26.2.4 实际问题与二次函数 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，构建从单一知识点到复杂问题解决的递进路径，强化模型意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数最值公式直接应用|如选择1利润问题、填空4滑行距离，考查基本公式应用| |中档|几何与实际情境结合|如选择2矩形面积（墙长限制）、填空3饲养室面积（含门），需构建函数关系| |提高|多条件综合应用|如解答4利润与成本联动、解答3动点面积问题，融合函数性质与实际限制，培养推理能力|

人教版 九上数学 第二十六章 二次函数 26.2.4 实际问题与二次函数 同步练习 考试时间：90分钟　满分：100分　 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 某商店销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数：，在不考虑其他因素的情况下，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（ ） A．20元　　B．30元　　C．35元　　D．40元 2. 用长为28m的篱笆围成一个面积为48 m2的矩形花园，其中一边靠墙（墙长不超过12m），则与墙平行的边长为多少？（ ） A．6m　　B．8m　　C．12m　　D．12m或8m 3. 已知一个矩形的周长为20cm，设矩形的一边长为x cm，面积为2，则S与x之间的函数关系，以及S的最大值分别为（ ） A．，2　　B．，2 C．，2　　D．，2 4. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将售价定为每件多少元？（ ） A．56元　　B．57元　　C．56元或59元　　D．59元 5. 如图，抛物线型的拱门的地面宽度为 20 米，两侧地面高 15 米处各有一个观 光窗，两窗的水平距离为 10 米，则拱门的最大高度为( )． A. 10 米 B. 15 米 C. 20 米 D. 30 米 6. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，某座抛物线型廊桥的水面宽AB为10m，桥拱最高点C距离水面4m，现有一艘游船宽为4m，水面以上高度为3m，这艘游船能从桥下通过吗？（水面和桥面平行）（ ） A．无法判断　　B．刚好能通过　　C．不能通过　　D．能通过 C A B 7. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球抛出后多久到达最高点？（ ） A．3s　　B．5s　　C．6s　　D．15s 8. 要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB为多少米？（设AB垂直于墙）（ ） A．20米　　B．25米　　C．20米或25米　　D．40米 9. 某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的年产量增加x倍，两年后产品的年产量y与x的函数关系是（ ） A．　　B． C．　　D． 10. 一个篮球运动员投篮，篮球运动的轨迹是抛物线，若抛物线的解析式为（单位：m），其中x是水平距离，y是高度，则篮球从出手到落地的水平距离约为（ ） A．4m　　B．5m　　C．6m　　D．7m 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1. 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长、宽分别为__________时，菜园的面积最大，最大面积是__________。 2. 某服装店销售进价为80元的某品牌休闲服，当售价定为每件120元时，平均每天可售出20件，为了扩大销售，增加利润，该店准备降价销售，经调查发现，每件休闲服每降价1元，平均每天可多售出2件，若设每件降价x元，则平均每天销售利润y（元）与x的函数关系式为__________。 3. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开， 并在如图所示的三处各留 1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总 长为 27 m，则能建成的饲养室面积最大为________ . 4. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的函数关系式是，则飞机着陆后滑行__________m才能停下来。 5. 某超市将进价为40元的商品按50元出售时，每天能售出500件，已知该商品每涨价1元，其销售量就减少10件，若该超市每天想获得8000元利润，又要让顾客得到实惠，售价应定为__________元。 三、解答题（共4题，共50分） 1. （12分）某服装店计划从批发市场购进甲、乙两种不同款式的服装共80件进行销售，已知每件甲款服装的价格为120元，每件乙款服装的价格为80元，销售一件甲款服装可获利20元，销售一件乙款服装可获利10元，若计划购进两种服装的总费用不超过7800元，设购进甲款服装x件，总利润为y元。 （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（6分） （2）该服装店怎样进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？（6分） 2. （12分）某水果经销商销售一种新品种水果，进价为每千克20元，试销发现售价在20元到32元之间时，每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，设每天的销售利润为W元。 （1）求W与x之间的函数关系式；（3分） （2）该经销商销售这种水果，当售价定为多少时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（4分） （3）若该经销商想要每天获得150元的利润，售价应定为每千克多少元？（5分） 3. （12分）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A向B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从D向A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动时间（）。 （1）设△QAP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（6分） （2）t为何值时，△QAP的面积最大，最大面积是多少？（6分） A P B Q D C 4. （14分）某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系。 （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？（5分） （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（4分） （3）如果物价部门规定销售单价不得高于32元，李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）（5分） 1页 学科网（北京）股份有限公司 九年级上册数学 实际问题与二次函数 同步练习 参考答案 一、选择题 1. C　　2. C　　3. A　　4. A　　5. C　　6. D　　7. A　　8. A　　9. C　　10. B 二、填空题 1. 15m、7.5m，2 2. 3.75 4. 600 5. 60 三、解答题 1. 解： （1）由题意可得，总利润（2分），总费用满足：，（4分）解得，结合x≥0得x的取值范围是且x为整数。（6分） （2）因为函数中，k=10>0，y随x的增大而增大，（2分）所以当x取最大值35时，y取得最大值，（4分）此时元，此时乙款服装数量为件。（6分） 答：购进甲款服装35件，乙款服装45件时，获得最大利润，最大利润为1150元。 2. 解： （1）根据利润公式：利润=（售价-进价）×销售量，得： （3分） （2）对W配方得： 因为a=-2<0，所以抛物线开口向下，顶点为最大值点，（2分）所以当x=30时，W取得最大值200元。（3分） 答：售价定为30元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润为200元。（4分） （3）令W=150，得： 整理得，解得（3分），因为x的范围是，所以舍去x=35，得x=25。（4分） 答：售价应定为每千克25元。（5分） 3. 解：由题意得，运动时间为t时，AP=2t cm，AQ=(6-t) cm。 （1）△QAP是直角三角形，面积（）。（6分） （2）对y配方得： 因为a=-1<0，所以当t=3时，y取得最大值9。（5分） 答：当t=3s时，△QAP的面积最大，最大面积为。（6分） 4. 解： （1）由题意得： （2分）配方得： 因为a=-10<0，所以当x=35时，w取得最大值2250。（4分） 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。（5分） （2）令w=2000，得： 整理得，解得。（3分） 答：销售单价应定为30元或40元。（4分） （3）因为抛物线开口向下，所以当时，w≥2000，又因为x≤32，所以x的取值范围是。（2分）设成本为P元，由题意得： 因为k=-200<0，P随x的增大而减小，所以当x=32时，P取得最小值元。（4分） 答：每月的成本最少需要3600元。（5分） $