第一次月考压轴题汇总（有理数）2026-2027学年苏科版七年级数学上册秋期复习+ 期考讲义专项

第一次月考压轴题汇总（有理数） 压轴题型 考查位置 核心难点 数轴与两点距离 （选择、填空压轴高频） 数轴上点A(a)，点B(b)，两点距离：|AB|=|a-b| 绝对值化简与绝对值最值 绝对值化简与绝对值最值 两种理解：代数意义、几何意义 数轴动点问题 （月考必考大题压轴） 第一次月考最难大题，必考分类讨论 有理数规律探究 （选择、填空压轴） 两类：数字序列、点阵 / 图形规律 新定义运算 （阅读型压轴小题 / 简答） 题干自定义符号：如，本质就是套公式代入有理数计算。 有理数混合运算 + 实际应用 （大题压轴，结合盈亏、基准数） 考法：基准数法（称重、成绩、库存） 【题型一】数轴与两点距离（选择、填空压轴高频） 【例1】．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）数轴上原点右侧一点A，一只蚂蚁从A出发爬了5个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离， 点A在原点右侧，表示正数；蚂蚁从A爬行5个单位到原点，说明A到原点的距离为5，因此点A表示的数为5． 【详解】解：∵ 点A在原点右侧，蚂蚁从A爬行5个单位到原点， ∴点A所表示的数是5． 故选：A． 【例2】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知点、是数轴上的两个点，若点表示的数为，点表示的数为6，则的中点表示的数是______． 【答案】1 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查数轴上线段中点所对应的数的计算方法，根据中点公式求解即可． 【详解】解：若点表示的数为，点表示的数为6， 则线段的中点对应的数为， 故答案为1． 【例3】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）有一个半径为1的圆可以在数轴上无滑动地滚动，圆上的一点从数轴上表示3的点开始，沿数轴正方向滚动一周后，这个点表示的数为______． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上的两点之间的距离问题及圆的周长计算，根据无滑动滚动的性质，圆滚动一周移动的水平距离等于其周长，点A初始位置为3，滚动一周后点A的水平位移为圆的周长，因此点A表示的数为． 【详解】解：圆的半径，周长， 点A从数轴上表示3的点开始，沿数轴正方向无滑动滚动一周，移动距离为， 故点A表示的数为， 故答案为：． 【例4】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ 【答案】(1)5 (2)8或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，三角形的面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据长方形，长为3，宽为2，得，结合点P表示的数为，得，再把数值代入进行计算，即可作答． （2）先求出，结合，得，即则，则，由（1）得与表示的点重合，再列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，连接，如图所示： ∵长方形，长为3，宽为2， ∴ ∵点B与表示的点重合， ∴ 即与表示的点重合， ∵点P表示的数为， ∴ 此时； （2）解：解：连接，如图所示： ∵长方形，长为3，宽为2， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 由（1）得与表示的点重合， ∴或， ∴点P表示的数为或． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，如果数轴上点表示的数为，那么点表示的数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】由数轴上所对应的点的位置可以确定原点的位置，进而可确定点表示的数． 【详解】解：如果数轴上点表示的数为，由数轴上所对应的点的位置可以确定原点的位置在处，则与相距3个单位长度， 所以点表示的数是3． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）A、B、C是数轴上的三个点，点A、B表示的数分别是、4，若，则点C表示的数是________． 【答案】1或/或1 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查数轴；分两种情况：当点C在点A，B之间时，当点C在点A左边时，再根据数轴上两点距离公式，计算求解即可． 【详解】解：当点C在点A，B之间时，， ∴， ∴， ∴， ∴点C表示的数是1； 当点C在点A左边时，， ∴， ∴， ， ∴点C表示的数是． 故答案为：1或． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则刻度尺对应数轴上的点表示的数是______．    【答案】3 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查有理数与数轴，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，由题意得到数轴的单位长度是，根据两点间的距离即可求解． 【详解】解：刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，， 数轴的单位长度是， 刻度尺对应数轴上的点表示的数是． 故答案为：． 【变式4】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】(1)0 (2)16 (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴，在数轴上表示有理数，折叠，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，则，得到点表示的数为，即可解答； （2）先求出折叠点为，得到到折叠点的距离，则折叠后的对应点与的距离为18，即可解答； （3）先求出折叠后点A表示的数为，可得到折叠点为，即可解答． 【详解】（1）解：∵表示的数分别是，4， ∴， ∵点在之间且， ∴， 则， ∴点表示的数为0． 故答案为：0． （2）∵表示的数分别是，4，将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合， ∴折叠点为， ∴到折叠点的距离为 ， 即折叠后的对应点与的距离为18， ∴， 即表示的点与16表示的点重合． 故答案为：16． （3）∵以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，B表示的数分别是4， ∴折叠后点A表示的数为， ∴折叠点为， 即点表示的数为． 故答案为：． 【题型二】绝对值化简与绝对值最值（月考解答压轴第一梯队） 【例5】．（24-25七年级上·江苏南京·期中）（）一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到__________的距离． （）若，则__________． （）有理数，在数轴上的位置如图所示，请化简． 【答案】（）原点；（）；（） 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）根据数轴上各点到原点距离的定义解答即可； （2）根据绝对值的性质即可得出结论； （3）根据各点在数轴上的位置判断出a、b两点的符号及大小，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（）一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离． 故答案为：原点 （）∵， ∴． 故答案为：≤ （）由各点在数轴上位置可知，，，，， ∴，，， ∴原式． 【例6】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题∶点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题∶ (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是_________；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为__________； (2)试用数轴探究∶当时m的值为_________； 【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究∶ (3)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是_____，最小值是______． (4)若，则x的值是______． 【答案】（1）4，；（2）或4；（3），6；（4）或6 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】本题考查两点间的距离公式，绝对值的几何意义，绝对值方程，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的几何意义，进行求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，式子取最小值为数轴上到的距离，进行求解即可； （4）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）；； （2）由题意，数到数1之间的距离为3，故或； （3）①表示数轴上数到，的距离之和， ∴当时，式子取最小值为数轴上到的距离，即； （4）当时，，解得； 当时，，解得； 综上：或． 【例7】．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察下列关于“#”运算的式子： ，；，； ，；…… (1)类比有理数的运算法则，请归纳“#”的运算法则： 当非零两数进行“#”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______． 0和任何数进行“#”运算或任何数和0进行“#”运算，都得这个数的绝对值． (2)直接写出结果：______． (3)有理数a、b在数轴上的位置如图，化简：． 【答案】(1)得正，得负，相加 (2) (3) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、整式的加减运算 【分析】本题考查新定义运算，整式加减，涉及绝对值和相反数以及数轴等知识点． （1）观察已知运算的符号及数值，可归纳出运算法则； （2）按照（1）中归纳出的运算法则进行计算即可； （3）由数轴知，，可得出，，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 一般地，当非零两数进行“#”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 故答案为：得正，得负，相加； （2）解： ； （3）解：由数轴知，， ∴，， ∴ ． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ． (3)的最小值为 ；此时整数 ． (4)若，则整数 ． 【答案】(1) (2)0或6 (3)；，，0，1，2，3 (4)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了列代数式，绝对值，两点间的距离公式，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义得出的取值范围，进而得出结果； （4）根据绝对值的几何意义列出式子，即可求出． 【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：表示与3的距离为3，则或6， 故答案为：0或6； （3）解：表示与的距离与它与3的距离之和， ∴当时，，其他情况下都， ∴的最小值为；此时整数，，0，1，2，3， 故答案为：；，，0，1，2，3； （4）解：表示与的距离与它与3的距离之和为， ∴当时，，不合题意； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，，根据以上阅读完成下面的问题： (1) ； (2)如果有理数，则 ； (3)请利用你探究的结论计算下面式子： (4)如图，数轴上有a、b、c三点，化简．    【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、相反数的定义、求一个数的绝对值、整式的加减运算 【分析】本题考查数轴、绝对值、相反数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据，即可解答本题； （2）根据绝对值的意义，可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后计算即可； （4）根据数轴可以得到，然后即可所求式子的绝对值去掉，再化简即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如果有理数，则， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：由数轴可得， ， ∴ ． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）【阅读】数形结合是解决问题的重要方法．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示1与两点之间的距离是________； （2）借助数轴，若，则x的值为________； （3）借助数轴，有最小值是________； 【拓展】 （4）借助数轴，若，则x=________． 【答案】（1）6；（2）或5；（3）11；（4）4或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】本题考查的是绝对值的定义、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，灵活应用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）分x表示的点在2的左侧和右侧两种情况解答即可； （3）由线段的性质，两点之间线段最短，可知当时，有最小值，据此取绝对值求解即可； （4）由于及的符号不能确定，故应分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示1与两点之间的距离是． 故答案为：6． （2）当x在2的左侧时，x的值为； 当x在2的右侧时，x的值为． 故答案为：或5． （3）根据题意，可知当时，有最小值， ∴． 故答案为：11． （4）根据题意，可知：当时，有，解得：； 当时，有，无解； 当时，有，解得：． 故答案为：4或． 【题型三】数轴动点问题（月考必考大题压轴） 【例8】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 【答案】6 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨论思想解题是关键． 分点P，Q同时向右，同时向左两种情况，结合数轴上两点间的距离和线段中点的定义计算求解． 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； 故答案为： 6． 【例9】．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 【答案】(1) 如图，点O为原点； (2)4 (3)点B在数轴上对应的数为7 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上找原点 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间距离，掌握数轴相关知识是解题的关键． （1）根据点A表示的数及每个刻度的单位长度，可找出原点； （2）根据点B所在数轴位置即可求解； （3）先求出点A运动路程，根据两点运动路程相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点B表示的数是4， 故答案为：4； （3）解：由题意知，点A运动路程为：， 又A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动， 所以此时点B表示的数为：． 【例10】．（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，且点所表示的数，满足，则 ， ； （2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以个单位的速度向正方向运动·，同时线段以个单位的速度向负方向．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？ （3）如图，三点在以O为原点的数轴上，点在以O为圆心，半径等于的圆周上，且，点绕点O以的速度顺时针旋转了时停止运动：同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转(当停止运动，也停止)，问：点P、Q开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？ 【答案】（1）；（2）；（3）、运动或或 时，在同一条直线上 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了绝对值与平方数的性质、数轴上的运动以及角度相关知识，解题关键在于利用相关性质建立等式或方程，并清晰分析运动过程与角度关系； （1）利用绝对值与平方数的非负性求解和的值； （2）对于线段的运动，通过分析它们的相对运动速度和初始距离来计算完全离开所需时间； （3）对于点的旋转和运动问题，需要分不同阶段，根据角度关系建立方程求解． 【详解】（1），由非负性可知且， 解得； （2）由（1）知点A表示数为，点B表示数为6，点Q表示数为8， 线段长为， 运动到完全离开时间为； （3）点绕点O旋转用时， 点到点的距离为，用时为． ①点与点P第一次重合时，即共线,如图， 则， 解得：； ②当射线与射线第一次成一条直线时．如图， 则， 解得：； 当点与点P第二次重合时，即共线,如图， ， 解得：； 当射线与射线第二次成一条直线时．如图， 则， 解得：（舍去）； 综上所述，当运动时间为或或时，线段、在同一直线上． 【变式1】．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 【变式2】．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．        (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是_____，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)1；6；3 (2)①2，8，10；②不变，；③线段的长度为 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点间的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据点与点表示的数互为相反数，可得点B，根据点与点的中点为点表示的数，可得点D，进而即可得解； （2）①根据跳跃点的定义可知M和关于原点对称，所以可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度；②由题易知P是和的中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可；③同②思路即可得解． 【详解】（1）解：∵点与点表示的数互为相反数， ∴点B表示的数是1， 根据题意得，点与点之间的距离， ∵点与点的中点为点表示的数， ∴点D表示的数是， 故答案为：1，6，3； （2）解：①由题可知M和关于原点对称， ∴表示的数是2， ∵点P表示的数为5， ∴， ∵， ∴表示的数是8， ∴线段的长度为， 故答案为：2，8，10； ②的值不变，，理由如下： 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴； 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴， 综上所述：； ③∵点M表示的数是m，则一次跳跃点表示的数是， ∵点与点位于点P的两侧，且，即点P是点和点之间的中点， ∵点P表示的数是p， ∴点表示的数是， ∴． 【变式3】．把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点重合，数轴的单位长度为，如图所示． (1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 ；我们把这个模型记为“木棒模型”； (2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点相距时，已知点表示的数为．求木棒的右端点与点的距离； (3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题． 一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】(1)5 (2)木棒的右端点与点的距离为或 (3)爷爷现在的年龄是70岁 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴，解题关键是能用数形结合的思想借助数轴直观求解． （1）根据数轴，观察木棒的平移，求解即可； （2）木棒左端点可在C点左边或者右边，分情况讨论，得出左端点对应的数之后，加上木棒的长度即为右端点对应的数，最后求木棒的右端点与点A的距离即可； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷比小红大时看作当B点移动到A点时，此时A点对应的数为，小红比爷爷一样大时看作当A点移动到B点时，此时B点对应的数为，所以可知爷爷与小红的年龄差为，可求爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由题意得：木棒的长为， 故答案为：； （2）解：点C表示的数为， 当木棒的左端点在点C右边时， 此时木棒的左端点表示的数为，右端点表示的数为， 木棒的右端点与点A的距离为， 当木棒的左端点在点C左边时， 此时木棒的左端点表示的数为，右端点表示的数为， 木棒的右端点与点A的距离为， 综上所述，木棒的右端点与点A的距离为或； （3）解：由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为，因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为125， “木棒模型”示意图如图所示： 所以爷爷比小红大（岁）， 则爷爷的年龄为（岁）． 答：爷爷现在的年龄是70岁． 【变式4】．（25-26七年级上·江苏·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1)5 (2)，，0，1，2，3； (3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数即可； （3）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． 【题型四】有理数规律探究（选择、填空压轴） 【例11】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我校航模社团利用若干台无人机操作，按照某种规律摆出家乡盐城的拼音缩写．按照这种规律，需要越来越多的无人机，则第5次需要的无人机数量为（   ） A．28架 B．31架 C．33架 D．47架 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律，有理数的乘法运算，加法运算，根据题干的图形特征找出规律，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，第一次：（架）， 第二次：（架）， 第三次：（架）， 第四次：（架）， 第五次：（架）， 第五次需要的无人机数量为架， 故选：B． 【例12】．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）观察下列算式：，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（ ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】首先根据已知的式子可以得到，末尾数字以3，9，7，1这四个数字为周期循环； 然后再分析2025中有多少个4，然后由得到的余数来确定所求数的末尾数字，据此解答即可. 本题是有关探究规律的问题，观察得到末尾数字的循环规律是解答本题的关键. 【详解】解：根据已知的式子可以得到，末尾数字以3，9，7，1这四个数字为周期循环， 由， 故个位数字是3， 故选：A. 【变式1】．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）观察下列数的规律，填上合适的数：1，，9，，25，，49，__． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律、数字类规律探索 【分析】先观察总结规律，再根据规律求解．本题考查了正负数认识，规律型问题，正确找到规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，列表如下： 序号数 奇偶性 序号数的平方 结果呈现 1 奇数 1 1 2 偶数 4 3 奇数 9 9 4 偶数 16 5 奇数 25 25 6 偶数 36 7 奇数 49 49 8 偶数 64 由此得到规律是：序号是奇数时，其对应的结果是序号的平方，是正数；序号是偶数时，其对应的结果是序号的平方的相反数，是负数； ∴第八个数是的相反数即， 故答案为：． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形、第一幅图有1个正方形、第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形．…．…按照此规律，第六幅图中正方形的个数为_____． 【答案】91 【知识点】含乘方的有理数混合运算、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类规律型问题．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】解：第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故答案为：91. 【变式3】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律，解决本题的关键是根据阅读材料中所给的式子，找到式子的变化规律，根据规律解决问题． 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律进行计算即可； 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律，写出从到的连续正整数的平方和的计算公式； 利用中得到的计算规律可得：，由可知，两个等式求差，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据规律可得：； （2）解：根据规律可得：第个式子是： （3）解：由可知， ， 由可知：， ． 【题型五】新定义运算（阅读型压轴小题 / 简答） 【例13】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）定义新运算“&”，对任意有理数a、b，规定：，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C． D． 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算 【分析】考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】解：， 故选A． 【例14】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在有理数范围内，定义一种新运算“”：，例如：，则 __________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键，根据新运算的法则列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）现定义某种新运算：对任意两个有理数a，b，有，那么（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了新定义运算，涉及有理数的乘法和加法运算，解题的关键是正确理解定义． 根据新运算的定义，将和代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式2】．（22-23七年级上·江苏淮安·期中）定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有．例如：． (1)计算的结果是______． (2)有理数m，n满足，求的值． 【答案】(1)4 (2)2 【知识点】绝对值非负性、两个有理数的乘法运算 【分析】（1）直接利用新定义进而计算得出答案； （2）直接利用非负数的性质结合新定义计算得出答案. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， 原式 . 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键. 【变式3】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【答案】(1)0 (2) (3) 不满足，理由如下； ， ， ∵， ∴新定义的运算“⊕”不满足交换律． 【知识点】有理数加法运算、有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数的乘法、加法运算，乘法运算律．理解运算的运算法则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2），根据，计算求解即可； （3）由，，，判断作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：0； （2）解：由题意知，， ∴， ∴的值为； 【题型六】有理数混合运算 （解答题） 【例15】．计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）可利用乘法分配律简化计算； （2）按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，逐步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例16】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例17】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例18】．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【答案】运算顺序为：先算乘方和括号内的减法，接着算除法和乘法，最后从左到右计算加减． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】先算乘方、绝对值，再算除法，最后从左到右依次进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2)2 (3)45 (4)4 【知识点】有理数的加减混合运算、多个有理数的乘法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先变减法为加法，再根据有理数加法运算法则，进行计算； （2）先变分数为小数，然后变减法为加法，再根据有理数加法运算法则，进行计算； （3）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有以下运算程序，如图所示： 比如，输入数对，输出． (1)若输入数对，则输出 ； (2)分别输入数对和，输出的结果分别是，试比较的大小，并说明理由； (3)设，若输入数对之后，输出，请直接写出的值． 【答案】(1)1 (2) 解：，理由如下； 由题意知，， ， ∴； (3)89或99 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，化简绝对值．理解程序图中的运算法则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，即； （3）当时，，则，解得，，进而可得的值；当时，，则，解得，或，不符合题意，舍去；当时，，则，解得，，进而可得的值． 【详解】（1）解：若输入数对，则输出， 故答案为：1； （2）略 （3）解：当时，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 即， 解得，或，不符合题意，舍去； 当时，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，的值为89或99． 【变式4】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）日常生活中，我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，十进制的基数是十，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制的基数是二，二进制只使用数字0，1，例如二进制数1101记为通过式子（规定）可以转换为十进制数13，即=13． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)二进制的加法运算是一种基本运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同．在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况．二进制数的基本规则：，，（二进制进位），举个例子，我们来计算二进制数和的加法：，从最低位开始相加，，没有进位；，这里需要进位；没有进位；，这里也需要进位的，如图，结果是． 请计算：；（请把计算或探究过程写出来）； (3)请类比十进制的运算，进一步研究二进制的运算． ①计算：．（请把计算或探究过程写出来） ②计算：，并把结果转化为十进制的数． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算．关键是掌握二进制和十进制的转换方法． （1）根据例子中转换的方法求解即可． （2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可． （3）①类比十进制的乘法运算，得到二进制的乘法运算法则，进而求解即可； ②比十进制的减法运算，得到二进制的减法运算法则，然后计算二进制的乘法，最后计算二进制的加法，然后再转化成十进制即可． 【详解】（1）解：． （2）解：如图， ∴． （3）解：①类比十进制的乘法运算，二进制的乘法运算法则为：；；；， ∴ 从最低位开始相加，； ； ，这里需要进位； ，需进位； ， ∴结果为； ②类比十进制的减法运算，二进制的减法运算法则为：；；；（同一数位不够减时，向高一位借1当2）， ∴ 从最低位开始相减，； ，需向高一位借1当2； ； ，需向高一位借1当2； ； ； ∴结果为； ∴ 从最低位开始相加，； ，需进位； ； ，需进位； ； ，需进位； ，需进位； ，需进位； ； ∴结果为， ∴ ． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用数轴、绝对值、有理数的加减、乘方运算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先用数轴知识确定出a，b的符号、大小和绝对值的大小，再运用有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∴， ∴选项C符合题意，选项A，B，D不符合题意． 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，将边长为1的正方形以顶点A为旋转中心，沿数轴顺时针连续滚动．起点A表示的数是，则数轴上数2025所对应的字母是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点的规律．列举出数轴上1，2，3，4四个数对应的点，，故2025对应的点与1对应的点相同． 【详解】解：由题可知，正方形旋转1次后在的位置， 旋转第2次后，在0的位置， 旋转第3次后，在1的位置， 旋转第4次后，在2的位置， 旋转第5次后，在3的位置， 旋转第6次后，C在4的位置， ∵， ∴数轴上2025所对应的点是点． 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②整数和分数统称为有理数；③零是最小的有理数；④绝对值等于它本身的有理数是正数；⑤一定是负数．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的概念，有理数的分类，绝对值，负数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个说法的正误． 【详解】解：∵ 有理数包括正数、负数和零，零既不是正数也不是负数， ∴ 说法①错误； ∵ 有理数是整数和分数的统称， ∴ 说法②正确； ∵ 有理数中包含负数，负数小于零， ∴ 说法③错误； ∵ 绝对值等于它本身的数是非负数， ∴ 说法④错误； ∵可能是负数、正数或零，取决于a的取值， ∴ 说法⑤错误． 综上，只有说法②正确，故正确的个数是1． 故选：A． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，数轴，掌握数轴表示数的方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及点A、点B所表示的数进行计算即可． 【详解】解：由于点A在原点左侧，点A对应整数a，a的最大值是， 又点B在原点右侧，点B对应整数b，而， ， 故选：B． 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，涉及连分数展开的概念，给定整数组 ，对应的连分数为 ，计算此连分数即可得到原始分数. 【详解】解：∵ 连分数展开式为 先计算最内层： 然后： 最后： ∴ 原始分数为 故选A. 7．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：对于①：最大的负整数是，故①正确； 对于②：相反数是本身的数是，不是正数，故②错误； 对于③：有理数分为正有理数、负有理数和零，故③错误； 对于④：当时，在原点的右边，故④错误； 对于⑤：若因数中包含零，则乘积为零，不是负数，故⑤错误； ∴一共有4个错误结论． 8．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图，数轴上由左至右有A、B、C、D、E五个点，分别表示数a、b、c、d、e，且相邻两点之间的距离相等， 即． 若原点在A、E两点之间， 当满足时， 则下列关于原点位置的叙述，正确的是（  ） A．在B、C两点之间且较接近 B点 B．在B、C两点之间且较接近 C点 C．在C、D两点之间且较接近 C点 D．在C、D两点之间且较接近 D 点 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，在数轴上找原点，绝对值的几何意义，不等式的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 根据题意设相邻两点之前的距离为，分别分析原点在不同位置时、、的取值范围，再结合来判断各个选项即可求解． 【详解】解：设， 若原点在上，则，，， 与不符， 原点不可能在上，故C、D选项不符合题意； 若原点在上，且较接近点，则，，， ，与不符， 原点不可能在上，且较接近点，故A选项不符合题意； 若原点在上，且较接近点，则，，， ，可能与相符， 原点可能在上，且较接近点，故B选项符合题意； 故选：B 二、填空题 9．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 10．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____． 【答案】或3/3或 【分析】本题考查数轴对折问题，设点A的对应点为，分点在点B左侧与右侧两种情况，先求出点表示的数，再根据中点公式求出点表示的数． 【详解】解：设点A的对应点为，分两种情况： 当点在点B左侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 当点在点B右侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 综上可知，点表示的数为或3， 故答案为：或3． 11．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 根据数轴的性质可得，从而可得，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字______的点重合． 【答案】0 【分析】本题考查数轴上的规律探究，根据题意，得到0，3，2，1四个数为一组，用，取余即可得出结果． 【详解】解：由题意，从开始，按照0，3，2，1四个数为一组进行循环， ∵， ∴表示的点与圆周上表示数字0的点重合； 故答案为：0 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新运算：，如，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了新定义运算的计算，解题的关键是遵循新运算的规则，先计算括号内的式子，再计算括号外的式子． 先根据新运算规则计算括号内的，得到结果后，将该结果与按照新运算规则计算最终值． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）一般地，点在数轴上分别表示有理数，则之间的距离可表示为，已知，当时，的值是不变的，且是最小值，这个最小值是___________；若，则求的最大值等于___________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，有理数的加减计算，根据化简绝对值可得第一空答案；结合题意可得当时，和能同时取得最小值，则当时，有最小值，最小值为；同理当时，有最小值，最小值为；则可推出，和同时取得最小值，即，，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即m的最小值为6； 由题意得，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为； 同理可得当时，有最小值，最小值为； ∴的最小值为， ∵， ∴，和同时取得最小值， ∴，，， ∴ ， ∴当时，有最大值，最大值为． 故答案为：6；． 三、解答题 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）某校将劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七（1）班的学生在本班劳动区域内种植花生，经过精心培育，同学们收获了10袋花生，以每袋为标准，超过的重量记作正数，不足的重量记作负数，称重后记录如下： 袋数 重量 (1)求这袋花生的实际重量； (2)已知在播种时，七（1）班学生以8元的价格购进花生种子，收获后将花生以18元的价格全部售出．求他们将花生全部售出获得的利润． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的应用． （1）先计算1袋花生的标准总重量，再加上所有袋数对应的超过或不足的重量之和，得到实际总重量； （2）根据“利润总售价总成本”的关系，分别求出总售价与总成本，再通过作差计算出最终利润 【详解】（1）解：10袋花生的标准总重量为 超过或不足的重量总和： 实际总重量： 答：这袋花生的实际重量为 （2）解：购进花生种子的成本：元 售出花生的总收入：元 获得的利润：元 答：他们将花生全部售出获得的利润为元 16．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：观察上述规律， ， ， 故答案为：；． （2）解：对原式进行变形化简如下， 17．（25-26七年级上·江苏南通·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）运用分配律计算即可； （2）按照混合运算的顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 18．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)9 (2)0 (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）某共享单车厂计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖25元；少生产一辆扣30元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【答案】(1)2107 (2)27 (3)该厂工人这一周的工资总额是126460元 (4)实行每周计件工资制的工资更多 【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）用周计划生产总量加上本周总的增减产量，即可求得本周的实际生产量； （2）找出增减产量中的最大值与最小值，二者相减即可； （3）由（1）及题意先得出此时的工资，然后再加上减产和增产的工资即可； （4）由（1）及题意可直接进行求解 【详解】（1）解：该厂本周实际生产自行车数量为： （辆）， 故答案为：； （2）解：根据表格得：产量最多的一天为周六，最少的一天为周日， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车：辆， 故答案为：27； （3）解：（元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是126460元； （4）解：实行每周计件工资制的工资为， 所以按周计件制的一周工资较高． 20．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2) 如图即为所求： (3) B点表示的数为4，如图，在数轴上标出原点O： 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）略 （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 21．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2)2 (3) (4)21 (5) (6)32 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，含乘方的有理数混合运算，求一个数的绝对值，解题关键是掌握运算的顺序． （1）先写成省略加号的和式，再计算； （2）先写成省略加号的和式，再计算； （3）先计算乘方、绝对值，再计算加减； （4）先计算乘方、绝对值，再计算乘法，最后计算加减； （5）先利用分配律展开，再计算乘法，最后计算加减； （6）先计算中括号里面的乘方与乘法，再计算括号里的加减，最后将括号里计算的结果与相乘即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 22．综合与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 【答案】(1)； (2)，或； (3)或． 【分析】（）根据题意可知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度，据此求解即可； （）先求出数轴甲上表示的数与的距离，再根据数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度进行求解即可；求出数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲上距离的距离即可得到答案； （）要求乙轴对应甲轴的数，即要先求出乙轴上到对齐点的距离在甲轴上表示的是多少，同理，要求甲轴对应乙的数，即要先求出甲轴上到对齐点的距离在乙轴上表示多少，据此求解即可； 此题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意熟知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐， ∴数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度， ∴数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐， 故答案为： ； （2）∵数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐， ∴数轴甲上表示的点与相距个单位长度，则在数轴乙上表示的点对齐； ∴数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲表示： 的点对齐， 的点对齐， 故答案为；；或； （3）由题意得： 当在数轴乙原点左侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数； 当在数轴乙原点右侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 23．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②8432 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算法则和数字规律探索，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）先对式子提一个，再运用所得规律即可求解； （3）①根据题意即可得出结果；②先将原式变为，再提一个4，最后运用所得规律求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）由题意可得， （3）①由题意可得，， 故答案为：； ②由题意可得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考压轴题汇总（有理数） 压轴题型 考查位置 核心难点 数轴与两点距离 （选择、填空压轴高频） 数轴上点A(a)，点B(b)，两点距离：|AB|=|a-b| 绝对值化简与绝对值最值 绝对值化简与绝对值最值 两种理解：代数意义、几何意义 数轴动点问题 （月考必考大题压轴） 第一次月考最难大题，必考分类讨论 有理数规律探究 （选择、填空压轴） 两类：数字序列、点阵 / 图形规律 新定义运算 （阅读型压轴小题 / 简答） 题干自定义符号：如，本质就是套公式代入有理数计算。 有理数混合运算 + 实际应用 （大题压轴，结合盈亏、基准数） 考法：基准数法（称重、成绩、库存） 【题型一】数轴与两点距离（选择、填空压轴高频） 【例1】．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）数轴上原点右侧一点A，一只蚂蚁从A出发爬了5个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（ ） A． B． C． D． 【例2】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知点、是数轴上的两个点，若点表示的数为，点表示的数为6，则的中点表示的数是______． 【例3】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）有一个半径为1的圆可以在数轴上无滑动地滚动，圆上的一点从数轴上表示3的点开始，沿数轴正方向滚动一周后，这个点表示的数为______． 【例4】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，如果数轴上点表示的数为，那么点表示的数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）A、B、C是数轴上的三个点，点A、B表示的数分别是、4，若，则点C表示的数是________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则刻度尺对应数轴上的点表示的数是______．    【变式4】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【题型二】绝对值化简与绝对值最值（月考解答压轴第一梯队） 【例5】．（24-25七年级上·江苏南京·期中）（）一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到__________的距离． （）若，则__________． （）有理数，在数轴上的位置如图所示，请化简． 【例6】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题∶点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题∶ (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是_________；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为__________； (2)试用数轴探究∶当时m的值为_________； 【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究∶ (3)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是_____，最小值是______． (4)若，则x的值是______． 【例7】．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察下列关于“#”运算的式子： ，；，； ，；…… (1)类比有理数的运算法则，请归纳“#”的运算法则： 当非零两数进行“#”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______． 0和任何数进行“#”运算或任何数和0进行“#”运算，都得这个数的绝对值． (2)直接写出结果：______． (3)有理数a、b在数轴上的位置如图，化简：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ． (3)的最小值为 ；此时整数 ． (4)若，则整数 ． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，，根据以上阅读完成下面的问题： (1) ； (2)如果有理数，则 ； (3)请利用你探究的结论计算下面式子： (4)如图，数轴上有a、b、c三点，化简．    【变式3】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）【阅读】数形结合是解决问题的重要方法．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示1与两点之间的距离是________； （2）借助数轴，若，则x的值为________； （3）借助数轴，有最小值是________； 【拓展】 （4）借助数轴，若，则x=________． 【题型三】数轴动点问题（月考必考大题压轴） 【例8】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 【例9】．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 【例10】．（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，且点所表示的数，满足，则 ， ； （2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以个单位的速度向正方向运动·，同时线段以个单位的速度向负方向．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？ （3）如图，三点在以O为原点的数轴上，点在以O为圆心，半径等于的圆周上，且，点绕点O以的速度顺时针旋转了时停止运动：同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转(当停止运动，也停止)，问：点P、Q开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？ 【变式1】．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【变式2】．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．        (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是_____，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【变式3】．把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点重合，数轴的单位长度为，如图所示． (1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 ；我们把这个模型记为“木棒模型”； (2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点相距时，已知点表示的数为．求木棒的右端点与点的距离； (3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题． 一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【变式4】．（25-26七年级上·江苏·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【题型四】有理数规律探究（选择、填空压轴） 【例11】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我校航模社团利用若干台无人机操作，按照某种规律摆出家乡盐城的拼音缩写．按照这种规律，需要越来越多的无人机，则第5次需要的无人机数量为（   ） A．28架 B．31架 C．33架 D．47架 【例12】．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）观察下列算式：，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（ ） A．3 B．9 C．7 D．1 【变式1】．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）观察下列数的规律，填上合适的数：1，，9，，25，，49，__． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形、第一幅图有1个正方形、第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形．…．…按照此规律，第六幅图中正方形的个数为_____． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 【题型五】新定义运算（阅读型压轴小题 / 简答） 【例13】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）定义新运算“&”，对任意有理数a、b，规定：，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C． D． 【例14】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在有理数范围内，定义一种新运算“”：，例如：，则 __________． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）现定义某种新运算：对任意两个有理数a，b，有，那么（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式2】．（22-23七年级上·江苏淮安·期中）定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有．例如：． (1)计算的结果是______． (2)有理数m，n满足，求的值． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【题型六】有理数混合运算 （解答题） 【例15】．计算∶ (1) ； (2) 【例16】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【例17】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例18】．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有以下运算程序，如图所示： 比如，输入数对，输出． (1)若输入数对，则输出 ； (2)分别输入数对和，输出的结果分别是，试比较的大小，并说明理由； (3)设，若输入数对之后，输出，请直接写出的值． 【变式4】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）日常生活中，我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，十进制的基数是十，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制的基数是二，二进制只使用数字0，1，例如二进制数1101记为通过式子（规定）可以转换为十进制数13，即=13． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)二进制的加法运算是一种基本运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同．在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况．二进制数的基本规则：，，（二进制进位），举个例子，我们来计算二进制数和的加法：，从最低位开始相加，，没有进位；，这里需要进位；没有进位；，这里也需要进位的，如图，结果是． 请计算：；（请把计算或探究过程写出来）； (3)请类比十进制的运算，进一步研究二进制的运算． ①计算：．（请把计算或探究过程写出来） ②计算：，并把结果转化为十进制的数． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，将边长为1的正方形以顶点A为旋转中心，沿数轴顺时针连续滚动．起点A表示的数是，则数轴上数2025所对应的字母是（    ） A．A B．B C．C D．D 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②整数和分数统称为有理数；③零是最小的有理数；④绝对值等于它本身的有理数是正数；⑤一定是负数．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 8．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图，数轴上由左至右有A、B、C、D、E五个点，分别表示数a、b、c、d、e，且相邻两点之间的距离相等， 即． 若原点在A、E两点之间， 当满足时， 则下列关于原点位置的叙述，正确的是（  ） A．在B、C两点之间且较接近 B点 B．在B、C两点之间且较接近 C点 C．在C、D两点之间且较接近 C点 D．在C、D两点之间且较接近 D 点 二、填空题 9．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 10．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____． 11．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字______的点重合． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新运算：，如，则______． 14．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）一般地，点在数轴上分别表示有理数，则之间的距离可表示为，已知，当时，的值是不变的，且是最小值，这个最小值是___________；若，则求的最大值等于___________． 三、解答题 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）某校将劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七（1）班的学生在本班劳动区域内种植花生，经过精心培育，同学们收获了10袋花生，以每袋为标准，超过的重量记作正数，不足的重量记作负数，称重后记录如下： 袋数 重量 (1)求这袋花生的实际重量； (2)已知在播种时，七（1）班学生以8元的价格购进花生种子，收获后将花生以18元的价格全部售出．求他们将花生全部售出获得的利润． 16．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 17．（25-26七年级上·江苏南通·期末）计算： (1)； (2)． 18．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 19．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）某共享单车厂计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖25元；少生产一辆扣30元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 20．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 21．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 22．综合与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 23．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $