与其他 (x−1) 队各赛一场，共 场，赛程共 场，故 ，解得 、（舍去）。 答：应邀请 8 个队参赛。 (2) 如果比计划多邀请 2 个队参赛，每天安排 5 场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？多邀 2 队后共 队，总场数 场，设需 y 天，则 ，解得 。 答：至少需要 9 天完成比赛。 教师总结：计数类问题要抓住「总场数＝组合数」这一等量关系，牢记最后除以 2 去重，并结合实际意义舍去负根。 解 、、 及 通过握手、排球邀请赛两类综合题，规范计数类问题的设元、列式、去重与取整，提升建模与规范解题能力。 五、当堂检测 课本课堂练习（P23）：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排共计 28 场比赛。设应邀请 x 个队参赛。 列方程为 ，解得 、（舍去），故参加比赛的球队有 8 支。 深化辨析：单循环两两赛一场；而主客场双循环每两队赛两场，总场数为 x(x−1)。 拓展思考：若干支队进行主客场双循环比赛，有人说总场数正好是 300，他算得对吗？ 若总场数为 300，则 ，即 ，判别式 ；因 1201 不是完全平方数， 不是整数，故 x 不可能为整数，此人算得不对。 教师巡视反馈，强调除以 2 去重与正整数验根。 解 得 8 队；由 非完全平方判断 300 场不可能 通过课本练习与双循环拓展辨析，及时反馈、查漏补缺，强化去重建模与对根进行实际意义检验的意识。 六、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 知识技能：（1）单循环模型：n 支队两两赛一场，总场数 ；（2）同类迁移：握手、互赠、互通电话等「两两一次」问题均适用；（3）双循环辨析：主客场总场数为 n(n−1)。 2. 思想方法：特殊到一般的归纳、数学建模、对比辨析、严谨验证。 3. 易错提醒：（1）单循环忘记除以 2 去重、或与双循环混用；（2）不理解公式推导，只会机械套用；（3）忽略人数、队伍数必须是正整数，保留负根；（4）未看清「单循环/双循环/两两一次/双向互动」等题干条件。 核心口诀：每队各减一相乘，两两单次再折半。 梳理单循环模型 、同类迁移与去重、正整数验根要点 对本课知识进行总结，加深对计数公式与验根的理解，增强学习的主动性与连贯性。 七、课后作业 必做题：课本习题 25.3 第 3、9 题。 探究性作业：课本第 25.3 节巩固题；并采访身边的球赛、聚会等场景，用单循环公式快速口算总场数（或参会人数）。 完成分层作业并自测一个两两计数实例 通过分层练习巩固单循环模型与去重验根，规范步骤、查漏补缺。 板书设计 25.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时 单循环赛问题） 主板书 一、单循环总场数公式（去重） 例： x=7（舍 −6） 二、同模型迁移 球赛 / 握手 / 互通电话（两两一次） x=12 人 三、双循环辨析 主客场总场数 x(x−1) 例：x(x−1)=300 Δ=1201 非完全平方，无整数解 四、核心易错点 忘记÷2 去重、公式混用、忽略正整数验根 副板书 典型例题（建模、去重、验根示范） 例题、学生练习板演 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $