章末检测（1） 直线与圆(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 本试卷为高中数学“直线与圆”单元复习检测，涵盖直线方程、圆的方程及位置关系等核心知识，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配单元复习需求，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|倾斜角与直线方程、圆的弦长计算|基础概念辨析，如第1题结合倾斜角与截距求方程| |多项选择题|3/18|直线与圆位置关系、圆的性质|多维度考查，如第11题涉及两圆相交的几何性质| |填空题|3/15|切线长轨迹、直线与圆相交弦长|含高考题改编（第14题），注重一题多解（第13题）| |解答题|5/77|圆的标准方程、切线方程、最值问题|综合性强，如第19题结合切线与定点探究，体现数学推理与模型应用|

章末检测（一）　直线与圆 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，则直线的方程为（　　） A．y=－x－2　 B．y=x－2 C．y=x＋2　 D．y=－x＋2 2.已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c=0通过（　　） A．第一、二、三象限　 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限　 D．第二、三、四象限 3.过点（3，－6）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（　　） A.2x＋y=0 B．x＋y＋3=0 C．x－y＋3=0 D．x＋y＋3=0或2x＋y=0 4.直线x＋y－1=0被圆（x＋1）2＋y2=3截得的弦长为（　　） A．　 B．2 C．2　 D．4 5.已知直线x－2y＋m=0（m＞0）与直线x＋ny－3=0互相平行，且它们间的距离是 ，则m＋n=（　　） A.0　 B．1 C．－1　 D．2 6.已知圆的圆心为（－2，1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（　　） A．x2＋y2＋4x－2y=0 B．x2＋y2－4x＋2y－5=0 C．x2＋y2＋4x－2y－5=0 D．x2＋y2－4x＋2y=0 7.圆C：x2＋（y－2）2=R2（R＞0）上恰好存在2个点，它到直线y=x－2的距离为1，则R的一个取值可能为（　　） A．1　 B．2 C．3　 D．4 8.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋4y＋4=0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋1=0，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：y=x＋2上的动点，则|MP|＋|NP|的最小值为（　　） A．2－3　 B．2＋3 C．－3　 D．＋3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知直线l：x－y＋1=0，则下列结论正确的是（　　） A．直线l的倾斜角是 B．若直线m：x－y＋1=0，则l⊥m C．点（，0）到直线l的距离是2 D．过点（2，2）与直线l平行的直线方程是 x－y－4=0 10.已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11=0与点A（0，－5），则（　　） A．圆C的半径为2 B．点A在圆C外 C．点A与圆C上任一点距离的最大值为3 D．点A与圆C上任一点距离的最小值为 11.已知圆C1：x2＋y2=r2与圆C2：（x－a）2＋（y－b）2=r2（r＞0）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），下列结论正确的有（　　） A．a（x1－x2）＋b（y1－y2）=0 B．2ax1＋2by1=a2＋b2 C．x1＋x2=a D．y1＋y2=2b 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12.已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为　　　　　　． 13.〔一题多解〕已知⊙O的方程是x2＋y2－2=0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10=0，动点P到⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是　　　　． 14.（2025•天津高考12题）l1：x－y＋6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆（x＋1）2＋（y－3）2=r2（r＞0）交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=　　　　． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知直线l经过点P（－2，1），且与直线x＋y=0垂直． （1）求直线l的方程； （2）若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程． 16.（本小题满分15分）已知圆心为C的圆经过点A（－1，1）和B（－2，－2），且圆心在直线l：x＋y－1=0上． （1）求圆C的标准方程； （2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5=0上，求|PQ|的最小值． 17.（本小题满分15分）已知圆M的圆心坐标为M（6，n），n＞0，且圆M与x轴相切，并与圆N：x2＋y2－4x－2y－4=0外切． （1）求圆M的标准方程； （2）若经过点（，）的直线l与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求直线l的方程． 18.（本小题满分17分）已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4=0. （1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为M（2，3），求该直线的方程； （2）设直线l：y=x＋m与圆C交于A，B两点，把△CAB的面积S表示为m的函数，并求S的最大值． 19.（本小题满分17分）已知圆C：（x－2）2＋y2=1，点P是直线l：x＋y=0上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B． （1）当点P的横坐标为3时，求切线的方程； （2）试问直线AB是否恒过定点，若是求出这个定点，若否说明理由． 章末检测（一）　直线与圆 1.B　因为直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，所以该直线的斜率k＝tan 45°＝1，且过点（2，0），所以该直线的方程为y＝x－2.故选B. 2.A　直线ax＋by＋c＝0⇒y＝－x－，因为ab＜0，bc＜0，所以－＞0，－＞0，所以直线过第一、二、三象限.故选A. 3.D　显然，所求直线的斜率存在.当两截距均为0时，设直线方程为y＝kx，将点（3，－6）代入得k＝－2，此时直线方程为2x＋y＝0；当两截距均不为0时，设直线方程为＋＝1（a≠0），将点（3，－6）代入得a＝－3，此时直线方程为x＋y＋3＝0.综上可知选D. 4.B　由题意，得圆心为（－1，0），半径r＝，弦心距d＝＝，所以所求的弦长为2＝2，故选B. 5.A　由题意，所给两条直线平行，∴n＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8（舍去），∴m＋n＝0. 6.A　设直径的两个端点分别为A（a，0），B（0，b），圆心C为点（－2，1），由中点坐标公式，得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2.∴半径r＝＝，∴圆的方程是（x＋2）2＋（y－1）2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.故选A. 7.B　圆C：x2＋（y－2）2＝R2的圆心C（0，2），半径为R，点C到直线y＝x－2的距离为＝2，圆C上恰好存在2个点到直线y＝x－2的距离为1，则1＜R＜3，故选B. 8.A　根据题意，圆C1：x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0，即（x＋1）2＋（y＋2）2＝1，其圆心C1（－1，－2），半径R＝1.圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0，即（x－2）2＋（y＋1）2＝4，其圆心C2（2，－1），半径r＝2.设圆C1关于直线l：y＝x＋2对称的圆为圆C'1，其圆心C'1（－4，1），半径R'＝1，则其方程为（x＋4）2＋（y－1）2＝1.设圆C'1上的点M'与圆C1上的点M关于直线l对称，则有｜MP｜＝｜M'P｜.原问题可以转化为动点P到圆C'1和圆C2上动点的距离之和的最小值问题.连接C2C'1，与直线l交于点P'，P'即为满足｜NP｜＋｜M'P｜最小的点，此时｜NP｜＋｜M'P｜＝｜C2C'1｜－R'－r＝2－3，即｜MP｜＋｜NP｜的最小值为2－3.故选A. 9.CD　对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k'＝，kk'＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点（，0）到直线l的距离d＝＝2，故C正确；对于D，过点（2，2）与直线l平行的直线方程是y－2＝（x－2），整理得x－y－4＝0，故D正确.综上所述，正确的选项为C、D. 10.BCD　依题意，圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝2，则圆心C（2，－3），半径r＝，A不正确；因点A（0，－5），则｜AC｜＝2＞r，点A在圆C外，B正确；因点A在圆C外，在圆C上任取点P，则｜PA｜≤｜PC｜＋｜CA｜＝r＋｜CA｜＝3，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“＝”，C正确；在圆C上任取点M，则｜MA｜≥｜CA｜－｜MC｜＝｜CA｜－r＝，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“＝”，D正确.故选B、C、D. 11.ABC　由题意，圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2.分别把A（x1，y1），B（x2，y2）两点坐标代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a（x1－x2）＋2b（y1－y2）＝0，即a（x1－x2）＋b（y1－y2）＝0，所以选项A、B是正确的；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C是正确的，选项D是不正确的.故选A、B、C. 12.x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0 解析：设直线l的方程为＋＝1，∴｜ab｜＝3，且－＝，解得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1，∴直线l的方程为＋y＝1或－y＝1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 13.x＝　解析：法一　由题可知，两圆方程相减，得动点P的轨迹方程是x＝. 法二　设P（x，y），P到☉O和☉O'所引的切线长为a，｜PO｜2＝2＋a2，｜PO'｜2＝6＋a2，∴｜PO｜2－｜PO'｜2＝－4，∴x2＋y2－[（x－4）2＋y2]＝－4，即x＝. 14.2　解析：对于直线l1：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝－6，所以A（－6，0），B（0，6），所以｜AB｜＝6.因为｜AB｜＝3｜CD｜，所以｜CD｜＝2.圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2的圆心为（－1，3），圆心到直线l1的距离d＝＝，所以r＝＝＝2. 15.解：（1）由题意得直线l的斜率为1， 故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. （2）由直线m与直线l平行， 可设直线m的方程为x－y＋c＝0（c≠3）， 由点到直线的距离公式得＝， 即｜c－3｜＝2，解得c＝1或c＝5. 故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0. 16.解：（1）设圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），因为圆C经过点A（－1，1）和B（－2，－2）， 且圆心在直线l：x＋y－1＝0上， 所以 解得 所以圆C的标准方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝25. （2）因为圆心C到直线x－y＋5＝0的距离d＝＝5＞5， 所以直线x－y＋5＝0与圆C相离， 所以｜PQ｜的最小值为d－r＝5－5. 17.解：（1）由圆N：x2＋y2－4x－2y－4＝0，知其标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝9，圆心为N（2，1），半径为3. 设圆M的半径为r，且圆M与x轴相切， 所以r＝n， ① 又圆M与圆N外切，所以｜MN｜＝r＋3⇔＝r＋3， ② 联立解得r＝n＝1， 所以圆M的标准方程为（x－6）2＋（y－1）2＝1. （2）当直线l斜率不存在时，方程为x＝， 此时代入（x－6）2＋（y－1）2＝1中， 解得y1＝＋1，y2＝－＋1， 所以｜PQ｜＝｜y1－y2｜＝，满足题意， 所以直线l的方程为x＝. 当直线l斜率存在时，设斜率为k，又经过点（，）， 则直线方程为y－＝k（x－）， 即2kx－2y－11k＋1＝0， 由圆M的圆心M（6，1）到直线2kx－2y－11k＋1＝0的距离为 d＝＝， 由直线l与圆M交于P，Q两点，且｜PQ｜＝， 圆M的半径为r＝1， 所以r2＝d2＋（）2， 即1＝（）2＋（）2，解得k＝0， 所以直线l的方程为y＝. 综上可得，所求直线l的方程为x＝或y＝. 18.解：（1）圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－2）2＝9. 则kCM＝＝－1. 设所求的直线为n.由圆的几何性质可知kn·kCM＝－1，所以kn＝1， 所以所求的直线方程为y－3＝1·（x－2），即y＝x＋1. （2）设圆心C到直线l的距离为d， 则d＝，且（）2＋d2＝9，所以＝， 因为直线l：y＝x＋m与圆C交于A，B两点，所以0＜d＜3， 解得－3－1＜m＜3－1且m≠－1. 而△CAB的面积为S＝｜AB｜×d＝×（－3－1＜m＜3－1，m≠－1）， 因为（）2＋d2＝9， 所以S＝｜AB｜×d≤［（）2＋d2］＝（当且仅当＝d＝时等号成立）. 所以S的最大值为. 19.解：（1）由题可知P（3，－3），由圆C：（x－2）2＋y2＝1，可知圆心为C（2，0），半径为1， 当切线的斜率不存在时，x＝3满足题意， 当切线的斜率存在时，可设切线方程为y＋3＝k（x－3），则＝1， 解得k＝－，所以切线方程为y＋3＝－（x－3），即4x＋3y－3＝0， 所以切线方程为x＝3或4x＋3y－3＝0. （2）直线AB恒过定点（，－），理由如下： 设P（t，－t），由题意知A，B在以PC为直径的圆上，又C（2，0）， 则以PC为直径的圆的方程为（x－t）（x－2）＋（y＋t）（y－0）＝0， 即x2＋y2－（t＋2）x＋ty＋2t＝0， 又圆C：（x－2）2＋y2＝1，即x2＋y2－4x＋3＝0， 两式相减可得直线AB的方程为（2－t）x＋ty－3＋2t＝0， 即2x－3－t（x－y－2）＝0， 由解得 即直线AB恒过定点（，－）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $