九年级数学上学期9月学情自测（新教材沪教版第27-28章，高效培优.提升卷）

**基本信息** 聚焦二次函数与相似三角形，通过拱桥计算、利润模型等真实情境和正方形探究题，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/24|二次函数对称轴、相似判定|基础概念辨析，如第3题二次函数与x轴交点条件| |填空题|11/44|位似变换、比例中项|文化情境融入，如第14题黄金分割与汉字结构| |解答题|7/82|拱桥半径计算、利润最值、几何综合|分层设计，20题现实应用（数学眼光），24题探究（创新意识）|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版第27-28章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【答案】B 【详解】二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于二次函数， ∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵，， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 2．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 3．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 4．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 6．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．二次函数的最小值为___________． 【答案】 【分析】二次函数二次项系数大于0，开口向上，最小值为顶点的纵坐标，可通过配方计算得到． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最小值，代入计算得最小值为． 8．二次函数的图象的对称轴为_______________． 【答案】2 【分析】先求出二次函数图象与轴的交点坐标，利用二次函数的对称性计算对称轴. 【详解】解：∵ 二次函数 与轴相交时 ， ∴， 解得，， ∴图象与轴的交点坐标为和， ∴二次函数图象的对称轴为直线. 9．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】/ 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 10．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 11．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 12．若，则的值是________ ． 【答案】4 【详解】解：设， ∴， ∴． 13．已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 【答案】 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设线段，的比例中项是， 则， 解得， ∵线段长度为正数，舍去负值， ∴． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为_______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟记各性质是解题的关键．由菱形的性质可得，，利用为的中位线求得，借助勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：菱形中，对角线，相交于点， ，，， ， ∴， ， 为的中位线， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：． 16．已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再结合相似三角形对应中线的比等于相似比求解即可． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 相似三角形对应中线的比等于相似比， 与的对应中线之比为． 17．如图，、分别是矩形边、上的点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，边经过点．若，，，则的长是_________，的长是_________． 【答案】 【分析】作于N，则四边形是矩形，则可得，．根据矩形的性质和折叠的性质可得，，根据勾股定理可得，进而可得．证明，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证明，则可得，则可得，再根据勾股定理可得． 【详解】解：设与的交点为M， ∵四边形是矩形，且，， ∴，，， 作于N，则四边形是矩形， ∴，， 根据折叠的性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18．已知二次函数 (为常数)． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若函数图象与轴的两个公共点均在原点的同侧，求的取值范围； 【答案】(1) 证明：令，则，， 方程有两个不相等的实数根． 不论为何值该函数图象与轴总有两个公共点． (2)或 【分析】本题考查了二次函数和轴的交点问题，根的判别式，主要考查学生的理解能力和计算能力．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）求出根的判别式，即可得出答案； （2）先求得方程的两根，即可求得函数图像与轴的交点的坐标，再根据题意得出不等式组求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，． 解这个方程，得，． 函数图象与轴的交点的坐标为，． 函数图象与轴的两个公共点均在原点的同侧， 或， 解得：或． 19．已知二次函数． (1)求抛物线与轴交点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)结合图象直接写出时，自变量x的取值范围是 ； (4)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)或 (2) 函数图象如图 (3)或 (4) 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标画二次函数图象，二次函数的性质 （）令，解方程即可求得与轴的交点； （）根据列表，描点连线的方法画出二次函数图象即可； （）观察函数图象即可求解； （）观察函数图象即可求解； 【详解】（1）解：令，即， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点为：或； （2）略． （3）观察函数图象知，当时， 自变量的取值范围是或， 故答案为：或； （4）观察函数图象知，当时， 的取值范围是：． 故答案为：． 20．一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 【答案】(1) (2) 不能， 理由：过作，交于点，连接， 由题得，， ， 在中：， ， 答：不能顺利通过这座拱桥． 【分析】此题考查了勾股定理和垂径定理的应用．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）如图，设半径为，连接，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）过作，交于点，连接，由题得，，，在中根据勾股定理求出，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：设半径为，连接， ，为半径， ， ， ， 在中：， 解得：， 答：拱桥的半径为． （2）略 21．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意准确列出函数解析式是关键． （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为元，利用函数性质求出时的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元 22．如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． ∵E为中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：∵，E为中点， ∴，， ∴， ∴． 又由（1）可得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由平行线可知，，结合点E是边中点，即得出，从而可根据直角三角形斜边中线的性质求出，得出．根据三角形外角性质，结合题意可求出，即得出，进而可证； （2）由等腰三角形三线合一的性质可知，，即得出．由（1）可得，即得出，从而可求出，进而得出，即．再由平行线的性质得出，即证明，得出，即． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的两组边对应成比例且夹角相等，②两个三角形有两组角对应相等，③两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式（关系式）． (2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由． (3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)要寻找在第一象限外点，使得以为直角边的和相似，那么可以通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标．若点为直角顶点，则点E的坐标为或，此时点不在抛物线上；若点为直角顶点，则点的坐标为或，此时点在抛物线上． (3)点D的坐标为或 【分析】（1）将点、点坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标，代入抛物线解析式，确定其是否在抛物线上； （3）过点作轴交于点，则可以以作为公共底边，点横坐标作为和高之和表示，代入面积关系式中，可解得点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得，， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点， 点坐标为， 又点坐标为，点坐标为， ，， ，， 由题意，为直角边，点在第一象限外，分别以点和点为垂足，作的垂线，分别交轴和轴于点、，则另一条直角边或可在对应垂线上确定． ①当点为直角顶点时，可分两种情况讨论，即或． 设直线解析式为，将，分别代入解析式，得 ，解得， 直线解析式为， 令直线交轴于点， ，， ， ， 点坐标为． 同理可得直线的解析式为， 如图，当时，， 即， 解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． 如图，当时，， 即， 解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． ②当点为直角顶点时，也可分两种情况讨论，即或． 令直线交轴于点， 同理，可得点坐标为，直线的解析式为． 如图，当时，，解得， ，解得， 设点，则， 解得或（舍去）， 故此时点坐标为． 如图，当时，，解得， ，解得， 设点，则， 解得或（舍去）． 故此时点坐标为． 最后，将这四个点代入抛物线中验证是否在其上： 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 综上，只有点在抛物线上． （3），， ． 点为直线上方抛物线上一点， 设点D的坐标为，作轴交于点， 点在直线上， 点坐标为， ， ， 解得或， 代入抛物线解析式得或， 点的坐标为或． 24．综合与实践 某数学兴趣小组在探索正方形的中心与等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： 如图，O是正方形的中心，等腰直角三角形的直角顶点E在的延长线上，与交于点G． 规律探究 （1）如图1，若，求的值． （2如图2，若，求的值． 拓展延伸 （3）如图3，设正方形的面积为，以O，E，F，C为顶点的四边形面积为，若，求的值．    【答案】（1）；（2）；（3）1 【分析】（1）过点O作于点H，首先根据题意得到，然后证明出，得到，设，则，然后求出，进而求解即可； （2）过点O作于点M，设，表示出，，然后证明出，得到，然后代入求出，然后勾股定理求出，进而求解即可； （3）连接，，过点O作，分别交于点M，N，设，，然后表示出，设，证明出，得到，，然后利用表示出，然后根据得到，然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点O作于点H ∵O是正方形的中心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）如图所示，过点O作于点M ∵O是正方形的中心 ∴设 ∵ ∴ ∴ ∴ 同（1）可证 ∴ ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，连接，，过点O作，分别交于点M，N ∵O是正方形的中心 ∴设 ∴ ∴ 设 ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ 整理得， ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D B D C 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7. -2 8.2 9.当<为h>5 10.（-1,0) 11. y=x2+16x+64(x≥0) 12.4 13.26 14.25-2-2+25 15.6 16.V2:2 17. 4 35 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18.(本题10分) 【答案】(1) 答案第1页（共2页） 证明：令少=0 ,则r-2mx+m-1=0.b2-4ac=4m2-4m2-)=4>0 ∴.方程x2-2x+m2-1=0有两个不相等的实数根】 …不论m为何值该函数图象与x轴总有两个公共点。…5分 (2)解：当y=0时，x2-2mx+m2-1=0. 解这个方程，得了=m+1专=m-1 。 六函数图象与轴的交点的坐标为m+1,0）,(m-山，0) “函数图象与x轴的两个公共点均在原点的同侧， .m+1<0或m-1>0 解得：m<-l或m>1.10分 19.(本题10分) 【详解】(1)解：令y=0,即x2-4x+3=0, 解得5-】与=3 (1,0)(3,0) .抛物线与x轴的交点为： 或 …3分 (2) 函数图象如图 y -{--2-1 31 12 ----71 ……6分 +43-210八245678x +2 (3)观察函数图象知，当y>0时， 自变量x的取值范围是x<1或x>3, 故答案为：x<1或x>3;8分 (4)观察函数图象知，当0<x<3时， 答案第2页（共2页） -1≤y<3 的取值范围是： 故答案为：-1≤y<3 ,…10分 20.(本题10分) 【详解】(1)解：设半径为r,连接OB, B 为半径， 0 图1 .OC⊥ABOC DB-74B-88 CD=4, ..OD=r-4, 在RIAOBD中： 82+(r-4)2=r2 解得：r=10, 答：拱桥的半径为l0m.5分 (2) 不能， 理由：过O作OG⊥EF,交EF于点G,连接OF, O 图2 由题得，0D=10-4=6m, ∴.0G=9m 在RtOGF中：GF=V102-g2=V19m EF=2W19<12 答案第3页（共2页） 答：不能顺利通过这座拱桥。…10分 21.(本题12分) y=300-10(x-44)=-10x+740 【详解】(1)解：根据题意得： y=-10x+740(44≤x≤52) y与x之间的函数关系式 …6分 (2)根据题意得： w=（-10x+740)(x-40)=-10x2+1140x-29600=-10(x-57)+2890 -10<0. ,当x<57时，P随x的增大而增大， 44≤x≤52， ·当x=52时，Ψ有最大值，最大值为10×(52-57)+2890=2640 ∴，将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润"元最大，最大利润是2640 元…12分 22.(本题12分) 【答案】(1) 证明：AD‖BC ∠ADF=∠EFB. :E为AB中点， ∴.AE=BE. ADI‖BC, AE DE .BF EF' ∴.EF=DE. ∠DCB=90°， .'.CE=EF, ∴.∠F=∠ECF :∠CBF=2∠F,∠CBF=∠F+∠FEB, ∴.∠F=∠FEB, ∴.∠FEB=∠ECF, 又，∠F=∠F, 答案第4页（共2页） .△FBE∽aFEC；.6分 (2) 证明：：AC=BC,E为AB中点， .CE⊥AB,∠ECB=∠ACE, ∴.∠CEB=90°， ∴.∠ECB+∠EBC=90° 又由(I)可得∠EBC=2∠ECB. ∴.∠F=∠ECB=∠ECA=30°， .∠ACB=60° ∠DCB=90°， ∴.∠DCA=30°， ∴∠DCA=∠F 又：ADI‖BC, ∴.∠ADC+∠DCB=180°， .∠ADC=∠DCF=90°， ∴，△ADCADCF AD DC .DCCF,即DC2=ADFC.…12分 23.(本题14分) 【详解】(1)解：.抛物线y= 2+x+c经过A(-2,0),C(4,0)两点， 5×(-2)+b×(-2)+c=0 2 ×42+b×4+c=0 2 解得b=1,c=4, 、抛物线的解析式为少=一2++4.4分 1 2 (2)解：抛物线与y轴交于点B, 一点B坐标为 0,4) 又'点4坐标为 -2,0 (4,0) ,点C坐标为 答案第5页（共2页） .OB=0C=4,0A=2, :BC=VOB2+0C2=4N2,∠OBC=∠0CB=)(180°-∠B0C)=45, 由题意，BC为直角边，点E在第一象限外，分别以点B和点C为垂足，作BC的垂线，分别交x轴和y 轴于点M、N,则另一条直角边BE或CE可在对应垂线上确定. ①当点B为直角顶点时，可分两种情况讨论，即△CBE∽△AOB或△CBE∽△BOA. 设直线BC解析武为=+b,将B(0,4),C(4,0) 分别代入解析式，得 [k0+b=4 k=-1 4k+b=0,解得b=4, 直线BC解析式为y=-x+4, 令直线BE⊥BC交x轴于点M, BC⊥BE,∠OBC=45°， ∴.∠EB0=90°-45°=45°， .0M=OB=4, “点M坐标为 -4,0) 同理可得直线BE的解析式为y=x+4, CB BE 如图1？当ACBEAAOB时，AOOB, B 1111 E 图1 42 BE 即24， BE=82 解得 答案第6页（共2页） 设点E(mm+4),则BE=m+(4-m-4 解得m=-8或m=8(舍去)， 故此时点E坐标为84) CB BE 如图2：当ACBEABOA时，BOOA, B E M A O 图2 42 BE 即42， 解得BE=2V2 设点E(an+4),则BE=n+(4-n-4 解得m=-2或m=2(舍去)， （-2,2) 故此时点E坐标为 ②当点C为直角顶点时，也可分两种情况讨论，即△BCE∽△AOB或△BCE∽aBOA. 令直线CE⊥BC交y轴于点N, (0,-4) 同理，可得点N坐标为 直线CE的解析式为y=x-4 BC CE 如图3，当ABCE∽AAOB时，AOOB,解得CE=8√2： 答案第7页（共2页） B O ，解得 E 42 CE 图3 24 CE=82 设点E(p-4),则CE2=(4-P)八+(4-p 解得p=-4或p=12(舍去)， 故此时点E坐标为 4,-8) BC CE 如图4，当ABCEVABOA时，BOOA,解得CE=2√2， ,解得 E 42 CE 图4 4-2 CE=2√2 设点E(4q-4),则CE=(4-9+4-9 解得9=2或9=6（舍去）. 故此时点E坐标为2-2） 1 最后，将这四个点代入抛物线y=一2”+x+4中验证是否在其上： 2 代入(-8，-4)，可得y=-2×(8+(8)+4=-36≠-4，故不在抛物线上： 2 代入(-2,2，可得y=×(-2+(-2)+4=0+2,救不在抛物线上： 答案第8页（共2页） 代入(4，-8：可得y=(-4+(-4)+4=-8,放在抛物线上 入亿，-2，可得y×2+2+4=4*-2,故不在抛物线上 综上，只有点(4-8 在抛物线上.…9分 1 (3):SaBc=2 AC-0B=)x6×4=12,Sn:SAc=1:4, :点D为直线BC上方抛物线上一点， （1x2+x+4 设点D的坐标为x2 ),作DF⊥x轴交BC于点F, 点在直线 上， BC:y=-x+4 心点F坐标为任-x+4) DF=%y-+r4-(x40=+2x w-ae+8am0r+2小4=3 解得-13 或 +x+4得3或员 9 代入抛物线解析式y=一 点D的坐标为 2或32 14分 24.(本题14分) 答案第9页（共2页） 【详解】(1)如图所示，过点O作OH⊥BC于点H B F O是正方形ABCD的中心 BH=CH=-BC BE-nc ∴.BE=BH BE 1 ·EH2 :四边形ABCD是正方形 ∴.∠ABE=∠ABC=90°=∠OHE .'∠GEB=∠OEH ∴.△GEB∽aOEH BE GB 1 .EHOH 2 设GB=a,则OH=BH=BE=2a ∴.EH=BE+BH=4a OH⊥BC .EF=OE=OH2+EH=25a BG a 5 .EF25a10;…4分 (2)如图所标，过点O作OM⊥BC于点M 答案第10页（共2页) D 6 O是正方形ABCD的中心 :设BM=CM=BC=b .'∠OEC=30° ∴.OE=2OM=2b .EM=VOE2-OM= ..EB=EM-BM=(3-1)b 同(I)可证AGEB∽aOEM .BE GB ··EMOM (3-1b_GB 3b b .GB=3-v56 3 :aOEF是等腰直角三角形，LOEF=90° ∴.OE=EF=2b OF=OE2+FE=22 ..BG 35b32-6 3 9分 0F-22b 12 (3)如图所示，连接OC,FC,过点O作OM⊥EC,FN⊥EC分别交BC于点M,N 答案第11页（共2页） D G LN B/ O是正方形ABCD的中心 :设BM=CM=2BC=x ∴.BC=BM+CM=2x .S=BC2=(2x)}=4x2 设EB=y :.EM=EB+BM=y+x,EC=EB+BC=y+2x .'∠OEF=∠OME=90° ∴.∠OEM+∠FEN=∠OEM+∠EOM ∴.∠FEN=∠EOM 又.∠OME=∠ENF=90°，OE=FE .△OEM≌△EFN(AAS) ∴.OM=EN=x,FN=EM=y+x S2=S.OEC+S.FEC EC-MECN =LEC(OM+FN) 0+2x*y+刘 1 5y2+2y+2x2 ·8=25 答案第12页（共2页) +20+2r2=2x4 1 y2+4xy-12x2=0 整理得， :0-2x0+6y)=0 解得y=2x或y=-6x(舍去) ∴.BE=2x BE 2x ·BC2x =1 …14分 答案第13页（共2页） 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版第27-28章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 2．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 3．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 4．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 6．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．二次函数的最小值为___________． 8．二次函数的图象的对称轴为_______________． 9．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 10．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 11．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 12．若，则的值是________ ． 13．已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为_______． 16．已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 17．如图，、分别是矩形边、上的点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，边经过点．若，，，则的长是_________，的长是_________． 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18．已知二次函数 (为常数)． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若函数图象与轴的两个公共点均在原点的同侧，求的取值范围； 19．已知二次函数． (1)求抛物线与轴交点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)结合图象直接写出时，自变量x的取值范围是 ； (4)当时，的取值范围是 ． 20．一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 21．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 22．如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．    (1)求证：； (2)求证：． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式（关系式）． (2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由． (3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 24．综合与实践 某数学兴趣小组在探索正方形的中心与等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： 如图，O是正方形的中心，等腰直角三角形的直角顶点E在的延长线上，与交于点G． 规律探究 （1）如图1，若，求的值． （2如图2，若，求的值． 拓展延伸 （3）如图3，设正方形的面积为，以O，E，F，C为顶点的四边形面积为，若，求的值．    试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $