25.3 实际问题与一元二次方程第2课时 教案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

课题

25.3 实际问题与一元二次方程

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2024）

课时

第2课时

课型

新授课

教学目标

（1）掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下降率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范六步解题流程，能根据人数、数量为正的实际场景检验并舍去不合理根；

（2）经历「情境观察—分析动态变化—提炼等量关系—归纳通用模型—变式应用巩固」的探究过程，掌握动态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力；

（3）通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严谨规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心。

教学重点

探究并掌握两轮流感传播问题的数量关系，正确建立一元二次方程；熟记并灵活运用平均下降率通用公式解决实际问题；规范动态变化类应用题的完整解题步骤。

教学难点

准确分析病毒两轮传染的裂变过程，理清每一轮传染人数与总患病人数；区分增长率与下降率公式，规避公式混用错误；结合人数为正整数、数量为正数的实际条件，精准取舍方程的两个实数根。

教学方法

讲授法、分步拆解法、合作探究、变式对比

教学准备

多媒体课件、学案、传染病防控情境素材

课后练习

必做：课本习题25.3第4、7题；探究性：第8题

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情景，
引入新课

复习提问：列一元二次方程解决实际问题的通用步骤？

学生齐答七字诀，教师板书：审题意 → 巧设元 → 找等量 → 列方程 → 解方程 → 验实际 → 写答案。

过渡设问：当数量不是固定静止、而是「一轮接一轮」「一年接一年」地连续变化时，还能否沿用这六步？今天我们就研究两类典型的连续变化问题——病毒传播与平均下降率。

齐答七字诀，并思考数量连续变化时如何建模

复习列方程解应用题的核心流程，搭建新旧知识桥梁，自然引出连续变化型问题的课题。

二、探究点1：
病毒传播问题

探究点1：病毒传播问题。

活动1：平均1个人传染了多少个人？

问题：若开始有 1 人被传染，经过两轮传染后共有 121 人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？

按六步法逐步分析：

（1）审题：初始患者 1 人，两轮完整传染后共 121 人，求单人每轮传染人数；

（2）设元：设每轮传染中平均一个人传染 x 个人；

（3）分步分析：第一轮传染，1 个患者传染 x 人，第一轮后总人数为 ；第二轮，(1+x) 个患者每人再传染 x 人，新增 人，两轮结束时总人数为 ；

（4）建立方程：；

（5）求解验根：，解得 ，（传染人数不能为负，舍去）；

（6）规范作答：每轮传染中平均 1 个人传染 10 个人。

模型归纳：一轮起始、两轮传播的通用模型——初始 1 人传播，两轮后总人数为 (1＋x)²（x 为单人每轮传染人数）。

追问：按此速度，经过三轮传染后共有多少人被传染？

三轮后总人数 ，由此体会阻断病毒传播的必要性。

解 得 x=10，梳理锥式传染过程

分步拆解裂变传播过程，将抽象动态具象化，理解公式来源、规避死记硬背，突破动态分析难点。

三、探究点2：
平均下降率问题

探究点2：平均下降率问题。

活动2：哪种食品成本的年平均下降率较大？

问题：两年前生产 1t 甲种食品成本 10000 元、1t 乙种食品成本 12000 元；现在分别是 6000 元、7200 元。哪种食品成本的年平均下降率较大？

追问1：甲、乙两种食品成本的年平均下降额各是多少？

甲：（元）；乙：（元

求下降额、解 得约 22.5%，归纳

结合生活经济情境自然过渡下降率，通过与增长率对比、分步推导，区分异同、精准记忆，突破公式混淆难点。

）。

追问2：平均下降额与下降率有何不同？——平均下降额是平均下降的数值，下降率是比值。

师生探究建模（先求甲）：设平均每年降价的百分率为 x，则
一年后成本为 10000(1−x)，二年后成本为 10000(1−x)²。

等量关系：原成本×=二年成本，故列方程 ；

解得 、（下降率应满足 ，舍去 1.775），故甲种食品年平均下降率约为 22.5%。

学生自主求乙种食品年平均下降率；结论：甲、乙两种食品的年平均下降率相同（均约为 22.5%）。

追问5：年平均下降额大，平均下降率就一定大吗？——不一定（下降率还取决于初始成本大小）。

模型归纳：平均变化率通用模型（a 初始量，x 变化率，b 最终量）——连续两次增长：a(1＋x)²＝b；连续两次下降：a(1−x)²＝b。

四、探究点3：
变式提升

探究点3：传播问题、下降率变式提升。

活动3：有 2 人感染流感，经过两轮传染后共有 288 人感染流感，求每轮平均每人传染的人数。

突破：初始人数不为 1，总人数调整为 ，即 ，解得 （ 舍去）。

活动4：某工厂 2023 年年生产总值为 50 万元，经过增产到 2025 年年生产总值为 98 万元，求平均每年增长的百分率。

列方程 ，即 ，解得 。

学生小组纠错、对比辨析：下降率与增长率一负一正，初始人数 1 与 m 时模型系数不同，强化两类模型的区别与应用场景。

解 、，辨析模型适用范围

通过初始人数非 1、下降转增长两类变式，灵活变通模型、突破固定思维，训练举一反三。

五、典例精讲

【典型例题】

例1：2023 年 3 月，某地甲型流感病

解 、、

通过传播、增长率、销售利润三