第22章 图形的相似（复习讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学《图形的相似》单元复习讲义通过表格系统梳理知识框架，将比例线段、相似图形、相似三角形判定与性质、位似图形等核心内容分模块呈现，明确标注重点（如相似三角形判定方法）和难点（如复杂图形中相似模型识别），清晰展现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础的比例性质应用到综合的相似三角形判定与动点问题，如“相似三角形中的动点问题”引导学生分类讨论对应边成比例，培养推理能力，“A字型”“8字型”模型总结强化模型意识。每个题型配解题要点和迁移练，帮助基础学生掌握方法，优秀学生深入探究，为教师实施精准分层教学提供支持。

第22章 图形的相似 复习要点 1. 了解比例线段，掌握比例的基本性质，理解黄金分割； 2. 理解相似图形、相似多边形概念，掌握相似三角形的判定定理； 3. 熟练运用相似三角形的性质解决线段、周长、面积相关计算； 4. 掌握位似图形，能利用位似进行图形放大与缩小，会求位似变换后点的坐标； 5. 能识别 A 字型、8 字型等常见相似模型，解决几何综合问题。 复习重难点 重点：①比例线段与比例性质； ②相似三角形的判定方法； ③相似三角形对应边、周长、面积的性质； ④位似图形的性质与坐标变化。 难点：①在复杂图形中识别、构造相似三角形（A 字、8 字、射影模型）； ②相似三角形面积比等于相似比的平方，易和线段比混淆； ③位似变换的两种情况（同侧、异侧）坐标容易漏解； ④相似与四边形、圆综合大题的分析推理。 知识点 线段的比 （1）比例的基本性质：如果 （2）成比例的线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例的线段。 （3）黄金分割：在线段AB上有一点C，如果，那么点C就是线段AB的黄金分割点。较长线段AC与原线段AB的比叫做黄金分割比。 注意：（1）a，b，c，d成比例也可记作a：b=c：d （2）两条线段长度的比叫做两条线段的比 要点归纳：（1）比例的基本性质可以逆用：如果，那么或或或等 （2）判断四条线段是否成比例，根据概念可以用最小的和最大的相乘，看它们的积是否等于另外两个相乘。 要点速测 1.若，则下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】由得，故此项等式不成立； B.由得，故此项等式不成立； C.由得，故此项等式不成立； D.由得，故此项等式成立， 故选D． 知识点 平行线分线段成比例 （1）平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 （2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 要点归纳：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等 要点速测 2.如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，，，则          ． 【答案】  【详解】， ， ， 解得：． 故答案为． 知识点 相似图形与相似多边形： 相似图形的定义: 形状相同的平面图形叫做相似图形（简称相似形）。两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。 相似多边形的定义: 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形的表示方法: 用符号“∽”表示相似，读作“相似于”。例如，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，记作： 注意：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似比: 相似多边形对应边的比叫做相似比。当两个多边形全等时，相似比为1。 相似多边形的性质: 对应角相等 对应边成比例 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 要点速测 1．下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查形状相同图形即相似图形的概念，只需逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：形状相同的图形要求对应角相等，对应边成比例，仅大小可以不同. ①∵所有圆仅半径不同，形状完全一致， ∴①正确； ②∵所有正方形的内角均为，对应边一定成比例， ∴所有正方形形状都相同，②正确； ③∵等腰三角形的内角度数不固定，对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不同角度的等腰三角形形状不同， ∴③错误； ④∵矩形的长与宽的比值不一定相等，对应边不成比例，不同长宽比的矩形形状不同， ∴④错误； 综上，正确的说法共2个． 故选：B． 2．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 3．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 4．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，，点A，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项C错误，符合题意． 5．已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积比为_____． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质和相似比，先根据对应边的长度求出相似比，再利用相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵五边形五边形，， ∴相似比为 则面积比为：． 故答案为：． 知识点 相似三角形的判定 （1）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 （2）相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （3）相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。 要点归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 要点速测 1.如图，在中，，是边上一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点求证：∽． 【详解】证明：， ， ， ∽．  2.如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【详解】第个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似． 知识点 相似三角形的性质 （1）相似三角形对应线段的比等于相似比。 （2）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 要点归纳：（1）相似三角形对应边上的高的比等于相似比。 （2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 （3）相似三角形对应边上的中线的比等于相似比。 （4）相似三角形对应周长的比等于相似比。 要点速测 1.如图，，，若的周长为，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】∵，， ∴相似比为 ∵的周长为 ∴的周长为8×=12 故选C 2.∽，已知，，面积为，那么另一个三角形的面积为 (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】∵，， ∴相似比为 ∴ =（）²= ∵面积为 ∴ = ∴=14.4 即另一个三角形的面积14.4 故选B 知识点 图形的位似 位似图形的定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O的距离之比都等于一个定值k（k≠0），那么这两个多边形叫做位似图形，点O叫做位似中心。 简单来说：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线） ，这样的两个图形叫做位似图形。 位似图形的性质: 具有相似图形的所有性质：对应角相等，对应边成比例；周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似图形的相似比也叫位似比） 位似图形的画法: 利用位似可以将一个图形放大或缩小。在位似中心与各顶点连线（或延长线）上取点，使新顶点到位似中心的距离与原顶点到位似中心的距离之比等于给定的相似比。 要点速测 1．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，小华在学习了“位似”后，利用相关知识在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由）； (2)以坐标原点为位似中心，请你帮小华在图2中画出的位似图形，且与的位似比为2．（画出所有符合题意的图形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者，也考查了位似的性质． （1）连接、、，它们的交点即为M点； （2）把、、点的横纵坐标都除以2或得到点、、的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作； （2）解：如图，即为所作． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边上一点，使得； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取格点D，连接交于点P即可，根据相似三角形的判定和性质可知； （2）根据位似图形的定义作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 题型1 比例的基本性质 ▌例1 已知，，求，，的值． 解题要点 比例的基本性质 1.如果 2.通常引入参数k 【详解】解：设， ，，， ， ， 解得：， ，，． ▌迁移练1-1若，则          ． 【答案】  【解析】解：由，可设，，是非零整数， 则． 故答案为． ▌迁移练1-2已知． 求的值； 若，求，，的值． 【详解】(1)设a=3k，b=2k，c=5k，其中k≠0． ∴ (2)4·3k-2·2k+5·5k=66， 解得k=2， ∴a=3k=6，b=2k=4，c=5k=10．  题型2 图形的相似 ▌例2 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 解题要点 图形的相似 1.定义优先：形状相同、大小不一定相同，对应角相等，对应边成比例。 2.对应关系：书写相似符号（∽）时，务必保持顶点顺序一一对应，这是找准比例式的基础。 3.性质应用：相似三角形的对应高、中线、角平分线之比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 4.区分全等：全等是相似的特殊情况（相似比为1），若题中未说明大小关系，记得考虑两种情况（放大或缩小）。 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． ▌迁移练1-1平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. ▌迁移练1-2如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴， ∴． ▌迁移练1-3风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 【答案】90 【分析】先说明大风筝和小风筝相似，且相似比为，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， ∴大风筝较短的那条对角线长度为． 题型3 由平行判断成比例的线段 ▌例1 23．如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 解题要点 由平行判断成比例的线段 1.核心定理：平行线分线段成比例（三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）。 2.“A”字模型：在 中，若 ，则 （或 ）。 3.“X”字模型（8字型）：若 ，则 （交点O两侧对应成比例）。 4.识别平行线：看到题目中的平行符号，立即联想截线，找准被截的两条直线（或延长线）上的对应线段。 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. ▌迁移练1-1已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． ▌迁移练1-2如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． ▌迁移练1-3如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由，根据平行线分线段成比例定理逐项进行分析判断即可得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等， 故A正确，C不正确，D不正确； 由得， 假设成立，则， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立， 故B不正确， 故选：A． 题型4 相似三角形的判定 ▌例4 如图，在中，点，分别在边，上，，线段分别交线段，于点，，且． 求证：∽； 若，求的值． 【详解】(1)∵∠AED＝∠B，解题要点 相似三角形的判定 没有平行的情况下，优先找相等的对应角，如果能找到一对相等的对应角，可以考虑再找一对相等的对应角，然后用两角分别相等的两个三角形相似，如果找不到，尝试寻找两边对应成比例（此角必须为夹角），然后用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如果找不到相等的对应角，可以尝试找三边对应成比例，然后用三边对应成比例的两个三角形相似。 ∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC， ∴∠ADF＝∠C， 又∵＝， ∴△ADF∽△ACG； (2)∵△ADF∽△ACG， ∴＝， ∵＝，∴＝， 又∵AG＝AF＋FG， ∴＝. ▌迁移练4-1已知：如图，在中，，点，分别在，的延长线上，连接．，，，． 求证：∽． 【详解】证明：在中，，，， ， ， ， ，   又， ∽．  ▌迁移练4-2如图，网格图中每个方格都是边长为的正方形，，，，，，都是格点， 求证：． 【详解】证明： ，， ， ． ． 题型5 相似三角形的性质 ▌例5 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，求的周长与的周长之比． 【详解】解：四边形为平行四边形，解题要点 相似三角形的性质 1.求相似三角形对应线段的比转化为求相似三角形的相似比。 2.求相似三角形的面积比转化为求相似三角形的相似比的平方。 ， ， ∽ 与的相似比为 ， 根据的周长与的周长之比等于与的相似比可得 ．  ▌迁移练5-1如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】， ∽， ， ． ，即， ． 故选：． ▌迁移练5-2如图，，分别是的边，上的点，且，，相交于点若，则与的比是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】∵ ∴△DOE∽△COA，△BDE∽△ABC ∵ ∴DE：AC=1:5 ∴BE：BC=DE：AC=1:5 ∴BE：CE=1:4 ：=1:4 故选B 题型6 相似三角形的判定综合 ▌例6 42．如图，点是等边三角形的边上的一点，下面四个选项中的条件不能判定与相似的是（   ） A． B．， C． D． 解题要点 相似三角形的判定综合 1.优先尝试“两角”：在复杂图形中，AA（两角）判定法往往最快捷，先找平行线和公共角。 2.多次相似传递：若图中存在多个三角形，可先证一对相似，再通过等角或等边过渡到另一对。 3.熟悉基本模型：熟记“A字型”、“X字型”、“母子型（射影定理）”、“一线三等角”模型，快速定位判定方法。 4.综合运用性质：判定成功后，及时利用相似比去倒推题目要求的角度或线段长度。 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A选项：∵， ， ∴， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． B选项：∵， ∴，， ∴ ， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． C选项：当时，无法得到的度数，故无法判定与相似， ∴本选项不能判定与相似，符合题意． D选项：∵， ∴， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． 故选：C ． ▌迁移练6-1如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由，可得，由，，即，可证． （2）由（1）知，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴，即， 解得，， 答：水果园的面积为 ． ▌迁移练6-2如图，已知，点是边上一点，且，请用尺规作图法在边上找一点E，使，且相似比为．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析． 【分析】根据题意作一个角等于已知角，作． 【详解】解：如图所示，点即为所求，    作， ∴， ∴相似比为：， ∴如图所示，点即为所求． 【点睛】此题考查了尺规作图，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定以及作一个角等于已知角的作图方法是解答本题的关键． ▌迁移练6-3在矩形中，于点，连接，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ (2) 【分析】（1）由矩形的性质得，，因为，所以，，则所以，则； （2）由，，，根据勾股定理得，由，求得，根据勾股定理得，由，求得，则即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】此题主要考查了同角的余角相等、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度、勾股定理等知识，解题关键是证明． 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 ▌例7 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 解题要点 选择或补充条件使两个三角形相似 1.从判定定理出发：逆向思考，缺什么补什么。缺角就补角（AA），缺边比例就补边（SSS或SAS）。 2.优先考虑角：补充一对等角通常最简单（如添加一个角等于已知角，或添加一组平行线）。 3.注意隐含条件：公共角和对顶角已经天然存在，不要遗漏，这往往能少补充一个条件。 4.验证充分性：补充条件后要确保判定定理完整（如补充SAS时，需确保是夹边比例且夹角相等，而不仅仅是任意两边）。 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． ▌迁移练1-1如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． ▌迁移练1-2如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． ▌迁移练1-3如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 难点一 对应高的比等于相似比 常见题型：题中出现多条垂线，让证相似或求值。核心难点是找不到对应高． 解题方法：认真审题，圈出关键信息，找出正确的相似三角形和相应的高。如果题中没有高，要想到作高。 高频错误：不能准确利用对应高。 难点精练 1.如图，，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片上剪下一个长是宽的倍的矩形，使它的一边在上，顶点、分别在，上，与的交点为． 试说明：的理由； 求这个矩形的面积． 【详解】(1)证明：∵四边形EFGH为矩形， ∴EF// GH，∴∠AHG＝∠ABC， 又∵∠HAG＝∠BAC， ∴△AHG∽△ABC， ∴＝； (2)解：设HE＝xcm，MD＝HE＝xcm， ∵AD＝60cm，∴AM＝(60﹣x)cm， ∵HG＝2HE，∴HG＝2xcm， 由（1）得：＝，可得：＝，解得：x＝24， 故HE＝24，HG＝2x＝48， 则矩形EFGH的面积＝24×48＝1152cm2．  2.表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图、图所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 【详解】解：设正方形的边长为米． 方案一：， ∽ ，解得． 方案二：作于，交于点，则四边形是矩形． ，米，米， ， 米， ，∽ ，即解得 ， 方案一的正方形水池面积更大． 难点二 相似三角形的判定综合 核心知识点： 相似三角形的四种判定方法： 两角对应相等（AA）——最常用，只需找两个角； 两边对应成比例且夹角相等（SAS）——注意必须是“夹角”； 三边对应成比例（SSS）——计算量大，但最稳妥； HL（直角三角形专用）——斜边和一条直角边对应成比例。 ⚠️ 易错知识（思维定势的陷阱）： “对应”二字是灵魂，顺序不能乱： 写比例式时，必须保持同一个三角形的边在等号同侧。例如 ，则 。如果写成 就完全错了（把对应边配错了）。 易错点：题目给出图形，但没有标明字母对应顺序，需要自己根据角的相等来判断。很多同学直接把看起来像的两个三角形按位置对应，忽略了角是否真的相等。 “SSA”是致命假判定（没有“SSA”定理）： 已知两边和其中一边的对角对应成比例，不能判定相似！这和全等的“SSA”陷阱一样。必须找这两边的夹角，否则即使比例对，也不一定相似。 隐含条件的挖掘不足： 公共角（两个三角形重叠时）、对顶角、平行线带来的同位角/内错角，这些是AA判定的天然素材。 易错点：在复杂图形（如“A字型”和“X字型”混合）中，看漏平行线隐含的等角，导致只找到一个角相等就急着用AA，实际上另一个角没证出来。 多个三角形中选错配对对象： 图中往往有3个以上三角形，哪个和哪个相似？要用“传递法”，先证一组简单的相似，再通过边的比例关系过渡到目标三角形。 难点精练 1．如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】(1)①；②； (2) 解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； (3)，或． 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．解答下列各题： (1)如图，在和中，，，，，连接，，________． (2)如图，在矩形中，，，连接，点为上一动点，为上一动点，且满足，连接，，求长的最小值． (3)某市规划在矩形区域内建设一个社区公园，如图，其中米，米．为了优化景观布局，设计师计划在主干道对角线上设置一个景观节点，在边上设置一个入口，使得，修建步行通路，与交于点，形成三角形商业活动区，四边形为休闲健身区，、、、为景观绿化区，种植不同品种的花卉．是否存在这样的点，使商业活动区的面积为矩形面积的？如果存在，求的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的长为或 【分析】（1）依题意，，证明，即可证明； （2）作于点，连接，则，，证得，，根据求得，再根据，得到答案； （3）作于点，根据的面积为矩形的，求得，延长至点，连接，使得，作于点，设，即，求得答案． 【详解】（1）在中，，， 因此，可得，即， 由，得，即， 又已知，因此， 根据两边成比例且夹角相等，得，对应角相等， 故． （2） 作于点，连接， 则，， 四边形为矩形， ， 又 ， ，， ， ， ，即 又， 的最小值为． （3）存在， 连接，则， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ， 作于点， 的面积为矩形的， ， 解得， 延长至点，连接，使得， ， 作于点， ， 设，则， ，解得， 或． 3．如图，在矩形中，，E是的中点，    (1)在上作一点F，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) 如图，点F即为所求．    (2) 【分析】本题主要考查了相似变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出点． （1）过点作即可； （2）先证明，设的长为x，则．由勾股定理，得．再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）在矩形中， ． ， ． E为的中点， ． 设的长为x，则． 在中，由勾股定理，得． ， ， ．  难点三 相似三角形中的动点问题 常见题型：t满足什么条件时，两个三角形相似，核心难点是找不到入手点． 解题方法：.一般先找到一对相等的对应角，然后分类讨论找对应边（此角必须为夹角）成比例 高频错误：没有分类讨论，只写一种情况。 难点精练 3．如图，在中，，，，动点以的速度从向移动，不与重合，动点以的速度从向移动，不与重合，若、同时出发，经过           秒后，与相似． 【答案】或  【详解】设秒后与相似，则 ，， ， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得． 即经过秒或秒后，与相似． 故答案为：或． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴的垂线，垂足为，作轴的垂线，垂足为点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动当点运动到点时，三点都停止运动设运动时间为秒． 用含的式子分别表示点，的坐标 若与以，，为顶点的三角形相似，求的值． 【详解】(1)解:由题意得OE=3t,OD=t,BF=2t. ∵BA⊥x轴,BC⊥y轴,∠AOC=90°, ∴∠AOC=∠BAO=∠BCO=90°, ∴四边形OABC是矩形, ∴AB=OC,BC=OA. ∵B(12,10),∴BC=OA=12,AB=OC=10, ∴AF=10-2t,AE=12-3t, ∴点E的坐标为(3t,0),点F的坐标为(12,10-2t). (2)①当△ODE∽△AEF时,有=, ∴=, 解得t1=0(不符合题意,舍去),t2=; ②当△ODE∽△AFE时,有=, ∴=, 解得t1=0(不符合题意,舍去),t2=6. ∵点E运动到点A时,三点都停止运动, ∴3t≤12,∴t≤4. ∵6>4,∴t=6舍去,∴t=. 综上所述,t的值为. 难点四 相似三角形实际应用 核心知识点： 利用相似三角形的性质测量无法直接到达的高度或宽度。三大模型： 影子模型（太阳光是平行光）； 镜子模型（入射角等于反射角）； 标杆/测角仪模型（构造“A字型”）。 ⚠️ 易错知识（实际问题最考验建模能力和生活常识）： “墙上的影子”处理不当（物理与数学结合的最大坑）： 如果物体的影子一部分落在地面上，一部分落在竖直墙面上。此时不能直接用“物高 : 影长 = 定值”。 正确做法：将墙上那一段影子平移到地面，视为物体高度“虚拟延长”后的影子，或者先利用墙高反推地面等效影长。或者，更直接的是过墙根作水平线，把图形分解为一个“A字型”相似 + 一个矩形。 易错：直接把地面影长 + 墙面影长当作总影长去列比例，完全错误！ 镜子问题中“人眼”位置的忽略： 镜子放在地面上，人通过镜子看到树顶。相似三角形是 “人眼—镜—树顶” 和 “人脚—镜—树脚”。 易错：人的高度是眼睛到地面的距离（约身高），但题目常直接给身高。列式时，人的对应边是“眼睛高度”，而不是“身高减脚”？通常是身高（视为平视），但若题目给的是“眼睛离地 1.6m”，必须用 1.6，而不是 1.7m。 单位换算与近似值取舍： 题目给出 ，，必须统一单位再算比。 实际问题求高度，若解出来是无理数，题目若没说“精确到”，就保留根号；若说了“精确到 0.1”，必须四舍五入，且要带单位。 难点精练 13．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 14．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 难点五 相似三角形的判定与性质综合 核心知识点： 判定：找到相似关系，建立比例桥梁。 性质：相似比 对应边比 ，对应高/中线/角平分线比 ，周长比 ，面积比 。 综合应用：先判定哪两个三角形相似，再用性质求未知线段或面积比。 ⚠️ 易错知识（综合题环环相扣，一步错步步错）： “面积比”与“相似比”的平方关系总是被记反（高频重灾区）： 若相似比为 ，则面积比为 。若已知面积比为 ，相似比为 （开平方）。 易错点：题目给出“面积比是 4:9”，让求周长比。很多同学直接填 ，大错！正确答案是 。口诀：面积开方得相似，周长等于相似比。 “对应高/中线/角平分线”必须也是“对应”的： 若 ， 中 边上的高对应的是 中 边上的高。如果题目给的是 边上的高，而对应过去找 边上的高，才是正确配对。乱配会直接导致比例式错误。 综合题中“设而不求”的中间量转换： 已知条件很少，直接求不出边长。需要设一个未知数 ，利用相似比列出方程（如 ），解出 后，再用性质求面积或周长。 易错点：设了未知数，但在列比例式时，忘记用含 的代数式替换掉变化后的线段（如 ，运动后 ， 等）。 难点精练 21．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴，，故B错误，C正确， ∴， ∴，故A正确， ∴，故D正确． 故选：B． 22．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【答案】16 【分析】根据位似图形的性质得到，再证明即可． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 23．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 基础达标 一、单选题 1．如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 2．如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ． ，， ． ． 3．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应顶点所在的直线经过位似中心，来判断． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到， ∴点A，O，在同一直线上，，，， ∴点O到与的距离之比是， 故选项C错误. 4．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 5．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 6．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 二、填空题 7．如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    【答案】6 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 8．如图，在正方形中，点分别在边上，，是的中点．与相交于点．则的值为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据正方形得到，进而证明，结合相似三角形的性质可得；设，则，进而可得；证明，利用相似三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：延长交于点，如下图， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【详解】解：当时，，当时，，则点B的坐标为， ． ，且相似比为， ， ，， 当在点A右侧时，； 当在点A左侧时，； 或． 10．如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得出，再根据相似三角形的性质可得，进而可得，设，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 设， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 三、解答题 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 【答案】(1)如图所示即为所求 (2)， 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）原点为位似中心放大2倍，坐标同乘2；再利用网格中的水平、竖直线段，借助勾股定理求出两点间线段长． 【详解】（1）略 （2）解： ∵ 以原点为位似中心，放大为原来的倍，在第二象限， ∴ 对应点坐标为原坐标乘． ∵， ，． 根据勾股定理得 ． 12．如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为．已知，求的长． 【答案】6 【分析】先根据以及给定的相似比写出对应边的比值，再代入已知线段长解方程求出． 【详解】解：，相似比为， ． ， ， 解得． 13．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 【答案】(1)9 (2)10 【分析】（1） 先由推出线段比例关系，进而得到相似比求出DE； （2）利用相似三角形周长比等于相似比算出大三角形周长，再通过线段和差求出． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． ， ， ． ， ； （2）解：， （相似三角形周长之比等于相似比）． ， ， ， ， ． 14．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 15．如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 【答案】(1)矩形；相等且互相平分 (2) 点即为所求． (3) ； 【分析】 （1）利用矩形的判定和性质即可得到结论． （2）利用矩形的对角线相等，可得当时，长度最短，作，垂足即为所求． （3）①过点作，垂足为，证明得、，证明得，设，把用含的代数式表示出来，再利用三角形相似求出的长，然后用勾股定理求出的长，进而求出的值； ②过点作，垂足为，证明得，证明得，设，根据，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：、、， 四边形是矩形， 、与互相平分． （2）略 （3）解：当点落在线段上时，如图 过点作，垂足为， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， 同理：， 设， 则、， ， ， ， 、， ， ， ， ． 过点作，垂足为， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 与重叠部分的面积，恰好是面积的， ， ， 设， 则，， 、， ， ， ， ， ， ， ． 能力进阶 一、单选题 1．如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 【答案】B 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 2．如图，在正方形中，点E，M是边，上的点，，与交于点F，G，如果，那么下列错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形中，根据正方形的性质对角线平分和，又因为，所以，又因为对顶角相等，再结合相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】 ∵在正方形ABCD中，点E，M是边AD，CD上的点，， ∴，，， 即， ∵， ∴， 故A正确，该选项不符合题意； ∵，， ∴， 故B正确,该选项不符合题意； ∵， ∴ 故C正确，该选项不符合题意； ∵， ∴， 而不一定等于， ∴与不一定相似， 故D错误，该选项符合题意． 3．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 4．如图，在菱形中，点分别在和边上，点在边上，且．若，则四条线段中最长的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算菱形的边长，利用平行四边形的判定和性质求出的长，再利用平行线分线段成比例计算的长，最后比较四条线段的长度得出最长的线段． 【详解】解：在菱形中，， ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在线段中，最长的线段为． 5．如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，得到，，再证明，过点作交于点G，则，证明是等边三角形，得到，    证明，则，即可求出答案． 【详解】解：∵△和△都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， 过点作交于点G， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 6．正五边形的对角线构成的图形是一个非常优美的几何图形，它与黄金分割有着密切的联系，正五边形的对角线构成的图形如图所示，下列关系中正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正五边形的性质和等腰三角形的性质求出即可判断A选项；证明得到，设，则，解得（负值已舍去），得到，即可判断D选项；证明，作的角平分线交于点M，证明，则，设，则，，解得，则，即可判断B选项，求出，即可判断C选项． 【详解】解：由正五边形的内角和得到，，， ∴ 同理可得， ∴， 故选项A错误， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴ ∴ 解得（负值已舍去） ∴    ， 故D正确； 中，，，， ∴， 作的角平分线交于点M， 则， ∴ 又 ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 故B选项错误， 在中，，, ∴， ∴ ∴， 故C错误． 二、填空题 7．如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由等边三角形性质得出及三角形的边长，结合利用外角性质证明，从而证得，利用对应边成比例求解． 【详解】解： ∵为等边三角形， ∴， ，， ∴， ， ∵是的外角， ∴ ， 又∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 在和中， ， ∴ ， ∴ ； 即 ， ∴． 8．如图，在中，，过点A作交的延长线于点M，取的中点N，过点N作交于点D，且，则下列结论：①；②；③；④若的长为，则的长为．其中正确结论的序号为___________． 【答案】 ①③④ 【分析】由已知和三角形的内角和可判定①，由垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理可判定③，再结合勾股定理可判定②和④． 【详解】解：设，则， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵取的中点N，过点N作交于点D， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴故③ 正确； 设，，则，， ∴，， 在中，， 在中，， 由①②得，， ∴， ∴（负值已舍）， ∴（负值已舍）， ∵ ∴，结论②错误； ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 即， 解得（负值已舍） ∴，故④正确． 9．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】2或 【分析】由折叠可得，分和两种情况即可求解． 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 10．如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 【答案】3 【分析】过点E作，交于点，证明，，利用三角形相似的性质，代换证明即可； 【详解】解：过点E作，交于点， 在中，∵是的中点， ∴， ∵是上靠近的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 11．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 12．如图1，点C将线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线． (1)如图2，在中，，，的平分线交于点D，请问点D是否是边上的黄金分割点，并证明你的结论； (2)若在（1）的条件下，如图3，请问直线是不是的黄金分割线，并证明你的结论． 【答案】(1)点是边上的黄金分割点． 理由如下：，， ． 平分， ， ， ． ， ， ， ， 在与中，，， ， ， ， 点是边上的黄金分割点． (2)直线是的黄金分割线． 理由如下：设中，边上的高为， 则，，， ，， 由（1）知，点是边上的黄金分割点，， ， 是的黄金分割线． 【分析】（1）证明，证明，得到，则有，所以点是边上的黄金分割点； （2）证明，即可证出直线是的黄金分割线； 【详解】（1）略 （2）略 13．如图在中，，，点在边上，满足．点是折线上任意一点，且不与的顶点重合．将沿翻折，得到． (1)求点到边的距离． (2)当点是中点时，求的值． (3)当时，直接写出的值． (4)当点在直线上方时，若与重叠部分为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）过点作，结合等腰三角形的性质，根据勾股定理即可得出； （2）过点作，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，求得，根据勾股定理求得和； （3）分两种情况，当在上时，或者当在上时，分别求解即可； （4）当在边上时，或者当在上时，两种情况都是找当或时的临界状态，从而求得的取值范围 【详解】（1）如图，作， ，， ， ． （2）如图，作， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， ． （3） ①如上图，当在边上时，过点作于点， ，且沿翻折形成， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设， 则，，， ， 解得， ， ； ②如下图，当点在边上时，过点作于点， 是沿翻折而成， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设，，则， ， ，， ， ， 解得， ， ； 综上所述，的值是或． （4）①如下图所示，当在上且时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设，， 则， ， 由折叠可知，，，， ， ，， ， 解得，（舍去）， ， ； ②当点P在AC边上时，如下图，当交于点时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设，则， ， 由折叠可知，，， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， 综上所述，或 【点睛】本题主要考查勾股定理，锐角三角函数，直角三角形以及折叠问题． 14．矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 【答案】(1)； (2)①， 证明如下： 如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ，， ， 又∵点为中点，即， ，即为的中点，为的中位线， ， 同理可得：， ， ∵四边形为矩形， ∴ 又∵，， ∴四边形为矩形，即， ，， （当时，，） ， 又， ， ，即． ②， 证明如下： 如图，延长，交于点，连接， 四边形是矩形， ， ， 又 ，， ， ，， ，即垂直平分， ， ∵在中，由勾股定理得， ∴． (3) 【分析】（1）过点作，，连接，证明即可得出；证明得出，，再在中，利用，即可得出； （2）①过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，先由三角形中位线性质得出，再证明，即可得出，即；②延长，交于点，连接，由得出，，进而得出，在中，由勾股定理得，通过等量代换即可得出； （3）当点与点重合时，点落在点的位置，连接，，证明，可得出点在过点并且垂直于的射线上运动，当点与点重合时，点落在点的位置，所以点的轨迹是线段，作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点，所以当，，三点共线时，取最小值，即为的长度，求出的长度即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，，连接， ∵， ∴，即此时矩形是正方形， 又∵为对角线的中点， ∴，， 又∵，， ∴为中点，为中点， ∴，， ∴， ∵，，矩形是正方形， ∴， ∵， ∴，， （当时，，） ∴， 在与中 ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在中，， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由题意得，，，，． 平分，，， ，， 又∵， ∴， 设，． 在中，由勾股定理得，解得， 由（2）得：， ∴， ， ， 当点与点重合时，点落在点的位置， 此时，， ，， 连接，， ∵，， ，，， （当时，） 即． ， ， ， 点在过点并且垂直于的射线上运动，即， ∴， 当点与点重合时，点落在点的位置， 点的轨迹是线段， 作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∴当，，三点共线时，取最小值， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为． 15．综合与实践:特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． (1)填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； (2)类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． (3)拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)90，相等，是 (2)解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形； (3)①证明：如下图，作于点，作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②或2 【分析】（1）首先根据正方形的性质证明，结合可证明，进而证明；证明，由全等三角形的性质可得，进一步证明，易得，可证明，即是等腰三角形； （2）首先证明，结合菱形的性质证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，可证明，即是等腰三角形； （3）①作于点，作于点，易得四边形是矩形，证明，，结合相似三角形的性质可得，即可证明结论；②设，则由①得，进而可得，且，，然后分，，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：略； （3）①证明：略； ②解：设，则由①得， ∵， ∴， 由①可知， ∴， 则， 若，如下图， 则， ∴， 解得（此时，舍去）， ∴； 若，如下图， ∵， ∴， ∴，解得， 此时，舍去； 当时，如下图， 即， ∴ 解得（此时，舍去）， ∴． 综上所述的长为或2． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第22章图形的相似 复习目标 1.了解比例线段，掌握比例的基本性质，理解黄金分割； 2.理解相似图形、相似多边形概念，掌握相似三角形的判定定理： 复习要点 3.熟练运用相似三角形的性质解决线段、周长、面积相关计算： 4.掌握位似图形，能利用位似进行图形放大与缩小，会求位似变换后点的坐标： 5.能识别A字型、8字型等常见相似模型，解决几何综合问题： 重点：①比例线段与比例性质； ②相似三角形的判定方法： ③相似三角形对应边、周长、面积的性质： 复习重难点 ④位似图形的性质与坐标变化。 难点：①在复杂图形中识别、构造相似三角形(A字、8字、射影模型)； ②相似三角形面积比等于相似比的平方，易和线段比混淆： ③位似变换的两种情况（同侧、异侧）坐标容易漏解： ④相似与四边形、圆综合大题的分析推理。 理脉络 知识体系构建 比例基本性质： e →ad=bc d 比例线段· 合比、等比性质 黄金分割： 5-1 ≈0.618 2 二、相似图形· 对应角相等，对应边成比例 相似多边形 相似比：对应边的比值 平行判定(A字型、8字型) AA:两角分别相等 判定 SAS:两边成比例且夹角相等 SSS:三边对应成比例 对应角相等，对应边成比例 三、相似三角形（核心） 对应高、中线、角平分线比=相似比 ☑性质 周长比=相似比 面积比=相似比的平方 常见模型：A字、反A、8字、反8、射影定理模型 定义：特殊的相似，对应点连线交于一点（位似中心） 性质：位似比=相似比 四、位似。 坐标变化：以原点为位似中心(x,y)→(kx,ky),注意正负两种情况 作图：放大、缩小图形 五、应用● 测量高度、宽度 几何综合：和四边形、圆结合计算线段、面积 1/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过主千 核心内容整合 知识点 线段的比 1)比例的基本性质：如果号行那么ad=bc (2)成比例的线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫 做成比例的线段。 (3)黄金分割：在线段AB上有一点C,如果 DCAC 那么点C就是线段AB的黄金分割点。较长线 AC AB' 段AC与原线段AB的比叫做黄金分割比。 注意：(l)a,b,c,d成比例也可记作a:b=c:d (2)两条线段长度的比叫做两条线段的比 要点归纳：(1)比例的基本性质可以逆用：如果ad=bc,那么g=或-或-S或d_b ba或ca或ba或ca 一或 (2)判断四条线段是否成比例，根据概念可以用最小的和最大的相乘，看它们的积是否等于另外两个 相乘。 一要点速测 1.若4m=5n(m≠0)，则下列等式成立的是() m n A. 45 B.m=5 C.、4 D.m、5 4n n 4 知识点 平行线分线段成比例 (1)平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 (2)平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 要点归纳：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上 截得的线段也相等 一要点速测 2/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB2 2如图，AD11BE11CP,直线l,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F,BC DE=6,则EF=一 知识点 相似图形与相似多边形： 相似图形的定义： 形状相同的平面图形叫做相似图形（简称相似形）。两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图 形放大或缩小得到。 相似多边形的定义： 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例， 那么这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形的表示方法： 用符号“∽”表示相似，读作“相似王”。例如，四边形ABCD与四边形AB'CD'相似，记作： 四边形AB四边形ABC'D 注意：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似比： 相似多边形对应边的比叫做相似比。当两个多边形全等时，相似比为1。 相似多边形的性质： 对应角相等 对应边成比例 周长的比等于相似比 3/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面积的比等于相似比的平方 要点速测 1.下列说法中正确的有() ①所有的圆都是形状相同的图形： ②所有的正方形都是形状相同的图形： ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形： ④所有的矩形都是形状相同的图形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，下列三个矩形相似的是（) 16cm 9cm 12cm 12cm 甲 8cm 乙 12cm 丙 A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙、丙 3.如图，四边形ABCD一四边形EFGH.若AB=5,EF=3,则它们的面积之比为() C D A.5:3 B.3:5 C.25:9 D.无法确定 4.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC,以下说法不正确的是 () A.AB:A B=1:2 B.点A,O,A三点在同一条直线上 C.S:S=1:2 D.BCBC 4/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.己知五边形ABCDE一五边形A1B:C1D1E1,若CD=5,C1D1=15,则五边形ABCDE与五边形 A,BC1D1E1的面积比为 知识点 相似三角形的判定 (1)相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 (2)相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （3)相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。 要点归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 口口要点速测 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC上一点，且BE=BC,过点A作BE的垂线，交BE的 延长线于点D.求证：△ADE∽△ABC. D E 2.如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有() A.1 B.2个 C.3个 D.4个 知识点 相似三角形的性质 (1)相似三角形对应线段的比等于相似比。 (2)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 5/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 要点归纳：(1)相似三角形对应边上的高的比等于相似比。 (2)相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 (3)相似三角形对应边上的中线的比等于相似比。 (4)相似三角形对应周长的比等于相似比。 一要点速测 1.如图，△ABC~△乙，AB=3,DE=2.若△就的周长为8，则△ABC的周长为() A.6 B.16 3 C.12 D.18 2.△ABC∽△A'B'C',已知AB=5,A'B'=6,△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为() A.15 B.14.4 C.12 D.10.8 知识点 图形的位似 位似图形的定义： 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O,且每组对应点与点0的距离之比 都等于一个定值k(k≠0)，那么这两个多边形叫做位似图形，点0叫做位似中心。 简单来说：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），这样 的两个图形叫做位似图形。 位似图形的性质： 具有相似图形的所有性质：对应角相等，对应边成比例；周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的 平方 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似图形的相似比也叫位似比) 位似图形的画法： 利用位似可以将一个图形放大或缩小。在位似中心与各顶点连线（或延长线）上取点，使新顶点到位似 6/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 中心的距离与原顶点到位似中心的距离之比等于给定的相似比。 要点速测 1.如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为5,3，点A,B的对应点分别为点A, B若AB=15:则AB的长为（） B B 甲 A.6 B.9 C.10 D.25 2.如图，小华在学习了“位似”后，利用相关知识在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形 △A1B1C1. 4 4 3 2 2 C -7-6524-3-2-1. 012345x -7-65 4-3-2-1, O12345x B 2 图1 图2 (1)在图1中标出△ABC与△A1BC1的位似中心点M的位置（保留作图痕迹，无需说明理由）： (2)以坐标原点O为位似中心，请你帮小华在图2中画出△A1B,C1的位似图形△A2B2C2,且△A1B,C1 与△A2B2C2的位似比为2.（画出所有符合题意的图形） 3.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的顶点和 A1均为格点（网格线的交点）·已知点A和A1的坐标分别为2,1和-4，-2. 7/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边AB上一点P,使得PA:PB=1:3: (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1,使得点A的对应点为A1,请在所给的网格图中画 出△A1BC1. 研题型 高频题型突破 题型1比例的基本性质 1例1已为号号 ,a-b+2c=14,求a,b,c的值. 解题要点 出例的基本性质 ba’ 那么ad=bc 2常引入参数 1移练山多则之- ■迁移练1-2已知a,b,c=3,2,5. (1)求0-3b+4c 的值； 2a+b-c 2若4a-2b+5c=66,求a,b,c的值. 题型2图形的相似 8/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I例2如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H对应，则∠D 的度数为() 80 H G A.100° B.110° C.120° D.130° 解题要点 图形的相似 1定义优先：形状相同、大小不一定相同，对应角相等，对应边成比例。 2对应关系：书写相似符号（∽）时，务必保持顶点顺序一一对应，这是找准比例式的基础。 3.性质应用：相似三角形的尉应高、中线、角平分线之比等于相似比：周长比等手相似比：面积比等手 相似比的平方。 区分全等：全等是相似的特殊情况（相似比为），若题中未说明大小关系，裙得考虑两种情况（放 大或缩小)。 ■迁移练1-1平行四边形ABCD与平行四边形A1B1C1D1相似，AB=4,AB的对应边A1B1=5,平行四 边形ABCD的面积为8，则平行四边形A1B1C1D1的面积为 迁移练12如图，△ABC与△兰位似，点0为位似中心，BE=OB.若△ABC的面积为4，则△兰之 的面积是 E B 0 ■迁移练1-3风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小 言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.己知大、 小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm,那么大风筝较短的那条对 角线长度为 cm 9/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型3由平行判断成比例的线段 I例13.动图.在四边形ACD中，ADBC,AE=号AD,DG-吉DC,点以，P分别在边 AD,BC上移动（不与端点重合），连接FH,则下列为定值的是() B A.∠EFG的大小 B.四边形EFGH的周长 C.线段FH的长 D.四边形EFGH的面积 解题要点 由平行判断成比例的线段 1核心定理：平行线分线段成比例（三条平行线藏两条直线，所得对应线段成比例）。 2A”字模型：在△ABC中，若DE‖BC,则· AD AE AD AE DB EC 或” AB AC 3区字模型(8字型)：若AB‖CD,则 AO BO OC OD (交点0两侧对应成比例)。 4识别平行线：看到题目中的平行符号，立即联想截线，状准被截的两条直线（或延长线）上的对应线 段。 【迁移练1山已知线段，b,c,求作线段x,使x=S,下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是 (). a B 10/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D I迁移练1-2如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,对角线AC、BD交于点O,过点O作EF‖AD,分别 交AB、CD于点E、F.下列结论不一定正确的是() A D F B A.FC AEDF B.OE=OF c.0E+0E=1 D.OA=OD AD BC I迁移练1-3如图，已知AB‖CD‖EF,那么下列结论正确的是() A B D F A. AC_BD B. AC_BD C.AC=CD AC_AB CE DE DE CE AE EF D. CE CD 题型4相似三角形的判定 ■例4如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，∠AED=∠B,线段AG分别交线段DE, BC于点F,G,且A0=DP Ac CG 11/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B G (1)求证：△ADF∽△ACG: 2把台*福的 解题要点 相似三角形的兴定 没有平行的情况下，优无我相等的付应角，如果能找到一对相等的对应角，可以考层再找一对相等的 应用， 然后用两角分别相蒂的两个三角形相似，如果找不到，尝试寻龙两边对应成比例（此角必项 为夹角），然后用两边成此例目来角相等的两个三角相似以，如果我不到相等的行应角，前尝试我 【详解】(I),∠AED=∠B ■迁移练41已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在AB,CB的延长线上，连接DE. CE=9,AD=15,BC=6,AC=8. 求证：△ABC∽△DBE. E B ■迁移练42如图，网格图中每个方格都是边长为1的正方形，A,B,C,D,E,F都是格点， 求证：△ABC~△乙， 12/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D C F A B 题型5相似三角形的性质 I例5如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE·EC=3·'1,连接AE交BD于点F,求 △兽乙的周长与△BAF的周长之比. D E C B 解题要点 相似三角形的性质 求似三角开形对应线段的比转化为求相三角形的相比 求相以三形面积化为求以三角形的以超的方 【详解】解：.四边形ABCD为平行四边形， I迁移练I如图，在△ABC中，EF/BC,g子 EB3,四边形BCFE的面积为2L,则△ABC的面积是 13/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.91 B.25C.35D.63 3 I迁移练52如图，D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，且DE//AC,AE,CD相交于点O.若 SADOE:SACOA=1:25,则S△DE与SacDef的比是() D】 B E A.1:3 B.1:4 c.1:5 D.1:25 题型6相似三角形的判定综合 I例642.如图，点D是等边三角形ABC的边BC上的一点，下面四个选项中的条件不能判定△BDF与 △CED相似的是() BDBF CD CE B.DE AB,DF AC C.∠BDF=60 D.BFCD BD CE 14/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 相三角形的判定综合 L优先尝试“两角”：在复梨图形中，A4(两角)判定法往往最快捷，先找平行线和公共角。 2多次相似传递：若图伸存在多个三角形，可先证一对相似，再通过等角或等边过度到另一对。 3熟悉基本模型：慕记“A字型”、“X字型”、4母子型（射影定理”、“一线三等角”模型，快 速定位判定方法。 4综合运用性质：判定成功后，及时利用相似比去倒推题目要求的角度或线段长度。 ■迁移练6-1如图，四边形ABCD是某学校的一块种植实验基地，其中△ABC是水果园，△ACD是蔬菜 园.已知ABCD,AB=27m,AC=18m,CD=12m. B (1)求证：△ABC一△CAD: (2)若蔬菜园△ACD的面积为80m',求水果园△ABC的面积 ■迁移练6-2如图，已知△ABC,点D是AC边上一点，且AD=2CD,请用尺规作图法在AB边上找一点 E,使△AED一△ABC,且相似比为2：3.（保留作图痕迹，不写作法） I迁移练6-3在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E,连接CE,过点E作EF⊥EC交AD于点F. F D E B B 备用图 (1)求证：AE·AB=DE·AF: 15/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=1,BC=2,求FD的长. 题型7选择或补充条件使两个三角形相似 I例7如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定△ABC一△ACD的是()· D B A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB C.AC2=AD·AB D.CD"BC AC_AB 解题要点 选择或补充条件使两个三角形相似 1从判定定理出发：逆向思考，缺什么补什么。缺角就补角(AA),缺边比例就补边(SSS或 SS)。 2优先考虑角：补充一对等角通常最简单（如添加一个角等于已角，或添加一组平行线）。 3注意隐含条件：公共角和对项角己经天然存在，不要遗漏，这在住能少补充一个条件。 验证充分性：补充条件后要确保判定定理完整（如补充SA$时，需确保是夹边比例且夹角相等，而 不仅仅是任意两边) ■迁移练1-1如图，在△ABC与△ADE中，∠B=∠D,添加下列一个条件不能使△ABC一△ADE的 是() A.∠BAD=∠CAE B.AB-AD BC DE C.∠C=∠E D.ACAE AB AD ■迁移练1-2如图，在口ABCD中，E为边BC上一点，下列给出的条件不能判定△ABE一△DEA的是 16/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () 0 A.∠B=∠AED B.∠BAE=∠DECC.BE=ASD.BE=AB AE AD AE DE I迁移练1-3如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,下列条件中，能使△ABC一△DBA的是 () B D A.AC BC=AD BD B.AB=CD·BC C.AB=BD·BC D.AC BC=AB AD 破难点 方法聚焦透析 难点一对应高的比等于相似比 常见题型：题中出现多条垂线，让证相似或求值。核心难点是找不到对应高， 解题方法：认真审题，圈出关键信息，找出正确的相似三角形和相应的高。如果题中没有高，要想到作高。 高频错误：不能准确利用对应高。 口难点精练 1.如图，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=80cm,AD=60cm,从这张 硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC, AB上，AD与HG的交点为M. 17/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H M (1)试说明： AM_HG ADBC的理由； (2)求这个矩形EFGH的面积. 2.△ABC表示一块直角三角形空地，已知∠ACB=90°，边AC=4米，BC=3米.现在根据需要在空地 内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图①、图②所示，请你分别计算两种方案中 水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大. D D 图① 图② 难点二相似三角形的判定综合 核心知识点： 相似三角形的四种判定方法： 两角对应相等(AA)一一最常用，只需找两个角： 两边对应成比例且夹角相等(SAS)一一注意必须是“夹角”； 三边对应成比例(SSS)一一计算量大，但最稳妥： 亚（直角三角形专用)一一斜边和一条直角边对应成比例。 △易错知识（思维定势的陷阱）： “对应”二字是灵魂，顺序不能乱： AB AC 写比例式时，必须保持同一个三角形的边在答号同侧。例如△ABC~△DEE,则D正DF。如果写 成 AB_DE Ac DE 就完全错了（把对应边配错了）。 18/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错点：题目给出图形，但没有标明字母对应顺序，需要自己根据角的相等来判断。很多同学直接把看起 来像的两个三角形按位置对应，忽略了角是否真的相等。 “SSA”是致命假判定（没有“SSA”定理）： 已知两边和其中一边的对角对应成比例，不能判定相似！这和全等的“S$A”陷阱一样。必须找这两边的夹 角，否则即使比例对，也不一定相似。 隐含条件的挖掘不足： 公共角（两个三角形重叠时）、对顶角、平行线带来的同位角/内错角，这些是AA判定的天然素材。 易错点：在复杂图形（如“A字型”和“X字型”混合）中，看漏平行线隐含的等角，导致只找到一个角 相等就急着用AA,实际上另一个角没证出来。 多个三角形中选错配对对象： 图中往往有3个以上三角形，哪个和哪个相似？要用“传递法”，先证一组简单的相似，再通过边的比例 关系过渡到目标三角形。 口一难点精练 1.如图1，已知矩形ABCD和矩形AEFG,AD=2AB,AG=2AE,连接DG,BE. 0 D 图1 图2 (1)发现 ①线段DG与线段BE之间的数量关系是 ②直线DG与直线BE之间的位置关系是 (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形AEFG绕点A顺时针旋转a(0°<a<180°)，如图2，则(1)中结论还成 立吗？请给出证明 (3)应用 在(2)的情况下，AB=5,AE=3,当矩形AEFG绕点A旋转到B,E,F在同一条直线上时，线段DG, 19/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BF的长度分别是多少？（直接写出结论）· 2.解答下列各题： (1)如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=90°，∠CBA=60°，∠CAD=∠BAE, AD,AE=V3,2,连接CD,BE,∠ADE= E 图1 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=10,AD=5,连接AC,点E为AC上一动点，F为AB上一动点，且满 足CE:BF=2,5,连接DE,EF,求EF长的最小值 E 图2 (3)某市规划在矩形区域ABCD内建设一个社区公园，如图3，其中AB=90米，BC=120米.为了优化景 观布局，设计师计划在主干道对角线BD上设置一个景观节点E,在边BC上设置一个入口F,使得 DE·CF=4:5,修建步行通路AF,与BD交于点G,形成三角形商业活动区△AGE,四边形CDEF 为休闲健身区，△ABG、△ADE、△BGPF、△EGF为景观绿化区，种植不同品种的花卉.是否存在这 样的点E,使商业活动区△AGE的面积为矩形ABCD面积的？如果存在，求DE的长；如果不存在，请 6 说明理由. D D G B 图3 备用图 20/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，在矩形ABCD中，BC=3AB,E是CD的中点， D B (I)在BE上作一点F,使得△ABF一△BEC(保留作图痕迹，不写作法)· ②在1)的条件下，求B识的值. AB 难点三相似三角形中的动点问题 常见题型：t满足什么条件时，两个三角形相似，核心难点是找不到入手点。 解题方法：，一般先找到一对相等的对应角，然后分类讨论找对应边（此角必须为夹角）成比例 高频错误：没有分类讨论，只写一种情况。 口难点精练 3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm,BC=24mm,动点P以2mm/s的速度从A向B移动， (不与B重合)，动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，经过_秒后， △PBQ与△ABC相似. 4.如图，在平面直角坐标系中，点B(12,10),过点B作x轴的垂线BA,垂足为A,作y轴的垂线BC,垂 足为C.点D从点O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度运动，点E从点O出发，沿X轴正方向以每秒3 个单位的速度运动；点F从点B出发，沿BA方向以每秒2个单位的速度运动.当点E运动到点A时，三点都停 止运动.设运动时间为t秒. 21/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (1)用含t的式子分别表示点E,F的坐标； (2若△ODE与以A,E,F为顶点的三角形相似，求t的值 难点四相似三角形实际应用 核心知识点： 利用相似三角形的性质测量无法直接到达的高度或宽度。三大模型： 影子模型（太阳光是平行光)： 镜子模型（入射角等于反射角）： 标杆/测角仪模型（构造“A字型”）。 △易错知识（实际问题最考验建模能力和生活常识）： “墙上的影子”处理不当（物理与数学结合的最大坑）： 如果物体的影子一部分落在地面上，一部分落在竖直墙面上。此时不能直接用“物高：影长=定值”。 正确做法：将墙上那一段影子平移到地面，视为物体高度“虚拟延长”后的影子，或者先利用墙高反推地 面等效影长。或者，更直接的是过墙根作水平线，把图形分解为一个“A字型”相似+一个矩形。 易错：直接把地面影长+墙面影长当作总影长去列比例，完全错误！ 镜子问题中“人眼”位置的忽略： 镜子放在地面上，人通过镜子看到树顶。相似三角形是“人眼一镜一树顶”和“人脚一镜一树脚”。 易错：人的高度是眼睛到地面的距离（约身高），但题目常直接给身高。列式时，人的对应边是“眼睛高 度”，而不是“身高减脚”？通常是身高（视为平视)，但若题目给的是“眼睛离地1.6”，必须用 1.6,而不是1.7m。 单位换算与近似值取舍： 题目给出1.5m,30cm,必须统一单位再算比。 实际问题求高度，若解出来是无理数，题目若没说“精确到”，就保留根号；若说了“精确到0.1”，必须 四舍五入，且要带单位。 难点精练 13.在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=5.点D在边AB上，将△ACD沿CD翻折， 22/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得到△ACD当ACDB时，△ACD与△BCD重叠部分的面积是(） A.5 B.25 c.25 D.45 4 3 9 9 14.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2,E为线段AB上任意一动点，以CE为斜 边作等腰Rt△CDE,连接AD,下列说法：①∠BCE=∠ACD;②AC⊥ED:③△ADC一△BEC: ④AD‖BC:⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为气 正确的结论是() A.①②④ B.①③⑤ c.①③④ D.①③④⑤ 难点五相似三角形的判定与性质综合 核心知识点： 判定：找到相似关系，建立比例桥梁。 性质：相似比k→对应边比=k,对应高/中线/角平分线比=k,周长比=k,面积比=k2。 综合应用：先判定哪两个三角形相似，再用性质求未知线段或面积比。 △易错知识（综合题环环相扣，一步错步步错）： “面积比”与“相似比”的平方关系总是被记反（高频重灾区）： 若相似比为1：2，则面积比为1：4。若已知面积比为1：4，相似比为1：2（开平方）。 易错点：题目给出“面积比是49”，让求周长比。很多同学直接填4：9，大错！正确答案是2：3。口诀： 面积开方得相似，周长等于相似比。 “对应高/中线/角平分线”必须也是“对应”的： 若△ABC~△DEF,△ABC中BC边上的高对应的是△DEF中EF边上的高。如果题目给的是 AB边上的高，而对应过去找DE边上的高，才是正确配对。乱配会直接导致比例式错误。 综合题中“设而不求”的中间量转换： AD_DE、 己知条件很少，直接求不出边长。需要设一个未知数X,利用相似比列出方程（如 ABBC)，解出 X后，再用性质求面积或周长。 23/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错点：设了未知数，但在列比例式时，忘记用含x的代数式替换掉变化后的线段（如AB=x,运动后 AP=2X,PB=10-2X等)。 难点精练 21.如图，矩形ABCO与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为2,3引，点E的横坐标 为-1，则下列结论错误的是（) D P F O A 阳 a阳号 C.EF= -3 2 D.S△PDE=4 22.如图，五边形ABCDE,ABCDE是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A,A的坐标 分别为5,0,8,0.若DE的长为10，则DE的长为 D 23.如图，△ABC与△乙位似，点O为位似中心，点B的坐标为1,0，点E的坐标为2,0，若△ABC 的周长为5，则△乙的周长是 24/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 验成果 综合达标检测 ©基础达标 一、单选题 1.如图，△OAB一△OCD,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2且 C1:C2=53:则下列说法正确的是() A.AB_5 B.S1=5 C.OB_5 D.OA_5 CD 3 S23 CD 3 0D3 2.如图，直线AB‖CD‖EF,若CE=4,AE=7,则 F的值是() A \B D A.4 c.3 3.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍，得到△ABC.以下说法中错误的是 () B A.点A,O,A在同一直线上 B.△ABC一△ABC C.点O到AB与AB的距离之比是1：4 D.BC‖BC 25/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A,B,C,D,E也 是小正方形的顶点，从点A,B,C,D,E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是 () E B D A.△ACD B.△BCD C.△CDE D.△ADE 5.如图，已知△ABC,∠B=C,AB=8,BC=10.将△ABC沿图中的DE剪开，则剪下的阴影三角形 与△ABC不相似的是() A 4 A.B E A 3 C. E B D. 6.在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似. 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似. 对以上两人的观点，下列判断正确的是() 图1 图2 26/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.甲错 B.乙错 C.都错 D.都对 二、填空题 7.如图是杠杆示意图，支点为O,动力F1的作用线与动力臂L1垂直，阻力F2的作用线与阻力臂L2垂直. 由动力臂L1、动力F1的作用线与杠杆组成△OAB,由阻力臂L2、阻力F2的作用线的反向延长线与杠杆组 成△OCD,若 5=3,且杠杆平衡时动力F,=2N,根据杠杆平衡条件F1L1=F,·L2,则阻方F, OD N. 阻力臂支点 B DE 动力臂 动力 阻力 8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AE=3ED,F是DC的中点.AF与BE 相交于点G.则A F 的值为 D 9.如图，直线y=3X+1与x轴，y轴分别交于小、B两点，△BOC与△BOC是以点A为位似中心的位 似图形，且相似比为2：1，则点B的坐标为 10.如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形ABCD,当以矩形ABCD 的宽AB为边作正方形ABEF时，发现矩形DFEC一矩形ABCD,则 AF的值为 27/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F A B E 图1 图2 三、解答题 11.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A-2,1、B-3,2、C-1,4, (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1: (2)直接写出点C1的坐标为 ,AC1的长为 12.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，△ADE一△ABC,且△ADE与△ABC的相似比 为2：3.已知AE=4,求AC的长 13.如图，在△ABC中，点D、B、F分别在边AB、AC、BC上，EF‖AB, 需05 B (1)求DE的长： (2)如果C△ADE=24,则求BD+CE的长. 28/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.已知，如图，四边形ABCD中，ADBC,∠A=90°，BD⊥CD.求证：BD=AD·BC. D B 15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1,BC=2,P为线段AC上一动点，过P向BC、AB分别 作垂线，垂足分别为M、N,连结MN,己知AP=V5m. M 图1 图2 (1)由题易证四边形BMPN的形状是 (无需证明)，请写出四边形BMPN对角线的性质 (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段MN的长度最短时，点P的位置（铅笔作图后请用中性 笔描出作图痕迹) (3)将线段MN绕点M顺时针旋转90°得到线段MN,连接NN. ①当点N落在线段AC上时，求m的值； ②当△PMN与△MN重叠部分的面积，恰好是△MMN面积的时，直接写出m的值. 能力进阶 一、单选题 1.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点 Q从点B开始沿BC边向点C以4Cms的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，经过t时△PBQ与 △ABC相似，那么t的值为() 29/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B. C. 5 D. 2.如图，在正方形ABCD中，点E,M是边AD,CD上的点，BE,BM与AC交于点F,G,如果 ∠EBM=45°，那么下列错误的是() D M C A.△AEF△CBF B.△CMG一△BFG C.△ABG~△CMG D.△ABF一△CBG 3.在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=V5.点D在边AB上，将△ACD沿CD翻折， 得到△ACD当ACDB时，△ACD与△BCD重叠部分的面积是(） 4 n c.25 49V5 9 D. 9 4.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在CD和AD边上，点G,H在AB边上，且BEHD GF.若 BH=8,HG=5,AG=4,则AF,DF,DE,CE四条线段中最长的是(). A.AF B.DF C.DE D.CE 5.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且点D在AB边上，AB=5,BD=3,边BC与DE相交 于点F,连接BE, E DF的值是() B 分 】 30/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 1 3 23 B C. 2-5 D.3 6.正五边形的对角线构成的图形是一个非常优美的几何图形，它与黄金分割有着密切的联系，正五边形 ABCDE的对角线构成的图形如图所示，下列关系中正确的是() B A.∠CAD= B.PT=5+1 AP1 C.AQ-5 D.AC _3-95 6 AP 2 2 二、填空题 ,如图，等边三角形ABC的边长邓B,P为BC边上的一点，S=D为AC边上的一点，连接 PD,若∠APD=60°，则CD的长为 609 B P 8.如图，在△ABC中，∠BAC=180°-4∠B,过点A作AM⊥BC交BC的延长线于点M,取BC的 中点N,过点N作ND⊥BC交AB于点D,且AC,BD=7,3,则下列结论：①∠ACB=3∠B;② AM=MN:@CM子：④若BC的长为37，则AB的长为 CN3 7017 其中正确结论的序号为 17 B D 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点E,F分别在边AC,BC上，连接EF,把 △CEF沿着EF折叠，点C的对应点D落在AB边上.若△BDF是以BF为腰的等腰三角形，则CF= 31/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC上靠近B的三等分点，BD与AE交于点F,若 AF=FE,则λ= 三、解答题 11.如图，在矩形ABCD中，AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移 动，同时动点O以1ms的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒0<t<5), t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？ A D ← 12图1点C将线段AB分废两都分，如架SS,那久称点C为线段A的黄金分利气.某数学 兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义： 直线1将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S,S,:如果S:-S,那么称直线1为 S S1 该图形的黄金分割线， C A CB D B D 图1 图2 图3 32/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,∠C的平分线交AB于点D,请问点D是否是AB边上 的黄金分割点，并证明你的结论： (2)若△ABC在(1)的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论 13.如图在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点D在边BC上，满足BD=3DC.点P是折线B-A-C 上任意一点，且不与△ABC的顶点重合.将△BPD沿PD翻折，得到△BPD. B B D (1)求点A到BC边的距离. (2)当点P是AB中点时，求PD的值. (3)当BD⊥BC时，直接写出AP的值. (4)当点B在直线BC上方时，若△ABC与△BPD重叠部分为钝角三角形时，直接写出BP的取值范围. 14.矩形ABCD中，BC=kABk≥1，O为对角线AC的中点，M为边AB上一点，连接OM,过点O作 OM的垂线，交BC于点N,连接MN. 图1 图2 图3 (1)如图1，当k=1时，请完成填空：OM与ON的数量关系为 :用等式表示线段 AM,MN,NC的数量关系为 (2)如图2，当k>1时， ①写出OM与ON的数量关系，并证明： ②用等式表示线段AM,MN,NC的数量关系，并证明； 33/34 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ®)如图3，当k=号AB=6时，连OB,过点N作H1OB,季足为点H,E为AD上一点，连接EC. 将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF,连接MP,DF,当NO平分∠CNH时，求MF+DF的最 小值. 15.综合与实践：特例感知 如图1，已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点(AE>EC),过点E作EF⊥DE交边AB于点F,连接 BE」 C E E E F 图1 图2 图3 备用图 (I)填空：∠EFB+∠CDE= °，DE和EF的数量关系为 △EFB (填“是” 或“不是”）等腰三角形： (2)类比迁移：如图2，已知菱形ABCD,E为对角线AC上一点(AE>EC),过点E作EF交边AB于点F, 使得∠+∠BAD=I80°，连接BE.请判断△EFB是不是等腰三角形，并说明理由 (3)拓展探究：如图3，已知矩形ABCD,AB=4,BC=2,E为对角线AC上一动点(AE>EC),点E不与 点C重合，过点E作EF⊥DE交边AB于点F,连接BE. ①求证：DE=2EF. ②当△EFB是等腰三角形时，请直接写出BF的长， 34/34