第一章 预备知识：集合、常用逻辑用语、不等式（复习讲义）数学北师大版2019必修第一册

第1章 预备知识（复习讲义） 1.掌握集合的基本概念、表示方法及运算规则. 2.理解充要条件的含义，理解全称量词与存在量词及命题的否定，.能判断命题成立的条件； 3.掌握不等式性质、解法及实际应用，能用基本不等式求最值问题. 4.深入理解二次函数图像与性质，并解决相关不等式问题. 5.整合本章知识，提升综合应用能力 ●一、集合 （1） 集合及其表示方法： 1.集合 （1）集合与元素： ①含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. ②元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A （2）集合中元素的特征： ①确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． ②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． ③无序性：集合中的元素可以任意排列． （3）集合相等：如果两个集合A，B,组成它们的元素完全相同，称这两个集合相等，记作A=B. （4）集合的分类： ①含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. ②空集：不含任何元素的集合. 【特别提醒】空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集！ 2.几种常见的数集： N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 3.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 4.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法. 5.区间及其表示： （1）一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] （2）特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【特别提醒】　 ①关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． ②区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． ③正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． ④区间的端点a,b，b-a称为区间的长度. （2） 集合的基本关系： 1. 子集： （1）定义：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.读作A包含于B或B包含A. （2）如果A不是B的子集，记作A⊈B或B⊉A.读作A不包含于B或B不包含A. （3）任意集合A都是它自身的子集，Φ⊆A. （4）规定：空集是任何集合A的子集．A⊆A 2.真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则中A称作集合B的真子集，记作AB或BA.读作A真包含于B或B真包含A. 3.集合间关系的传递性：对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC． 4.集合的相等与子集的关系 （1）若A⊆B，且B⊆A，则A=B； （2）若A=B，则A ⊆B，且B⊆A； 【特别提醒】 不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． 【拓广】集合的子集、真子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． （3） 集合的运算关系： 1. 交集： （1） 定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集， 记作A∩B. （2）符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． （3）图示： 2.并集：（1）定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B （2）符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} （3）图示： 3.补集： （1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. （2）补集： ①定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA. ②符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. ③图示： 【拓广解读】 1.交集与并集 并集 交集 简单性质 A∪A＝A；A∪∅＝A A∩A＝A；A∩∅＝∅ 常用结论 A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A 2.交集、并集与补集 (1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合． (2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示． ●二、常用逻辑用语 （一）必要条件与充分条件： 1.必要条件：如果已知p⇒q，则q是p的必要条件；一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的. 2.充分条件：如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件； 3.充要条件：如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. （二）全称量词与存在量词： 1全称量词命题： ①.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题 ②全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x). ③常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义． 2. 存在量词命题： ①短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词（特称）命题. ②存在量词（特称）命题的表述形式：存在M中的一个x，使p(x)成立，可简记为，∃x∈M，p(x). ③常用的存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义． 3.全称量词命题与存在量词命题的否定： ①全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x). ②存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x) ●三、不等式 （一）不等式的性质： 1.不等式的性质： (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c. (4)可乘性： a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc. (5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. 【拓广】(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． (8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 2．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. （5）两个重要不等式：若a>b>0，m>0，则 ①<；>(b－m>0)． ②>；<(b－m>0)． （2） 基本不等式： 1.基本不等式：当a，b≥0时有，当且仅当a=b时，等号成立． 2.几何意义： （1）基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）几何意义：①如果矩形的长、宽分别为a,b，那么矩形的面积是ab, 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，基本不等式的几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形面积最大. ②如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，AC=a，BC=b,D在半圆上，DC⊥AB，计算可得OD =，CD =, a≠b时，> a=b时，= （3）应用：已知x、y都是正数． ①若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）． ②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）． 特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！ ●四、 一元二次函数与一元二次不等式 （一）一元二次函数： 1.二次函数解析式的三种形式： （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). （3）零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 X的范围 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) y的范围 y随x增大的变化情况 在上逐渐减小； 在上逐渐增大 在上逐渐增大； 在上逐渐减小 对称性 函数的图象关于x＝－对称（对称轴） （二）一元二次不等式及其解法： 1.概念： （1）定义：只含有一个未知数，并且未知数最高次数时2 的整式不等式叫作一元二次不等式. （2）形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 2.一元二次不等式的解法： （1）解一元二次不等式的一般步骤： ①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． ②判：计算对应方程的判别式． ③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． ④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． （2）函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根、不等式ax2＋bx＋c>0解集的关系（a>0）: 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 解不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的步骤 判别式Δ ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 得不等式 的解集 f(x)>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ （三）一元二次不等式的应用： 一般步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②列式：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，列出不等式； ③求解：求解不等式，得出数学结论； ④作答：结合实际问题的意义，写出答案． 题型一 元素和集合的关系 【例1】（25-26高一上·全国·课堂例题）用符号“”或“”填空． （1） ； （2）3.14 ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）0 ． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）如果集合A是由所有小于10的自然数组成的集合，那么1 A，0.5 A. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0 ， ，3.14 ， ， ， ； （2）0 ，1 ． 题型二 用适当方法表示集合 【例2】（20-21高一·全国·课后作业）给出下列说法： ①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为； ②方程的解集为； ③集合与是不相同的； ④不等式的解集可用区间表示为. 其中正确的是 (填序号)． 【变式2-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【变式2-2】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 题型三 根据元素与集合的关系求参数 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合中所有元素之和为 ． 【变式3-1】（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为 ． 题型四 根据集合中元素的个数求参数 【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【变式4-1】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 题型五 常用数集的应用 【例5】（25-26高一上·全国·课前预习）用列举法表示集合 ． 【变式5-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为 【变式5-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合 . 题型六 集合间关系的判定 【例6】（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中正确的是（   ） A．集合的真子集是 B． C．设，若，则 D． 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 确定子集、真子集（个数） 【例7】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合共有多少个？并用恰当的形式表示这些集合． 【变式7-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，则满足的集合C的个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【变式7-2】（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 题型八 根据集合的包含关系求参数（集合） 【例8】（2025高一·全国·专题练习）（多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式8-1】（2025高一·全国·专题练习）设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 题型九 根据集合的相等求参数 【例9】（25-26高一上·全国·课堂例题）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 【变式9-1】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式9-2】（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 题型十 根据子集（真子集）个数求参数 【例10】（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【变式10-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式10-2】（多选）（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 题型十一 交集运算 【例11】（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）设集合，，则 ． 【变式11-1】（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知集合 ，则的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 题型十二 并集运算 【例12】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A．64 B．63 C．6 D．65 【变式12-1】（24-25高一下·海南海口·期中）集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 题型十三 全集、补集及其运算 【例13】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式13-1】（24-25高一下·江苏盐城·期末）若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高一下·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型十四 交集、并集、补集的综合运算 【例14】 （2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高一下·安徽滁州·期末）全集为，集合，或，则（   ） A． B． C． D． 题型十五 根据集合的运算求集合、参数 【例15】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【变式15-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 题型十六 判断命题成立的条件 【例16】（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式16-1】（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式16-2】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型十七 根据命题成立的条件求参数 【例17】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【变式17-1】（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式17-2】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 题型十八 探求命题为真的条件 【例18】（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【变式18-1】（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式18-2】（22-23高一上·湖北十堰·期中）使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 题型十九 全称量词命题与存在量词命题的判断 【例19】（2025高一·全国·专题练习）（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（    ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 【变式19-1】（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（   ） A．是存在量词命题，是真命题 B．是存在量词命题，是假命题 C．是全称量词命题，是真命题 D．是全称量词命题，是假命题 【变式19-2】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 题型二十 量词命题否定的判断及求参数问题 【例20】（多选）（2025高一·全国·专题练习）给定命题：，都有．若命题为假命题，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式20-1】（2025高一·全国·专题练习）已知存在实数，使，则实数的取值范围为 ． 【变式20-2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假． (1)对任意的实数，都有； (2)存在实数，使得； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数． 题型二十一 由不等式性质比较数（式）的大小 【例21】 （多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式21-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式21-2】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 题型二十二 根据不等式性质求代数式的范围 【例22】（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）（1）试比较与的大小 （2）已知，，求，的取值范围. 【变式22-1】（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式22-2】（2022高一·全国·专题练习）一次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次知识竞赛中，小强被评为优秀（85分或85分以上），小强至少答对 道题． 题型二十三 应用基本不等式比较大小 【例23】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式23-1】（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式23-2】（多选）（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二十四 应用基本不等式证明不等式 【例24】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）（1） “，不等式恒成立”为真命题，求实数a的取值范围． （2）已知正数a，b满足，证明： 【变式24-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）（1）已知，，求证：. （2）已知，，，求证：. 【变式24-2】（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型二十五 应用基本不等式求最值 【例25】（2025高一上·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ． 【变式25-1】（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式25-2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 题型二十六 二次函数的综合问题 【例26】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，求二次函数的最小值； (2)当时，二次函数有最小值，在此条件下求函数的最大值. 【变式26-1】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．关于的方程的解集为 【变式26-2】（多选）（2020高三·全国·专题练习）(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是（    ） A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0，3) C．顶点是(－2，－2) D．过点(3，0) 题型二十七 不含参一元二次不等式的解集 【例27】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）求下列不等式的解集 (1)； (2). 【变式27-1】（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式27-2】（25-26高一上·全国·单元测试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 . 题型二十八 含参数一元二次不等式的解集 【例28】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【变式28-1】（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【变式28-2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）太原市小店区第一中学校开展数学社团合作学习模式，社团内同学甲给社团内同学乙出题如下：若：“，”是假命题，求实数的取值范围.同学乙略微思考，反过来给同学甲出了一道题：若“，”是真命题，求实数的取值范围，你认为两位同学出的题中的的取值范围是否相同，的取值范围是多少? 题型二十九 一元二次不等式的应用 【例29】（24-25高一上·全国·课后作业）某小区内有一个矩形花坛，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知，.要使矩形AMPN的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【变式29-1】（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【变式29-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．若年销售量增加的比例为，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？ 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·海南儋州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一下·北京延庆·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2018·上海·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．（23-24高一上·广东江门·期中）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·期中）已知；．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一下·云南昆明·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 9．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 10．（24-25高一上·重庆·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，，则= . 12．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 能力提升进阶练 13．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 14．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的图象与x轴交于，两点，求的最小值. 15．（24-25高一上·上海·期中）为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值． 16．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 17．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 18．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 20．（24-25高一上·北京朝阳·期中）已知函数的最小值不小于，且. (1)求函数的解析式； (2)函数在的最小值为实数的函数，若关于的方程无解，试确定实数的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 预备知识（复习讲义） 1.掌握集合的基本概念、表示方法及运算规则. 2.理解充要条件的含义，理解全称量词与存在量词及命题的否定，.能判断命题成立的条件； 3.掌握不等式性质、解法及实际应用，能用基本不等式求最值问题. 4.深入理解二次函数图像与性质，并解决相关不等式问题. 5.整合本章知识，提升综合应用能力 ●一、集合 （1） 集合及其表示方法： 1.集合 （1）集合与元素： ①含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. ②元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A （1） 集合中元素的特征： ①确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． ②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． ③无序性：集合中的元素可以任意排列． （3）集合相等：如果两个集合A，B,组成它们的元素完全相同，称这两个集合相等，记作A=B. （4）集合的分类： ①含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. ②空集：不含任何元素的集合. 【特别提醒】空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集！ 2.几种常见的数集： N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 3.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 4.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法. 5.区间及其表示： （1）一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] （2）特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【特别提醒】　 ①关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． ②区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． ③正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． ④区间的端点a,b，b-a称为区间的长度. （2） 集合的基本关系： 1. 子集： （1）定义：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.读作A包含于B或B包含A. （2）如果A不是B的子集，记作A⊈B或B⊉A.读作A不包含于B或B不包含A. （3）任意集合A都是它自身的子集，Φ⊆A. （4）规定：空集是任何集合A的子集．A⊆A 2.真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则中A称作集合B的真子集，记作AB或BA.读作A真包含于B或B真包含A. 3.集合间关系的传递性：对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC． 4.集合的相等与子集的关系 （1）若A⊆B，且B⊆A，则A=B； （2）若A=B，则A ⊆B，且B⊆A； 【特别提醒】 不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． 【拓广】集合的子集、真子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． （3） 集合的运算关系： 1. 交集： （1） 定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集， 记作A∩B. （2）符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． （3）图示： 2.并集：（1）定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B （2）符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} （3）图示： 3.补集： （1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. （2）补集： ①定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA. ②符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. ③图示： 【拓广解读】 1.交集与并集 并集 交集 简单性质 A∪A＝A；A∪∅＝A A∩A＝A；A∩∅＝∅ 常用结论 A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A 2.交集、并集与补集 (1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合． (2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示． ●二、常用逻辑用语 （一）必要条件与充分条件： 1.必要条件：如果已知p⇒q，则q是p的必要条件；一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的. 2.充分条件：如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件； 3.充要条件：如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. （二）全称量词与存在量词： 1全称量词命题： ①.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题 ②全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x). ③常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义． 2. 存在量词命题： ①短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词（特称）命题. ②存在量词（特称）命题的表述形式：存在M中的一个x，使p(x)成立，可简记为，∃x∈M，p(x). ③常用的存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义． 3.全称量词命题与存在量词命题的否定： ①全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x). ②存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x) ●三、不等式 （一）不等式的性质： 1.不等式的性质： (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c. (4)可乘性： a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc. (5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. 【拓广】(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． (8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 2．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. （5）两个重要不等式：若a>b>0，m>0，则 ①<；>(b－m>0)． ②>；<(b－m>0)． （2） 基本不等式： 1.基本不等式：当a，b≥0时有，当且仅当a=b时，等号成立． 2.几何意义： （1）基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）几何意义：①如果矩形的长、宽分别为a,b，那么矩形的面积是ab, 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，基本不等式的几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形面积最大. ②如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，AC=a，BC=b,D在半圆上，DC⊥AB，计算可得OD =，CD =, a≠b时，> a=b时，= （3）应用：已知x、y都是正数． ①若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）． ②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）． 特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！ ●四、 一元二次函数与一元二次不等式 （一）一元二次函数： 1.二次函数解析式的三种形式： （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). （3）零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 X的范围 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) y的范围 y随x增大的变化情况 在上逐渐减小； 在上逐渐增大 在上逐渐增大； 在上逐渐减小 对称性 函数的图象关于x＝－对称（对称轴） （二）一元二次不等式及其解法： 1.概念： （1）定义：只含有一个未知数，并且未知数最高次数时2 的整式不等式叫作一元二次不等式. （2）形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 2.一元二次不等式的解法： （1）解一元二次不等式的一般步骤： ①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． ②判：计算对应方程的判别式． ③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． ④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． （2）函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根、不等式ax2＋bx＋c>0解集的关系（a>0）: 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 解不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的步骤 判别式Δ ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 得不等式 的解集 f(x)>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ （三）一元二次不等式的应用： 一般步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②列式：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，列出不等式； ③求解：求解不等式，得出数学结论； ④作答：结合实际问题的意义，写出答案． 题型一 元素和集合的关系 【例1】（25-26高一上·全国·课堂例题）用符号“”或“”填空． （1） ； （2）3.14 ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）0 ． 【答案】 【分析】根据常用数集的表示符号及其含义进行判断，得到答案. 【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 故答案为：，，，，， 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）如果集合A是由所有小于10的自然数组成的集合，那么1 A，0.5 A. 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系可得. 【详解】由题可知： 故答案为：， 【变式1-2】（25-26高一上·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0 ， ，3.14 ， ， ， ； （2）0 ，1 ． 【答案】 【分析】利用特殊数集的定义以及元素与集合的关系即可求解. 【详解】（1）是正整数集，0不是正整数，； 是整数集，是整数，； 是有理数集，3.14是有理数，； 是有理数集，是无理数，； 是整数集，不是整数，； 是实数集，是实数，； （2）集合中含有元素，； 解方程得，，则， . 故答案为：（1）；；；；；；（2）；. 题型二 用适当方法表示集合 【例2】（20-21高一·全国·课后作业）给出下列说法： ①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为； ②方程的解集为； ③集合与是不相同的； ④不等式的解集可用区间表示为. 其中正确的是 (填序号)． 【答案】①③④ 【分析】根据题意，结合集合的表示方法列举法和描述法，以及点集和数集的定义，分析各项集合中元素具有的性质，逐项判定，即可求解，得到答案． 【详解】解：对于①中，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0， 且集合中的代表元素为点，所以①正确； 对于②中，方程的解为， 解集为：或，所以②不正确； 对于③中，集合，集合， 这两个集合不相等，所以③正确． 对于④，不等式的解集为，用区间表示为，所以④正确． 答案：①③④. 【变式2-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 【变式2-2】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据描述法及列举法的定义结合题意即可得出答案. 【详解】（1）由得，，解得，， 所以集合为； （2）由，得x为，，0，1，2， 当或时，； 当或时，； 当时，． 所以集合为； （3）； （4）解不等式得， 所以不等式的解集可表示为． 题型三 根据元素与集合的关系求参数 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】 【分析】根据元素与集合间的关系，分类讨论即可求解. 【详解】由知，或0或1． 当时，，此时，则，不满足题意，舍去； 当时，，若，此时，则，不满足题意，舍去， 若，此时，则，满足题意； 当时，，此时，满足题意． 所以， 所以集合中所有元素之和为． 故答案为： 【变式3-1】（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值． 【详解】由题意，，所以，解得： 故答案为：． 题型四 根据集合中元素的个数求参数 【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 【变式4-1】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，可知，所以依次讨论为时，集合中的元素个数． A选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； B选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素； C选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； D选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素． 故选：AC. 【变式4-2】（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 题型五 常用数集的应用 【例5】（25-26高一上·全国·课前预习）用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】找到6的正因数，结合列举法即可得出结果. 【详解】因为，且，所以，则，故或7，所以． 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为 【答案】4 【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果. 【详解】将满足的整数对列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个. 故答案为：4 【变式5-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】由题意可得或，解之即可求解. 【详解】因为， 所以或，解得或0或2或3， 即. 故答案为： 题型六 集合间关系的判定 【例6】（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 【变式6-1】（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中正确的是（   ） A．集合的真子集是 B． C．设，若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出，可知C正确；根据空集是任何非空集合的真子集，可知D正确. 【详解】对于A，集合的真子集包括，A错误； 对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以，B正确； 对于C，因为，，，所以，，，C正确； 对于D，因为方程的解为，所以，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，D正确． 故选：BCD. 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】， 所以，，故AD正确； 所以，，故BC错误. 故选：AD. 题型七 确定子集、真子集（个数） 【例7】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合共有多少个？并用恰当的形式表示这些集合． 【答案】3个， 【分析】根据真子集的定义求解. 【详解】因为，所以集合是的真子集， 集合里面的元素为0，1，2，又中至少有一个元素为奇数， 所以中至少要有元素1，所以集合为，共3个. 【变式7-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，则满足的集合C的个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】求出集合、，再根据写出所有的满足条件的集合C，进而可得正确答案. 【详解】因为，， 且， 故集合可以为，，共6个． 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【详解】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 题型八 根据集合的包含关系求参数（集合） 【例8】（2025高一·全国·专题练习）（多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】BCD 【分析】解二次方程化简集合A，由知，按照和两种情况分类求解即可. 【详解】由十字相乘法可得，所以或，即． 当时，B可能为，也可能不为． B是方程的解集，求解时需对B中元素个数进行分类讨论． 当时，，此时满足； 当时，因为，所以． 又，所以或，解得或1． 综上可知，a的值为或1或0． 故选：BCD 【变式8-1】（2025高一·全国·专题练习）设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的子集关系求解． 【详解】因为，且， 所以. 故选：D. 【变式8-2】（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以满足的集合中必有元素2，3， 所以求满足的集合的个数，即求集合的真子集个数， 所以满足的集合的个数为个. 故答案为：7. 题型九 根据集合的相等求参数 【例9】（25-26高一上·全国·课堂例题）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 【答案】，或， 【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验． 【详解】由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 【变式9-1】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【详解】∵， ∴，解得， 故选：B 【变式9-2】（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据集合相等解方程即可求得结果. 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 题型十 根据子集（真子集）个数求参数 【例10】（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合子集个数确定集合元素只有一个，讨论参数m判断方程仅有一个解情况下m取值. 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 【变式10-1】（多选）（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】根据题意可知集合A有2个元素，结合一元二次方程的判别式即可求得答案. 【详解】因为集合A恰有3个非空子集，所以集合A有2个元素， 则有两个不相等的实数解， 则，解得，结合选项可知a的值可能为， 故选：ABC． 【变式10-2】 题型十一 交集运算 【例11】（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）设集合，，则 ． 【答案】 【分析】将两集合的交集问题转化为两直线的交点问题求解即可. 【详解】依题意，集合和集合都是点集，其中，集合表示在直线上的点，集合表示在直线上的点，因此集合和集合的交集元素为直线和直线的交点坐标. 联立，解得，得. 故答案为：. 【变式11-1】（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 【变式11-2】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知集合 ，则的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据交集的定义及真子集的定义即可得解. 【详解】， 则， 所以的真子集个数为. 故选：A. 题型十二 并集运算 【例12】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A．64 B．63 C．6 D．65 【答案】B 【分析】利用列举法表示集合，即可得解. 【详解】由， 则，共个元素， 所以集合的真子集个数为. 故选：B. 【变式12-1】（24-25高一下·海南海口·期中）集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集运算求解. 【详解】由，，所以. 故选：D. 【变式12-2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集和并集的定义，可得答案. 【详解】因为集合，所以，， 故选：B 题型十三 全集、补集及其运算 【例13】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 【变式13-1】（24-25高一下·江苏盐城·期末）若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集运算即可得解. 【详解】∵，，∴. 故选：C. 【变式13-2】（24-25高一下·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意解不等式，推导出x的取值范围，确定全集U，再根据给定集合进行补集运算求解. 【详解】根据题给条件：可知，所以 即. 集合 则，元素个数为4. 故选：B. 题型十四 交集、并集、补集的综合运算 【例14】 （2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D. 【详解】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 【变式14-1】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集、交集的概念即可得解. 【详解】已知全集，集合，，则. 故选：D. 【变式14-2】（24-25高一下·安徽滁州·期末）全集为，集合，或，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集和交集运算即可求解. 【详解】因为或，所以， 又因为，所以， 故选：C. 题型十五 根据集合的运算求集合、参数 【例15】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 【变式15-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，，，再假设推出矛盾，即可得到，同理得到，，，即可得解. 【详解】因为，， 所以，，，，，， 若，则，，所以，与题意矛盾，所以， 同理可证，，， 所以. 故选：A 【变式15-2】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 题型十六 判断命题成立的条件 【例16】（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【详解】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式16-1】（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式16-2】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据“”和“”的逻辑推理关系，即可判断答案. 【详解】“”可以推出“”，反之不成立， 故选：A. 题型十七 根据命题成立的条件求参数 【例17】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【变式17-1】（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案. 【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 【变式17-2】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 题型十八 探求命题为真的条件 【例18】（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 【变式18-1】（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】，故，得到答案. 【详解】因为， 所以， 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 【变式18-2】（22-23高一上·湖北十堰·期中）使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案. 【详解】对于A，因为或或，故错误； 对于B，因为或或，故正确； 对于C，因为或或，故错误； 对于D，因为不是或的真子集，故错误. 故选：B. 题型十九 全称量词命题与存在量词命题的判断 【例19】（2025高一·全国·专题练习）（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（    ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 【答案】AC 【分析】根据题意，首先判断各个选项的命题是不是存在量词命题，然后运用完全平方公式判断存在量词命题是不是假命题即可. 【详解】由题意可知，原命题应为存在量词命题且为假命题，所以首先排除B选项和D选项， 对于A，因为，，所以，是假命题， 对于C，因为，，所以，是假命题， 即A选项和C选项均为存在量词命题且为假命题． 故选：AC. 【变式19-1】（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（   ） A．是存在量词命题，是真命题 B．是存在量词命题，是假命题 C．是全称量词命题，是真命题 D．是全称量词命题，是假命题 【答案】AC 【分析】根据存在量词和全称量词命题的定义即可求解. 【详解】，又，故当时，等式成立，故命题是存在量词命题，是真命题； 能被4整除的数均能被2整除，故所有能被4整除的数都是偶数，命题是全称量词命题，是真命题． 故选：AC 【变式19-2】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题.题型二十 量词命题否定的判断及求参数问题 【例20】（多选）（2025高一·全国·专题练习）给定命题：，都有．若命题为假命题，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【分析】先写出命题的否定，由题意知其为真命题.法一：根据和分类讨论，分别求出参数的范围，再合并并检验选项即可；法二：根据各选项的的值，分别检验是否符合题意即可判断. 【详解】法一：命题为假命题，则命题的否定“，使得成立”为真命题，所以的最小值小于10. 当时，的最小值为，所以，即； 当时，的最小值为0，恒成立，即． 综上，实数的取值范围是． 选项A，B，C都在该范围内．选项D不在范围内. 故选：ABC. 法二：命题为假命题，则命题的否定“，使得成立”为真命题，将各选项代入验证即可． 对于A，当时，使得成立，故A正确； 对于B，当时，使得成立，故B正确； 对于C，当时，使得成立，故C正确； 对于D，当时，不存在使得成立，故D错误． 故选：ABC. 【变式20-1】（2025高一·全国·专题练习）已知存在实数，使，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题中条件结合能成立问题直接求解即可. 【详解】由于存在实数，使，则只需大于或等于x的最小值，即. 故答案为：. 【变式20-2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假． (1)对任意的实数，都有； (2)存在实数，使得； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定并判定真假即可. 【详解】（1）全称量词命题． 原命题的否定：存在一个实数，使得．原命题的否定是真命题． （2）存在量词命题． 原命题的否定：对任意的实数，都有．原命题的否定是假命题． （3）全称量词命题． 原命题的否定：存在一个素数不是奇数．原命题的否定是真命题． （4）全称量词命题． 原命题的否定：方程至少有一个根不是正数．原命题的否定是假命题. 题型二十一 由不等式性质比较数（式）的大小 【例21】 （多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】A选项，根据条件得到，解得；B选项，根据条件得到，求出；C选项，由不等式的性质可得；D选项，解法一：，结合，可求出；解法二：由不等式性质可得，故. 【详解】A选项，由可得，解得，A错误； B选项，由可得，解得，B错误； C选项，由可得，即，C正确； D选项，解法一：由得，则， 由A知，则， 解法二：已知，即，由知， 所以，即，D正确； 故选：CD 【变式21-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质及特殊值法判断各项的正误. 【详解】由，知，则，A正确； 取，则，B，C错误； 因为，所以，D错误． 故选：A 【变式21-2】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【详解】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 题型二十二 根据不等式性质求代数式的范围 【例22】（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）（1）试比较与的大小 （2）已知，，求，的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）作差法比较即可； （2）由不等式的性质计算即可. 【详解】（1）因为 所以. （2）因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以. 【变式22-1】（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：由，，得，故，错； B：由，得，而，故，对； C：由，，得，错； D：由，得，而，则，对. 故选：BD 【变式22-2】（2022高一·全国·专题练习）一次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次知识竞赛中，小强被评为优秀（85分或85分以上），小强至少答对 道题． 【答案】22 【分析】根据题意列出不等式即可求解. 【详解】设小强答对了x道题，则他答错或不答的共有（25-x）道题，由题意得 ，解得，小强至少答对了22道题． 故答案为：22 题型二十三 应用基本不等式比较大小 【例23】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 【变式23-1】（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到. 【详解】对于A，由，因，故得，即A错误； 对于B，由两边同除以，可得 ，故B错误； 对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确； 对于D，由，因，故得，故D错误. 故选：C. 【变式23-2】（多选）（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 题型二十四 应用基本不等式证明不等式 【例24】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）（1） “，不等式恒成立”为真命题，求实数a的取值范围． （2）已知正数a，b满足，证明： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1） 根据基本不等式求出，，再根据不等式，不等式恒成立”可得答案． （2）利用“1”的变形技巧，结合基本不等式求解． 【详解】（1）由基本不等式可知，（当且仅当时取“＝”）， 因为，不等式恒成立”，所以，故， （2），，， ， 当且仅当即时，等号成立． 【变式24-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）（1）已知，，求证：. （2）已知，，，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质进行证明即可. （2）利用均值不等式进行证明即可. 【详解】（1）由，可得， 从而有，又，可得. （2）由，，得 ， 当且仅当，即时取等号. 所以. 【变式24-2】（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 题型二十五 应用基本不等式求最值 【例25】（2025高一上·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】解法一：由可对称设元，化为一元函数最值求解； 解法二：变形换元得到，令，由基本不等式可得，则，由基本不等式可得最大值. 【详解】解法一：设， 则 ， 设， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为． 解法二：①． 由得，则， 代入①得原式．令， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 则原式， 当且仅当且，即时等号成立， 故的最大值为． 故答案为： 【变式25-1】（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 【变式25-2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. （2）解：由，可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 题型二十六 二次函数的综合问题 【例26】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，求二次函数的最小值； (2)当时，二次函数有最小值，在此条件下求函数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数的性质求最值； （2）根据函数的最小值为求出值，再利用二次函数的性质求出最大值. 【详解】（1）把代入得： 所以最小值为； （2）二次函数的开口向上对称轴为， 把代入，得，解得， 所以， 当时，，当时，， 所以函数的最大值为. 【变式26-1】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．关于的方程的解集为 【答案】BD 【分析】由函数图象可分析出符号判断A，根据1为对应二次方程的根可判断BC，再由为二次函数对应方程的两个根判断D. 【详解】由图象知，时，，开口向下，， ，即，则，则，所以，故A错误； 由时，且，所以，故B正确； 因为，故C错误； 由可得， 因为是方程的两根，所以是方程的根， 所以关于的方程的解集为，故D正确. 故选：BD 【变式26-2】（多选）（2020高三·全国·专题练习）(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是（    ） A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0，3) C．顶点是(－2，－2) D．过点(3，0) 【答案】ABD 【分析】分别利用二次函数的对称性及二次函数图像上点的坐标性质进行判断即可 【详解】解：因为二次函数的图像过(1，0)，且对称轴为直线x＝2，所以图像与x轴的另一个交点为(3，0)，且x轴上截得的线段的长度是2，所以A,D正确， 由已知得，解得， 所以二次函数为，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不会是(－2，－2) 当时，与y轴交于点(0，3)，所以B正确，C错误 故选：ABD. 题型二十七 不含参一元二次不等式的解集 【例27】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）求下列不等式的解集 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式化为，分解因式法求解不等式. （2）不等式化为，转化为整式不等式求解． 【详解】（1）化为，即，解得或， 所以不等式的解集为. （2）不等式化为，则， 解得或，所以原不等式的解集是． 【变式27-1】（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】因为， 所以方程无实数根， 所以二次函数的图象全都在轴的上方， 所以一元二次不等式的解集为. 故选：C 【变式27-2】（25-26高一上·全国·单元测试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】原不等式即，解出，即可求解. 【详解】原不等式即，解得，所以， 所以解集为． 故选：A . 题型二十八 含参数一元二次不等式的解集 【例28】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式28-1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 【变式28-2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）太原市小店区第一中学校开展数学社团合作学习模式，社团内同学甲给社团内同学乙出题如下：若：“，”是假命题，求实数的取值范围.同学乙略微思考，反过来给同学甲出了一道题：若“，”是真命题，求实数的取值范围，你认为两位同学出的题中的的取值范围是否相同，的取值范围是多少? 【答案】相同， 【分析】由于命题“，”的否定是“，”，故可将题目转换为不等式恒成立问题来求参数的取值范围,对参数进行分类讨论即可. 【详解】由题意命题：“，”的否定是命题：“，”， 因此“，”是假命题当且仅当“，”是真命题， 所以两位同学出的题中的的取值范围相同， 现在我们来求满足题意的的取值范围： 若，，分以下两种情形来讨论： 情形一：当时，不等式变为了显然成立，故符合题意； 情形二：当时，若关于的一元二次不等式恒成立， 则当且仅当， 解不等式组得； 综上所述：满足题意的的取值范围为. 题型二十九 一元二次不等式的应用 【例29】（24-25高一上·全国·课后作业）某小区内有一个矩形花坛，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知，.要使矩形AMPN的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】或 【分析】利用三角形相似将表示出来，再由面积大于32可列出不等式，结合实际意义可得的范围. 【详解】设的长为x（）m，则的长为m. 易知，所以， 所以矩形的面积. 由矩形的面积大于，得. 又，所以，解得或， 即DN的长的取值范围是. 【变式29-1】（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意列式，进而求解即可. 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 【变式29-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．若年销售量增加的比例为，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？ 【答案】 【分析】由题意表示利润，解不等即可. 【详解】由题意得本年度每辆车的投入成本为； 出厂价为；年销售量为， 因此本年度的利润为 即：， 由，得, 所以，投入成本增加的比例应在内． 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用补集运算直接得到结果. 【详解】由，，则. 故选：D 2．（22-23高一上·海南儋州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据含全称量词的命题的否定直接写出否定命题即可. 【详解】由含量词命题的否定知， 命题“，”的否定是“，” 故选：D 3．（24-25高一下·北京延庆·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：C. 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B 5．（2018·上海·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 6．（23-24高一上·广东江门·期中）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集和交集的运算可得结果. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 7．（25-26高一上·全国·期中）已知；．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的性质可判断充分性，用特殊值验证可说明必要性不成立. 【详解】若，由不等式的基本性质得，则成立，即． 若，不妨取，则不成立，即． 所以是的充分不必要条件． 故选：A 8．（24-25高一下·云南昆明·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 【答案】B 【分析】因为，借助重要不等式求最大值. 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 9．（多选）（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 【答案】AD 【分析】根据二次函数的图象和性质，分析给定的四个结论是否正确. 【详解】由函数的图象，可得函数的图象开口向下，与x轴有两个交点， ，，A正确； 由对称轴方程为，可得，，B不正确； 由，可得，C不正确； 由图象可得，根据函数的对称性，可得， 由可得，D正确. 故选：AD 10．（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个选项判断正误即可． 【详解】对于A，因为，，所以，又所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD. 11．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，，则= . 【答案】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 12．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 能力提升进阶练 13．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集概念求出答案； （2）根据交集的结果得到包含关系，进而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）若，则， 因为，所以， 由可得 解得. 故实数的取值范围是 14．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的图象与x轴交于，两点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）利用韦达定理表示，再利用二次函数，即可求最值. 【详解】（1）时，，解得或， 原不等式的解集为或； （2）令，由得， 故，， 故， 当时，取得最小值，最小值为. 15．（24-25高一上·上海·期中）为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值． 【答案】(1)该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. (2)该单位每月处理量为吨时，每月的总获利最大，为元. 【分析】（1）根据基本（均值）不等式可求最小值，并确定对应的的值. （2）列出函数解析式，根据二次函数的性质求最大值. 【详解】（1）因为（当且仅当时取“”）. 所以该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. （2）设该单位每月处理吨时，获得的利润为， 则. 所以当时，最大，为：. 故该单位每月处理量为吨时，每月的总获利最大，为元. 16．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 17．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系来确定系数； （2）先将不等式化简，再通过因式分解求解集，需要对参数的取值进行分类讨论。 【详解】（1）由题意，不等式的解集为，则-1和3是方程的两个根， 得解得，所以. （2）若，则，即， 因为，所以，是方程的两个实数根， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，解集为， ③当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 18．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据交集的概念计算即可； （2）根据集合的关系及补集运算，分类讨论计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 19．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 20．（24-25高一上·北京朝阳·期中）已知函数的最小值不小于，且. (1)求函数的解析式； (2)函数在的最小值为实数的函数，若关于的方程无解，试确定实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题目所给的条件列出与有关的不等式组，然后确定的取值，进而求出函数的解析式； （2）通过讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，求出函数的解析式，进而求出函数的值域. 要使得关于的方程无解，只需让实数的取值范围是函数值域的补集即可. 【详解】（1）函数最小值不小于，则，即. 又因为，所以，即， 综上所述，. 所以. （2）因为的对称轴为，结合二次函数的性质可知， 当，即时，； 当，即时，； 当时，， 所以. 因为当时，， 当时，， 所以的值域为. 故要使得关于的方程无解，则必有. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$null