26.4　实际问题与二次函数 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学 第二十六章 26.4 第1课时 同步练。分层清晰，基础巩固聚焦二次函数最值与面积问题基础应用，培优训练深化动态几何与实际制作综合能力，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数最值计算、简单图形面积最值|以选择、填空、解答题为主，如第3题结合物理情境求最值，培养运算能力与模型意识| |培优训练|动态几何面积问题、实际制作中的函数应用|含多过程动态问题（第7题）和开放探究题（第8题），深化推理能力与创新意识|

第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数 第1课时　二次函数与图形面积问题 　二次函数的最值 1.(2025•余姚模拟)二次函数y＝x2＋2x－3的最小值为(　　　　) A.2 B.3 C.－3 D.－4 2.当x＝a或x＝b(a≠b)时，二次函数y＝x2－2x＋3的函数值相等，则当x＝a＋b时，代数式2x2－3x＋3的值为　　.　 3.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关系是h＝－5t2＋20t，当小球达到最高点时，飞行时间t为　　 s. 4.若实数m，n满足m＋n2＝3，则m2＋10n2的最小值为　　. 　利用二次函数求几何图形面积的最值 5.［教材P51例2变式］(2025•天津校级模拟)如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m.设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB.有下列结论：①x的取值范围为5≤x≤10；②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100 m2；③矩形菜园ABCD的面积的最大值为 m2.其中正确结论的个数是(　　　　) A.0 B.1 C.2 D.3 6.(2025•湖北模拟)在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，设整个挂图的面积是y cm2，金色纸边的宽为x cm，要求纸边的宽度不得少于1 cm，同时不得超过2 cm. (1)求出y关于x的函数解析式. (2)当挂图面积为4 264 cm2时，求金色纸边的宽. (3)当金色纸边的宽为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？并求出最大面积. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s. (1)P，Q两点分别从A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当t为何值时，△PBQ的面积等于35 cm2？ (2)P，Q两点分别从A，B同时出发，点P在到达点B后立即返回点A，点Q在到达点C后立即返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止.问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32 cm2？ 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 8.［中考新趋势•应用探究］用一张长为20 cm，宽为12 cm的矩形纸片制作一个无盖的长方体纸盒.图1为三位同学提供的方案，其中AB＝a cm，阴影为剪去部分，虚线为折痕. (1)直接用含a的代数式表示出方案1中CD的长. 　　 　　 　　 　　 (2)当a＝2时，请通过计算说明，哪个方案制作的长方体纸盒容积最大？ 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (3)若用这张矩形纸片制作一个有盖的长方体纸盒，满足高为2 cm，且容积最大.在图2中画出一种满足上述条件的设计图，阴影为剪去部分，虚线为折痕，并求出长方体纸盒的容积. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 参考答案 基础巩固 1.D　2.5　3.2　4.9　5.B 6.（1）y=4x2＋260x＋4 000（1≤x≤2） （2）金色纸边的宽为1 cm． （3）当金色纸边的宽为2 cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm2. 培优训练 7.（1）当t的值为5或7时，△PBQ的面积等于35 cm2. （2）当t的值为4或8时，△PBQ的面积等于32 cm2. 8.（1）CD=（8＋a） cm （2）方案2纸盒的容积最大． （3）略 关闭Word 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数 第3课时　建立坐标系解决抛物线型问题 　桥梁(隧道)类问题 1.图1是一条隧道，其截面近似为抛物线型，图2为截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量OA＝12 m，抛物线的顶点P到OA的距离为5 m，则抛物线的函数解析式为(　　　　) A.y＝－(x＋6)2 B.y＝－(x－6)2 C.y＝－(x＋6)2＋5 D.y＝－(x－6)2＋5 2.(2025•深圳校级模拟)某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”(分别记作点A，B，C，D)四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星(点E)到BC的距离为0.6 m，BC＝2 m，AD＝4 m，如图2所示，则点C到AD的距离为(　　　　) A.2 m B.1.8 m C.2.4 m D.1.5 m 3.(2025•扬州模拟)赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位：m)与到点O的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.01(x－30)2＋9.据调查，龙舟最高处距离水面2 m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少是3 m. (1)水面的宽度OA＝　　 m； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9 m，求最多可设计龙舟赛道的数量. 　　 　　 　　 　　 　　 　运动轨迹类问题 4.在体育课上，小李掷出的实心球的飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系大致满足二次函数y＝－x2＋x＋，则小李本次掷实心球的成绩为　　 m. 5.如图为小张的一次投篮示意图，其路线为抛物线.已知篮球离手时距地面的高度AB＝2 m，当篮球运动的水平距离BD为2.5 m时，达到距地面的最大高度CD为3.5 m. (1)建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线的函数解析式. (2)若篮圈中心距地面的高度EF＝3.05 m，BF＝4.5 m，则此次投篮能否投进？请说明理由. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 6.［中考新趋势•项目式学习］(2025•临沂模拟)项目式学习. 【项目背景】如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶(平行于绿化带)，为绿化带浇水.数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带.围绕这个问题，该小组开展了以“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习. 【任务一　测量建模】建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面的竖直高度h为1.2 m.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.4 m. (1)求上边缘抛物线的函数解析式. 　　 　　 　　 【任务二　推理分析】小组成员通过进一步分析发现，当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的.把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8 m，竖直高度EF＝1.1 m，洒水车到绿化带的距离OD为d m. (2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (3)若d＝2.2 m，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 参考答案 基础巩固 1.D　2.B 3.（1）60 m （2）最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 4.10 5.（1）略 （2）此次投篮不能投进．理由略． 培优训练 6.（1）y=－0.1（x－2）2＋1.6 （2）点B的坐标为（2，0）． （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．理由略． 关闭Word 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数 第2课时　二次函数与最大利润问题 　简单销售利润问题 1.商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量w(单位：个)与销售单价x(单位：元)满足w＝－2x＋80(20≤x≤40)，设销售这种帽子每天的利润为y(单位：元)，则y与x之间的函数解析式为　　；当销售单价定为　　元时，每天的利润最大. 2.某商店销售某种商品所获得的利润y(单位：元)与所卖的件数x(单位：件)之间的关系满足：y＝－x2＋100x－2 000，则当0＜x≤45时的最大利润为　　. 3.加工爆米花时，爆开且不煳的颗粒所占的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位：min)满足函数关系式y＝－0.2x2＋1.4x－2，则最佳加工时间为　　. 　“每……每……”销售利润问题 4.某商店销售一种成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，若售价每涨1元，月销量就减少10件.设销售价为每件x元(x≥50)，月销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数解析式. (2)当销售价定为每件多少元时能获得最大利润？求出最大利润. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 5.(2025•浙江模拟改编)综合与实践. 排球的购买与售卖 素材1 排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处.为了能让学生日常练习排球垫球，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3 550元.已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元. 素材2 某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个.经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个. 任务1 购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？ 任务2 当丙品牌的排球售价为每个多少元时有最大利润？最大利润是多少？ 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 6.某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件(每件单价不能高于70元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，则每个月的销售利润为y元. (1)若上涨5元，每个月可卖出　　件，每个月的销售利润为　　元. (2)求y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围. 　　 　　 　　 　　 (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 　　 　　 　　 　　 7.(2026•武汉校级模拟)某商品进价为每件25元，在试销阶段该商品的日销售量y(单位：件)与每件商品的日销售价x(单位：元)之间的关系如图中的折线ABC所示(规定该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元). (1)直接写出y与x的函数关系式. (2)若日销售单价x为整数，则当日销售单价x为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若要求该商品每天的销售利润不低于1 200元，求销售单价x的取值范围. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 参考答案 基础巩固 1.y=－2x2＋120x－1 600（20≤x≤40）　30 2.475元　3.3.5 min 4.（1）w=－10x2＋1 400x－40 000（x≥50） （2）销售价定为每件70元时，能获得最大利润9 000元． 5.任务1：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元． 任务2：当丙品牌的排球售价为每个33元时有最大利润，最大利润是845元． 6.（1）175　3 500 （2）y=－7x2＋105x＋3 150（0＜x≤20，且x为整数） （3）当售价定为每件57或58元，每个月可获得最大利润，最大月利润是3 542元． 培优训练 7.（1）y= （2）当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1 224元． （3）40≤x≤45 关闭Word 学科网（北京）股份有限公司 $