专题05 有理数的新定义运算与规律探究问题10大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

专题05 有理数的新定义运算与规律探究 常考题型·精准突破 考点一 有理数的新定义运算与规律探究问题 题型一：有理数的新定义运算 题型二：数轴相关的新定义问题 题型三：二进制计算问题 题型四：含乘方的规律计算题 题型五：比较大小的规律题 题型六：干支纪年的规律题 题型七：幻方类规律题 题型八：裂项相消法规律题 题型九：错位相减法规律题 题型十：含绝对值的规律计算题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的新定义运算与规律探究问题 ◆题型1 有理数的新定义运算 1．（24-25七年级上·广东东莞·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则______． 【答案】11.7 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及有理数的加减混合运算， 根据，化简列式计算即可． 【详解】解： 故答案为：11.7． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：． （1）计算：______； （2）从，中任选两个有理数作为和，并计算，那么所有运算结果中的最大值是______． 【答案】 【分析】（）直接利用规定的运算方法计算即可； （）要使结果最大，必须使这两个数的和最大，且两个数的差最小，由此可知和符合题意，由此按照规定的运算计算得出答案即可； 此题考查了新定义，以及有理数的混合运算，理解题意，掌握规定的运算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）根据题意和两个有理数符合题意， 则， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：__________；__________；__________；__________； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 【答案】(1)；；12； (2)；加法的交换律仍然适用；结合律不适用；验证见解析 【分析】（1）首先根据（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出（加乘）运算的运算法则，根据：；，可得：0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，等于这个数的绝对值，然后逐项进行计算即可； （2）根据（1）中总结出的（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．加法有交换律和结合律，交换律在有理数的（加乘）运算中还适用，结合律不适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， ∴； ； ； ； （2）解： ； 加法的交换律仍然适用， 例如：，， ∴， 故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，， ， ∴结合律不适用． 【点睛】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；； ；；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ①______；②______； (2)______；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)若，计算：的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算： （1）（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加； （2）根据（加乘）运算的法则计算即可； （3）可知，，原式，进而即可求解． 【详解】（1）根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加． ， 故答案为：， （2） 原式 故答案为： （3）根据题意可知，，即 ， 原式 ◆题型2 数轴相关的新定义问题 5．（25-26七年级上·四川·阶段检测）阅读理解，完成下列各题．定义：已知A、、 为数轴上任意三点，若点到A的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A是 的倍点，点是 的倍点；（选用A、、、表示，不能添加其他字母） (2)如图，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是 ． (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示） 【答案】(1)，； (2)2或； (3)当或或时，点H恰好是P和Q两点的2倍点． 【分析】（1）根据图形可直接解得； （2）由点E是的2倍点构建方程，求解即可； （3）对动点H的位置分两种情况讨论：当点在之间时：，①若点H是的2倍点，②若点H是的2倍点，当点在点左侧时：，此时仅可能点H是的2倍点，对于三种情况分别构建方程求解． 【详解】（1）∵，，， ∴点A是的2倍点， ∵，，， ∴点B是的2倍点， 故答案是，． （2）设点表示的数是，则，， ∵E是的2倍点， ∴. ∴． 得或 解得，或 ∴点E表示的数是2或． （3）由题知，， 当点在之间时： ①若点H是的2倍点，则,得， 解得； ②若点H是的2倍点，则,得， 解得； 当点在点左侧时：，此时仅可能点H是的2倍点，则,得， 解得． 综上，或或时，点H恰好是P和Q两点的2倍点． 【点睛】本题主要考查了数轴两点间距离的表示、一元一次方程求解；掌握两点间距离的表示是解题的关键． 6．（25-26七年级上·北京东城·期中）对于数轴上的点，给出如下定义：若在数轴上存在点，使得点到点的距离是点到点距离的倍（为有理数），则称点为点的倍关联点． (1)当时． ①点表示的数为2，点表示的数为点3，点P位于原点O和点之间，求点表示的数？ ②点表示的数为2，点表示的数为点3，则点表示的数为_______． (2)点表示的数为t，点表示的数为，点位于点，之间（可以与，重合），直接写出的取值范围． 【答案】(1)①1②4或 (2) 【分析】（1）表示出的距离和的距离，根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出，设点表示的数为，用含的式子表示， 即可求出最终结果； 本题主要考查运用数轴和距离进行列式计算，解题的关键是利用数形结合的方法进行求解． 【详解】（1）①设点表示的数为， 点P位于原点和点之间， 故答案为：1 ②设点表示的数为， 解得：或 点B表示的数为：4或． （2）解：设点表示的数为， 点位于点之间（可以与重合） 整理： ． 7．（25-26七年级上·北京西城·期中）数轴上，点M和P的距离记为，点A和P的距离记为．给出如下定义：若不小于，且不大于，则称点A是点P关于点M的捕获点．已知：如图，点O为原点，点N表示的数是2，点B表示的数是4，点C表示的数是5．例如：若点A表示3，则，，不小于，不大于．故点A是点O关于点N的捕获点． （1）若点A是点O关于点N的捕获点，则点A所表示数的最大值为：______． （2）若点A表示的数为a，点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，写出a的取值范围：______． 【答案】 4 【分析】本题考查了新定义，数轴上的点表示有理数，关键是新定义的阅读理解要准确． （1）根据捕获点的定义求点A所表示数的取值范围，得到最大值． （2）点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，找到两个范围，取公共部分即可． 【详解】解：点A是点O关于点N的捕获点， ， ， ， ∴点A所表示数的最大值为：4． 故答案为：4． （2）∵点A是点C关于点B的捕获点， ， ， ， 点表示的数是5， 或． 点是点关于点的捕获点， ， ， ， 或， ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 当时，将点向右移动3个单位长度，得到点； 表示的数是，如图： (2)①； ②不存在，理由如下： 表示的数是， 当时，， 表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合； 当时，表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合， 综上所述，不存在恰好与原点重合． 【分析】（1）求出表示的数，再画图即可； （2）①根据已知可得运动后表示的数；②分两种情况：当，表示的数是，当时，表示的数是，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①点表示的数为， 故答案为：； ② 略 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． ◆题型3 二进制计算问题 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）二进制是一种以2为基数的记数法，通常用0和1来表示，计算机内部的所有数据，包括数字，字符，图像，音频等，都是以二进制的形式存储和处理的．与我们在数学学习中所用十进制数的“逢十进一”不同的是，二进制的进位规则为“逢二进一”．例如：254可分解为，将其转化为二进制数，转化过程为：，，，，，，，，将所有的余数从右到左排列，得到11111110，所以254转化为二进制数是，验证：254可分解为，结果正确．按照此种方法，现有四位同学对2025的二进制转化过程展开讨论： 同学：．因此二进制数为； 同学：分解过程中最大的2的幂是，故二进制共有11位； 同学：分解到时，剩余部分不足16，因此其系数为0； 同学：2025的二进制末三位为001． 其中对2025的二进制转化理解错误的同学是（填写字母代号）________． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂材料中两种进制数互化的例子及二进制的四则运算法则是关键．根据二进制的含义，再结合四则运算的顺序和计算法则，对2025的二进制转化过程计算，即可判定． 【详解】解：2025可分解为， 将其转化为二进制数，转化过程为：，，，，，，，，，，，将所有的余数从右到左排列，得到， 所以2025转化为二进制数是， 验证：2025可分解为． 故其中对2025的二进制转化理解错误的是同学， 故答案为：A． 10．（24-25九年级上·重庆·期中）17世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制”记数法的人，用“二进制”记数只需数字0和1．对于“二进制”整数可理解为“逢二进一”．例如：十进制数，则十进制数3在二进制中表示为；十进制数，则十进制数5在二进制中表示为．若（为正整数），则表示的二进制数为，其中，或．下列说法正确的个数为（   ） ①二进制数转化为十进制数为10； ②十进制数89转化为二进制数为； ③计算：； A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算和新定义运算，根据题意，利用二进制数与十进制数的转化方法逐项判断即可． 【详解】解：①，故①说法正确； ② ， 故②说法正确； ③ ； ； ； ∴ 故③错误， 故选：B． 11．（24-25七年级上·河南安阳·期末）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用器的是二进制，只用两个数码0和1，如：二进制中等于十进制的数5；等于十进制的数23．那么二进制中的101011等于十进制中的数______． 【答案】43 【分析】本题考查有理数的混合运算，认真观察已知给出的两个式子，得出规律，再计算． 【详解】解：． 故答案为：43． 12．（25-26七年级上·吉林长春·期中）综合与实践 我们常用的数是十进制数，如：，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，只要用2个数码：0和1，如二进制中，即十进制的数5．（注：对于任何非零数a都有，如，） 【任务1】 （1）二进制中的数等于十进制中的哪个数？ 【任务2】 （2）计算：______（结果为十进制）； 【任务3】 （3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．请求出她一共采集到的野果数量． 【答案】（1）53；（2）25；（3）1838． 【分析】本题主要考查了乘方的应用，二进制数写成十进制数， 对于（1），将二进制数写成，再计算得出答案； 对于（2），仿照（1）解答； 对于（3），根据二进制写成十进制数的方法可得，再计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：25； （3）根据题意，得． ◆题型4 含乘方的规律计算题 13．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 14．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果是______； （2）关于除方，下列说法错误的是______；（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何正整数，1的圈次方都等于1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算 （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； （4）计算： 【答案】（1）；（2）③；（3），；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算、正负数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用除方的意义解答即可； （2）利用除方的意义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义解答即可； （4）利用除方的意义和有理数的混合运算的法则解答即可． 【详解】解：（1）； （2）①当时，，该说法正确，不合题意； ②，，，， ∴对于任何正整数，1的圈次方都等于1，该说法正确，不合题意； ③，，，该说法错误，符合题意； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，该说法正确，不合题意； 故选：③； （3）； ； 故答案为：，； （4）由（3）知，， ∴原式 ． 15．（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方的应用，掌握“错位相减法”是解题关键． （1）仿造例题，设，则，作差求解即可； （2）仿造例题，设，则，作差求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得，则． （2）解：设，① 则，② 得， 则． 16．（24-25七年级上·山东济宁·期中）阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类及有理数的混合运算，设①，那么②，再利用②①可求出原式的值． 【详解】解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． ◆题型5 比较大小的规律题 17．（25-26七年级下·全国·周测）你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（，且为整数）． 从分析，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想结论． (1)通过计算，选填“>”或“<”： ①__________；②__________； ③__________；④__________； ⑤__________． (2)根据（1）的结果，猜想和的大小关系． (3)根据（2）中的猜想，试比较下列两数的大小关系：__________2025（填“>”或“<”）． 【答案】(1)①<  ②<  ③>  ④>  ⑤> (2)当或2时，；当时， (3)> 【分析】（1）直接计算每个式子的乘方结果，再比较大小； （2）根据（1）的计算结果，归纳取不同值时与的大小规律； （3）利用（2）中归纳的规律，判断与的大小． 【详解】（1）解：①，故； ②，故； ③，故； ④，故； ⑤，故． （2）解：当时，； 当且为整数时，． （3）解：因为，根据（2）的结论，得． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和归纳推理的方法，掌握通过计算简单情况归纳规律，再用规律解决复杂问题是解题的关键． 18．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法． (1)比较下列各式的大小（用“”、“”、“”连接） ① ；② ； ③ ；④ ． (2)、为有理数，通过比较、分析，归纳与的大小关系为 ． （用“”、“”、“”、“”、“”连接） (3)根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是 ；整数，，，满足，，则 ． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)；或． 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据绝对值的定义和有理数的加法，将各式计算出结果，再进行比较即可； （2）根据（1）中的结果，总结得出结论即可； （3）根据题意，结合（2）的结论推出x与同号或等于0，进而得出结论；根据（2）的结论得出与异号，然后分两种情况化简绝对值求得的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵，， ∴； ③∵，，， ∴； ④∵，， ∴． 故答案为：①；②；③；④． （2）解：由（1）可得： 当a与b同号或a、b中至少有一个为0，则； 当a与b异号，则， ∴、为有理数时，． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴x与同号，或者， ∴． ∵，，， ∴与异号， 令，，则，，且与异号， ①当，时，， ∴， ∴， 解得或2； ②当，时，， ∴， ∴， 解得或； ∴或． 故答案为：；或． 19．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）康康与文文在探究与的大小关系. (1)比较大小 _______            _______            _______ _______        _______            _______ (2)慧慧认为，当时，必有：_______（填“>”、“<”或“=”） (3)熙熙认为，当时，必有：．你同意他的看法吗？并说明理由. (4)当时， 康康发现，若，，，此时，，…… 文文发现，设数轴上点A和点B表示的数分别为a和b（如图），当点A、B都在原点右侧，且时，与都表示线段的长，所以，…… 请你用康康或文文的研究方法，讨论并归纳当a、b为有理数且时，与的大小关系． 【答案】(1)；；；；； (2) (3)同意，见解析 (4)当a、b都是正数时，；否则，． 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较． （1）通过绝对值的计算即可求解； （2）观察（1）的结果即可求解； （3）分两种情况讨论即可求解； （4）分三种情况讨论即可求解； 【详解】（1）解：，，则； ，，则； ，，则； ，，则； ，，则； ，，则； 故答案为：；；；；；； （2）解：当时，必有：； 故答案为：； （3）解：同意他的看法，理由如下： 当，，，则； 当，，，则； ∴当时，必有：； （4）解：康康的研究方法， 若，，，此时，； 若，，，又，此时，； 若，，，又，此时，； 当a、b都是正数时，；否则，； 文文的研究方法， 设数轴上点A和点B表示的数分别为a和b（如图）， 当点A、B都在原点右侧，且时，与都表示线段的长，所以； 当点A在原点右侧，点B在原点左侧， 表示线段的长，表示线段的长，所以； 当点A、B都在原点左侧， 表示线段的长，表示负数，表示线段的长，所以； 当a、b都是正数时，；否则，； 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）探索研究： （1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接） ①_________； ②_______； ③________． （2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时与的大小关系．（直接写出结果） （3）根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是________．若，，则________． 【答案】（1）①>；②=；③>；（2）；（3），10或或5或 【分析】（1）根据有理数绝对值的化简方法分别化简、计算后进行比较即可； （2）根据（1）的规律即可得到答案； （3）根据（2）的规律即可得到答案. 【详解】（1）①因为， 所以. ②因为， 所以. ③因为， 所以. 故答案为>，=，>； （2）当a，b异号时，， 当a，b同号时，， 所以； （3）由（2）中得出的结论可知，x与同号， 所以x的取值范围是. 因为， 所以与异号， 则或或5或， 故答案为，10或或5或. 【点睛】此题考查了有理数绝对值的化简：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数，以及绝对值的化简方法的应用. ◆题型6 干支纪年的规律题 21．（25-26七年级上·广西玉林·阶段检测）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减，除以所得的余数；若余数为，则天干序号为，地支序号为．以年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，年为农历庚辰年． 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律，推断年为农历（    ） A．乙巳年 B．戊申年 C．乙申年 D．丙午年 【答案】D 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据干支纪年法的计算方法分别确定出天干和地支，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴天干为丙， ∵， ∴地支为午， ∴年为丙午年， 故选：． 22．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是_______年． 【答案】己未 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式，利用余数进行判断即可． 【详解】解：由题知，因为2025年为乙巳年，且天干每10年一循环，地支每12年一循环， 所以余4，余2， 则2099年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”， 所以2099年是己未年． 故答案为：己未 23．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历_________年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】 辛亥 【分析】本题考查有理数除法的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键； 根据干支纪年法的计算方法，计算2031年减3后除以10的余数确定天干，除以12的余数确定地支． 【详解】解：计算天干：，余数8对应天干序号8为辛； 计算地支：，余数0对应地支序号12为亥； 故2031年为农历辛亥年； 故答案为：辛亥． 24．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【例读理解】 “干支（）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子，乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2025年为例， 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)杨振宁，1922年10月1日出生于中国安徽合肥，是世界著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，他被公认为20世纪最重要的物理学家之一，其工作深刻影响了现代物理学的发展，他不仅在国际上享有崇高声誉，也为中国科学事业的发展作出了重要贡献．用干支纪年法判断他出生于农历______年，他的属相是______； (2)2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大阅兵式，这是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年活动的重要组成部分，80年前的1945年用干支纪年法是农历______年； 下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（   ） A．辛亥革命——1911年    B．戊戌变法——1898年 C．癸卯学制——1904年    D．甲申之变——1645年 【答案】(1)壬戌，狗 (2)乙酉，D 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握天干地支纪年法的计算方法． （1）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （2）根据干支纪年法的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1922年为农历壬戌年，对应戌狗， 故答案为：壬戌，狗； （2）解：天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1945年为农历乙酉年， 故答案为：乙酉； A、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1911年为农历辛亥年，正确，不符合题意； B、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1898年为农历戊戌年，正确，不符合题意； C、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1904年为农历甲辰年，而癸卯学制颁布的时候是1904.1.13是公历，但是古代是干支纪元，还属于光绪29年即癸卯年，故正确，不符合题意； D、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1645年为农历乙酉年，错误，符合题意； 故选：D． ◆题型7 幻方类规律题 25．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图1是一个“和幻方”，则a=______，b=______； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值； (3)如图3是一个“和幻方”，求x的值． 【答案】(1)9，1； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的加减运算及乘法运算，乘方运算，根据幻方特点，利用和或积相等是解题的关键． （1）根据表知，每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均为15，则由第一横行的和为15，可求得a的值；由第二竖列的和为15，可求得b的值； （2）由表可求得第一横行三个数字的积为8，根据两斜对角线的三个数的积为8可分别求得n与m的值，从而求得结果． （3）设最中间的数为y，则，从而可求得y的值；设右下角的数为t，则，则可得t；设第三行第二列的数为c，则，求得的值，从而得到第二列的三个数，最后可求得x的值． 【详解】（1）解：由，得； 由于，得； 故答案为：9，1； （2）解：第一横行的积为， 则，； 则，． ∴； （3）解：如图，设最中间的数为y，则，解得， 设右下角的数为t，则，． 设第三行第二列的数为c，则，解得． 则第二列3个数的和为． 所以，解得． 3 8 x y 5 c t 26．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）材料阅读，传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案．这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方．三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和． (1)图是一个“幻方”，则 ； ； ； (2)小明要将，，，，，，，，这个数填入如图所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的倍，并且图中的中心数是上述个数的平均数．  ①中心数 ；  ②请你帮小明将图所示的“幻方”的空白方格填满． 【答案】(1)1，，5 (2)①2；②见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． （1）根据“幻和”的定义可一次求出，，；再求出所有数字之和即可得出其“幻和”之间的倍数关系； （2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可； ②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数． 【详解】（1）解：斜对角线上的三个数字之和为， 该方格的“幻和”为9， ，，， 故答案为：1，，5； （2）解：①， 中间数的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2， 则3个方格之和为6， 幻和为6， 填方格如图： ． 27．（24-25七年级上·湖北黄石·阶段检测）【阅读材料】 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如：图1是一个三阶幻方，是将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．    【模仿尝试】 （1）在图2中填入四个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． （2）将，，0，1，2，3，4，5，6这九个数填入图3的方格，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． 【观察发现】 构成三阶幻方的九个数，每个数同时加上或减去同一个数，所得到的九个数仍能构成三阶幻方． 【结论应用】 （3）将，，，，，0，2，4，6这九个数填入图4的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． （4）若满足“幻方”的九个数字之和为27，请在图5的方格中写出符合题意的九个数．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查有理数的加减运算，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键． （1）将图1的数据加上1，填入表格即可； （2）将图1的数据减去3，填入表格即可； （3）、、、、、0、2、4、6将数从小到大排序，最中间的数填入中心位置，大小匹配填的两侧； （4）若满足“幻方”的九个数字之和为27，则中间数为3，再根据“构成三阶幻方的九个数，每个数同时加上或减去同一个数，所得到的九个数仍能构成三阶幻方”可得出结果． 【详解】解：（1）三阶幻方如图2所示：    （2）三阶幻方如图3所示：    （3）三阶幻方如图4所示：   ． （4）三阶幻方如图所示：   ． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与实践活动    （1）横行、竖列、对角线上的三个数之和分别是多少？你还能发现哪些相等的关系？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点？ （3）你能改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系吗？ （4）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的数？ 归纳总结：三阶幻方的性质：每一________、每一________和________的三个数的和都相等． 【实践应用】 “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．    在新“幻方”（图3所示）中，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为________． 【答案】归纳总结：横行，竖列，对角线上；实践应用：1 【分析】（1）分别计算横行、竖列、对角线上的三个数的和，即可出结论； （2）观察图形，即可得出结论； （3）根据三阶幻方的特点，改变数字的位置，即可验证其相等关系； （4）根据图中数据进行分析即可； （实践应用）根据题意得出最核心的位置是1，成对的数有“5和”，“4和”，“3和”，“2和0”，即可得出a、b、c的值，即可求解； 【详解】解：（1）横行：，，， 竖列：，，， 对角线：，， 相等关系为：每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等； （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个“米”字形， 该图形是中心对称图形，也是轴对称图形； （3）如图所示：    （4）最核心的位置是5，有成对的数，“9和1”，“8和2”，“7和3”，“6和4”，其中“9和1”，“7和3”，只能在核心位置的“上下”或“左右”出现； 归纳总结：三阶幻方的性质：每一横行、每一竖列和对角线的三个数的和都相等． 故答案为：横行、竖列、对角线上； 实践应用：∵使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴最核心的位置是1，成对的数有“5和”，“4和”，“3和”，“2和0”， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是仔细观察，正确计算，总结出题目所给“三阶幻方”的特征． ◆题型8 裂项相消法规律题 29．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段检测）数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂项法、阶乘的运用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据阶乘定义直接求解即可； （2）根据题干材料仿照即可得解； （3）根据（2）思路写出过程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：120； （2）解： ； （3）解： ． 30．（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），将原式整理为，再计算即可； 对于（2），仿照上述做法，应用裂项公式，提取公因数后消项即可； 对于（3），先提出负号，再将分母写成乘积的形式，然后裂项，消项即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 31．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）根据规律，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 32．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． ◆题型9 错位相减法规律题 33．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）【拓广探究】下面是小明为了计算的值，采用错位相减法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】请仿照小明的方法求的值． 【答案】 【分析】设，则，然后求解即可． 【详解】设，则， 得， ∴ ∴． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子看作整体进行扩大或缩小，要熟悉本题的解题思路． 34．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 35．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ∴． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． 36．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）计算时发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的4倍，如果将上式各项都乘以4，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，①    则，② 得，则． 请你尝试用上面的方法计算． 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算的应用，根据已知的步骤进行运算，即可求解；理解计算方法是解题的关键． 【详解】解：设，①     则，② 得， 则， 即原式． ◆题型10 含绝对值的规律计算题 37．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）（1）知识呈现： 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”． （1）①若，则________；②若，则________； （2）拓展延伸： ①若，则________；②若，则________； （3）结论应用： 计算： 【答案】（1）①；② （2）①；② （3） 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，带有字母的绝对值化简问题，有理数的加减混合运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）①根据正数的绝对值等于它本身求解； ②根据负数的绝对值等于它的相反数求解； （2）①先判断的符号，再根据正数的绝对值等于它本身求解； ②先判断的符号，再根据负数的绝对值等于它的相反数求解； （3）先去绝对值，再计算． 【详解】解：（1）①若，则 故答案为：； ②若，则 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）原式 ． 38．（24-25七年级上·辽宁丹东·阶段检测）根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：，． 【牛刀小试】 （1）根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ①_________； ②_________； ③_________； ④_________． 【拓展延伸】 （2）． 【答案】（1）①；②；③；④,（2） 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的运算，掌握绝对值的意义，是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，化简各式即可； （2）先化简绝对值，再进行加法运算即可． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； 故答案为：①；②；③；④ （2） ． 39．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 【答案】(1)0 (2)或0 (3)或 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的意义，确定当，时，的值是正确解答的关键． （1）确定a、b的符号，再根据绝对值的性质进行计算即可； （2）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）对，，进行讨论，，，同正，，，同负，，，两正一负，，，两负一正，再根据绝对值的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：0； （2）解：已知a、b是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③a、b异号，． 故的值为或0； 故答案为：或0； （3）解：已知，，是有理数，且， ①当，，时，； ②当，，时，； ③当，，两正一负时，令，，，则； ④当，，两负一正时，令，，，； 综上分析可知：的值为或． 40．（24-25七年级上·江西宜春·期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当时，，根据以上阅读完成下面的问题： (1)__________； (2)__________； (3)如果有理数，则__________； (4)请利用你探究的结论计算下面式子： 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）判断的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【详解】（1）解：， 故答案为：1． （2）解：， 故答案为：． （3）解：∵，即， ∴， 故答案为：． （4）解：原式 ． 综合攻坚·知能拔高 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）阅读下列内容，并完成相关问题． 轩轩说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ，； ，； ，． 浩浩看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳（加乘）运算的运算法则： 两数进行（加乘）运算时，______得正，______得负，再将它们的______，特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，结果为这个数的______． (2)若，则_____． (3)计算：． 【答案】(1)同号，异号，绝对值相加，绝对值 (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据所给的算式进行分析即可； （2）根据运算法则可得，解题即可； （3）利用所给的运算的法则进行运算即可． 【详解】（1）*(加乘)运算的运算法则：同号得正，异号得负，再将它们的绝对值相加．特别地，和任何数进行*(加乘) 运算，或任何数和进行*(加乘) 运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号，异号，绝对值相加，绝对值； （2）解：∵ ∴， 解得：， 故答案为：． （3） ． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）阅读理解： (1)定义一种新运算：． ①那么 ， ； ②当时，求的结果； (2)定义表示不超过a的最大整数，如，，计算 ； (3)根据乘方的意义，可得：，类似还有：，请用以上知识完成以下空格．（注：中的“.”号表示乘号“×”） ① （直接写出结果）； ②归纳、概括： ； ③如果，，运用以上的结论计算的值． 【答案】(1)①15；4；②6 (2)4 (3)①②③36 【分析】本题考查用新定义解题,理解新定义，将新定义中的计算转化为常规运算是求解本题的基础． （1）根据新定义运算法则进行计算即可； （2）根据定义求出算式中每个数的最大整数，再进行加减运算即可； （3）根据乘方的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：15；4； ②当时， ∴ （2）解：∵， ∴， 故答案为：4； （3）解：① 故答案为：； ②， 故答案为：； ③∵，， ∴ 3．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点表示的数为0，点表示的数为． 给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“闭距离”． 如图1，若，点表示的数为3，当点与点重合时，线段的长最大，值是4，则点与线段的“闭距离”为4． (1)如图2，在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为2． ①当时，点与线段的“闭距离”为___________； ②若点与线段的“闭距离”为3，求的值； (2)在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1)①2；②或5 (2)m的最大值为4，最小值为 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴知识． （1）①认真读懂题意，按照“闭距离”的定义计算；②读懂题意，已知“闭距离”的值，求出m的取值； （2）按照m的正负值分情况讨论，计算出最大值、最小值． 【详解】（1）解：①根据题意可知，时，A到的最大值为的长， ∵， ∴点A与线段的“闭距离”为2， 故答案为：2； ②∵B点到的“闭距离”为3， ∴当时，， 当时，， ∴m的值为或5； （2）解：∵点C表示的数为，点D表示的数为，在线段上存在点G，使得点G与线段的“闭距离”为5， ∴当时，可得不等式组， ， 解得：， 当时，可得不等式组， ， 解得： 综上所述，或 ∴m的最大值为4，最小值为． 4．（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 5．（2026·湖北恩施·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． 【答案】(1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）结合题中所给转换方法进行计算即可； （2）根据题中所给计算方法进行计算即可； （3）先将二进制数转化为十进制数，再按获得密码的规则进行计算即可 【详解】（1）解：． 由题可得 十进制数对应的二进制数为． （2）解：由题可得 十进制数982对应的十二进制数为． （3）解：由题可得 为奇数时， 破解公式为． 6．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届．于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算．（提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为） （1）观察发现 左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为________，________，________； （2）问题准备 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加． 例如：．（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即） 二进制加法与十进制加法类似，区别在于：十进制是“满十进一”，二进制是“满二进一”．例如：？从最低位开始相加，（1加1是2，向高位进1），然后计算高位上的（满2向高位进1），因此，结果是． 问题解决请结合“问题准备”，解决下列问题： ①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和； ②将①中计算得到的和转换成十进制数（写出转换的过程）． 【答案】（1），，；（2）①；②12 【分析】本题主要考查了二进制和十进制的转化，有理数的混合运算，解题的关键是掌握理解题意． （1）根据题意，结合符号表示出二进制数即可； （2）①根据二进制加法法则进行计算即可； ②根据二进制转化成十进制数的法则进行计算即可． 【详解】解：（1）左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为，，； 故答案为：，，； （2）①根据题意得，； ②． 7．（25-26六年级上·上海·单元复习）用裂项法求和 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，数字的变化规律，找到变化规律，将分数合理拆项求解是关键． （1）根据题中的方法，进行“拆项——消项”法简化运算即可； （2）根据题中的方法，进行“拆项——消项”法简化运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级上·河南郑州·期中）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】解： ． 9．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）阅读第①小题计算方法，再类比计算第②小题． （1）① 解：原式 ． 上面这种方法叫做拆项法． ②计算：． （2）①，，，…，上面这种方法叫做裂项法． ②计算：． 【答案】（1）②（2）② 【分析】（1）②仿照前面解法求解即可． （2）②仿照前面解法求解即可． 【详解】（1）② = = = =． （2）②因为，，，…， 所以原式= =． 【点睛】本题考查了有理数的特殊运算，熟练掌握运算方法是解题的关键． 10．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握错位相减法，是解题的关键： （1）利用错位相减法进行计算即可； （2）利用错位相减法进行计算即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② ②①得，则． （2）设，① 则，② ①②得，则． 11．（25-26八年级下·重庆江北·阶段检测）对于任意的一个四位数，其百位数字与千位数字的平方和恰好为的十位和个位组成的两位数，则这个四位数为“平方和数”． 例如：，，是“平方和数”； 又如：，，，不是“平方和数”． (1)判断4652，5747是否为“平方和数”，并说明理由； (2)一个“平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，当、均是整数时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)4652是“平方和数”，5747不是“平方和数” (2)满足条件的为2868，5550，8268 【分析】（1）根据定义计算解答即可； （2）根据题意，得一定是10的倍数，根据的千位数字为，百位数字为，得到，根据是整数，分类计算求解即可． 【详解】（1）解：， 是“平方和数”； ，， 不是“平方和数”； （2）解：一个“平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ， ， ，是整数， 一定是10的倍数， 的千位数字为，百位数字为， ， ， ， 当时，，，不是整数，不符合要求； 当时，，，是整数，符合要求，此时“平方和数”； 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，是整数，符合要求，此时“平方和数”； 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，是整数，符合要求，此时“平方和数”； 当时，，，不是整数，不符合要求； 综上所述，满足条件的为，，． 12．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）见解析 【分析】（1）首先明确是满七进一的七进制计数，从右到左对应七进制的位，所以先读取每根绳子上的结数，再根据七进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的7的幂次后求和． （2）（i）首先明确编码规则是黑色为1、白色为0，从左到右对应二进制的高位到低位，所以先读取图③第四行的颜色得到二进制数，再按二进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的2的幂次后求和得到考场号．（ii）首先拆分准考证号，找到第三行和第五行对应的十进制数，然后将这两个十进制数分别转化为5位二进制数，再根据二进制数的0、1对应白色、黑色，确定需要涂黑的位置． 【详解】（1）满七进一为七进制，从右到左的结点数依次为：右起第一位（最右）2个，第二位（中间）3个，第三位（最左）1个，转换为十进制： ， 答案：； （2）（i）根据规则，黑色为1，白色为0，图③第四行从左到右为：黑、白、黑、白、黑，即二进制数， 转换十进制： ， 答案：；； （ii）小芳准考证号为，按规则，第一到第五行依次对应两位十进制， 因此第三行对应，第五行对应． 设五位二进制从左到右为，对应十进制为：． ∵， ∴二进制为， 因此需要将第三行左数第3格、第5格涂黑． ∵， ∴ 二进制为， 因此需要将第五行左数第4格、第5格涂黑． 如图所示． 13．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【分析】本题考查化简绝对值、有理数的乘法法则， （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据有理数的乘法法则得a、b同号，即，或，，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可； （3）根据有理数的乘法法则得a、b、c全为负数或两正一负，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 14．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）计算． 【答案】2021 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 分别计算分子和分母，进而计算商即可． 【详解】解： ． 15．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的新定义运算与规律探究 常考题型·精准突破 考点一 有理数的新定义运算与规律探究问题 题型一：有理数的新定义运算 题型二：数轴相关的新定义问题 题型三：二进制计算问题 题型四：含乘方的规律计算题 题型五：比较大小的规律题 题型六：干支纪年的规律题 题型七：幻方类规律题 题型八：裂项相消法规律题 题型九：错位相减法规律题 题型十：含绝对值的规律计算题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的新定义运算与规律探究问题 ◆题型1 有理数的新定义运算 1．（24-25七年级上·广东东莞·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则______． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：． （1）计算：______； （2）从，中任选两个有理数作为和，并计算，那么所有运算结果中的最大值是______． 3．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：__________；__________；__________；__________； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；； ；；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ①______；②______； (2)______；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)若，计算：的值． ◆题型2 数轴相关的新定义问题 5．（25-26七年级上·四川·阶段检测）阅读理解，完成下列各题．定义：已知A、、 为数轴上任意三点，若点到A的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A是 的倍点，点是 的倍点；（选用A、、、表示，不能添加其他字母） (2)如图，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是 ． (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示） 6．（25-26七年级上·北京东城·期中）对于数轴上的点，给出如下定义：若在数轴上存在点，使得点到点的距离是点到点距离的倍（为有理数），则称点为点的倍关联点． (1)当时． ①点表示的数为2，点表示的数为点3，点P位于原点O和点之间，求点表示的数？ ②点表示的数为2，点表示的数为点3，则点表示的数为_______． (2)点表示的数为t，点表示的数为，点位于点，之间（可以与，重合），直接写出的取值范围． 7．（25-26七年级上·北京西城·期中）数轴上，点M和P的距离记为，点A和P的距离记为．给出如下定义：若不小于，且不大于，则称点A是点P关于点M的捕获点．已知：如图，点O为原点，点N表示的数是2，点B表示的数是4，点C表示的数是5．例如：若点A表示3，则，，不小于，不大于．故点A是点O关于点N的捕获点． （1）若点A是点O关于点N的捕获点，则点A所表示数的最大值为：______． （2）若点A表示的数为a，点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，写出a的取值范围：______． 8．（25-26七年级上·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． ◆题型3 二进制计算问题 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）二进制是一种以2为基数的记数法，通常用0和1来表示，计算机内部的所有数据，包括数字，字符，图像，音频等，都是以二进制的形式存储和处理的．与我们在数学学习中所用十进制数的“逢十进一”不同的是，二进制的进位规则为“逢二进一”．例如：254可分解为，将其转化为二进制数，转化过程为：，，，，，，，，将所有的余数从右到左排列，得到11111110，所以254转化为二进制数是，验证：254可分解为，结果正确．按照此种方法，现有四位同学对2025的二进制转化过程展开讨论： 同学：．因此二进制数为； 同学：分解过程中最大的2的幂是，故二进制共有11位； 同学：分解到时，剩余部分不足16，因此其系数为0； 同学：2025的二进制末三位为001． 其中对2025的二进制转化理解错误的同学是（填写字母代号）________． 10．（24-25九年级上·重庆·期中）17世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制”记数法的人，用“二进制”记数只需数字0和1．对于“二进制”整数可理解为“逢二进一”．例如：十进制数，则十进制数3在二进制中表示为；十进制数，则十进制数5在二进制中表示为．若（为正整数），则表示的二进制数为，其中，或．下列说法正确的个数为（   ） ①二进制数转化为十进制数为10； ②十进制数89转化为二进制数为； ③计算：； A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 11．（24-25七年级上·河南安阳·期末）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用器的是二进制，只用两个数码0和1，如：二进制中等于十进制的数5；等于十进制的数23．那么二进制中的101011等于十进制中的数______． 12．（25-26七年级上·吉林长春·期中）综合与实践 我们常用的数是十进制数，如：，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，只要用2个数码：0和1，如二进制中，即十进制的数5．（注：对于任何非零数a都有，如，） 【任务1】 （1）二进制中的数等于十进制中的哪个数？ 【任务2】 （2）计算：______（结果为十进制）； 【任务3】 （3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．请求出她一共采集到的野果数量． ◆题型4 含乘方的规律计算题 13．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 14．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果是______； （2）关于除方，下列说法错误的是______；（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何正整数，1的圈次方都等于1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算 （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； （4）计算： 15．（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 16．（24-25七年级上·山东济宁·期中）阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 仿照上面的例题计算： ． ◆题型5 比较大小的规律题 17．（25-26七年级下·全国·周测）你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（，且为整数）． 从分析，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想结论． (1)通过计算，选填“>”或“<”： ①__________；②__________； ③__________；④__________； ⑤__________． (2)根据（1）的结果，猜想和的大小关系． (3)根据（2）中的猜想，试比较下列两数的大小关系：__________2025（填“>”或“<”）． 18．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法． (1)比较下列各式的大小（用“”、“”、“”连接） ① ；② ； ③ ；④ ． (2)、为有理数，通过比较、分析，归纳与的大小关系为 ． （用“”、“”、“”、“”、“”连接） (3)根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是 ；整数，，，满足，，则 ． 19．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）康康与文文在探究与的大小关系. (1)比较大小 _______            _______            _______ _______        _______            _______ (2)慧慧认为，当时，必有：_______（填“>”、“<”或“=”） (3)熙熙认为，当时，必有：．你同意他的看法吗？并说明理由. (4)当时， 康康发现，若，，，此时，，…… 文文发现，设数轴上点A和点B表示的数分别为a和b（如图），当点A、B都在原点右侧，且时，与都表示线段的长，所以，…… 请你用康康或文文的研究方法，讨论并归纳当a、b为有理数且时，与的大小关系． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）探索研究： （1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接） ①_________； ②_______； ③________． （2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时与的大小关系．（直接写出结果） （3）根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是________．若，，则________． ◆题型6 干支纪年的规律题 21．（25-26七年级上·广西玉林·阶段检测）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减，除以所得的余数；若余数为，则天干序号为，地支序号为．以年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，年为农历庚辰年． 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律，推断年为农历（    ） A．乙巳年 B．戊申年 C．乙申年 D．丙午年 22．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是_______年． 23．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历_________年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 24．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【例读理解】 “干支（）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子，乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2025年为例， 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)杨振宁，1922年10月1日出生于中国安徽合肥，是世界著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，他被公认为20世纪最重要的物理学家之一，其工作深刻影响了现代物理学的发展，他不仅在国际上享有崇高声誉，也为中国科学事业的发展作出了重要贡献．用干支纪年法判断他出生于农历______年，他的属相是______； (2)2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大阅兵式，这是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年活动的重要组成部分，80年前的1945年用干支纪年法是农历______年； 下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（   ） A．辛亥革命——1911年    B．戊戌变法——1898年 C．癸卯学制——1904年    D．甲申之变——1645年 ◆题型7 幻方类规律题 25．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图1是一个“和幻方”，则a=______，b=______； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值； (3)如图3是一个“和幻方”，求x的值． 26．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）材料阅读，传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案．这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方．三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和． (1)图是一个“幻方”，则 ； ； ； (2)小明要将，，，，，，，，这个数填入如图所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的倍，并且图中的中心数是上述个数的平均数．  ①中心数 ；  ②请你帮小明将图所示的“幻方”的空白方格填满． 27．（24-25七年级上·湖北黄石·阶段检测）【阅读材料】 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如：图1是一个三阶幻方，是将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．    【模仿尝试】 （1）在图2中填入四个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． （2）将，，0，1，2，3，4，5，6这九个数填入图3的方格，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． 【观察发现】 构成三阶幻方的九个数，每个数同时加上或减去同一个数，所得到的九个数仍能构成三阶幻方． 【结论应用】 （3）将，，，，，0，2，4，6这九个数填入图4的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． （4）若满足“幻方”的九个数字之和为27，请在图5的方格中写出符合题意的九个数．    28．（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与实践活动    （1）横行、竖列、对角线上的三个数之和分别是多少？你还能发现哪些相等的关系？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点？ （3）你能改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系吗？ （4）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的数？ 归纳总结：三阶幻方的性质：每一________、每一________和________的三个数的和都相等． 【实践应用】 “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．    在新“幻方”（图3所示）中，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为________． ◆题型8 裂项相消法规律题 29．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段检测）数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 30．（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 31．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 32．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． ◆题型9 错位相减法规律题 33．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）【拓广探究】下面是小明为了计算的值，采用错位相减法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】请仿照小明的方法求的值． 34．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 35．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 36．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）计算时发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的4倍，如果将上式各项都乘以4，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，①    则，② 得，则． 请你尝试用上面的方法计算． ◆题型10 含绝对值的规律计算题 37．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）（1）知识呈现： 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”． （1）①若，则________；②若，则________； （2）拓展延伸： ①若，则________；②若，则________； （3）结论应用： 计算： 38．（24-25七年级上·辽宁丹东·阶段检测）根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：，． 【牛刀小试】 （1）根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ①_________； ②_________； ③_________； ④_________． 【拓展延伸】 （2）． 39．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 40．（24-25七年级上·江西宜春·期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当时，，根据以上阅读完成下面的问题： (1)__________； (2)__________； (3)如果有理数，则__________； (4)请利用你探究的结论计算下面式子： 综合攻坚·知能拔高 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）阅读下列内容，并完成相关问题． 轩轩说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ，； ，； ，． 浩浩看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳（加乘）运算的运算法则： 两数进行（加乘）运算时，______得正，______得负，再将它们的______，特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，结果为这个数的______． (2)若，则_____． (3)计算：． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）阅读理解： (1)定义一种新运算：． ①那么 ， ； ②当时，求的结果； (2)定义表示不超过a的最大整数，如，，计算 ； (3)根据乘方的意义，可得：，类似还有：，请用以上知识完成以下空格．（注：中的“.”号表示乘号“×”） ① （直接写出结果）； ②归纳、概括： ； ③如果，，运用以上的结论计算的值． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点表示的数为0，点表示的数为． 给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“闭距离”． 如图1，若，点表示的数为3，当点与点重合时，线段的长最大，值是4，则点与线段的“闭距离”为4． (1)如图2，在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为2． ①当时，点与线段的“闭距离”为___________； ②若点与线段的“闭距离”为3，求的值； (2)在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，直接写出的最大值与最小值． 4．（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 5．（2026·湖北恩施·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． 6．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届．于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算．（提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为） （1）观察发现 左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为________，________，________； （2）问题准备 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加． 例如：．（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即） 二进制加法与十进制加法类似，区别在于：十进制是“满十进一”，二进制是“满二进一”．例如：？从最低位开始相加，（1加1是2，向高位进1），然后计算高位上的（满2向高位进1），因此，结果是． 问题解决请结合“问题准备”，解决下列问题： ①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和； ②将①中计算得到的和转换成十进制数（写出转换的过程）． 7．（25-26六年级上·上海·单元复习）用裂项法求和 (1)； (2)． 8．（24-25七年级上·河南郑州·期中）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 9．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）阅读第①小题计算方法，再类比计算第②小题． （1）① 解：原式 ． 上面这种方法叫做拆项法． ②计算：． （2）①，，，…，上面这种方法叫做裂项法． ②计算：． 10．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 11．（25-26八年级下·重庆江北·阶段检测）对于任意的一个四位数，其百位数字与千位数字的平方和恰好为的十位和个位组成的两位数，则这个四位数为“平方和数”． 例如：，，是“平方和数”； 又如：，，，不是“平方和数”． (1)判断4652，5747是否为“平方和数”，并说明理由； (2)一个“平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，当、均是整数时，求出所有满足条件的． 12．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 13．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 14．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）计算． 15．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $