2026-2027学年沪科版九年级数学上册 第一次阶段性检测（上海专用）（范围：第1,2章）

**基本信息** 聚焦沪科版九上第1-2章，以二次函数与相似三角形为核心，通过兰州白兰瓜销售、抛物线拱桥等真实情境，设计选择（6题24分）、填空（12题48分）、解答（7题78分）三级梯度，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|二次函数定义、相似比计算|结合兰州白兰瓜销售情境考查函数建模| |填空题|12/48|黄金分割、位似坐标、整点问题|赵爽弦图融入几何计算，体现文化传承| |解答题|7/78|二次函数综合、相似证明、最值应用|25题以生态公园为背景，融合推理与应用，呼应核心素养|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上第一次阶段性检测（上海专用) 数 学 (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3.作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪科版五四学制2024九年级上册第1,2章 一、选择题（共24分） 1.(本题4分)下列各式中，y是x的二次函数的是() A.y=文 1 B.y=2x+1 C.y=x2+x-2 D.y= 3x 2.(本题4分)兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售 出50斤.经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤.设每斤降价x元，每天盈利为'元，则 y与x的函数关系式为() A.y=(10+x(50-10x) B.y=(10-x(50+10x) c.y=(10-x(50-10x) D.y=(10+x(50+10x) 3.(本题4分)如图，直线a∥b∥c,AB=3,BC=2,DE=4,则EF的长为() A D A.6 C.4 D. 2 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 4.(本题4分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为边BC的中点，连接DE, 交AC于点F,连接OE,若OF=2cm,则AC的长是() D 0 B E A.12cm B.15cm C.10cm D.9cm 5.(本题4分》如图，二次函数=+x+〔的图像与*销相交于4(-5,0)，8丙点，对称轴是直线 3 X=- 2,下列说法正确的是() oB主 A.a<0 B.当>-2时，y的值随x值的增大而减小 C.点B的坐标为 2,0) D.4a-2b+c>0 6(本题4分》在平面直角坐标系心中，已知能物线'=-(ab为数且a0),当3。 时， x的取值范围为+5≤x≤+1，则a的取值范围() 1 1 A.a>3 B.a< 3 C.az ,1 D.as 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 二、填空题（共48分） .a2 a+b 7.(本题4分)若)3，则。-b的值等于一 &(本冠4分)已知点P是线段MN的英金分制点，且MP=25-2(MP>PN),则线段MN的长为 9.（本题4分)如图，函数=r+c与y=+”的图象交于4-P,B(B,4)两点，则关于x的不等 式ax2-mx+c>n的解集是 A 10.(本题4分)将抛物线'=-2(x-+2绕若它的顶点旋转180°，所得的抛物线的表达式为 1.(本题4分)点(），B(B,),B(6,)均在二次函数'=-(x-2+1的图象上，则片，为， 少的大小关系是—一· 12.(本题4分)如图，四边形ABCD∽四边形AB'CD,则a= C D D 140° 人62 75 A B B 13.(本题4分)如果a,b,c,d是成比例线段，并且a=4,b=6,c=8那么d= 14.(本题4分)某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商 品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x元时，日盈利为w元.据此规律，在上 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 述条件不变的情况下，求每件商品降价x= 元时，超市的日盈利最大？ 15.(本题4分)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门 图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m.其中点N在x轴上， PE⊥ON,，OE=EN,要在拱门中设置矩形框架ABCD,当AB=3m时，矩形框架ABCD的周长为 主 16.(本题4分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C是以点A为位似中心的位似图形，相似 比为l:2.己知A(2,0),C(a,b),则点C的坐标为 (结果用含a,b的式子表示). 17.（本题4分)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全 等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD点P,Q分别在AE,CG上，满足 PO PF∥AB∥HQ,若EH=2PE,则DG 18.(本题4分)在平面直角坐标系O少中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线 y=ax2-2ax+2a (a为常数)与直线'=”交于MN两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界） 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 三、解答题（共78分） 19.(本题10分)已知二次函数'=-4r+5 (1)求出此二次函数图象的顶点坐标. (2)求出y随x的增大而减小时，x的取值范围. x=y=2 20.(本题10分)已知2=75，求 四*+2 x一的值 (②)若x+y+z=28,求x、y、z的值. 42I3 21.(本题10分)如图，直线 分别交直线a,b,c于点A,B,C,D,B,F.若D=3, DE=6 B 1)若AB=4.5,求BC的长： (②)若EF=10,求BE的长. ,4W6 2.(本题10分)如图所示的是抛物线拱桥，己知水位在4B位置时，水面宽4V6米，水面距离桥顶12米， CD v3 0.5 当水位上升达到警戒线时水面宽 米，若洪水到来时，水位以每小时米的速度上升. 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 (1)求该抛物线的解析式， (2)水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ 23.(本题12分)一块材料的形状是锐角△ABC,边BC=80cm,高AD=60Cm,把它加工成正方形零件 如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上. K B 图1 图2 (I)求证：△AEFAABC: (②)求这个正方形零件的边长： (③)如果把它加工成矩形零件如图2，当EF=cm时，这个矩形的面积最大，最大值是cm2. 24.(本题12分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物 线'=+hr+ca≠0) -1,0) 经过点A,B,C(点B在点A右侧)，已知点A坐标为 D 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出△BCP的面积的最大值？ 3)在(2)中当△BCP的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时PG-AG的最大值 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 25.(本题14分)【问题探究】 图1 图2 图3 (1)在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D. AC 6 AD ①如图1，若B=13,则AC的值为一： ②如图2，点F在CD的延长线上，连接AF并延长至点E,连接CE,当∠ACE=∠AFC时，求证： AE·AF=AD·AB: 【问题解决】 (2)为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园.公园设计包含一片人工湖与多个休闲广 场，共中一处广场形状为直角三角形区球18C(如图3所示)，∠4CB=90°，4C=30米，BC=30 米 为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点D,建造一座景观桥AD,满足AD=AC,在点A和 点B处设置游客休息区，并修建仿古长廊BE和小路CE,点E在CD的延长线上，且∠CEB=∠CBD,连 接BD.经测算，当仿古长廊BE的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊BE最短时， 小路CE的长度.（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计）学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上第一次阶段性检测（上海专用） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪科版五四学制2024九年级上册第1,2章 一、选择题（共24分） 1．（本题4分）下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义：形如的函数是二次函数，逐一判断各选项即可． 【详解】A：，分母含有，不是整式，不是二次函数； B：，最高次项为一次，是一次函数，不是二次函数； C：，符合形式且，是二次函数； D：，分母含有，不是整式，不是二次函数． 故选：C． 2．（本题4分）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 3．（本题4分）如图，直线，，，，则的长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 4．（本题4分）如图，在矩形中，对角线相交于点，点为边的中点，连接，交于点，连接，若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据矩形的性质得到是的中位线，即可得到，，即可得到，根据对应边成比例求出的长解答即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（本题4分）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 6．（本题4分）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式等知识，设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 故选：C． 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）若，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质：若，则．由已知比例设参数，代入所求表达式计算． 【详解】解：由，设，（）， 则． 故答案为：． 8．（本题4分）已知点P是线段的黄金分割点，且，则线段的长为________． 【答案】4 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点的定义，较长线段与整个线段的比值等于黄金比，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， 即， ∴， 解得， 故答案为：4． 9．（本题4分）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知：关于x的不等式（即）的解集是或； 故答案为或． 10．（本题4分）将抛物线绕着它的顶点旋转，所得的抛物线的表达式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的旋转变换，解题的关键是掌握在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小和顶点坐标都没有变化． 将其绕顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论． 【详解】解：原抛物线 的顶点坐标为 ，二次项系数 ，开口向下， 旋转后，顶点坐标不变，开口方向变为向上，因此二次项系数变为 ， 故所得抛物线的表达式为 ， 故答案为： ． 11．（本题4分）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，函数的对称性及增减性，解题的关键是利用对称性求解． 利用函数的对称性和增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越近，纵坐标越大， 根据得， 对称轴为直线， 距离对称轴的距离为； 距离对称轴的距离为； 距离对称轴的距离为； ∵， ∴， 故答案为：． 12．（本题4分）如图，四边形四边形，则______． 【答案】/83度 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和定理，根据相似多边形对应角相等得，然后根据四边形内角和为计算即可． 【详解】解：四边形四边形， ， 四边形内角和为， ， 故答案为：． 13．（本题4分）如果 a，b，c，d是成比例线段，并且，，那么______． 【答案】12 【分析】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键．根据成比例线段的定义得到，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：12． 14．（本题4分）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用， 根据销售规律，建立日盈利w与降价x的二次函数关系，通过求二次函数最大值确定最优降价金额． 【详解】解：降价后每件盈利为元，日销售量为件， 故， 因二次项系数， 故函数有最大值， 当时，w最大． 故答案为：． 15．（本题4分）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上， ∴， 解得，， 即，， ∴， ∴矩形框架的周长为 故答案为：． 16．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，与是以点A为位似中心的位似图形，相似比为．已知，则点的坐标为__________________（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于点M，过点作点N，先证明，得到，求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点C作于点M，过点作点N， 则． 与的相似比为， ． 又 ， ． ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为： ． 17．（本题4分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形点分别在，上，满足，若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判断和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 设，则，设，则，，证明，得出比例线段求出，从而可求得求出，再证明得到，进而得到，，再推出，进而得解． 【详解】解：设，则，设，则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 解得， 设与交于点， 由全等可知， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（本题4分）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，灵活运用二次函数顶点式，图象和性质及分类讨论的方法是解题的关键． 画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域(包括边界)恰有4个整点的边界，易知抛物线的顶点坐标为，当时，过点， ， ，显然，“整点”，，符合题意，再将和代入即可，当时，过点， ，，，显然，“整点”，，符合题意，再将，代入即可得a的取值范围． 【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有， ，，，，，共6个， 的取值范围是； Ⅱ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得，此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，，共5个， 的取值范围是； 故答案为：或 ． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）已知二次函数． (1)求出此二次函数图象的顶点坐标． (2)求出y随x的增大而减小时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 将二次函数的一般式通过配方法得到顶点式，据此得到顶点坐标即可； 由（1）知，二次函数的图象开口向上，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，据此进行求解即可． 【详解】（1）解：二次函数， 则顶点坐标为， 答：二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 则对称轴为，此时该函数的最小值为1， 由于该二次函数图象开口向上， 因此，当时，y随x的增大而减小，最小值为1． 答：当y随x的增大而减小时，x的取值范围为． 20．（本题10分）已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由可设， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 21．（本题10分）如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】（1）∵， ， ，，， ， 解得：； （2）∵， ，即， 解得：． 22．（本题10分）如图所示的是抛物线拱桥，已知水位在位置时，水面宽米，水面距离桥顶米，当水位上升达到警戒线时水面宽米，若洪水到来时，水位以每小时米的速度上升． (1)求该抛物线的解析式． (2)水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ 【答案】(1)； (2)小时 【分析】本题考查二次函数的实际应用，核心是通过建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解． （1）以桥顶为原点、对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用水面的宽度与到桥顶的距离确定抛物线上一点的坐标，代入解析式求出参数，进而得到抛物线解析式； （2）根据水面的宽度确定对应点的横坐标，代入已求的抛物线解析式求出纵坐标，得到水面到桥顶的距离，再除以水位上升速度，即可计算出所需时间． 【详解】（1）解：以拱桥的桥顶为原点，过桥顶的竖直直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为． ∵水位在位置时，水面宽米，水面距离桥顶米， ∴点的坐标为， 将点的坐标代入中，得，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：当水位达到警戒线时，水面宽米， ∴点的横坐标为， 将代入中，得， 即此时水面距离桥顶的高度为6米， ∵水位以每小时米的速度上升， ∴所需时间为(小时)， 答：水过警戒线后小时淹到拱桥顶． 23．（本题12分）一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ， ∴； (2) (3)40，1200 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， ∵， ∴当时，长方形的面积最大为． 即当时，这个矩形的面积最大，最大值是． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？ (3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）求出，利用待定系数法求出答案； （2）过点P作轴，交于点E，设，求出，得到的面积，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，连接交y轴于点F，连接，，此时的值最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， ， 抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为， ， 解得 ∴抛物线的表达式为 ； （2）解：过点P作轴，交于点E，如图1， ， 设， 轴， ， ， 的面积 ， ∴当时，的面积的最大值为； （3）解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为， 连接交y轴于点F，连接，如图2， 点P，关于y轴的对称， ， ， 当，A，G在一条直线上时，取等号， ∴此时的值最大，最大值为， 的最大值为； 25．（本题14分）【问题探究】 （1）在中，，过点C作于点D． ①如图1，若，则的值为______； ②如图2，点F在的延长线上，连接并延长至点E，连接，当时，求证：； 【问题解决】 （2）为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3所示），，米，米，为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点D，建造一座景观桥，满足．在点A和点B处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点E在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①， ②证明：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ； （2）小路的长为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）①由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，即可得证； ②同理可证，可得，同①证明，即可得证； （2）过作交的延长线于，过作交于，过作交于，可得在直线上运动，当时，取得最小值，此时与重合，由等腰三角形的判定及性质得，由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，同理可证，求出的长，即可求解． 【详解】（1）①解：，， ， ， ， ， 故答案为：； ②略 （2）解：如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 米，， 米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：米， 是定值，且米是定值， 在直线上运动，且， 当时，取得最小值， 此时与重合， 米， 米， 故当仿古长廊最短时，小路的长度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $