专题2.1 生活中的变量关系+2.2.1 函数的概念（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦高中数学中生活中的变量关系与函数概念核心知识点，从常量变量识别入手，区分依赖关系与函数关系，进而理解函数的集合对应定义及三要素，掌握定义域求解、函数值计算和图像垂线检验法，形成递进式学习支架，含思维导图辅助知识梳理。 资料以注水容器、小麦产量等生活实例引导学生用数学眼光观察变量关系，通过对比辨析“依赖与函数”培养逻辑推理的数学思维，设计即学即练与分层题型帮助学生用数学语言表达函数关系，课中助力教师教学，课后便于学生查漏补缺。

专题2.1 生活中的变量关系+2.2.1函数的概念 教学目标 了解生活中的变量、常量，能区分变量间的依赖关系和函数关系； 理解用集合与对应语言描述的函数概念，掌握函数的三要素； 会求简单函数的定义域，会求函数值f(a)，能判断两个函数是否为同一个函数； 会用垂线法判断图像是否为函数图像，能辨析对应关系。 教学重难点 1.重点 区分依赖关系与函数关系，理解函数的概念，抓住关键词； 函数三要素；求函数定义域、求函数值； 判断同一函数；图像的垂线检验法。 2.难点 理解 “依赖关系不一定是函数关系”，区分依赖和函数； 对 “任意、唯一确定” 的理解，识别一对多不能构成函数； f(x)符号含义辨析，区分f(x)与f(a)； 实际情境下函数定义域，兼顾解析式条件和现实意义。 知识点 1 变量关系 常量与变量 常量：在变化过程中数值保持不变的量。 变量：在变化过程中可以取不同数值的量。 依赖关系 两个变量，一个变量发生变化，另一个变量也随之变化，则二者存在依赖关系。 注意：依赖关系只反映互相影响，可以一对多，不一定是函数关系。 知识点 ：函数关系 函数是一类特殊的依赖关系。对于自变量每一个取值，都有唯一确定的因变量和它对应，才是函数关系。 【即学即练】 张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（　　） A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 知识点 2：三种方式判断是否为函数 表格：每一个自变量只能对应一个因变量； 图像：垂直 x 轴的直线（垂线检验），与图形最多一个交点； 实际文字描述：检验一个自变量是否只对应唯一结果。 关系： 【即学即练】 下列各图中,可表示函数的图象是(　　). A．    B．   C． D．   知识点 3：函数的定义 设A,B是两个非空实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。记作： 定义域：自变量x的取值集合A； x叫自变量； y叫函数值； 值域：，值域是集合B的子集。 符号解读： ①f代表对应法则，不是数；f(x)不是； ②f(a)：x=a对应的函数值，是一个常数。 知识点 ：求函数值 把自变量取值代入函数表达式，计算输出结果；可求f(常数)，也可求f(x+1)这类代入运算。 【即学即练】 下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 题型 01 常量、变量、依赖关系与函数关系辨析 【典例1】有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t与水面高度y关系图像如图，图中为一线段，与之对应的容器形状是如下四个图中的（    ） A． B． C． D． 【变式1】以下形式中，不能表示“是的函数”的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】将水注入不同形状的玻璃容器中，从空瓶到注满为止，如图所示（设单位时间内进水量相同），在每个容器下方给出的图像中，能正确反映该容器中水面的高度随时间变化规律的是（    ）. A．   B．   C．   D．   【变式3】一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系． 根据图1，以下四个说法中正确的是（    ） A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加 B．在整个跑道，最长的直线路程不超过 C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶 D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹 题型 02 判断对应关系是否为函数 【典例1】判断下列对应是从集合A到集合B的函数的有（    ） A．A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； B．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； C．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； D．A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应. 【变式1】下列集合到集合的对应关系是函数的是（    ） A．，，：A中的数平方 B．，，：A中的数开方 C．，，：A中的数取倒数 D．，，：A中的数取绝对值 【变式2】 下列对应是从集合到集合的函数的是（    ） A．，，对应关系:对集合中的元素取绝对值与中元素对应 B．，，对应关系:，， C．，，对应关系:，， D．A={x|x三角形}，，对应关系:对中元素求面积与中元素对应 题型 3：求函数的定义域 【典例1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型 4：求函数值 【典例1】10．已知函数，则（    ） A．3 B． C． D．9 【变式1】已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 若函数f（2x）=x-3，则f（4）=（　　） A． B．1 C． D．5 【变式2】已知函数，且，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3】已知函数，且，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型 5：判断是否为同一个函数 【典例1】下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 题型 7：函数值域简单求解 【典例1】函数，则该函数值域为__________． 【变式1】58．若函数的定义域是，则的值域是___________. 【变式2】60．函数的定义域是____，值域是________． 【变式3】函数的值域为__________________. 1．若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．集合（   ） A．2 B． C． D． 6．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 7．设集合，集合B是函数的定义域，则（   ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 9．若的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 13．已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 1．已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（    ） A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1） 2．已知函数的定义域是，则的定义域为__________. 3．已知的定义域为，则的定义域为________. 4．已知的定义域为，则的定义域为__________. 5．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 6．函数的值域为______． 7．函数的值域为___________． 8．函数 的值域为__________． 9．函数的值域为__________． 10．函数的最大值为________． 11．已知函数的值域是，则______，______． 四、解答题 1．已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 2．（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 3．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4．（1）求函数的值域； （2）若函数的定义域为R，求实数k的取值范围． 5．（1）求函数的值域； （2）已知，求函数的值域． 6．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． 19 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 生活中的变量关系+2.2.1函数的概念 教学目标 了解生活中的变量、常量，能区分变量间的依赖关系和函数关系； 理解用集合与对应语言描述的函数概念，掌握函数的三要素； 会求简单函数的定义域，会求函数值f(a)，能判断两个函数是否为同一个函数； 会用垂线法判断图像是否为函数图像，能辨析对应关系。 教学重难点 1.重点 区分依赖关系与函数关系，理解函数的概念，抓住关键词； 函数三要素；求函数定义域、求函数值； 判断同一函数；图像的垂线检验法。 2.难点 理解 “依赖关系不一定是函数关系”，区分依赖和函数； 对 “任意、唯一确定” 的理解，识别一对多不能构成函数； f(x)符号含义辨析，区分f(x)与f(a)； 实际情境下函数定义域，兼顾解析式条件和现实意义。 知识点 1 变量关系 常量与变量 常量：在变化过程中数值保持不变的量。 变量：在变化过程中可以取不同数值的量。 依赖关系 两个变量，一个变量发生变化，另一个变量也随之变化，则二者存在依赖关系。 注意：依赖关系只反映互相影响，可以一对多，不一定是函数关系。 知识点 ：函数关系 函数是一类特殊的依赖关系。对于自变量每一个取值，都有唯一确定的因变量和它对应，才是函数关系。 【即学即练】 张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（　　） A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 【答案】A 【分析】影响小麦产量的因素有种子、施肥量、水、日照时间等，可判断得答案. 【详解】解：小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有相关关系，但不一定是函数关系. 故选：A. 知识点 2：三种方式判断是否为函数 表格：每一个自变量只能对应一个因变量； 图像：垂直 x 轴的直线（垂线检验），与图形最多一个交点； 实际文字描述：检验一个自变量是否只对应唯一结果。 关系： 【即学即练】 下列各图中,可表示函数的图象是(　　). A．    B．   C． D．   【答案】D 【分析】根据题意，由函数的定义可知，每一个值对应唯一的值，分析所给图像的对应关系，可得出正确答案。 【详解】根据题意，一个变化过程中有两个变量，如果给定一个值，则有确定的唯一的值与之对应，则称是的函数，选项A、B、C均不符合一个值对应唯一的值。 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的定义以及函数图像的特点。 知识点 3：函数的定义 设A,B是两个非空实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。记作： 定义域：自变量x的取值集合A； x叫自变量； y叫函数值； 值域：，值域是集合B的子集。 符号解读： ①f代表对应法则，不是数；f(x)不是； ②f(a)：x=a对应的函数值，是一个常数。 知识点 ：求函数值 把自变量取值代入函数表达式，计算输出结果；可求f(常数)，也可求f(x+1)这类代入运算。 【即学即练】 下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【详解】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 题型 01 常量、变量、依赖关系与函数关系辨析 【典例1】有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t与水面高度y关系图像如图，图中为一线段，与之对应的容器形状是如下四个图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据时刻t与水面高度y关系图像，确定容器横截面面积的变化可得． 【详解】开始水面高度变化幅度逐渐变慢，后面高度变化幅度逐渐变快， 最后变化幅度不变，因此容器横截面面积是逐渐变大，然后逐渐变小， 后面面积不变，只有C相符． 故选：C． 【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是确定水面高度变化图象与实际图形的哪个量建立定性关系，从而判断出结论． 【变式1】以下形式中，不能表示“是的函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，判断出C项中不满足一个对应唯一的一个，从而得到结果. 【详解】根据函数的定义，每一个自变量的值，都有唯一确定的值与之对应， 选项C中，某些的值，有两个值与之对应，不符合函数的定义， 所以正确选项为C. 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数的概念，属于基础题目. 【变式2】将水注入不同形状的玻璃容器中，从空瓶到注满为止，如图所示（设单位时间内进水量相同），在每个容器下方给出的图像中，能正确反映该容器中水面的高度随时间变化规律的是（    ）. A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】根据题意，依次分析4个容器中水的高度的速度变化的趋势，可得其对应的图形，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，容器为圆柱形，水的高度的变化速度应为直线型，所以A正确； 对于B中，容器下粗上细，水的高度的变化速度先慢后快，所以B不正确； 对于C中，容器上粗下细，水的高度的变化速度应先快后慢，所以C正确； 对于D中，容器为球形，水的高度的变化为快—慢—快，所以D不正确. 故选：AC. 【变式3】一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系． 根据图1，以下四个说法中正确的是（    ） A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加 B．在整个跑道，最长的直线路程不超过 C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶 D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹 【答案】AD 【分析】根据弯道减速，直道可加速，再根据图像逐一判断即可. 【详解】由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确； 在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8，2.4) 之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，故B不正确； 最长直线路程应在1.4到1.8之间开始，故C不正确； 由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确； 故选：AD. 题型 02 判断对应关系是否为函数 【典例1】判断下列对应是从集合A到集合B的函数的有（    ） A．A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； B．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； C．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； D．A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应. 【答案】BC 【解析】利用函数的定义判断. 【详解】A.对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数. B.对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数. C.对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数. D.集合A不是数集，故不是函数. 故选：BC 【点睛】本题主要考查函数的概念属于基础题. 【变式1】下列集合到集合的对应关系是函数的是（    ） A．，，：A中的数平方 B．，，：A中的数开方 C．，，：A中的数取倒数 D．，，：A中的数取绝对值 【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为， 所以集合中的任意元素都在集合中对应着唯一的函数值，所以A正确， 对于B，集合中的元素1对应集合B中的元素，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件，所以B错误， 对于C，集合中的元素0取倒数没有意义，不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求，所以C错误， 对于D，因为任意实数的绝对值都是非负的，且是唯一的， 所以集合中的任意元素都在集合中对应着唯一的函数值，所以D正确， 故选：AD 【变式2】 下列对应是从集合到集合的函数的是（    ） A．，，对应关系:对集合中的元素取绝对值与中元素对应 B．，，对应关系:，， C．，，对应关系:，， D．A={x|x三角形}，，对应关系:对中元素求面积与中元素对应 【答案】BC 【分析】利用函数的定义逐个分析判断即可 【详解】选项A中，对于中的元素，在的作用下得，但不属于，即中的元素在中没有元素与之对应，所以不是函数； 选项B中，对于中的元素，在的作用下与中的对应，中的元素，在的作用下与中的对应，所以满足中的任一元素与中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数； 选项C中，对于中的任一元素，在对应关系的作用下，中都有唯一的元素与之对应，所以是函数； 选项D中，集合不是数集，故不是函数. 故选：BC. 题型 3：求函数的定义域 【典例1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，要使函数有意义，需满足被开方数大于0， 即，综上所述，，C正确. 【变式1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由. 所以函数的定义域为. 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义域，得到，求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则函数中，有， 解得，.即函数的定义域为 故选：B. 【变式3】已知，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的定义域，进而求得的定义域. 【详解】对于， 由解得， 所以的定义域为. 对于有， 解得，所以的定义域是. 故选：C 题型 4：求函数值 【典例1】10．已知函数，则（    ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】利用换元法求得，代入即可求得答案. 【详解】令，解得，故. 故选：A. 【变式1】已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据点在函数上计算求参即得解析式，再代入计算求解. 【详解】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． 若函数f（2x）=x-3，则f（4）=（　　） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】由函数f（2x）＝x﹣3，利用f（4）＝f（22），能求出结果． 【详解】解：∵函数f（2x）＝x﹣3， ∴f（4）＝f（22）＝2﹣3＝﹣1． 故选A． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 【变式2】已知函数，且，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】由得，从而求得的解析式，进而得解. 【详解】令，则， 所以由，可得， 所以由，可得，解得， 故. 故选：C. 【变式3】已知函数，且，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】令，利用换元法求出的解析式，再计算即可得解. 【详解】令，则， 因为，所以， 又，即，解得， 所以的值为2. 故选：B 题型 5：判断是否为同一个函数 【典例1】下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【分析】结合基本不等式，可判定A错误；根据同一函数的判定方法，可判定B错误；根据函数的对应法则，以及函数值的运算法则，可得判定C正确；根据抽象函数定义的计算方法，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，可得，当且仅当时，等号成立； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有最小值，所以A错误； 对于B，函数有意义，则满足，解得或， 函数有意义，满足，解得， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B错误； 对于C，由函数满足， 令，即，解得，则，即， 若，可得，所以C正确； 对于D，由函数的定义域为，即，可得， 所以函数的定义域为，所以D正确. 题型 3：函数值域简单求解 【典例1】函数，则该函数值域为__________． 【答案】 【分析】分段求值域，再取并集即可求解. 【详解】当时，二次函数对称轴是，且开口向上， 此时在上单调递增； 当时，，即 所以得值域为. 故答案为:. 【变式1】58．若函数的定义域是，则的值域是___________. 【答案】 【分析】先分离常数将函数解析式化为，结合的范围，先得出分母的范围，由反比例函数的性质和不等式的性质可得答案. 【详解】由 当时，，所以，则 所以，即的值域为 故答案为： 【变式2】60．函数的定义域是____，值域是________． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，求解一元二次不等式，则求得函数定义域；利用配方法求得被开方数范围，再开根号，即可求得函数值域. 【详解】要使得函数有意义， 则， 解得：， 故函数的定义域为． 因为， 故， 故函数的值域为． 故答案为：；. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，以及根式型函数值域的求解，属基础题. 【变式3】函数的值域为__________________. 【答案】 【解析】先求出函数的定义域，再令，则，然后利用配方法结合二次函数的性质求出的取值范围，从而可求出函数的值域 【详解】解：由，得， 令，则， 因为， 所以，所以，即， 所以函数的值域为， 故答案为： 【点睛】此题考查求复合函数的值域，利用了换元法，属于基础题 1．若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】应用赋值法计算求解函数值. 【详解】因为，所以，又，所以. 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 3．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算，代入验证即可. 【详解】因为， 所以， ， ， ，，，， 故选项C正确. 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得：， ， ， . 5．集合（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】, 故选：B 6．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 7．设集合，集合B是函数的定义域，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数有意义，可得，即,故, 因为，所以. 8．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 9．若的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】因为的定义域是， 所以对于函数，应满足： ，即，解得， 故函数的定义域是. 故选：D. 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意令，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 令，解得， 所以的定义域为． 故选：D. 11．若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，令，求得不等式的解集，即可得到函数的定义域. 【详解】由函数的定义域是，令，即， 解得，所以函数的定义域是. 故选：B. 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助抽象函数定义域与具体函数定义域求法计算即可得. 13．已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为， 所以由. 所以函数的定义域为. 1．已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（    ） A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1） 【答案】D 【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断. 【详解】画出的图象如图所示： 由图可知：，， 根据选项可知：当的定义域为，值域为时， 的可能值为，，，所以D错误. 故选：D. 2．已知函数的定义域是，则的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域是， 所以对于，有， 解得，所以的定义域为. 故答案为： 3．已知的定义域为，则的定义域为________. 【答案】 【分析】根据题意结合抽象函数定义域可得，运算求解即可得定义域. 【详解】因为的定义域为， 令，解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 4．已知的定义域为，则的定义域为__________. 【答案】 【分析】由题可得，运算得解. 【详解】由的定义域为，则函数需满足， 解得，即的定义域为. 故答案为：. 5．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. 6．函数的值域为______． 【答案】 【解析】按和分别求出函数的值域，取并集可得答案． 【详解】当时， 当时， 综上可得，的值域为 故答案为： 7．函数的值域为___________． 【答案】 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 8．函数 的值域为__________． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再根据二次函数的性质求值域． 【详解】由题意可得，即， 则，解得，故函数的定义域为． 因为，且， 当或时，取最小值0； 当时，取最大值9， 所以， 则，从而的值域为． 故答案为：． 9．函数的值域为__________． 【答案】 【分析】利用换元法、配方法，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 10．函数的最大值为________． 【答案】 【详解】由，解得，的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 11．已知函数的值域是，则______，______． 【答案】 3 【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果. 【详解】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   四、解答题 1．已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，联立方程组，即可求解； （2）由函数，确定的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域. 【详解】（1）由题意得，即， 解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以， 所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 所以的值域为． 2．（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由根号下的二次式大于零解不等式，得出定义域范围； （2）分别考虑零次幂的底数不为零与分母不为零，联立得到定义域； （3）将代入已知的定义域区间，解出的范围. 【详解】（1）要使函数有意义，即， 解不等式得或， 故函数的定义域为； （2）由题意得，即， 故所求函数的定义域为. （3）由，得， 故的定义域为. 3．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用换元法求解； （2）利用配方法结合二次函数性质求解； （3）利用配方法求解； （4）可采用换元法或判别式法求解； （5）令，换元结合基本不等式求解； （6）采用分离常数的方法，结合基本不等式求解. 【详解】（1）函数定义域为，令，所以， 即，当时，，即函数的值域为. （2）易知的取值需满足，即，即函数定义域为， 因为，由二次函数性质可得当时，， 所以的值域为. （3）由，可得函数的值域为. （4）已知函数，定义域为， 方法一：换元法．设，则， 所以， 因为，所以，所以，故值域为. 方法二：判别式法． ，整理得 当时，方程为，不成立； 当时，，即，所以， 综上，. （5）令，则，且 当时，； 当时，，因为，当且仅当时等号成立，所以， 所以函数的值域为. （6）， 因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故，即函数值域为. 4．（1）求函数的值域； （2）若函数的定义域为R，求实数k的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质求得函数的值域； （2）利用偶次方根的被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式，根据一元二次不等式恒成立的条件列出不等式，求得k的取值范围. 【详解】（1）令 即 时，；时， 值域为 （2）恒成立 ①当时成立 ②解得 综合①②得 5．（1）求函数的值域； （2）已知，求函数的值域． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分离常数可得，从而可得结论； （2）令,变形可得，利用二次函数的性质可得结果. 【详解】（1）， 函数的值域为； （2）令，则， 当时，最小值为； 当时，最大值为； 函数的值域为. 【点睛】本题主要考查分式型函数与根式型函数求值域，考查了二次函数的性质以及换元法的应用，属于综合题. 6．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分离常数法即可求解； （2）由复合函数值域、二次函数值域求法即可求解； （3）由复合函数值域、二次函数值域求法即可求解. 【详解】（1），因为， 所以的值域为； （2），因为， 所以的值域为； （3），因为， 所以的值域为. 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $