第20章 二次根式（复习讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学二次根式单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了二次根式的定义、性质、化简及运算等核心内容，用对比表格清晰呈现复习重难点，重点突出最简二次根式判定与四则运算，难点聚焦混合运算综合应用及几何结合，构建了从基础到综合的递进知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，基础题型如二次根式有意义的条件训练抽象能力，综合题型如化简求值通过“构造对偶式”培养运算能力与推理意识，难点精练中几何综合题结合勾股定理发展几何直观。分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

第20章 二次根式 复习要点 1. 掌握二次根式定义，能根据被开方数非负求字母取值范围； 2. 熟记二次根式三大核心性质，熟练进行基础化简； 3. 会判别最简二次根式、识别同类二次根式； 4. 熟练完成二次根式加、减、乘、除混合运算，掌握分母有理化； 5. 利用二次根式非负性解决代数式求值、方程类题型； 6. 结合几何图形运用二次根式完成长度计算。 复习重难点 重点：最简二次根式判定与同类二次根式合并；二次根式四则运算法则与基础分母有理化。 难点：二次根式混合运算结合完全平方、平方差公式的综合计算；二次根式与直角三角形、坐标系结合的几何应用。 知识点 二次根式的相关概念 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1、二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2、二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3、二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4、在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 要点速测 1．下列式子中，一定是二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需要同时满足两个条件，根指数为，且被开方数是非负数，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：根指数为，被开方数为非负数，据此逐一判断各选项， 选项A：当时，，无意义，不是二次根式； 选项B：被开方数，无意义，不是二次根式； 选项C：根指数为，是三次根式，不是二次根式； 选项D：根指数为，且被开方数，满足二次根式的定义，是二次根式． 2．函数中自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合分式分母不为0，二次根式被开方数非负的要求列不等式求解. 【详解】解：根据题意，要使有意义，需满足被开方数大于0（分母不为0）， 即 ， 解得. 知识点 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 要点速测 3．若是整数，则的值可以是_______（写出一个即可） 【答案】20（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的定义，若为整数，则被开方数必须是非负的完全平方数，据此即可求出的一个符合条件的值． 【详解】解：是整数， 是非负的完全平方数， 设，其中为非负整数， 整理得， 取，得． 知识点 二次根式的化简 1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 要点速测 4．把 化简得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 知识点 二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 最简二次根式 1.最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 要点速测 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 二次根式的加减法 1.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 要点速测 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法及立方根将原式化简，再进行减法运算； （2）根据二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 要点速测 7．已知有理数a、b满足，则，． 【答案】， 【详解】解：∵， 且， ∴， 解得：． 题型1 二次根式有意义的条件 ▌例1 （25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）使式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：式子有意义， ∴， 解得． 解题要点 分类列不等式组，区分≥0、>0、≠0 ▌迁移练1-1（青海省西宁市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）已知函数，则自变量的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为的条件，求解自变量的取值范围． 【详解】解：要使函数有意义，需满足两个条件：，且． ， 只要满足即可， ，解得． ▌迁移练1-2（25-26八年级下·广东广州·期末）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于等于， ∴， 解得． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·河南周口·期末）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题求函数自变量的取值范围，需结合二次根式的性质和分式的意义列出条件，取公共范围求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式有意义，需满足被开方数为非负数， ∴ ，解得， 又∵ 分式分母不能为0， ∴ ，解得， ∴ 自变量的取值范围是且． 题型2 根式非负性求值 ▌例2 （25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 解题要点 二次根式结果恒≥0，若干非负数相加为0，则每一项均为0 ▌迁移练2-1（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若，则等于（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解：， ，， ，， ， ， ． ▌迁移练2-2（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则______． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴． ▌迁移练2-3（25-26八年级下·江苏扬州·期末）若实数x、y同时满足，则的值为________． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 题型3 根据二次根式性质化简 ▌例3 （25-26八年级下·河南许昌·期末）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 解题要点 ①判断根号内代数式正负；②正数直接去绝对值，负数添负号；③含参数先定范围再化简 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·浙江舟山·期末）二次根式的计算结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由即可得出结果． 【详解】解：． ▌迁移练3-2（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简___________． 【答案】 【分析】由数轴可得，，根据进行化简即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ． ▌迁移练3-3（25-26八年级下·云南昭通·期末）若，则______． 【答案】2027 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 题型4 二次根式四则混合运算 ▌例4 （25-26七年级下·北京·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 解题要点 全式化最简→优先套用乘法公式→统一分母有理化→合并同类根式，结果必最简 ▌迁移练4-1（25-26八年级下·湖北恩施·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则和零指数幂的性质计算即可． （2）利用单项式乘多项式法则展开后由二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌迁移练4-2（25-26八年级下·广西南宁·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练4-3（25-26八年级下·山东滨州·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除运算，最后计算二次根式的加减运算. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 题型5 二次根式大小比较 ▌例5 （25-26八年级下·北京·期末）比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【答案】< 【分析】对于两个正无理数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】，， ， ， 又， ， ． 解题要点 1.平方法：正数根式，比较平方大小；例： 2.作差法：两式作差，正负判定大小 3.有理化法：统一分子分母后直观比较 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·陕西渭南·期末）比小的正整数可以是___________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 3（答案不唯一，也可以为1或2） 【分析】先估算出的取值范围，再找出符合条件的正整数即可． 【详解】解：， 又，即， ∴比小的正整数有1，2，3（任写一个即可，答案不唯一）． ▌迁移练5-2（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是 ． ▌迁移练5-3（24-25八年级下·河北邢台·期末）现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形的边长为2，则与之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出与之间的距离大于，小于等于，然后比较实数的大小即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2， ∴与之间的距离大于，小于等于， ，不符合题意； ，符合题意． 题型6 化简求值 ▌例6 （25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】分别计算和的值，再将代数式因式分解为，然后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 解题要点 已知，不求x具体值，先求，代数式变形后整体代入，规避复杂小数计算。 ▌迁移练6-1（25-26八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又， ． 这种方法称为“构造对偶式”． 已知，解答问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式，结合已知条件即可求出； （2）对和进行求和，通过化简平方即可求出． 【详解】（1）解：已知， ， ． （2）解：据（1）可知，， 则， 可得，即， 解得． ▌迁移练6-2（25-26八年级下·江西赣州·期末）阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“对偶式”的定义，两个含二次根式的式子相乘后不含根号，因为的对偶式为，所以直接对应构造即可． （2）因为分母是，属于带根号的差的形式，所以可以给分子分母同乘它的对偶式，利用平方差公式去掉分母的根号，完成分母有理化． （3）设所求式子为，已知式子为，因为两个式子相乘可以用平方差公式消去根号，得到只含常数的结果，且已知的值，所以通过计算的结果即可求出的值． 【详解】（1）解：根据材料定义：与互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 因此的对偶式为． （2）解：利用对偶式分母有理化化简： ． （3）解：设， ， 根据平方差公式计算：， 因此． ▌迁移练6-3（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义，列式计算即可求解； （2）先分母有理化，再求和，即可求解； （3）根据新定义，求得的值，得出，再代入代数式求解即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于2的“美好数”； （2）解： ； （3）解：∵， ∴与是关于9的“美好数”， ∴， ∴， ∴ ． 难点一 双重根式化简 难点精练 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末），像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 2．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 3．（22-23八年级下·湖南郴州·开学考试）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 4．（20-21八年级上·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键． 难点二 无范围参数根式分类讨论 难点精练 5．阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身； 当时，，此时a的绝对值是零； 当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： ， 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当x满足什么条件时，． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，， 即； （2）解：由题意及（1）得， ； （3）解：有意义， ， ， ， 即， 解得， 即当满足时，． 6．阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是零； 当时，比如，则，此时的绝对值是它的相反数由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当满足什么条件时，． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，， 即； （2）由题意可得：； （3）有意义， ， ， ， 即， 解得， 即当满足时，． 7．阅读材料，解决问题： 化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，． 令，，令，得； ∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，； 当时，原式；当时，原式=5；当时，原式． (1)求和的零点值； (2)化简：． (3)求方程：的整数解． 【详解】（1）解：可令和， 解得和， ∴，2分别为和的零点值． （2）解：原式＝ ＝|x+1|+|x﹣2| 当x≤﹣1时， ∴x+1≤0，x﹣2≤﹣3 ∴原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2） ＝﹣x﹣1﹣x+2 ＝﹣2x+1 当﹣1＜x＜2时， ∴x+1＞0，x﹣2＜0 ∴原式＝x+1﹣（x﹣2） ＝3 当x≥2时， ∴x+1≥3，x﹣2≥0， ∴原式＝x+1+x﹣2 ＝2x﹣1 （3）解：当x＜﹣2时， ∴x+2＜0，x﹣4＜﹣6 ∴方程左边＝﹣（x+2）﹣（x﹣4） ＝﹣x﹣2﹣x+4 ＝﹣2x+2＞6 当﹣2≤x≤4时， ∴x+2≥0，x﹣4≥0 ∴方程左边＝x+2﹣（x﹣4） ＝6 当x＞4时， ∴x+2＞6，x﹣4＞0， ∴方程左边＝x+2+x﹣4 ＝2x﹣2＞6 ∴， ∴整数解为：，，0，1，2，3，4． 难点三 根式与勾股定理几何综合 难点精练 8．（吉林省吉林市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）如图，在中，，，，点为上一点，于，于，则四边形的最大面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】设，由勾股定理得，证明四边形是矩形，得，，利用勾股定理求出，，根据，得到，整理得，求出，由四边形的面积为，结合代数式的性质求出最大值． 【详解】解：设， 在中，，，， 由勾股定理得， ∵于，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积 ∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形的最大面积为3． 9．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求解，可得，直线为，进一步求解可得答案. 【详解】解：∵点的坐标， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴， ∴直线， 令，则， ∴， ∴. 10．（青海省西宁市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）综合与实践 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【知识应用】 (1)如图，点，在直线的异侧，，，垂足分别为，，，，，点是线段上一动点，求的最小值． 解：连接交于点，依据两点之间线段最短，线段的长即为的最小值．过点作，交的延长线于点则（将解题过程补充完整） 【知识迁移】 (2)设，则 在中   在中   （用含的代数式表示） 可以看做是直角边分别是和2的直角三角形的斜边的长，可以看做是直角边分别是和1的直角三角形的斜边的长 ∴代数式的最小值为 ； (3)变式训练：代数式的最小值是 ． 【答案】(1)解：过点作，交的延长线于点，则， ，， ， 又， ∴四边形是矩形，   ， ， 在中 ，， 的最小值是； (2)， (3) 【分析】（1）证明四边形是矩形，得出  ，根据勾股定理求出，即可得出结论； （2）根据勾股定理完成填空即可； （3）设，则，分别求出，作交的延长线于H，则四边形为矩形，根据勾股定理求出即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 在中 ，， 在中， ， 可以看做是直角边分别是和2的直角三角形的斜边的长，可以看做是直角边分别是和1的直角三角形的斜边的长， ∴代数式的最小值为； （3）解：如下图， 设，则， ， 而（当且仅当三点共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为矩形， ， ， ， 的最小值为， 即代数式的最小值是． 11．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在长方形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】延长到点，使得，连接，可证明，得到，则当D、F、H三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当D、F、H三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴由勾股定理得， ∴的最小值为． 难点四 根式分式方程 难点精练 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：所有满足方程的整数解之和． 【答案】84 【详解】解：， ， 原方程可变形为：， ， ， 令， 则方程变形为：， （1）当时，，得，与矛盾，舍去； （2）当时，，得，等式恒成立，此时； （3）当时，，得，与矛盾，舍去； 由，， 得：， 两边平方得，， 解得，， 整数解之和：． 13．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab=-3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)m=2 (3) 【详解】（1）原式 ， （2）∵a ，b ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴2， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由得出， ∴， ∵， ∵， ∴． 14．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）已知、是非负实数，现对根式进行化简，若能找到两个数、满足，则，那么：．比如：；；根据以上信息： (1)化简：______． (2)将式子化为另一个式子的平方； (3)求关于的方程的所有整数解的和． 【答案】(1) (2) (3)34 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：， ∵ ， ∴当时， 原式， 不合题意； 当时， 原式， 符合题意， ∴， ∴， ∴x的所有整数解为，8，9，10， ∴x的所有整数解的和； 当时， 原式， 不合题意， ∴x的所有整数解的和为34． 15．【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴的有理化因式为； 故答案为：． （2） ； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，     中，与的角平分线相交于点， 线段， ， 的周长为，面积为3， ， 解得， 即点P到边的距离为； ② ∴，解得：． 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于选项A， 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式， 是最简二次根式，符合要求； 对于选项B， ，被开方数含能开得尽方的因数， 不是最简二次根式； 对于选项C， 的被开方数含有分母， 不是最简二次根式； 对于选项D， 的分母含有根号，可化简为 ， 不是最简二次根式． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知的的值代入二次根式，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：当时， ， 即当时，二次根式的值为． 3．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A，∵，∴A错误； 选项B，∵，∴B错误； 选项C，∵，∴C正确； 选项D，∵表示4的算术平方根，，∴D错误． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给出的公式求出三角形的面积，等积法求出的长即可. 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴. 5．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简矩形的长，再根据正方形面积求出其边长，结合图形得出阴影部分的长和宽，最后利用矩形面积公式计算即可． 【详解】解：，即矩形空地的长为， ∵四个角的面积均为的正方形， ∴四个角的正方形边长都为， ∴蹦床乐园的长为：，蹦床乐园的宽为， ∴蹦床乐园的面积为：． 二、填空题 7．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 【答案】 【分析】几个最简二次根式能够合并，说明二者是同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式被开方数相等求解即可． 【详解】解：最简二次根式和能够合并， 二者是同类二次根式，即被开方数相等， 化简得：，的被开方数为， 又是最简二次根式， ． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，则_______． 【答案】1013 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负求出x的值，进而求出y的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵式子要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】． 【详解】由数轴知，， ， ， ． 三、解答题 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式乘除混合运算的方法计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 11．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）计算 (1)； (2)； (3)观察下列等式： ； ； …… 利用上面等式提供的信息，回答下列问题：①若，则 ； ②比较大小： ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式、二次根式的运算法则进行计算，化简后合并同类二次根式即可； （3）①由原式得出，再分母有理化即可； ②利用平方差公式完成分母有理化，再用作差法比较大小． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①∵， ∴ ； ②， ， ， ， 即． 12．（25-26八年级下·山东滨州·期末）再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 (1)已知如图在中，，，．的面积______； (2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用海伦公式进行计算即可； （2）利用秦九韶公式进行计算即可； （3）用等积法进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的面积； （2）解：∵，，， ∴这个三角形的面积为 ； （3）解：由题意，， ∵，，， ∴， ∴. 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据及的长求出的长，再利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，从而得出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，， ， 在中，，， ， 是直角三角形，且， ， ． 3．（25-26八年级下·云南昭通·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题利用分母有理化化简每一项，再通过裂项相消消去中间项得到结果，用到平方差公式进行分母有理化． 【详解】解： ． 二、解答题 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先对原式中各多项式因式分解，按照分式运算法则化简原式，再计算出的值，代入化简后的式子即可得到结果． 【详解】解： 将代入化简后的式子得：原式 5．（25-26七年级下·广东广州·期末）阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】根据“整数区间”的定义求解即可； 先根据无理数和的“整数区间”求出的取值范围，再根据为正整数求出的值，进而根据“整数区间”的定义求解即可； 根据二次根式的性质可得，即得，进而得到，，再两式相加可得，即得到，最后根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的“整数区间”是； ∵， ∴， ∴的“整数区间”是； （2）解：∵无理数（为正整数）的“整数区间”为， ∴， ∴， ∴， ∵无理数的“整数区间”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ①②，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无理数的“整数区间”为． 6．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图1，在边长为8的正方形中，点，，分别是，，上的动点，将和分别沿和所在的直线折叠，点，的对应点分别为，．小聪进行了以下探究： (1)如图2，当点与点重合，点和恰好都落在对角线上． ①求的长． ②求四边形的面积与四边形的面积之比． (2)如图3，若点为的中点，点恰好落在上，且，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①利用正方形对角线得到，结合翻折推出为等腰直角三角形，求出线段； ②分别表示出四边形和梯形的面积，化简得到面积比值； （2）由折叠得到线段长度，利用勾股逆定理判定直角，再作辅助线构造直角三角形，设未知数，依靠勾股定理列方程求出． 【详解】（1）解：①由折叠性质可知：，，， 在正方形中，，则对角线， ， 在中，（正方形对角线平分内角）， 是等腰直角三角形，即， ，即线段的长为，         ②由①可得，， ， 所以， ， 因为, 所以, 所以， ， 面积比为：， 所以四边形的面积与四边形的面积比值为． （2）解：如图所示，连结． 沿翻折， ，，，． ， ． 为中点， ．由翻折性质得． 在中，由勾股定理得： ， ． ， ， ， ， ，即． 过点作于点． ， 四边形为矩形． ，． 设，根据翻折性质（由点在上且翻折点为）可得：．则，故，． 在中，由勾股定理得：， ∴， 展开得：， 整理得：，解得：， ∴的长为． 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 复习要点 1. 掌握二次根式定义，能根据被开方数非负求字母取值范围； 2. 熟记二次根式三大核心性质，熟练进行基础化简； 3. 会判别最简二次根式、识别同类二次根式； 4. 熟练完成二次根式加、减、乘、除混合运算，掌握分母有理化； 5. 利用二次根式非负性解决代数式求值、方程类题型； 6. 结合几何图形运用二次根式完成长度计算。 复习重难点 重点：最简二次根式判定与同类二次根式合并；二次根式四则运算法则与基础分母有理化。 难点：二次根式混合运算结合完全平方、平方差公式的综合计算；二次根式与直角三角形、坐标系结合的几何应用。 知识点 二次根式的相关概念 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1、二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2、二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3、二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4、在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 要点速测 1．下列式子中，一定是二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 2．函数中自变量的取值范围是________． 知识点 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 要点速测 3．若是整数，则的值可以是_______（写出一个即可） 知识点 二次根式的化简 1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 要点速测 4．把 化简得（     ） A． B． C． D． 知识点 二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 最简二次根式 1.最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 要点速测 5．计算： (1)； (2)． 知识点 二次根式的加减法 1.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 要点速测 6．计算： (1)； (2)． 知识点 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 要点速测 7．已知有理数a、b满足，则，． 题型1 二次根式有意义的条件 ▌例1 （25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）使式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 解题要点 分类列不等式组，区分≥0、>0、≠0 ▌迁移练1-1（青海省西宁市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）已知函数，则自变量的取值范围是__________． ▌迁移练1-2（25-26八年级下·广东广州·期末）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·河南周口·期末）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 题型2 根式非负性求值 ▌例2 （25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 解题要点 二次根式结果恒≥0，若干非负数相加为0，则每一项均为0 ▌迁移练2-1（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若，则等于（   ） A．1 B．5 C． D． ▌迁移练2-2（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则______． ▌迁移练2-3（25-26八年级下·江苏扬州·期末）若实数x、y同时满足，则的值为________． 题型3 根据二次根式性质化简 ▌例3 （25-26八年级下·河南许昌·期末）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 解题要点 ①判断根号内代数式正负；②正数直接去绝对值，负数添负号；③含参数先定范围再化简 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·浙江舟山·期末）二次根式的计算结果为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练3-2（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简___________． ▌迁移练3-3（25-26八年级下·云南昭通·期末）若，则______． 题型4 二次根式四则混合运算 ▌例4 （25-26七年级下·北京·期末）计算：． 解题要点 全式化最简→优先套用乘法公式→统一分母有理化→合并同类根式，结果必最简 ▌迁移练4-1（25-26八年级下·湖北恩施·期末）计算： (1)． (2)． ▌迁移练4-2（25-26八年级下·广西南宁·期末）计算： (1) (2) ▌迁移练4-3（25-26八年级下·山东滨州·期末）计算： (1)； (2) 题型5 二次根式大小比较 ▌例5 （25-26八年级下·北京·期末）比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 解题要点 1.平方法：正数根式，比较平方大小；例： 2.作差法：两式作差，正负判定大小 3.有理化法：统一分子分母后直观比较 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·陕西渭南·期末）比小的正整数可以是___________．（写出一个符合题意的数即可） ▌迁移练5-2（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练5-3（24-25八年级下·河北邢台·期末）现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形的边长为2，则与之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 题型6 化简求值 ▌例6 （25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知，，求的值． 解题要点 已知，不求x具体值，先求，代数式变形后整体代入，规避复杂小数计算。 ▌迁移练6-1（25-26八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又， ． 这种方法称为“构造对偶式”． 已知，解答问题： (1)求的值； (2)求的值． ▌迁移练6-2（25-26八年级下·江西赣州·期末）阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． ▌迁移练6-3（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 难点一 双重根式化简 难点精练 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末），像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 2．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 3．（22-23八年级下·湖南郴州·开学考试）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 4．（20-21八年级上·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 难点二 无范围参数根式分类讨论 难点精练 5．阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身； 当时，，此时a的绝对值是零； 当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： ， 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当x满足什么条件时，． 6．阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是零； 当时，比如，则，此时的绝对值是它的相反数由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当满足什么条件时，． 7．阅读材料，解决问题： 化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，． 令，，令，得； ∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，； 当时，原式；当时，原式=5；当时，原式． (1)求和的零点值； (2)化简：． (3)求方程：的整数解． 难点三 根式与勾股定理几何综合 难点精练 8．（吉林省吉林市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）如图，在中，，，，点为上一点，于，于，则四边形的最大面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．12 9．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，，则的长为__________． 10．（青海省西宁市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）综合与实践 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【知识应用】 (1)如图，点，在直线的异侧，，，垂足分别为，，，，，点是线段上一动点，求的最小值． 解：连接交于点，依据两点之间线段最短，线段的长即为的最小值．过点作，交的延长线于点则（将解题过程补充完整） 【知识迁移】 (2)设，则 在中   在中   （用含的代数式表示） 可以看做是直角边分别是和2的直角三角形的斜边的长，可以看做是直角边分别是和1的直角三角形的斜边的长 ∴代数式的最小值为 ； (3)变式训练：代数式的最小值是 ． 11．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在长方形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，则的最小值为________． 难点四 根式分式方程 难点精练 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：所有满足方程的整数解之和． 13．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab=-3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 14．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）已知、是非负实数，现对根式进行化简，若能找到两个数、满足，则，那么：．比如：；；根据以上信息： (1)化简：______． (2)将式子化为另一个式子的平方； (3)求关于的方程的所有整数解的和． 15．【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 6．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，则_______． 9．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 三、解答题 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) (2) 11．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）计算 (1)； (2)； (3)观察下列等式： ； ； …… 利用上面等式提供的信息，回答下列问题：①若，则 ； ②比较大小： ． 12．（25-26八年级下·山东滨州·期末）再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 (1)已知如图在中，，，．的面积______； (2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·云南昭通·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D．3 二、解答题 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）先化简，再求值：，其中． 5．（25-26七年级下·广东广州·期末）阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 6．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图1，在边长为8的正方形中，点，，分别是，，上的动点，将和分别沿和所在的直线折叠，点，的对应点分别为，．小聪进行了以下探究： (1)如图2，当点与点重合，点和恰好都落在对角线上． ①求的长． ②求四边形的面积与四边形的面积之比． (2)如图3，若点为的中点，点恰好落在上，且，求的长． 8 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $