25.3 实际问题与一元二次方程第3课时 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

课题

25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时 单循环赛问题）

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2024）

课时

第3课时

课型

新授课

教学目标

（1）理解单循环赛制的比赛规则，自主推导并掌握单循环总场数通用公式；能识别球赛、握手、互通电话等同模型问题，熟练建立一元二次方程求解，并根据人数、队伍数为正整数的实际意义检验、舍去不合理的根；

（2）经历「情境感知→手动枚举→规律推导→模型归纳→变式应用」的探究过程，掌握组合计数类问题的建模方法，提升从生活情境中抽象数量模型的能力；

（3）感受数学与体育、生活的紧密联系，在自主探究与合作交流中增强探究意识与严谨规范的解题习惯。

教学重点

理解单循环赛制规则，推导并掌握单循环比赛总场数公式，利用单循环通用模型建立一元二次方程，解决球赛、握手等同类实际问题。

教学难点

理解单循环公式中 x−1 与「除以2去重」的实际意义，区分单循环与双循环，结合人数、队伍数为正整数精准取舍方程根。

教学方法

讲授法、枚举探究、合作交流、变式对比

教学准备

多媒体课件、学案、球赛/社交情境素材

课后练习

必做：课本习题25.3第3、9题；探究性作业：课本第25.3节巩固题

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情景，
引入新课

复习回顾：列一元二次方程解决实际问题的六步流程——审题意 → 巧设元 → 找等量 → 列方程 → 解方程 → 验实际 → 写答案。

情境导入：学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为 21 场，一共有多少个班级参赛？

师生活动：1. 教师通俗解读单循环规则——任意两队只赛一场，不重复、不设主客场双赛；2. 抛出疑问——若有 3 支队伍、4 支队伍，分别需要比

回顾六步法，枚举 3 队赛 场、4 队赛 场，思考多队伍总场数如何快速求得

以熟悉的校园球赛情境导入，直观解读单循环规则，通过少量队伍枚举制造多队伍计数的认知冲突，为公式推导铺垫具象基础。

赛多少场？引导学生手动枚举计数；3. 学生枚举——3 队共 3 场、4 队共 6 场，发现无法逐一枚举多队伍场次，自然引出公式推导的必要性。

过渡：当参赛队伍很多时，逐队枚举已不可行，必须先从少量特例中提炼规律，得到单循环总场数的通用公式。

二、探究点1：
单循环模型

探究点1：单循环问题——自主探究、推导模型。

活动1：设有 x 支队伍参赛、遵循单循环赛制。

追问1：每一支队伍需要和除自身外的多少支队伍比赛？（答：x−1 支）

追问2：所有队伍累计的总比赛次数（含重复）是多少？（答：x(x−1) 场）

追问3：单循环每两队只赛一场，存在重复计数，需要如何修正？（答：除以 2 去重）

模型归纳：总场数＝总配对次数÷2，即单循环通用公式 。

规范解题（回到导入情境）：设共有 x 个班级参赛，根据题意列方程：

，整理得

解得 、；根据班级数量为正整数，舍去 x＝−6。

答：一共有 7 个班级参赛。

推导总场数公式 ，列 解得 、（舍去），答参赛 7 个班

分层设问引导学生自主拆解公式构成，理解「x−1 是每队对手数、除以2是去除重复场次」的推导逻辑，从根源理解公式、杜绝死记硬背，落实核心重点。

三、探究点2：
模型归类

探究点2：模型归类、同类迁移。

活动2：学生交流讨论——所有「两两一次互动、无重复」的问题均可套用单循环公式，例如：① 体育单循环球赛、棋类比赛；② 多人两两握手、两两拥抱；③ 多人之间互通一次电话，等等。

教师辨析要点：题干出现「只一次、两两一场、不重复」为单循环；「主客场、互赠、双向互动」则属双循环。

及时巩固：某次座谈会结束后，在场

辨析两类题干条件，解 得 ，答参会 10 人

完成单一题型到通用模型的迁移，帮助学生建立题型识别思维、实现举一反三，为后续拓展变式训练奠定基础。