精品解析：上海市徐汇中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试题（12月）

初三数学 2025.12 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 将抛物线向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象平移的规律：上加下减，左加右减．据此解答即可． 【详解】∵将抛物线 向右平移1个单位长度， ∴所得抛物线的解析式为 ， 故选：B． 2. 如图，在中，，于点，下列各组线段的比不能表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找到与∠BCD相等的角，再根据相等角的锐角三角函数值相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴A项、B项、D项都能表示， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了正弦函数的表达方法，根据题意找到与∠BCD相等的角并掌握正弦函数的定义是解题的关键． 3. 如图，在平行四边形中，若E为中点，且与交于点F，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，然后根据相似三角形的周长之比等于相似之比进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴（C表示周长）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键． 4. 已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了向量的性质,长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A、是与同向的单位向量，但题干中的单位向量方向不确定，不一定与同向，故错误； B、符合向量的长度及方向，正确； C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误； D、等式左边是与同向的单位向量，右边是与同向的单位向量，由于和的方向不一定相同，故等式不一定成立，故错误． 故选：B． 5. 已知抛物线y＝ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图像的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据a＜0，可以确定抛物线开口以及（a﹣2）的正负，进而得出正确答案． 【详解】解：∵a＜0， ∴a﹣2＜0，对称轴直线 ∴抛物线开口向下，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是确定二次函数系数的符号，得出函数图像的大致位置． 6. 如图，已知、分别表示两幢相距米的大楼，小明在大楼底部点处观察，当仰角增大到度时，恰好能通过大楼的玻璃幕墙看到大楼的顶部点的像，那么大楼的高度为（ ） A. B. 米 C. D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据仰角为,BD=30米,在Rt中,可求得ED的长度,根据题意恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像,可得AB=2DE. 【详解】在Rt中， EBD=,BD=30米 , 解得: (米), 当仰角增大到30度时,恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像, (米). 所以B选项是正确的. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数的知识解直角三角形. 二、填空题（每题4分，共48分） 7. 已知，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简计算，利用已知条件 代入分式，然后化简求值即可． 【详解】解：由 ，代入分式 得 故答案为：． 8. 已知线段，是线段的黄金分割点，，那么线段的长度等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，较长线段是整个线段的倍． 根据黄金分割的概念得到，把代入计算求解． 【详解】解：根据题意得 ， ． 故答案为：． 9. 函数图象与轴的交点坐标是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，令 代入函数解析式计算 y 值即可． 【详解】解：令，代入 ，得 ， ∴函数与轴的交点坐标为：， 故答案为： ． 10. 如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 故答案为：16． 11. 直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为______． 【答案】 10 【解析】 【分析】本题主要考查三角形重心的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握是解题关键． 根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出，再依据三角形重心的性质，重心到顶点的距离是中线长的即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，斜边上的中线长为， ∴重心到直角顶点的距离为该中线长的，即， 故答案为：10． 12. 小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度与坡比，勾股定理； 根据题意画图，过点作于，由坡度得到，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，由题意得米， ∵坡度， ∴， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴他距离地面的垂直高度升高了米， 故答案为：． 13. 如图，若在中，，是边上一点，且，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的主要知识点为等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；解题思路是先利用等腰三角形等边对等角的性质，推出两组角相等，结合公共角证明，再根据相似三角形的对应边成比例求出的长度，最后通过计算出的长． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 又∵(公共角)， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 14. 已知点和点都在二次函数的图象上，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； 由二次函数解析式可得对称轴为直线 ，且开口向下，点 和点 均在对称轴左侧，利用函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数 （） ∴对称轴为直线 ，函数图象开口向下， 在对称轴左侧（即 ）时，函数随 增大而增大， 点 和点 的横坐标满足 ， 因此 ， 故答案为： ． 15. 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是______厘米． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，然后根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴的长度是18厘米， 故答案为∶18． 16. 如图，在等边中，D，E，F分别是，，上的点，，，，若的面积为48，则的面积为 ___________． 【答案】16 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，进而可得，再证明，最后在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，△ABC∽△DEF， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为48， ∴的面积=16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用比例中线的定义，求出EF的长度，然后由梯形ADFE相似与梯形EFCB，得到，即可得到答案. 【详解】解：如图， ∵EF是梯形的比例中线， ∴， ∴， ∵AD//BC， ∴梯形ADFE相似与梯形EFCB， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握相似四边形的性质和比例中线的性质. 18. 如图，在中，，，，点是直线上的动点，，，是中点，连接，则的最小值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的面积公式，四点共圆，圆周角定理，直角三角形的性质，确定出当最小时，的值最小是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，推出点A，D，B，E四点共圆，得到，根据直角三角形的性质得到，当最小时，的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点A，D，B，E四点共圆， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵点E是直线上的动点， ∴当时，最小，此时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：10． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及二次根式混合运算、分母有理化等知识，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 先由特殊角的三角函数值求出各部分，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点． （1）求的值； （2）如果，，试用、表示向量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）利用三角形法则即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， 即； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 如图，在菱形中，． （1）求对角线的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，灵活运用相关知识是解决问题的关键 ． ()在中，解直角三角形求出即可； ()过点作于，根据菱形的面积公式求出，根据三角函数的定义即可求出答案． 【小问1详解】 解：交于， ∵四边形是菱形， ∴， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ∴菱形的面积， 过点作于， 则 ∴， ∴． 22. 如图，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． （1）______，______； （2）求点到道路的距离； （结果精确保留根号，参考数据：，） 【答案】（1）90，76 （2） 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形； （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为．连接，过分别作的垂线，垂足分别为， 先求出的长度，然后求出的长度，最后利用点到道路的距离为求解即可． 【小问1详解】 解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为．连接，过分别作的垂线，垂足分别为， 在中，，， ． 在中，， ． ∵过分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∵正八边形的每一个内角为， ∴， ∴， ∴， ∴点到道路的距离为． 23. 在中，是对角线上一点，连接，延长交于，交延长线于，若．求证： （1）； （2）是菱形． 【答案】（1） ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及菱形的判定，根据平行四边形的性质和已知条件逐步推导． （）利用平行四边形性质得，再证，再由相似性质得比例式； （）用平行四边形性质和已知角关系推出边，根据菱形判定定理得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为直线上方抛物线上一动点； ①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）①存在，；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． （1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． ②因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； 【小问1详解】 解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：①存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图： ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． ②设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：，   直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 代入 ∴， ∴， ∴直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ∴点横坐标为， ∵与的比值和他们之间水平距离的比值相等， ， 和等高， ． 25. 如图，在中，，点是边中点，点是直线上的动点（在左边），以为一边作 （1）求的长； （2）当点是的重心时，求的值； （3）若是以为腰的等腰三角形，求的长 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形的综合运用，主要考查勾股定理、重心的性质、解直角三角形、垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）过点、作的垂线，垂足分别为、，通过解直角三角形求出、，利用勾股定理求出，即可解答； （2）连接并延长交于点，根据题意得到是的垂直平分线，证明，列出比例式即可解答； （3）若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况：①当时，证明，求出，即可解答；②当时，证明，求得，，过作，垂足为，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， ，，， ，， 点是边的中点， ， 在中，，， ， ， ， 在中，； 【小问2详解】 解：如图，连接并延长交于点， 点是的重心， 点是的三条中线的交点， 是的中线， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况： ①当时，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图： ， ， ， ， ， ， 即， ，， 过作，垂足为， ， ， ， ， ， ∴此时不成立， 综上，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 2025.12 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 将抛物线向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，于点，下列各组线段的比不能表示的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，若E为中点，且与交于点F，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线y＝ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图像的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知、分别表示两幢相距米的大楼，小明在大楼底部点处观察，当仰角增大到度时，恰好能通过大楼的玻璃幕墙看到大楼的顶部点的像，那么大楼的高度为（ ） A. B. 米 C. D. 米 二、填空题（每题4分，共48分） 7. 已知，那么______． 8. 已知线段，是线段的黄金分割点，，那么线段的长度等于_____. 9. 函数图象与轴的交点坐标是______ 10. 如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______． 11. 直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为______． 12. 小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了__________米． 13. 如图，若在中，，是边上一点，且，则线段的长为______． 14. 已知点和点都在二次函数的图象上，那么______． 15. 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是______厘米． 16. 如图，在等边中，D，E，F分别是，，上的点，，，，若的面积为48，则的面积为 ___________． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么=_____． 18. 如图，在中，，，，点是直线上的动点，，，是中点，连接，则的最小值是______． 三、解答题 19. 计算：． 20. 如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点． （1）求的值； （2）如果，，试用、表示向量. 21. 如图，在菱形中，． （1）求对角线的长； （2）求的值． 22. 如图，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． （1）______，______； （2）求点到道路的距离； （结果精确保留根号，参考数据：，） 23. 在中，是对角线上一点，连接，延长交于，交延长线于，若．求证： （1）； （2）是菱形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为直线上方抛物线上一动点； ①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）． 25. 如图，在中，，点是边中点，点是直线上的动点（在左边），以为一边作 （1）求的长； （2）当点是的重心时，求的值； （3）若是以为腰的等腰三角形，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $