25.3 实际问题与一元二次方程第2课时 教案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该教案聚焦病毒传染与平均下降率问题，通过复习列一元二次方程解应用题的六步法，以“连续变化”设问衔接，搭建从静态到动态建模的学习支架，引导学生掌握两类问题的数量规律。 特色在于分步拆解动态过程，如病毒传播从单轮传染到两轮总人数分析，培养抽象能力（数学眼光），对比增长率与下降率归纳通用模型，训练推理意识（数学思维），结合流感传播、食品成本等生活情境，强化模型意识（数学语言）。采用变式提升（初始人数非1、下降转增长），帮助学生灵活应用，提升解题严谨性，为教师提供清晰流程与易错指导，便于高效教学。

25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时 病毒传染、平均下降率问题） 教学设计 课题 25.3 实际问题与一元二次方程 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 （1）掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下降率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范六步解题流程，能根据人数、数量为正的实际场景检验并舍去不合理根； （2）经历「情境观察—分析动态变化—提炼等量关系—归纳通用模型—变式应用巩固」的探究过程，掌握动态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力； （3）通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严谨规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心。 教学重点 探究并掌握两轮流感传播问题的数量关系，正确建立一元二次方程；熟记并灵活运用平均下降率通用公式解决实际问题；规范动态变化类应用题的完整解题步骤。 教学难点 准确分析病毒两轮传染的裂变过程，理清每一轮传染人数与总患病人数；区分增长率与下降率公式，规避公式混用错误；结合人数为正整数、数量为正数的实际条件，精准取舍方程的两个实数根。 教学方法 讲授法、分步拆解法、合作探究、变式对比 教学准备 多媒体课件、学案、传染病防控情境素材 课后练习 必做：课本习题25.3第4、7题；探究性：第8题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景， 引入新课 复习提问：列一元二次方程解决实际问题的通用步骤？ 学生齐答七字诀，教师板书：审题意 → 巧设元 → 找等量 → 列方程 → 解方程 → 验实际 → 写答案。 过渡设问：当数量不是固定静止、而是「一轮接一轮」「一年接一年」地连续变化时，还能否沿用这六步？今天我们就研究两类典型的连续变化问题——病毒传播与平均下降率。 齐答七字诀，并思考数量连续变化时如何建模 复习列方程解应用题的核心流程，搭建新旧知识桥梁，自然引出连续变化型问题的课题。 二、探究点1： 病毒传播问题 探究点1：病毒传播问题。 活动1：平均1个人传染了多少个人？ 问题：若开始有 1 人被传染，经过两轮传染后共有 121 人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 按六步法逐步分析： （1）审题：初始患者 1 人，两轮完整传染后共 121 人，求单人每轮传染人数； （2）设元：设每轮传染中平均一个人传染 x 个人； （3）分步分析：第一轮传染，1 个患者传染 x 人，第一轮后总人数为 ；第二轮，(1+x) 个患者每人再传染 x 人，新增 人，两轮结束时总人数为 ； （4）建立方程：； （5）求解验根：，解得 ，（传染人数不能为负，舍去）； （6）规范作答：每轮传染中平均 1 个人传染 10 个人。 模型归纳：一轮起始、两轮传播的通用模型——初始 1 人传播，两轮后总人数为 (1＋x)²（x 为单人每轮传染人数）。 追问：按此速度，经过三轮传染后共有多少人被传染？ 三轮后总人数 ，由此体会阻断病毒传播的必要性。 解 得 x=10，梳理锥式传染过程 分步拆解裂变传播过程，将抽象动态具象化，理解公式来源、规避死记硬背，突破动态分析难点。 三、探究点2： 平均下降率问题 探究点2：平均下降率问题。 活动2：哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题：两年前生产 1t 甲种食品成本 10000 元、1t 乙种食品成本 12000 元；现在分别是 6000 元、7200 元。哪种食品成本的年平均下降率较大？ 追问1：甲、乙两种食品成本的年平均下降额各是多少？ 甲：（元）；乙：（元）。 追问2：平均下降额与下降率有何不同？——平均下降额是平均下降的数值，下降率是比值。 师生探究建模（先求甲）：设平均每年降价的百分率为 x，则 一年后成本为 10000(1−x)，二年后成本为 10000(1−x)²。 等量关系：原成本×=二年成本，故列方程 ； 解得 、（下降率应满足 ，舍去 1.775），故甲种食品年平均下降率约为 22.5%。 学生自主求乙种食品年平均下降率；结论：甲、乙两种食品的年平均下降率相同（均约为 22.5%）。 追问5：年平均下降额大，平均下降率就一定大吗？——不一定（下降率还取决于初始成本大小）。 模型归纳：平均变化率通用模型（a 初始量，x 变化率，b 最终量）——连续两次增长：a(1＋x)²＝b；连续两次下降：a(1−x)²＝b。 求下降额、解 得约 22.5%，归纳 结合生活经济情境自然过渡下降率，通过与增长率对比、分步推导，区分异同、精准记忆，突破公式混淆难点。 四、探究点3： 变式提升 探究点3：传播问题、下降率变式提升。 活动3：有 2 人感染流感，经过两轮传染后共有 288 人感染流感，求每轮平均每人传染的人数。 突破：初始人数不为 1，总人数调整为 ，即 ，解得 （ 舍去）。 活动4：某工厂 2023 年年生产总值为 50 万元，经过增产到 2025 年年生产总值为 98 万元，求平均每年增长的百分率。 列方程 ，即 ，解得 。 学生小组纠错、对比辨析：下降率与增长率一负一正，初始人数 1 与 m 时模型系数不同，强化两类模型的区别与应用场景。 解 、，辨析模型适用范围 通过初始人数非 1、下降转增长两类变式，灵活变通模型、突破固定思维，训练举一反三。 五、典例精讲 【典型例题】 例1：2023 年 3 月，某地甲型流感病毒传播很快，开始有 1 人被感染，经过两轮传播后就有 256 人患病，每轮传染速度相同，求每轮每人传染的人数。 【分析】设每人每轮传染 x 人，则第一轮后 人患病，建立方程求解。 【详解】由题意得 ，即 ，解得 或 （舍去）。 ∴每轮每人传染 15 人。 例2：某汽车零部件企业利润逐年提高，2020 年利润为 2 亿元，2022 年利润为 3.92 亿元，求该企业这两年利润的年平均增长率。 【详解】设年平均增长率为 x，由题意得 ，即 ，解得 、（舍去）。 ∴该企业利润的年平均增长率为 40%。 例3：某超市销售一种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。经调查，销售单价每降低 2 元，平均每天可多售出 4 件。 (1) 若降价 6 元，平均每天销售数量为多少件？由题意，得 （件）。 答：平均每天销售 32 件。 (2) 为了让顾客更实惠，每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？设每件降价 x 元，则单件盈利 元，销量 件， 由 ，整理得 ，解得 、；要让顾客更实惠，应取较大的降价， 答：每件商品降价 20 元时，该商店每天销售利润为 1200 元。 教师总结：销售利润问题抓住「总利润=单件利润×销量」，且降价题要注意结合「促销让利」等实际要求取舍。 解 、、 通过传播、增长率、销售利润三类综合题，规范动态建模与取整、让利等实际取舍，提升综合应用能力。 六、当堂检测 课本课堂练习（P22）：某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50 元，连续两次降价后每千克 32 元，每次下降的百分率相同。 (1) 求每次下降的百分率。设每次下降的百分率为 x，依题意得 ，即 ，解得 （ 不含 0＜x＜1，舍去）。 答：每次下降的百分率为 20%。 (2) 若每千克盈利 10 元、每天可售出 500 千克，每涨价 1 元日销量减少 20 千克。要保证每天盈利 6000 元且尽快减少库存，每千克应涨价多少元？设涨价 y 元，则盈利 元、日销量 千克， 依题意得 ，整理得 ，解得 、；要尽快减少库存应少涨价，故 答：每千克应涨价 5 元。 中考真题（3 道）： ① （2025·凉山州）钢铁厂一月份生产 560 吨，月平均增长率相同，第一季度共生产 1860 吨，设月平均增长率为 x，列方程（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【解答】二、三月分别产 、 吨，故 ，选 C。 ② （2025·重庆）某景区 2022 年接待游客 25 万人，2024 年接待游客达 36 万人，求这两年接待游客的年平均增长率（　　） A．10%　　B．20%　　C．22%　　D．44% 【解答】由 得 （ 舍），选 B。 ③ （2025·泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022 年进价均为 125 元，随成本降低，甲种进价年平均下降 25 元，2024 年每件乙种进价为 80 元。 (1) 求乙种商品每件进价的年平均下降率。设下降率为 x，由 得 （ 舍）。 (2) 2024 年用不超过 7800 元一次购进甲、乙共 100 件，求最少购进甲种多少件？设购进 y 件甲，则 ，解得 ，故最少购进 40 件甲种商品。 教师巡视反馈，强调下降率须约束 0＜x＜1、增长率须为正，规范性作答。 解 、 及三真题 通过考点真题明确考试方向、熟悉题型、检验成果，强化模型套用与百分率验根技巧。 七、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 知识技能：（1）传播问题：两轮总人数 (1＋x)²，初始 m 人则为 m(1＋x)²；分清新增人数与总人数；（2）下降率/增长率：a(1±x)²＝b，下降限 0＜x＜1、增长为正；（3）六步法：审、设、找、列、解、验、答。 2. 思想方法：动态建模、分步转化、对比归纳、严谨验证。 3. 易错提醒：（1）混淆单轮新增与两轮总人数、死记公式不会变通初始非 1；（2）增长率/下降率公式混用、忘记百分率范围、保留不合理根；（3）设元漏写百分率含义、步骤残缺、平方项运算错误。 核心口诀：一设二找三列式，增长下降定符号，验完实际再作答。 梳理两模型、六步流程与易错，回顾 (1±x)² 符号选取 对知识总结，强化动态变化的验根与百分率取值范围，增强学习主动性与连贯性。 八、课后作业 必做题：课本习题 25.3 第 4、7 题。 探究性作业：课本习题 25.3 第 8 题；并采访身边商家了解一次降价幅度，用下降率模型算算连续两次等量降价后的结果。 完成分层作业并自测一个生活降价实例 通过分层练习巩固传播与下降率两类模型，规范步骤、查漏补缺。 板书设计 25.3 实际问题与一元二次方程 （第2课时 病毒传染、平均下降率问题） 主板书 一、病毒传染问题（两轮裂变） 初始1人：两轮后 (1+x)² 初始m人：两轮后 m(1+x)² 二、平均下降率问题（两次衰减） 连续两次增长：a(1+x)²=b 连续两次下降：a(1-x)²=b 下降率约束：0<x<1 三、解题六步法 审→设→找→列→解→验→答 验根：人数为正、0<x<1 四、核心易错点 单轮/总人数混淆、公式符号混用 副板书 典型例题（建模、验根示范） 例题、学生练习板演 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $