第二章 有理数的运算（复习讲义）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学讲义通过表格梳理和要点归纳框架构建有理数运算知识体系，覆盖加减乘除乘方运算法则、混合运算顺序及近似数等内容，突出符号判定、转化思想等重难点，呈现运算律与转化方法的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础要点速测到综合迁移练再到难点精练，结合“奇负偶正”等技巧培养运算能力与推理意识，如数轴动点问题、股票收益计算等实例，帮助不同层次学生提升，支持自主复习与教师精准教学。

第二章 有理数的运算 复习要点 1.掌握有理数加减法法则，理解减去一个数等于加上它的相反数的转化思想，能将加减混合运算统一为加法并写成省略加号的和的形式，熟练进行加减运算。 2.掌握有理数乘除法法则，准确判断积和商的符号，并熟练运用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，进行乘除混合运算。 3.掌握有理数乘方的意义及幂的符号规律，注意区分一个负数平方的相反数与这个负数平方的不同含义，并能运用科学记数法表示较大的数。 4.掌握加法与乘法的交换律、结合律及分配律，能灵活地将互为相反数、同分母、能凑整或能约分的式子提前结合，合理运用运算律简化计算。 5.掌握有理数混合运算的运算顺序，养成先观察算式结构再确定运算步骤的习惯，避免同级运算乱结合的错误。 6.掌握准确数与近似数的概念，理解近似数精确度的意义，能根据预定精确度要求用计算器辅助计算并正确取近似值。 复习重难点 重点：有理数加减乘除乘方的运算法则及其基本应用；混合运算中先乘方再乘除后加减的运算顺序；灵活运用加法与乘法的交换律结合律分配律进行简便计算；用科学记数法表示较大的数。 难点：复杂混合运算中符号的准确判定，尤其是负数的奇次幂与偶次幂的区别；将减法转化为加法以及除法转化为乘法的转化思想在混合运算中的灵活应用；准确理解近似数的精确度概念并按要求正确取近似值，以及运用有理数运算解决实际问题的综合能力。 知识点 有理数的加法 1.有理数加法的运算法则 ①同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； ②异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③一个数同0相加，仍得这个数。 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 2.加法运算律及技巧总结 （1）运算率： ①交换律：a+b＝b+a； ②结合律（a+b）+c＝a+（b+c）。 （2）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式。 （3）符号相同的数可以先结合在一起。 （4）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零。 （5）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起。 要点归纳： （1）同号两数相加符号不变，异号两数相加符号随绝对值大者，互为相反数相加得0，任何数与0相加仍得原数。 （2）多个有理数相加时，可灵活运用交换律和结合律，将符号相同的数、互为相反数的数、能凑整或同分母的优先结合。 （3）分数与小数混合相加时，一般先将小数化为分数统一形式，再进行运算。 要点速测 1．嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键；要使计算简便，应选择分母与已知分数相同的选项，从而利用结合律先计算同分母分数之和，然后问题可求解． 【详解】解：∵原式为， 若，则先计算， 再计算，过程简便； 其他选项分母均不同，无法直接简化计算； ∴■中应填； 故选D． 知识点 有理数的减法 1.有理数减法的运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：a﹣b＝a+（﹣b）。 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算。 3．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“+”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算。 【注意】 ①在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律。 ②减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算。 要点归纳： （1）减法运算统一转化为加法运算是核心，即减去一个数等于加上这个数的相反数。 （2）减法运算中要注意被减数与减数的位置不能交换，0减任何数需依法则计算，不能直接写成原数。 （3）加减混合运算中，应先将减法转化为加法，省略括号和正号，再利用加法运算律进行简便计算。 要点速测 2．某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【答案】C 【详解】解：设海面高度为0，海面下记为负，上升记为正，下降记为负， 此时潜水艇的位置为米，即停在海面下630米处． 知识点 有理数的乘法 1．有理数的乘法运算法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘； （2）任何数与0相乘，积仍为0。 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：ab = ba； （2）乘法结合律：(ab)c = a(bc)； （3）乘法分配律：a(b+c) = ab + ac。 3．有理数乘法运算技巧 （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分，简记为：化小为分，化带为假。 要点归纳： （1）确定积的符号是乘法运算的首要步骤，关键看负因数的个数，奇负偶正，有0因数则积为0。 （2）多个有理数相乘，可先确定符号再计算绝对值；灵活使用交换律、结合律、分配律简化运算。 （3）若因数中含小数或带分数，一般先将小数化分数、带分数化假分数，便于约分计算。 要点速测 3．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据乘法分配律将括号内的分数依次乘后再相加，约分后转化为计算有理数加减法，得出答案． 【详解】解： 知识点 有理数的除法 1.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；负倒数：乘积为-1的两个有理数互为负倒数。 ①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或-1。 2．有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，。 3．有理数除法的运算步骤 （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算。 要点归纳： （1）除法的核心是转化为乘法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，除数不能为0。 （2）除法运算中同样先确定商的符号，再计算绝对值的商，法则与乘法保持一致。 （3）对于乘除混合运算，先将所有除法转化为乘法，再统一确定符号进行约分计算。 要点速测 4．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 知识点 有理数的乘方 1.有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方。表示有n个a连续相乘。 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方。（将看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。） ①一个数本身可看作它的一次方（指数1省略不写）。 ②二次方也叫作平方，三次方也叫作立方。 2.乘方的运算法则 ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是负数，即n为奇数时，；负数的偶次幂是正数，即n为偶数时； ③0的任何正整数次幂都是0。 3.方法指引 ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减。 4.科学计数法 把一个大于10的数表示成a×的形式（其中1≤a<10，n是正整数）。负数也可类似表示。 例：6500000=6.5×。 要点归纳： （1）乘方是相同因数的特殊乘法，底数为负数或分数时必须用括号括起来，指数1通常省略不写。 （2）确定幂的符号时，正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正，0的正整数次幂为0。 （3）科学记数法是将大数表示为a×10的n次方的形式，要求a大于等于1小于10。 要点速测 5．计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 6．据统计，2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客560万人次，把560万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万 知识点 有理数的混合运算 1．有理数运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算。 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 2．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“-”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正。 3.混合运算的四种运算技巧 ①转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算。 ②凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解。 ③分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算。 ④巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便。 要点归纳： （1）混合运算严格遵循运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，同级运算从左到右。 （2）“奇负偶正”贯穿混合运算，可用于多重负号化简、多个负数相乘及负数乘方三种情形。 （3）计算中可灵活运用转化法、凑整法、分拆法及运算律，使复杂混合运算的过程更简洁高效。 要点速测 7．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 近似数 1.准确数与近似数：与实际完全符合的数叫准确数；与实际接近的数叫近似数。 2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例：1.57m精确到百分位；1.2万精确到万位；1.20万精确到百位。 3.计算器使用：利用科学计算器辅助计算，按键顺序与书写顺序基本相同。按精确度要求取近似值。 要点归纳： （1）准确数与近似数的区别在于是否与实际完全符合，测量或估计得到的数一般为近似数。 （2）近似数的精确度是关键，由四舍五入到哪一位决定，末尾的0不能随意省略，它代表了精确度不同。 （3）使用计算器进行计算时，最后应根据题目要求对结果按精确度取近似值。 要点速测 8．一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________． 【答案】 【分析】根据“五入”法则逆推原数各数位即可得到结果． 【详解】解：根据题意可知，由五入得到近似数， 千分位向百分位进、百分位向十分位进，使百分位和十分位变成，则原来是， 个位进后是，则原来个位是， 千分位最小取，得到． 题型1 有理数的加法与减法 ▌例1-1 （2026·河北·中考真题）计算： ________． 【答案】10 【分析】本题考查有理数的减法，熟练掌握减法法则是解题的关键． 根据减去一个数等于加上它的相反数将减法变加法计算即可． 【详解】解∶， 故答案为∶10． ▌例1-2 计算：______． 【答案】 【分析】先化简，再根据有理数加法法则计算即可求解． 【详解】解：． ▌例1-3 计算： 【答案】 【详解】解： ． ▌例1-4 （25-26七年级上·福建泉州·期末）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式． 直接根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． ▌例1-5 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加减运算法则以及绝对值的性质，结合加法运算律求解即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌例1-6 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“__________站台”． 【答案】或 【分析】分点在点的左侧和右侧，求出点表示的数即可． 【详解】解：∵A、B站台分别位于，处， ∴， ∵， ∴当点在点的左侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 当点在点的右侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 故P站台用类似电影的方法可称为或6站台． ▌例1-7 （25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 解题要点 有理数的加法与减法 1.有理数减法运算的核心是转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数，再按加法法则计算。 2.加减混合运算中，应先将所有减法统一转化为加法，省略括号和正号，写成省略加号的和的形式，再利用加法交换律和结合律进行简便计算。 3.简便运算的常用技巧：将互为相反数的数、同分母的分数、能凑整的数、符号相同的数分别结合相加。 4.减法没有交换律，被减数与减数的位置不能随意交换；0减任何数需依法则计算，不能直接写成原数。 ▌迁移练1-1（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决．如在数轴上，点A，B分别表示数，则表示点A与点B的距离．由此我们发现，当在到2之间（包括和2）时，的值最小，最小值是3．类似的，式子的最小值为____________． 【答案】11 【分析】根据绝对值的几何意义，将原式转化为数轴上点到，，，四个定点的距离和，分组计算每组的最小距离和，再求和得到原式的最小值． 【详解】解：表示数轴上点到点和点的距离之和， ∴当在和之间（含端点）时，该式取得最小值，最小值为； 表示数轴上点到点和点的距离之和， ∴当在和之间（含端点）时，该式取得最小值，最小值为； ∴当在到之间（含端点）时，两个式子同时取到最小值， ∴原式的最小值为． ▌迁移练1-2（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）定义的运算为，则________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，先判断每组运算中两个数的大小关系，代入对应公式计算出每一项的结果，再求和即可． 【详解】解：∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∴ 原式. ▌迁移练1-3（25-26七年级上·四川自贡·期末）计算：． 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，首先将减法转化为加法，再利用加法运算律进行计算，然后相加即可． 【详解】解：原式 ． ▌迁移练1-4（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； ▌迁移练1-5（25-26七年级上·山东德州·期中）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 【答案】(1)第五次 (2)收工时在地正东方向，距地 (3)共耗油升 【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次第七次记录时，距地的距离，由此即可得； （2）将记录的数字相加求和即可； （3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：第一次记录时：， 第二次记录时：， 第三次记录时：， 第四次记录时：， 第五次记录时：， 第六次记录时：， 第七次记录时：， 由此可知，在第五次记录时距地最远． （2）解： ， ∵规定向东行驶为正， ∴收工时在地正东方向，距地． （3）解： （升）， 答：共耗油升． 题型2 有理数的乘法与除法 ▌例2-1 计算： ______． 【答案】1 【分析】两个负数相乘，先确定乘积的符号，再计算绝对值的乘积即可得到结果． 【详解】解：∵根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正， ∴乘积符号为正，计算绝对值的乘积可得原式． ▌例2-2 计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) （1）解：原式 （2）解：原式 ▌例2-3 一桶玉米的质量大约为．如图，晒谷场上有一堆玉米，大约相当于桶．这堆玉米的质量大约为多少千克？（精确到） 【答案】这堆玉米的质量大约为． 【分析】总质量等于单桶玉米质量乘以桶数，计算得到结果后按四舍五入取近似值即可． 【详解】解：由题意得， ∵结果要精确到， ∴四舍五入得 ， 答：这堆玉米的质量大约为． ▌例2-4 请在下列括号里填写运算的依据：     （                    ）     （                    ）     （                    ） ． 【答案】 乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律 【分析】根据每一步运算的变形形式，对应有理数乘法的运算律判断填空即可. 【详解】略 ▌例2-5 （2026·山东济南·中考真题）的倒数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的倒数是. ▌例2-6 计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． ▌例2-7 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，确定符号后约分计算即可； （2）将小数转化为分数，把除法转化为乘法，约分计算即可； （3）将除法转化为乘法，确定符号后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 解题要点 有理数的乘法与除法 1.有理数乘法先确定积的符号，再计算绝对值的乘积；多个非零因数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，有一个因数为0则积为0。 2.有理数除法统一转化为乘法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，除数不能为0。 3.乘除混合运算中，先将所有除法转化为乘法，再确定符号进行约分计算；带分数化为假分数、小数化为分数便于约分。 4.灵活运用乘法交换律、结合律和分配律简化计算，特别注意分配律在简化运算中的高频应用。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·江苏扬州·开学考试）如图，一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数，且相对两个面上的数互为倒数，那么( )，( )． 【答案】 【详解】解：根据题意得，． ▌迁移练2-2（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． ▌迁移练2-3（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 【答案】 【分析】以个为优秀标准，正数表示超过标准的个数，负数表示不足标准的个数，先计算偏差总和得到平均成绩，再统计优秀人数计算优秀率. 【详解】解：首先计算8名男生成绩与标准的偏差和：， 平均偏差为 ， 因此平均成绩为 个． 成绩记录大于等于即为达到优秀标准，符合条件的共有人． 优秀率为 ． ▌迁移练2-4（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． （1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． ▌迁移练2-5对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【答案】(1 (2)解：交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 题型3 有理数的乘方及其应用 ▌例3-1 在中，底数是__________，指数是__________． 【答案】 ； 【详解】解：根据乘方的定义，形如的乘方中，叫做底数，叫做指数，本题的乘方为，对比乘方定义可得，底数是，指数是． ▌例3-2 计算： ______． 【答案】4 【分析】根据有理数混合运算运算顺序，先算乘方，再算减法，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ． ▌例3-3 （25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． ▌例3-4 （25-26七年级下·江苏泰州·期末）用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． ▌例3-5 将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【答案】1.6 【分析】每对折一次，纸的厚度扩大为原来的倍，对折次后，纸的厚度扩大为原来的倍，本题对折次，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对折次后，纸的厚度为（毫米） 解题要点 有理数的乘方及其应用 1.乘方是相同因数的特殊乘法，正确识别底数和指数，底数为负数或分数时必须加括号，注意区分负数的平方的相反数与负数的平方。 2.幂的符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 3.乘方在实际问题中常用于表示连续倍增或递减的变化，如对折问题中厚度按2的n次方增长。 ▌迁移练3-1（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． ▌迁移练3-2（25-26九年级下·河南驻马店·期中）定义一个新运算，若，，则______． 【答案】1或 【分析】先根据可得或，再根据题意进行分类讨论即可求解． 【详解】解：， 或， ， ①当，时， ； ②当，时， ； 综上所述：或 ▌迁移练3-3（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． ▌迁移练3-4概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)将下列运算结果直接写成幂的形式： ， ； (3)算一算： 【答案】(1)， (2)， (3)65 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握除方运算，是解题的关键： （1）根据除方的法则，进行计算即可； （2）根据除方的法则，进行计算即可； （3）根据混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）由题意： ∴，； 故答案为：，； （3）原式． 题型4 科学记数法 ▌例4-1 用科学记数法表示的数，则它的原数是（　　） A．0.000196 B． C．196000 D． 【答案】D 【分析】根据“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得的数，即可求解． 【详解】解：的原数是． 故选：D ▌例4-2 （25-26七年级上·江苏无锡·期末）目前，人形机器人领域的竞争尚处于早期阶段，但预计未来数十年该市场将迎来爆发式增长，花旗集团研究显示，到2050年时，全球人形机器人数量预计将激增至48000000台，用科学记数法可表示为___________台． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解： 故答案为： ▌例4-3 （25-26八年级上·贵州遵义·期末）最近气温骤降，正值感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们需注意防寒保暖．有一种感冒病毒的直径约为米，数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示应为． 解题要点 科学记数法 1.科学记数法的表示形式为a×10的n次方，其中1≤a<10，n为整数，确定n时看小数点移动的位数。 2.还原科学记数法表示的原数时，将a的小数点向右移动n位；若n为负数，则向左移动相应位数。 3.科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，注意负指数的正确使用。 4.注意区分科学记数法中a的取值范围与整数位数的关系，避免出现a≥10或a<1的错误形式。 ▌迁移练4-1表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，移动小数点即可得到原数． 【详解】解：科学记数法形式为（，为正整数），还原原数时需将的小数点向右移动位， 本题中，，将的小数点向右移动位， 得到原数为． ▌迁移练4-2（25-26七年级下·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【答案】B 【详解】解：． ▌迁移练4-3某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示时，一般形式为a×10-n.其中n的值由原数左边起第一个不为零数字前面的0的个数决定． 【详解】解：∵1nm=0.0000001cm． ∴5nm=0.0000005cm． ∴0.0000005cm=5×10-7cm．故选：C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n.其中1≤|a|＜10，n的值由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定． 题型5 近似数 ▌例5-1 （25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） 【答案】 【分析】精确到千分位即小数点后保留三位小数，需看万分位上的数字，根据四舍五入法进行近似即可． 【详解】解：（精确到千分位）． ▌例5-2 （25-26七年级上·广东惠州·期中）用四舍五入法将精确到，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】精确到即保留五位小数，需看第六位小数进行四舍五入即可． 【详解】解：数字的第五位小数为，第六位小数为， ∵， ∴第五位小数需进位，变为，即为．故选：． ▌例5-3 （25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【答案】C 【详解】解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 解题要点 近似数 1.近似数的精确度由四舍五入到哪一位决定，精确到某一位时需看该位后一位的数字进行四舍五入。 2.近似数末尾的0不能随意省略，它代表了不同的精确度，如1.6与1.60精确度不同，意义不同。 3.已知近似数求原数的取值范围时，根据精确度确定边界：四舍时最大值为该位加5减最小单位，五入时最小值为该位减5。 4.用计算器辅助计算时，最后应根据题目要求的精确度对结果取近似值。 ▌迁移练5-1用一个8、一个9、六个0可组成多个不同的八位数，把它们从大到小排列，其中第二大的数写作( )，这个数改写成用“亿”作单位并保留两位小数是( )亿． 【答案】 【分析】先根据题意得出第二大的数，再将改写成亿，最后根据“四舍五入法”求近似数即可． 【详解】解：由题意得，第二大的数为， 亿，保留两位小数亿． 故答案为：，． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确位数判断各选项正误． 【详解】解：A.近似数精确到十分位，精确到百分位，二者意义不同，A错误； B.万精确到千位，B错误； C.300精确到个位，C错误； D. 将精确到百分位是，D正确； 【点睛】掌握近似数的精确度及四舍五入规则． ▌迁移练5-3（25-26七年级上·浙江丽水·期中）数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查四舍五入取近似值的方法，关键注意精确到的位数及进位规则． 近似值2.0表示精确到十分位，根据四舍五入规则，百分位数字决定是否进位． 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是．故选：A． 题型6 有理数的混合运算 ▌例6-1 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的加减运算法则计算即可求解； （）根据有理数的运算法则计算即可求解； （）利用有理数的乘法分配律进行计算即可求解； （）根据有理数的运算法则计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：原式 ， ， ； （4）解：原式 ， ， ， ． ▌例6-2 （25-26七年级上·福建龙岩·期中）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2025次输出的结果是______． 【答案】10 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键． 通过计算发现，运算结果由8，7，10循环出现，从而判断出第2025次运算结果与第3次运算结果相同，由此求解即可． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 当时，第二次输出的结果为， 当时，第三次输出的结果为， 当时，第四次输出的结果为， 当时，第五次输出的结果为， 当时，第六次输出的结果为， 当时，第七次输出的结果为， … 运算结果由，，10循环出现， ， 第2025次运算结果与第3次运算结果相同， ∴第2025次输出的结果是10， 故答案为：10． 解题要点 有理数的混合运算 1.混合运算严格遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右进行；有括号先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2.合理运用运算律简化计算，如分配律、交换律、结合律，但要注意同级运算不能随意结合，避免出现类似15÷6÷2≠15÷(6÷2)的错误。 3.计算中注意符号的准确判定，尤其是负数的奇次幂与偶次幂的区别，以及多重符号化简时的奇负偶正规律。 4.程序框图类问题中，注意循环规律的探索，通过计算前几次结果发现周期，利用周期规律求解最终结果。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·广东惠州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，涵盖乘方、乘除、加减运算及括号的运算顺序． （）先依次计算乘法和除法，再从左到右计算加减，最终得出结果为； （）先算乘方和括号内的运算，再计算乘除，最后计算加减，最终得出结果为． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． ▌迁移练6-2（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）对于三个非零有理数a，b，c，那么____________． 【答案】 或或或 【分析】根据的正负性分类讨论，利用绝对值的性质计算即可 【详解】解：对任意非零有理数，当时，，当时，，按中负数的个数分类讨论： 当负数个数为，即三个数都为正数，原式； 当负数个数为，即两个正数一个负数，原式； 当负数个数为，即一个正数两个负数，原式； 当负数个数为，即三个数都为负数，原式； 综上，原式的结果为或或或． ▌迁移练6-3（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序．若输入的数是3，则执行了程序后，输出的结果是（   ） A． B．561 C． D．558 【答案】C 【分析】本题考查 程序流程图与有理数计算． 根据题目的要求将已知的数先减去7，再乘以11，判断其结果的绝对值是否大于100；若计算结果的绝对值大于100，则输出，若小于100则将结果重新输入，进一步计算直到结果的绝对值大于100即可． 【详解】解：输入3， ，， 输入， ，， 输出， 故选：C． ▌迁移练6-4（25-26七年级下·广东茂名·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 题型7 结合倒数、相反数、绝对值等的计算 ▌例7-1 （25-26七年级上·全国·阶段检测）若非零且互为相反数，互为倒数，的绝对值为2，则值为_______ 【答案】4 【分析】本题考查相反数、倒数、绝对值的性质以及代数式求值．用到了分类讨论的思想，解题关键是根据已知条件准确求出、、、的值，易错点是忽略m的两种取值情况，导致漏解． 首先根据a、b非零且互为相反数，得出和；再由c、d互为倒数，得到；接着因为m的绝对值为2，所以，进而求出．然后，分和两种情况，将上述求出的值代入代数式中进行计算，最终得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，，或， 当时： 当时： 综上，的值为．故答案为：4． ▌例7-2 已知a与b互为倒数，c与互为相反数，，求的值． 【答案】5或 【分析】根据倒数、相反数、绝对值的概念可得，，再代入计算即可求解． 【详解】解：a与b互为倒数，c与互为相反数，， ，， ， 当时，； 当时，； 综上，的值为5或． 解题要点 结合倒数、相反数、绝对值等的计算 1.准确掌握倒数、相反数、绝对值的概念：互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1，绝对值的非负性在任何情况下都成立。 2.代数式求值时，根据已知条件分别求出各部分的值，注意整体代入的思想，如a与b互为相反数可得a+b=0且b分之a等于-1。 3.涉及绝对值或平方的非负性时，利用若几个非负数的和为0则它们均为0的结论求解。 4.当题目中含有绝对值或参数时，注意分类讨论，根据参数的正负或大小关系分情况求解，避免漏解。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则__________． 【答案】或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数和倒数的定义，绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用相反数、倒数的性质，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：因为若a、b互为相反数，c、d互为倒数，， 所以，，， 当时，原式； 当时，原式． 故答案为：或． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知有理数、互为相反数且，、互为倒数，数轴上表示有理数和的两个点相距3个单位长度，求的值． 【答案】1或5 【分析】本题考查倒数，相反数与数轴上点的距离，熟练掌握倒数，相反数和数轴上点的距离是解题的关键，根据倒数，相反数与数轴上点的距离的定义可得，，或，再分两种情况：当或时，代入化简即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可得：，，或， ∴当时， ． 当时， ． ∴的值为1或5． 题型8 有理数运算的实际应用 ▌例8-1 （25-26七年级上·湖南湘西·期中）为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ 【答案】(1)守门员最后回到了初始位置． (2)本次练习中守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 【分析】（1）计算所有跑动记录的代数和，根据和是否为0，即可判断是否回到初始位置； （2）先计算所有跑动记录的绝对值之和得到总路程，再结合奖励规则计算苹果数量即可． 【详解】（1）解：守门员最后回到了初始位置，理由如下： ，即守门员最后回到了初始位置． （2）解：总路程为各段跑动距离的绝对值之和：（米） ， 苹果数量： （个）． 答：守门员共跑了60米，可得到12个苹果． ▌例8-2 （25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加，轩轩家购买了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程 (1)请求出轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，求轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用． 【答案】(1)轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用为元 【分析】（1）将表格中的数据相加，再加上这7天的标准总路程即可得； （2）先求出总的耗电量，再乘以每度电的费用即可得． 【详解】（1）解：由题意得： （千米）， 答：轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：由题意得： （元）， 答：轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用为元． 解题要点 有理数运算的实际应用 1.解决实际问题时，先用正负数将实际数据转化为有理数，规定其中一个方向或状态为正，则相反方向或状态为负。 2.求总路程或总耗量时，应将所有数据的绝对值相加；求最终位置或结余时，应将所有数据按正负号相加。 3.比较实际数据的大小时，注意负数绝对值越大数值反而越小，如温度、海拔、股票涨跌等。 4.涉及折扣、返利等循环计算的实际问题，注意每一步计算后实际支付或获得金额的变化，必要时通过多次循环计算得出最终结果。 ▌迁移练8-1（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）；（“+”表示收盘价比前一天涨） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） (1)星期四收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知买进股票时需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的（千分之）的手续费和的交易税．如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费） 【答案】(1)元 (2)最高价是每股元，最低价是每股24元 (3)赔元 【分析】（1）根据题意，买进时每股为25元，周一收盘时，每股涨了2元，可得周一收盘时每股的价格，依此类推即可解答； （2）根据表格，可求出每天的股价，再进行比较即可解答； （3）根据题意推出周五收盘前的每股价格，然后计算出1000股的总价，再减去所缴纳的手续费和交易税，即为周五收盘前将股票全部卖出的总额，再跟买进时股票的总成本进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 即星期四收盘时，每股是元； （2）解：星期一：元； 星期二：元； 星期三：元； 星期四：元； 星期五：元； 因为， 所以本周内最高价是每股元，最低价是每股24元； （3）解：买进的总成本：元； 卖出的净收入：元， 则赔钱：元． ▌迁移练8-2（26-27七年级上·陕西西安·开学考试）一家商场开展优惠酬宾活动，凡购物每满100元回赠35元现金（购物不足100元的，不参加优惠活动）．现在某人有260元，他经过计算，买回了最多的物品，那么他最多能买到价值多少元的物品？如果他带的钱足够多，那么260元最多能买到价值多少元的物品？ 【答案】（1）最多能买到价值365元的物品. （2）最多能买到价值400元的物品. 【分析】当他有260元时，可分三次购买，第一次购买价值200元的物品回赠元，第二次购买元的物品回赠35元，第三次购买35元的物品，由此可得出他能买到物品的最高价值；当他带的钱足够多时，由元，可得出260元最多能买到价值400元的物品． 【详解】解：根据题意得： （元）, 他最多能买到价值365元的物品； （元）, 如果他带的钱足够多，那么260元最多能买到价值400元的物品． 答：他最多能买到价值365元的物品，如果他带的钱足够多，那么260元最多能买到价值400元的物品． ▌迁移练8-3“星等”是表示天体相对亮度强弱的等级．天体越亮，星等的数值越小．早在公元前2世纪，人们已将肉眼能看见的恒星分为6等．现规定天体星等数值每减小1，亮度就大约增加为原来的倍．假如6等星的亮度是1，那么1等星的亮度是多少？等星的亮度是多少？ 【答案】1等星的亮度约为；等星的亮度约为 【分析】根据题意列出算式，然后根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：等星的亮度是1，从6等星到1等星，星等数值减小5， 等星的亮度约为 ． 等星的亮度是1，从6等星到等星，星等数值减小8， 等星的亮度约为 ． 难点一 绝对值中的分类讨论及最值问题 在有理数运算中，绝对值化简是进行加减运算的前提。去绝对值符号必须依据绝对值内部代数式的正负，这直接依赖于有理数的符号法则。当多个绝对值参与运算时，需要进行分类讨论，本质上是有理数加法、减法中符号确定与绝对值计算的综合应用。最值问题则利用绝对值的几何意义，转化为数轴上距离之和，通过有理数运算求得最小值。 方法总结： ①去绝对值符号前，先根据有理数大小关系判断内部代数式的正负，再依据正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数进行化简，这是有理数运算中符号处理的基本功。 ②遇到多个绝对值的和差化简，可采用零点分段法，先找出各个绝对值的零点，再按这些零点把数轴分成几段，在每一段内判断各代数式的正负，去掉绝对值后转化为有理数的加减运算。 ③求多个绝对值之和的最小值时，利用绝对值的几何意义，把它看成数轴上动点到几个定点的距离之和，结合数轴找出动点位于中间某段时取得最小值，再通过有理数加法计算最小距离和。 易错提醒： ①忽略绝对值内部代数式的正负判断，盲目去掉绝对值符号，导致有理数加减运算中符号出错。 ②用零点分段法时，容易漏掉零点本身的情况，或在各段内把代数式的正负搞混，造成运算结果错误。 ③求最值时，没有正确理解绝对值的几何意义，把距离之和与有理数加法混淆，导致最小值求错。 难点精练 1．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）若，，且a，b，c是非零有理数，则 ___________ 【答案】或3 【分析】本题考查利用绝对值的性质求解代数式的值，解题关键是通过分类讨论判定结果． 首先根据，，可判定a、b、c中二负一正，然后转换形式，得出，然后分类讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b，c中两负一正，，，， ∴ 当，，时， ； 当，，时， ； 当，，时， ； 综上，的值为或3， 故答案为：或3． 2．已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为______________． 【答案】或或 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘法、有理数的加法，由题意可得、、中两个数为负数，一个数为正数，再分三种情况：当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；分别求解即可得解． 【详解】解：∵、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0， ∴、、中两个数为负数，一个数为正数， 当为正数，、为负数时，此时， 当为正数，、为负数时，此时； 当为正数，、为负数时，此时； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 3．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（    ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为的有理数，当时，则的值为或； ③已知，，是有理数，，，则； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可． 【详解】解：①根据题意得，或，或， ∴或或， ∴的值为或，故①正确； ②当时，异号， 当时，； 当时，； ∴的值为，故②错误； ③∵，， ∴中有1个负数，2个正数， 不妨设， ∴，故③正确； ④由得，， ∴中有1个负数，2个正数或3个都是负数， 当有1个负数，2个正数时，； 当3个都是负数时，； ∴的值为或，故④正确； ⑤由得，中有1个负数，2个正数或有2个负数，1个正数， 当有1个负数，2个正数时，； 当有2个负数，1个正数时，； ∴的所有可能的值为，故⑤正确； 综上，结论正确的是①③④⑤， 故选：A． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知x、y、z是非零有理数，有以下结论： ①的值为0或； ②当时，的值为； ③当，时，的值为或； ④当时，的值为0． 其中结论正确的是________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了绝对值的化简运算，有理数的混合运算． 分别根据条件求出字母的正负情况，进而根据绝对值的意义化简后计算即可． 【详解】解：①当x和y同为正时，原式， 当x和y同为负时，原式， 当x和y为一正一负时，原式， 故结论正确； ②当时，则，x和y为一正一负， 若x正y负，， 若x负y正，， 故结论正确； ③当，时，则x，y，z中必有一负两正，可设z为负， ∵，，， ∴； 故结论错误； ④当时，则x，y，z为一正两负或一负两正， 当为一正两负时，可设z为正，， 当为一负两正时，可设z为负，， 故结论正确． 故答案为：①②④． 5．阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示和在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有：表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数、在数轴上对应的点为、，那么、之间的距离可表示为．回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______．数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为______． (2)借助数轴，请求出的最小值是多少？当达到最小值时，x可取哪些整数？ (3)的最小值是______，达到最小值时，x可取哪些整数，请直接写出所有答案______． 【答案】(1)； (2)；，，，，，， (3)； 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义； （1）根据绝对值的几何意义直接求解即可； （2）由绝对值的几何意义可得时，当且仅当时，两距离之和最小， 最小值是6，再根据是整数，即可求解； （3）由绝对值的几何意义可得当时，最小值是6． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为． 故答案为：；； （2）解： 表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离， 当且仅当时，两距离之和最小， 最小值是：， 可取的整数有：，，，，，，． 故答案为：；，，，，，，； （3）解： 表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离， 当且仅当时，距离之和最小， 最小值为 当的值最小时，的值为． 故答案为：；． 难点二 结合数轴判断结论正误 数轴是表示有理数及其运算的重要工具。结合数轴判断结论正误，需要先从数轴上读出各数的符号和绝对值大小，再依据有理数的加法、减法、乘法、除法法则以及绝对值的意义，逐一判断每个结论是否成立。这要求学生把数轴上的信息转化为有理数运算中的符号和绝对值关系，是数形结合与有理数运算法则的综合运用。 方法总结： ①先从数轴上确定各点表示的有理数的正负以及绝对值的大小关系，这是判断所有结论的基础。 ②判断加减法结论时，依据有理数加法法则：同号相加取相同符号，异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；减法先统一转化为加法再判断。 ③判断乘除法结论时，依据同号得正、异号得负的法则，结合各数符号确定积或商的符号；判断绝对值化简结论时，先定符号再去绝对值，然后进行有理数运算。 ④对于大小比较结论，利用数轴上右边的数总比左边的大，以及正数大于0、0大于负数、两个负数绝对值大的反而小等法则进行判断。 易错提醒： ①读取数轴信息时，容易忽略原点位置和单位长度，导致对各数大小关系和绝对值大小的判断出现偏差。 ②去绝对值符号时，没有先判断内部代数式的正负，直接去掉符号，导致有理数运算结果错误。 ③判断多个结论时，容易遗漏部分结论的验证，尤其是在涉及乘方、除法等运算时，符号判断容易出错。 难点精练 1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下面式子：①；②；③；④；⑤．其中正确的有_____．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了数轴、有理数的大小比较、有理数的乘除法等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据数轴可得：，再根据有理数的乘除法逐个判断即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴，，故①正确，故②错误； ∵， ∴，即，即③正确； ∵， ∴，故④错误； ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 2．已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式： ①；②；③；④；⑤，其中正确的有________．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的有关知识，由数轴判断a、b、c的符号和它们绝对值的大小，再判断所给出的式子的符号，即可得出正确的答案． 【详解】解：根据数轴得， ∴， ∴，故①正确； ∵不知的取值范围， ∴无法比较与的大小，故②错误 ； ∵ ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴，故④错误； ∵ ∴，故⑤正确； ∴正确的式子是①③⑤， 故答案为：①③⑤． 3．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知数在数轴上的位置如图，现有下列结论： ； ； ； ．其中正确结论的序号是________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质及有理数的运算，解题的关键是结合数轴判断、、的符号和绝对值大小关系，再逐一分析结论． 根据数轴确定且，然后分别对每个结论，利用绝对值性质、有理数运算规则进行分析判断． 【详解】解：由数轴可知，是负数，， 所以， ， 因此，结论错误． 提取公因式得． 由数轴可知，； ，，且， 所以． 因此，，即，结论正确． 根据绝对值的性质： ，所以； ，所以； ，所以． 代入得：，结论正确． 根据数轴上两点间距离的性质： ，所以； ，所以； ，所以． 代入计算： 结论正确． 故答案为：． 难点三 数轴中的动点问题 数轴中的动点问题把有理数的加减运算、绝对值和方程思想紧密结合起来。动点在数轴上的运动可以用有理数加法表示：向右运动记为加，向左运动记为减。两点间的距离用绝对值表示，通过列方程或代数式求解。这类问题综合考查有理数运算、绝对值化简和代数建模能力，是本章的综合性难点。 方法总结： ①用含时间t的代数式表示动点在数轴上对应的数，向右运动就用起始数加运动距离，向左运动就用起始数减运动距离，这本质上是有理数加减法的应用。 ②利用数轴上两点间距离公式，即两点所表示的数之差的绝对值，根据题目条件列出方程或代数式，再通过有理数运算求解。 ③对于往返运动问题，分析每次运动的位移，把运动过程分成几段，寻找周期性规律，利用有理数加法计算总路程或确定位置；对于定值问题，用含t的代数式表示相关线段长度，再化简，若结果不含t，就说明该值与t无关。 易错提醒： ①表示动点位置时，容易把运动方向与加减法的对应关系搞反，向右应加，向左应减。 ②表示两点间距离时，容易忽略绝对值符号或忽略两点位置关系的讨论，导致距离表达式错误。 ③在动点往返运动问题中，计算路程时容易遗漏部分运动过程，或对运动次数的奇偶性判断失误，导致有理数加法求和出错。 ④对于动点与定点重合问题，容易遗漏多种情况，导致漏解。 难点精练 1.（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，两点在数轴上分别表示有理数，且，点O为原点，点C在数轴上两点之间，且． (1)直接写出__________，__________，点C所对应的数是__________； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了绝对值及偶次幂的非负性、数轴上两点之间的距离、绝对值方程． （1）根据绝对值及偶次幂的非负性计算即可得解； （2）根据题意，表示出点P与点Q表示的数，然后根据线段长度列出绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且， ∴点C所对应的数是2， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 经过秒，点P与点Q表示的数分别是和， ∴， 解得或． 2．（25-26七年级上·上海·期中）如图，动点P从到原点距离为8的点M处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第2025次跳动后，该动点到原点O的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，能根据质点的跳动方式得出每跳一次，质点与原点的距离是上一次距原点距离的一半是解题的关键． 分析每次跳动后质点与原点的距离，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，点M所对应的数到原点的距离是8个单位， 根据质点的跳动方式， 则第一次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第二次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第三次跳动后，该质点到原点的距离是：； … ∴第2025次跳动后，该质点到原点的距离是：． 故答案为：． 3．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿直线以每秒钟个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度 (1)求出秒钟后动点所处的位置； (2)如果在数轴上还有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与点重合吗？若能，则第一次与点重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，或秒． 【分析】本题考查了数轴和数字类规律，解题的关键是掌握用数轴表示有理数，注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法． （）先根据“路程速度时间”求出秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （）分当点在原点右边时，当点原点左侧时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点走过的路程是， 处于：； （2）当点在原点右边时，即表示的数为，设需要第次到达点， 根据题意得， 则， 解得， ∴动点走过的路程是 ， ， ∴时间秒分钟； 当点在原点左侧时，即表示的数为，设需要第次到达点， 根据题意得， 则， 解得， ∴动点走过的路程是， ， ， ， ∴时间秒分钟． 4．如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)；； (2)8； (3)； (4)的值不变，且 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类： （1）最多的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，则； （2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为； （3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （4）根据（3）所求计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设点P表示的数为x， 由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；， ∴， ∴， ∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和， ∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为， 又∵当点P与点B重合时，有最小值， ∴当时，有最小值， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：8；； （3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；； （4）∵，， ∴ ， ∴的值不变，且． 难点四 有理数运算相关的规律探究 有理数运算中的规律探究问题，通过给出若干等式或图形，要求学生观察、分析、归纳出其中蕴含的有理数运算规律，并用含字母n的代数式表示，进而利用规律解决相关计算。这类问题综合考查有理数的加、减、乘、除、乘方运算以及裂项相消等技巧，是培养学生观察归纳能力和运算能力的重要题型。 方法总结： ①观察已知等式或图形的变化，从特殊到一般归纳规律，注意把每个等式或图形与序号n建立对应关系，找出各部分与n之间的联系。 ②用含n的代数式表示规律时，注意验证n取不同值时等式是否成立，确保规律具有一般性。 ③利用裂项相消法计算分数序列的和时，观察分母中两个因数的差，把每一项拆成两个分数之差，使中间项相互抵消，仅保留首末项进行有理数加减运算。 ④对于图形规律问题，先分析图形中各部分的数量变化，把它转化为数字规律，再利用有理数运算求解。 易错提醒： ①归纳规律时只看前几个等式就匆忙下结论，没有充分验证，导致规律不具有一般性。 ②用含n的代数式表示规律时，容易在起始值或对应关系上出错，如把第n个等式写成第n+1个等式的形式。 ③利用裂项相消法计算时，容易忽略系数，如分母为连续奇数相乘时，裂项后需乘以二分之一，遗漏系数会导致结果错误。 ④在涉及乘方或二进制转换等运算时，容易在乘方计算或各项求和时出错。 难点精练 1.观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； (2)利用以上规律计算． 【答案】(1)第5个等式：，第个等式： (2) 【分析】（1）先观察已知等式，总结各部分和序号的变化规律，推导得到第个等式的通用形式； （2）利用（1）中推导得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个等式为：，第个等式为：． （2）解： ． 2．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算． 根据题干中式子的变化规律写出第个式子； 根据中的规律写出第个式子； 根据中式子的变化规律可得：原式，再根据分数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第个式子， 第个式子， 第个式子， 第个式子， ， 第个式子， 故答案为：； （2）解：由中的规律可知，第个式子为， 故答案为：； （3）解：由 . 4．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【规律探索】 观察如图的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是_____； （1）请补充图③中得到的算式； （2）像这样继续排列下去请你再写出一道算式： ； 你会发现这些算式存在一个规律：请归纳 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）； 【问题解决】 （3）运用这个规律计算：． 【答案】（1）；（2），；（3）2025 【分析】本题考查了图形规律，有理数的混合运算，观察图形的变化规律将图形的变化规律转化为数字规律是解题关键． （1）根据空白部分小正方形的个数等于大正方形的边长个数加阴影部分正方形的边长个数即可求解； （2）根据题干即可写出一个算式；即可写出规律； （3）运用规律将原式化为，再进行求解． 【详解】解：（1）由题意得，∵图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， ∴图③中得到的式子为：． 故③中得到的算式为：， 故答案为：； （2）由（1）知，满足要求的算式为：． 发现的规律为：； 故答案为：，； （3）由上述规律可知， ， 故答案为：2025． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）仿照例题计算： (1)按规律填空： ① ②如果n为正整数，那么 (2)探究并计算： (3)计算（由此拓展写出具体过程）： 【答案】(1)①　② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，数字类规律问题，使裂项后中间项抵消剩下首末项是解题关键． （1）①根据例题，可知每项相加后中间项抵消，仅保留首项和末项，求和计算即可； ②根据①，可知每项相加后仅保留首项1和末项，求和计算即可； （2）提取负号，观察分母为连续奇数相乘，每个分数拆分为，展开求和，中间项依次抵消，仅剩首项和末项，相加后乘以即可得出结果； （3）观察分母：，，，，，均为连续奇数相乘，每个分数可拆分为，展开求和，中间项依次抵消，仅剩首项和末项，相加后乘以即可得出结果． 【详解】（1）① ； ② ； （2） ； （3） ． 6．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）【探究学习】二进制数和十进制数之间的相互转换．探究1：把十进制数89改写成二进制数． 方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来（如箭头方向），这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． 所以十进制数89转换成二进制数为，（注：二进制数通常在数的右下角标明基数2）探究2：把二进制数改写成十进制数． 方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 【问题解决】 （1）请直接写出十进制数87转换成二进制数为：___________； （2）请通过计算将二进制数，改写成十进制数； 【拓展应用】 （3）十进制加法逢十进一，二进制加法逢二进一、请计算：（结果用二进制数表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】本题考查了二进制与十进制的转换，有理数的乘方，有理数的加法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据十进制数转化为二进制数的方法计算即可； （2）根据二进制数转化为十进制数的方法计算即可； （3）将两数相加，逢二进一即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ∴十进制数87转换成二进制数为：． 故答案为：； （2）． （3）． 基础达标 1．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 【答案】D 【分析】利用有理数加法的符号规律，结合反例排除错误选项，或从反面推导正确结论． 【详解】解：两个正数的和为正数，故A错误； 取两数为和，和为是负数，但两数一正一负，故B错误； 取两数为和，和为是负数，两数同为负数；取两数为和，和为是负数，有一个数为0，故C错误； 若两个数均为非负数，则它们的和必为非负数，与两数和为负数矛盾，则这两个数至少有一个为负数，故D正确． 2．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点与点之间的高度差为： 3．（2026·浙江绍兴·二模）数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数字的倒数是． 4．（25-26七年级上·浙江金华·期中）计算得（    ） A． B．1 C． D．25 【答案】C 【分析】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题关键．根据除以一个分数等于乘以它的倒数，即可得答案． 【详解】解：∵除以一个分数等于乘以它的倒数， ∴， 故选：C． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）2025年全国教育事业统计数据显示，全国共有各级各类学校所，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，确定好a、n即可作答． 【详解】解：依题意，，故选：B． 6．（25-26七年级上·浙江温州·期中）下列各数中，值最大的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的乘方运算．分别计算各选项的数值，然后比较大小． 【详解】解：A．；B．；C．；D． ∵ ∴值最大的是，故选：C． 7．（25-26七年级上·浙江温州·期中）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的结果是（   ） A．4 B．20 C．36 D．100 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：当输入x的值为，则，， 输入x的值为4，则，， ∴输出的结果是100．故选：D． 8．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）近似数3.5万精确到（   ） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 【答案】D 【分析】本题考查近似数的精确位数，解题的关键是将带单位的近似数转化为实际数值，再确定最后一位有效数字对应的数位． 将“3.5万”转化为具体数值，根据有效数字的位置判断其精确到的数位． 【详解】解：因为3.5万， 观察转化后的数值，其中数字“5”位于千位上， 所以近似数3.5万精确到千位． 故选：D． 9．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表．根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为（   ） 2.1 0.8 1.5 1.6 A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查有理数的减法运算在实际问题中的应用，解题的关键是通过已知温度差的关系推导与的差值． 利用温度差的关系，将转化为已知的与的差，计算后比较大小判断温度关系． 【详解】解：因为， 已知， 所以， 由于，即，所以，关键是处比处高． 故选：B． 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【答案】C 【分析】此题考查绝对值的化简求值，由 可知 和 同号，分两种情况讨论：都正或都负，代入计算表达式的值． 【详解】∵ ，∴ 和 同号， 当 时，，，，∴ 原式 ； 当 时，，，，∴ 原式 ， ∴ 原式的值为 或 ，故选：C 能力进阶 11．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴，故选：D． 12．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图所示，将分别填入图中的圆圈内，使图中横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则图中的值为（    ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2． 设内圈上的数为c，外圈上的数为d， 由于八个数的和是4，可得内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2，列等式可得结论． 【详解】解：如图，设内圈上的数为c，外圈上的数为d， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，， ∴内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2， ∴，，， ∴， 当时， ，符合题意，此时； 当时， ，符合题意，此时； 综上所述，图中的值为或．故选：A． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，，； 故不正确的是选项C；故选：C． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 15．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了程序和循环规律的有理数的运算，解题的关键是找出循环规律 列出前几次输出的结果，找出规律，然后根据循环规律求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是； 第8次输出的结果是； 从第5个结果开始，输出结果为循环规律，循环部分为，，2，循环周期为3， ， 第2025次输出的结果是， 故选：C 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序． （1）先计算乘方，再算括号内的减法，最后进行乘法运算； （2）先计算乘方与带分数的乘法，再依次进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（25-26七年级上·浙江温州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律的简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键． （1）按照乘法分配律和有理数乘法运算法则计算即可； （2）按照乘法分配律和有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）甲、乙、丙三个人同时开始沿公园中的人造湖慢跑，乙、丙按顺时针跑，甲按逆时针跑，甲第一次遇到丙后过1分钟遇到乙，再过3分钟第二次遇到丙，已知丙的速度是甲的速度的，人造湖的周长是800米，求乙的速度是每分钟多少米？ 【答案】米/分 【分析】先求出甲丙速度和，进而得出甲的速度，再根据甲乙速度和，求出乙的速度即可． 【详解】解：因为，甲丙第一次相遇后过分钟又相遇， 所以，甲丙速度和：（米/分） 因为，丙的速度是甲的速度的， 所以，甲的速度： （米/分）， 因为，甲、丙第一次相遇用时为（分钟）， 所以，甲、乙第一次相遇用时为（分钟）， 所以，甲乙速度和： （米/分）， 所以，乙的速度：（米/分）． 19．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 20．综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1)， (2) (3)①，，，，②139 【分析】（1）根据绝对值的定义求出各数的绝对值再求和； （2）①依据倒数和相反数的定义求出a，b，c，d的值； ②可按照先算括号内再算乘法的顺序，也可利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：， ． ∴卡片A与卡片B的差为，卡片B与卡片D的商为． （2）解：， ∴四张卡片上数的绝对值的和为． （3）解：①∵卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片A为，卡片B为15， ∴，， 又∵卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d，卡片C为，卡片D为， ∴，． ② ； ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 复习要点 1.掌握有理数加减法法则，理解减去一个数等于加上它的相反数的转化思想，能将加减混合运算统一为加法并写成省略加号的和的形式，熟练进行加减运算。 2.掌握有理数乘除法法则，准确判断积和商的符号，并熟练运用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，进行乘除混合运算。 3.掌握有理数乘方的意义及幂的符号规律，注意区分一个负数平方的相反数与这个负数平方的不同含义，并能运用科学记数法表示较大的数。 4.掌握加法与乘法的交换律、结合律及分配律，能灵活地将互为相反数、同分母、能凑整或能约分的式子提前结合，合理运用运算律简化计算。 5.掌握有理数混合运算的运算顺序，养成先观察算式结构再确定运算步骤的习惯，避免同级运算乱结合的错误。 6.掌握准确数与近似数的概念，理解近似数精确度的意义，能根据预定精确度要求用计算器辅助计算并正确取近似值。 复习重难点 重点：有理数加减乘除乘方的运算法则及其基本应用；混合运算中先乘方再乘除后加减的运算顺序；灵活运用加法与乘法的交换律结合律分配律进行简便计算；用科学记数法表示较大的数。 难点：复杂混合运算中符号的准确判定，尤其是负数的奇次幂与偶次幂的区别；将减法转化为加法以及除法转化为乘法的转化思想在混合运算中的灵活应用；准确理解近似数的精确度概念并按要求正确取近似值，以及运用有理数运算解决实际问题的综合能力。 知识点 有理数的加法 1.有理数加法的运算法则 ①同号两数相加：取 的符号，并把绝对值相加； ②异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取 的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③一个数同0相加，仍得这个数。 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 2.加法运算律及技巧总结 （1）运算率： ①交换律： ； ②结合律（a+b）+c＝ 。 （2）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式。 （3）符号相同的数可以先结合在一起。 （4）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零。 （5）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起。 要点归纳： （1）同号两数相加符号不变，异号两数相加符号随绝对值大者，互为相反数相加得0，任何数与0相加仍得原数。 （2）多个有理数相加时，可灵活运用交换律和结合律，将符号相同的数、互为相反数的数、能凑整或同分母的优先结合。 （3）分数与小数混合相加时，一般先将小数化为分数统一形式，再进行运算。 要点速测 1．嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 知识点 有理数的减法 1.有理数减法的运算法则 减去一个数，等于加上这个数的 ，即：a﹣b＝a+（﹣b）。 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照 运算进行计算。 3．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的 转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“+”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算。 【注意】 ①在有理数减法运算时，被减数与减数的位置 随意交换；因为减法没有交换律。 ②减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应 进行计算。 要点归纳： （1）减法运算统一转化为加法运算是核心，即减去一个数等于加上这个数的相反数。 （2）减法运算中要注意被减数与减数的位置不能交换，0减任何数需依法则计算，不能直接写成原数。 （3）加减混合运算中，应先将减法转化为加法，省略括号和正号，再利用加法运算律进行简便计算。 要点速测 2．某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 知识点 有理数的乘法 1．有理数的乘法运算法则 （1）两数相乘，同号得 ，异号得 ， 相乘； （2）任何数与0相乘，积仍为0。 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：ab = ； （2）乘法结合律：(ab)c = ； （3）乘法分配律：a(b+c) = 。 3．有理数乘法运算技巧 （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由 的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分，简记为：化小为分，化带为假。 要点归纳： （1）确定积的符号是乘法运算的首要步骤，关键看负因数的个数，奇负偶正，有0因数则积为0。 （2）多个有理数相乘，可先确定符号再计算绝对值；灵活使用交换律、结合律、分配律简化运算。 （3）若因数中含小数或带分数，一般先将小数化分数、带分数化假分数，便于约分计算。 要点速测 3．用简便方法计算：． 知识点 有理数的除法 1.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；负倒数：乘积为-1的两个有理数互为负倒数。 ①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或-1。 2．有理数除法运算法则 一个数除以一个 的数，等于乘这个数的 ，。 3．有理数除法的运算步骤 （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算。 要点归纳： （1）除法的核心是转化为乘法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，除数不能为0。 （2）除法运算中同样先确定商的符号，再计算绝对值的商，法则与乘法保持一致。 （3）对于乘除混合运算，先将所有除法转化为乘法，再统一确定符号进行约分计算。 要点速测 4．计算： 知识点 有理数的乘方 1.有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做 。表示有n个a连续相乘。 乘方的结果叫做 ，在an中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方。（将看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。） ①一个数本身可看作它的一次方（指数1省略不写）。 ②二次方也叫作平方，三次方也叫作立方。 2.乘方的运算法则 ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是 ，即n为奇数时，；负数的偶次幂是 ，即n为偶数时； ③0的任何正整数次幂都是0。 3.方法指引 ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算 ，再做乘除，最后做加减。 4.科学计数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中 ，n是正整数）。负数也可类似表示。 例：6500000= 。 要点归纳： （1）乘方是相同因数的特殊乘法，底数为负数或分数时必须 括起来，指数1通常省略不写。 （2）确定幂的符号时，正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正，0的正整数次幂为0。 （3）科学记数法是将大数表示为a×10的n次方的形式，要求a大于等于1小于10。 要点速测 5．计算：_______． 6．据统计，2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客560万人次，把560万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 知识点 有理数的混合运算 1．有理数运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算。 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 2．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“-”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正。 3.混合运算的四种运算技巧 ①转化法：一是将除法转化为 ，二是将乘方转化为 ，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为 进行约分计算。 ②凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解。 ③分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算。 ④巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便。 要点归纳： （1）混合运算严格遵循运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，同级运算从 。 （2）“奇负偶正”贯穿混合运算，可用于多重负号化简、多个负数相乘及负数乘方三种情形。 （3）计算中可灵活运用转化法、凑整法、分拆法及运算律，使复杂混合运算的过程更简洁高效。 要点速测 7．计算： (1)； (2) 知识点 近似数 1.准确数与近似数：与实际完全符合的数叫准确数；与实际接近的数叫 。 2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例：1.57m精确到百分位；1.2万精确到万位；1.20万精确到百位。 3.计算器使用：利用科学计算器辅助计算，按键顺序与书写顺序基本相同。按精确度要求取近似值。 要点归纳： （1）准确数与近似数的区别在于是否与实际完全符合，测量或估计得到的数一般为近似数。 （2）近似数的精确度是关键，由四舍五入到哪一位决定，末尾的 不能随意省略，它代表了 不同。 （3）使用计算器进行计算时，最后应根据题目要求对结果按精确度取近似值。 要点速测 8．一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________． 题型1 有理数的加法与减法 ▌例1-1 （2026·河北·中考真题）计算： ________． ▌例1-2 计算：______． ▌例1-3 计算： ▌例1-4 （25-26七年级上·福建泉州·期末）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． ▌例1-5 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌例1-6 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“__________站台”． ▌例1-7 （25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 解题要点 有理数的加法与减法 1.有理数减法运算的核心是转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数，再按加法法则计算。 2.加减混合运算中，应先将所有减法统一转化为加法，省略括号和正号，写成省略加号的和的形式，再利用加法交换律和结合律进行简便计算。 3.简便运算的常用技巧：将互为相反数的数、同分母的分数、能凑整的数、符号相同的数分别结合相加。 4.减法没有交换律，被减数与减数的位置不能随意交换；0减任何数需依法则计算，不能直接写成原数。 ▌迁移练1-1（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决．如在数轴上，点A，B分别表示数，则表示点A与点B的距离．由此我们发现，当在到2之间（包括和2）时，的值最小，最小值是3．类似的，式子的最小值为____________． ▌迁移练1-2（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）定义的运算为，则________． ▌迁移练1-3（25-26七年级上·四川自贡·期末）计算：． ▌迁移练1-4（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) ▌迁移练1-5（25-26七年级上·山东德州·期中）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 题型2 有理数的乘法与除法 ▌例2-1 计算： ______． ▌例2-2 计算： (1)； (2) ▌例2-3 一桶玉米的质量大约为．如图，晒谷场上有一堆玉米，大约相当于桶．这堆玉米的质量大约为多少千克？（精确到） ▌例2-4 请在下列括号里填写运算的依据：     （                    ）     （                    ）     （                    ） ． ▌例2-5 （2026·山东济南·中考真题）的倒数是（     ） A．7 B． C． D． ▌例2-6 计算：________． ▌例2-7 计算： (1)； (2)； (3)． 解题要点 有理数的乘法与除法 1.有理数乘法先确定积的符号，再计算绝对值的乘积；多个非零因数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，有一个因数为0则积为0。 2.有理数除法统一转化为乘法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，除数不能为0。 3.乘除混合运算中，先将所有除法转化为乘法，再确定符号进行约分计算；带分数化为假分数、小数化为分数便于约分。 4.灵活运用乘法交换律、结合律和分配律简化计算，特别注意分配律在简化运算中的高频应用。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·江苏扬州·开学考试）如图，一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数，且相对两个面上的数互为倒数，那么( )，( )． ▌迁移练2-2（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练2-3（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． ▌迁移练2-4（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) ▌迁移练2-5对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 题型3 有理数的乘方及其应用 ▌例3-1 在中，底数是__________，指数是__________． ▌例3-2 计算： ______． ▌例3-3 （25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． ▌例3-4 （25-26七年级下·江苏泰州·期末）用分数表示：_______． ▌例3-5 将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 解题要点 有理数的乘方及其应用 1.乘方是相同因数的特殊乘法，正确识别底数和指数，底数为负数或分数时必须加括号，注意区分负数的平方的相反数与负数的平方。 2.幂的符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 3.乘方在实际问题中常用于表示连续倍增或递减的变化，如对折问题中厚度按2的n次方增长。 ▌迁移练3-1（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． ▌迁移练3-2（25-26九年级下·河南驻马店·期中）定义一个新运算，若，，则______． ▌迁移练3-3（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌迁移练3-4概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)将下列运算结果直接写成幂的形式： ， ； (3)算一算： 题型4 科学记数法 ▌例4-1 用科学记数法表示的数，则它的原数是（　　） A．0.000196 B． C．196000 D． ▌例4-2 （25-26七年级上·江苏无锡·期末）目前，人形机器人领域的竞争尚处于早期阶段，但预计未来数十年该市场将迎来爆发式增长，花旗集团研究显示，到2050年时，全球人形机器人数量预计将激增至48000000台，用科学记数法可表示为___________台． ▌例4-3 （25-26八年级上·贵州遵义·期末）最近气温骤降，正值感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们需注意防寒保暖．有一种感冒病毒的直径约为米，数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 解题要点 科学记数法 1.科学记数法的表示形式为a×10的n次方，其中1≤a<10，n为整数，确定n时看小数点移动的位数。 2.还原科学记数法表示的原数时，将a的小数点向右移动n位；若n为负数，则向左移动相应位数。 3.科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，注意负指数的正确使用。 4.注意区分科学记数法中a的取值范围与整数位数的关系，避免出现a≥10或a<1的错误形式。 ▌迁移练4-1表示的原数是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练4-2（25-26七年级下·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 ▌迁移练4-3某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型5 近似数 ▌例5-1 （25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） ▌例5-2 （25-26七年级上·广东惠州·期中）用四舍五入法将精确到，正确的是（    ）． A． B． C． D． ▌例5-3 （25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 解题要点 近似数 1.近似数的精确度由四舍五入到哪一位决定，精确到某一位时需看该位后一位的数字进行四舍五入。 2.近似数末尾的0不能随意省略，它代表了不同的精确度，如1.6与1.60精确度不同，意义不同。 3.已知近似数求原数的取值范围时，根据精确度确定边界：四舍时最大值为该位加5减最小单位，五入时最小值为该位减5。 4.用计算器辅助计算时，最后应根据题目要求的精确度对结果取近似值。 ▌迁移练5-1用一个8、一个9、六个0可组成多个不同的八位数，把它们从大到小排列，其中第二大的数写作( )，这个数改写成用“亿”作单位并保留两位小数是( )亿． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 ▌迁移练5-3（25-26七年级上·浙江丽水·期中）数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6 有理数的混合运算 ▌例6-1 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌例6-2 （25-26七年级上·福建龙岩·期中）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2025次输出的结果是______． 解题要点 有理数的混合运算 1.混合运算严格遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右进行；有括号先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2.合理运用运算律简化计算，如分配律、交换律、结合律，但要注意同级运算不能随意结合，避免出现类似15÷6÷2≠15÷(6÷2)的错误。 3.计算中注意符号的准确判定，尤其是负数的奇次幂与偶次幂的区别，以及多重符号化简时的奇负偶正规律。 4.程序框图类问题中，注意循环规律的探索，通过计算前几次结果发现周期，利用周期规律求解最终结果。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·广东惠州·期中）计算： (1)． (2)． ▌迁移练6-2（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）对于三个非零有理数a，b，c，那么____________． ▌迁移练6-3（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序．若输入的数是3，则执行了程序后，输出的结果是（   ） A． B．561 C． D．558 ▌迁移练6-4（25-26七年级下·广东茂名·期末）计算： 题型7 结合倒数、相反数、绝对值等的计算 ▌例7-1 （25-26七年级上·全国·阶段检测）若非零且互为相反数，互为倒数，的绝对值为2，则值为_______ ▌例7-2 已知a与b互为倒数，c与互为相反数，，求的值． 解题要点 结合倒数、相反数、绝对值等的计算 1.准确掌握倒数、相反数、绝对值的概念：互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1，绝对值的非负性在任何情况下都成立。 2.代数式求值时，根据已知条件分别求出各部分的值，注意整体代入的思想，如a与b互为相反数可得a+b=0且b分之a等于-1。 3.涉及绝对值或平方的非负性时，利用若几个非负数的和为0则它们均为0的结论求解。 4.当题目中含有绝对值或参数时，注意分类讨论，根据参数的正负或大小关系分情况求解，避免漏解。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则__________． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知有理数、互为相反数且，、互为倒数，数轴上表示有理数和的两个点相距3个单位长度，求的值． 题型8 有理数运算的实际应用 ▌例8-1 （25-26七年级上·湖南湘西·期中）为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ ▌例8-2 （25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加，轩轩家购买了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程 (1)请求出轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，求轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用． 解题要点 有理数运算的实际应用 1.解决实际问题时，先用正负数将实际数据转化为有理数，规定其中一个方向或状态为正，则相反方向或状态为负。 2.求总路程或总耗量时，应将所有数据的绝对值相加；求最终位置或结余时，应将所有数据按正负号相加。 3.比较实际数据的大小时，注意负数绝对值越大数值反而越小，如温度、海拔、股票涨跌等。 4.涉及折扣、返利等循环计算的实际问题，注意每一步计算后实际支付或获得金额的变化，必要时通过多次循环计算得出最终结果。 ▌迁移练8-1（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）；（“+”表示收盘价比前一天涨） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） (1)星期四收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知买进股票时需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的（千分之）的手续费和的交易税．如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费） ▌迁移练8-2（26-27七年级上·陕西西安·开学考试）一家商场开展优惠酬宾活动，凡购物每满100元回赠35元现金（购物不足100元的，不参加优惠活动）．现在某人有260元，他经过计算，买回了最多的物品，那么他最多能买到价值多少元的物品？如果他带的钱足够多，那么260元最多能买到价值多少元的物品？ ▌迁移练8-3“星等”是表示天体相对亮度强弱的等级．天体越亮，星等的数值越小．早在公元前2世纪，人们已将肉眼能看见的恒星分为6等．现规定天体星等数值每减小1，亮度就大约增加为原来的倍．假如6等星的亮度是1，那么1等星的亮度是多少？等星的亮度是多少？ 难点一 绝对值中的分类讨论及最值问题 在有理数运算中，绝对值化简是进行加减运算的前提。去绝对值符号必须依据绝对值内部代数式的正负，这直接依赖于有理数的符号法则。当多个绝对值参与运算时，需要进行分类讨论，本质上是有理数加法、减法中符号确定与绝对值计算的综合应用。最值问题则利用绝对值的几何意义，转化为数轴上距离之和，通过有理数运算求得最小值。 方法总结： ①去绝对值符号前，先根据有理数大小关系判断内部代数式的正负，再依据正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数进行化简，这是有理数运算中符号处理的基本功。 ②遇到多个绝对值的和差化简，可采用零点分段法，先找出各个绝对值的零点，再按这些零点把数轴分成几段，在每一段内判断各代数式的正负，去掉绝对值后转化为有理数的加减运算。 ③求多个绝对值之和的最小值时，利用绝对值的几何意义，把它看成数轴上动点到几个定点的距离之和，结合数轴找出动点位于中间某段时取得最小值，再通过有理数加法计算最小距离和。 易错提醒： ①忽略绝对值内部代数式的正负判断，盲目去掉绝对值符号，导致有理数加减运算中符号出错。 ②用零点分段法时，容易漏掉零点本身的情况，或在各段内把代数式的正负搞混，造成运算结果错误。 ③求最值时，没有正确理解绝对值的几何意义，把距离之和与有理数加法混淆，导致最小值求错。 难点精练 1．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）若，，且a，b，c是非零有理数，则 ___________ 2．已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为______________． 3．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（    ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为的有理数，当时，则的值为或； ③已知，，是有理数，，，则； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知x、y、z是非零有理数，有以下结论： ①的值为0或； ②当时，的值为； ③当，时，的值为或； ④当时，的值为0． 其中结论正确的是________（填序号）． 5．阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示和在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有：表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数、在数轴上对应的点为、，那么、之间的距离可表示为．回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______．数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为______． (2)借助数轴，请求出的最小值是多少？当达到最小值时，x可取哪些整数？ (3)的最小值是______，达到最小值时，x可取哪些整数，请直接写出所有答案______． 难点二 结合数轴判断结论正误 数轴是表示有理数及其运算的重要工具。结合数轴判断结论正误，需要先从数轴上读出各数的符号和绝对值大小，再依据有理数的加法、减法、乘法、除法法则以及绝对值的意义，逐一判断每个结论是否成立。这要求学生把数轴上的信息转化为有理数运算中的符号和绝对值关系，是数形结合与有理数运算法则的综合运用。 方法总结： ①先从数轴上确定各点表示的有理数的正负以及绝对值的大小关系，这是判断所有结论的基础。 ②判断加减法结论时，依据有理数加法法则：同号相加取相同符号，异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；减法先统一转化为加法再判断。 ③判断乘除法结论时，依据同号得正、异号得负的法则，结合各数符号确定积或商的符号；判断绝对值化简结论时，先定符号再去绝对值，然后进行有理数运算。 ④对于大小比较结论，利用数轴上右边的数总比左边的大，以及正数大于0、0大于负数、两个负数绝对值大的反而小等法则进行判断。 易错提醒： ①读取数轴信息时，容易忽略原点位置和单位长度，导致对各数大小关系和绝对值大小的判断出现偏差。 ②去绝对值符号时，没有先判断内部代数式的正负，直接去掉符号，导致有理数运算结果错误。 ③判断多个结论时，容易遗漏部分结论的验证，尤其是在涉及乘方、除法等运算时，符号判断容易出错。 难点精练 1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下面式子：①；②；③；④；⑤．其中正确的有_____．（填序号） 2．已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式： ①；②；③；④；⑤，其中正确的有________．（请填写序号） 3．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知数在数轴上的位置如图，现有下列结论： ； ； ； ．其中正确结论的序号是________． 难点三 数轴中的动点问题 数轴中的动点问题把有理数的加减运算、绝对值和方程思想紧密结合起来。动点在数轴上的运动可以用有理数加法表示：向右运动记为加，向左运动记为减。两点间的距离用绝对值表示，通过列方程或代数式求解。这类问题综合考查有理数运算、绝对值化简和代数建模能力，是本章的综合性难点。 方法总结： ①用含时间t的代数式表示动点在数轴上对应的数，向右运动就用起始数加运动距离，向左运动就用起始数减运动距离，这本质上是有理数加减法的应用。 ②利用数轴上两点间距离公式，即两点所表示的数之差的绝对值，根据题目条件列出方程或代数式，再通过有理数运算求解。 ③对于往返运动问题，分析每次运动的位移，把运动过程分成几段，寻找周期性规律，利用有理数加法计算总路程或确定位置；对于定值问题，用含t的代数式表示相关线段长度，再化简，若结果不含t，就说明该值与t无关。 易错提醒： ①表示动点位置时，容易把运动方向与加减法的对应关系搞反，向右应加，向左应减。 ②表示两点间距离时，容易忽略绝对值符号或忽略两点位置关系的讨论，导致距离表达式错误。 ③在动点往返运动问题中，计算路程时容易遗漏部分运动过程，或对运动次数的奇偶性判断失误，导致有理数加法求和出错。 ④对于动点与定点重合问题，容易遗漏多种情况，导致漏解。 难点精练 1.（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，两点在数轴上分别表示有理数，且，点O为原点，点C在数轴上两点之间，且． (1)直接写出__________，__________，点C所对应的数是__________； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； 2．（25-26七年级上·上海·期中）如图，动点P从到原点距离为8的点M处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第2025次跳动后，该动点到原点O的距离为________． 3．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿直线以每秒钟个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度 (1)求出秒钟后动点所处的位置； (2)如果在数轴上还有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与点重合吗？若能，则第一次与点重合需多长时间？若不能，请说明理由． 4．如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 难点四 有理数运算相关的规律探究 有理数运算中的规律探究问题，通过给出若干等式或图形，要求学生观察、分析、归纳出其中蕴含的有理数运算规律，并用含字母n的代数式表示，进而利用规律解决相关计算。这类问题综合考查有理数的加、减、乘、除、乘方运算以及裂项相消等技巧，是培养学生观察归纳能力和运算能力的重要题型。 方法总结： ①观察已知等式或图形的变化，从特殊到一般归纳规律，注意把每个等式或图形与序号n建立对应关系，找出各部分与n之间的联系。 ②用含n的代数式表示规律时，注意验证n取不同值时等式是否成立，确保规律具有一般性。 ③利用裂项相消法计算分数序列的和时，观察分母中两个因数的差，把每一项拆成两个分数之差，使中间项相互抵消，仅保留首末项进行有理数加减运算。 ④对于图形规律问题，先分析图形中各部分的数量变化，把它转化为数字规律，再利用有理数运算求解。 易错提醒： ①归纳规律时只看前几个等式就匆忙下结论，没有充分验证，导致规律不具有一般性。 ②用含n的代数式表示规律时，容易在起始值或对应关系上出错，如把第n个等式写成第n+1个等式的形式。 ③利用裂项相消法计算时，容易忽略系数，如分母为连续奇数相乘时，裂项后需乘以二分之一，遗漏系数会导致结果错误。 ④在涉及乘方或二进制转换等运算时，容易在乘方计算或各项求和时出错。 难点精练 1.观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； (2)利用以上规律计算． 2．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 3．（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 4．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【规律探索】 观察如图的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是_____； （1）请补充图③中得到的算式； （2）像这样继续排列下去请你再写出一道算式： ； 你会发现这些算式存在一个规律：请归纳 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）； 【问题解决】 （3）运用这个规律计算：． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）仿照例题计算： (1)按规律填空： ① ②如果n为正整数，那么 (2)探究并计算： (3)计算（由此拓展写出具体过程）： 6．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）【探究学习】二进制数和十进制数之间的相互转换．探究1：把十进制数89改写成二进制数． 方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来（如箭头方向），这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． 所以十进制数89转换成二进制数为，（注：二进制数通常在数的右下角标明基数2）探究2：把二进制数改写成十进制数． 方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 【问题解决】 （1）请直接写出十进制数87转换成二进制数为：___________； （2）请通过计算将二进制数，改写成十进制数； 【拓展应用】 （3）十进制加法逢十进一，二进制加法逢二进一、请计算：（结果用二进制数表示）． 基础达标 1．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 2．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江绍兴·二模）数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江金华·期中）计算得（    ） A． B．1 C． D．25 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）2025年全国教育事业统计数据显示，全国共有各级各类学校所，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·浙江温州·期中）下列各数中，值最大的是（） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·浙江温州·期中）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的结果是（   ） A．4 B．20 C．36 D．100 8．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）近似数3.5万精确到（   ） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 9．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表．根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为（   ） 2.1 0.8 1.5 1.6 A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 能力进阶 11．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图所示，将分别填入图中的圆圈内，使图中横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则图中的值为（    ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 15．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（   ） A． B． C． D．2 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 17．（25-26七年级上·浙江温州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 18．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）甲、乙、丙三个人同时开始沿公园中的人造湖慢跑，乙、丙按顺时针跑，甲按逆时针跑，甲第一次遇到丙后过1分钟遇到乙，再过3分钟第二次遇到丙，已知丙的速度是甲的速度的，人造湖的周长是800米，求乙的速度是每分钟多少米？ 19．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 20．综合与实践：问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果．请你选择其中一种方法求式子的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $