重难点专训03 圆锥曲线中的范围与最值问题六大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以六大通法为主线，系统构建圆锥曲线范围与最值问题的解题框架，通过题型分类与分层训练提升数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|6大通法|函数值域法（定义域优先）、判别式法（二次项系数讨论）、基本不等式法（取等条件验证）等，含核心思想与操作步骤|从通法原理到应用注意事项，构建“原理-步骤-易错点”逻辑链| |题型通法及变式提升|6题型21例题|弦长面积型用函数值域法，参数范围用判别式法，向量问题坐标化等，每题型配特征与通法步骤|题型与通法精准对应，通过变式例题展现方法迁移，形成“题型特征-通法选择-变式应用”链条| |重难专题分层过关练|巩固14题创新8题|综合应用六大通法，创新题含跨曲线综合、新定义问题|从基础巩固到创新拓展，覆盖高考高频考点，体现“基础-提升-创新”能力层级|

重难点专训03 圆锥曲线中的范围与最值问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 弦长·面积型最值问题 2 题型2 参数取值范围问题 3 题型3 恒成立·存在性问题 5 题型4 焦半径·焦点三角形问题 7 题型5 三角换元·参数方程求最值 8 题型6 向量与坐标综合问题 9 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 12 解题方法及技巧提炼 通法一 函数值域法（主线通法） 核心思想：把所求量表示成某一变量（斜率 k、参数 m 或点的坐标）的函数，用函数值域求范围。 操作步骤：①设参——直线优先设 ，动点设坐标；②联立曲线，写韦达定理；③把目标量化为参数的函数；④先定定义域（、曲线范围、参数自身范围）；⑤求值域（配方、单调性、导数、不等式）。 注意：定义域是范围题的生命线，漏掉 必失分；换元后必须先定新元的取值范围。 通法二 判别式法 核心思想：直线与圆锥曲线交于两个不同点 联立方程 ；相切 。 操作步骤：①联立消元；②讨论二次项系数（等于0时退化为一次，交点个数变化）；③写 并解不等式；④结合韦达符号条件（如"交于两支"需 ）。 注意：双曲线、抛物线联立时二次项系数可能为0（对应渐近线方向、对称轴方向），必须单独讨论。 通法三 基本不等式法 核心思想：目标式呈和、积结构时直接放缩。 操作步骤：①化简目标式为和/积形式；②凑定值；③验证取等条件（取等时参数取值须同时满足 与题设）。 注意：取等条件与判别式/定义域必须同时满足，否则最值结论错误。 通法四 几何性质转化法 核心思想：用定义、焦半径、焦点三角形把问题几何化，避开冗长联立。 操作步骤：①识别定义（距离和/差、到焦点与到准线）；②焦半径公式化（）；③转化为坐标范围（、）或几何不等式。 注意：双曲线焦半径要区分左右支，符号不同。 通法五 三角换元法 核心思想：椭圆上点参数化 ，，二元最值变一元三角式。 操作步骤：①参数化；②代入目标式；③辅助角合并或利用三角函数有界性求值域；④回代验证。 注意：注意 范围与几何意义（如"第一象限"→ ）。 通法六 向量坐标化 核心思想：把垂直、共线、点积等向量条件写成坐标等式，与韦达定理联立出约束关系。 操作步骤：①坐标化（如 ）；②代入韦达化简；③得到参数间关系式；④结合 与隐藏约束（如 ）解出取值范围。 注意：约束方程与判别式"双条件"缺一不可，隐藏约束常藏在"存在性"表述里。 题型通法及变式提升 题型1 弦长·面积型最值问题 题型特征：求直线与曲线相交所得弦长、三角形（四边形）面积的最大值或最小值；常含"过焦点/过定点"条件。 通法步骤：①设直线（优先 ，避开斜率不存在讨论）；②联立消元，写 、韦达；③用弦长公式与点到直线距离表示目标量；④换元化简（如令 ），求函数最值。 1．（26-27高三上·上海·阶段检测）已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． (1)求实数的取值范围； (2)当的面积最大时，求的直线方程． 2．（2025·上海·模拟预测）已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标； ②求面积的最小值. 3．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，过点作两条直线分别与抛物线相交于点、，设、的斜率分别为、，且满足. (1)求抛物线的焦点到准线的距离； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 题型2 参数取值范围问题 题型特征：含参数的直线与圆锥曲线满足某种位置关系（交于两点、相切、两支各一点等），求参数范围。 通法步骤：①联立消元；②二次项系数 讨论；③（或 ）；④需要"两支"时补韦达符号条件 ；⑤取交集。 4.已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）设与双曲线相交于不同两点. (1)若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； (2)若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； (3)在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 6.已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.    (1)求椭圆的标准方程； (2)过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 题型3 恒成立·存在性问题 题型特征："对任意……恒成立"求参数范围，或"是否存在……使得……"。 通法步骤：①恒成立 分离参数或整体构造，转化为新函数的最值；②存在性 方程/不等式有解 值域非空；③"对任意动点/动直线"类条件常化为含参不等式恒成立，对参数分类讨论。 7．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆，短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆W交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点： (1)若的周长是，求椭圆的方程； (2)若，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆的于点，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标； (3)若，求实数的取值范围. 8．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知椭圆与椭圆，椭圆的左、右焦点分别为 ，点为椭圆上异于其左、右顶点的任一点，直线均过点. (1)求面积的最大值. (2)若过点且与交于两点，过点且与交于两点，当直线的斜率满足时，证明:为定值； (3)是否存在点，满足均与相切，且?若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由. 9.已知抛物线Γ：，A为第一象限内Γ上的一点，设A的纵坐标为. (1)若点A到Γ的准线的距离为3，求a的值； (2)若，B为x轴上的一点，且线段AB的中点在Γ上，求点B的坐标及原点O到直线AB的距离； (3)设直线l：，P是第一象限内Γ上异于A的动点，直线AP与直线l交于点Q，点H为点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围. 10．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知点，均在椭圆上，点在抛物线上，坐标原点为． (1)求椭圆与抛物线的交点坐标； (2)若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标； (3)是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型4 焦半径·焦点三角形问题 题型特征：涉及点到两焦点距离之和/差/积、焦点三角形面积的最值。 通法步骤：①焦半径线性公式化；②把目标式化为 （或 ）的函数；③利用 、 求值域；④面积以 为底，高即 。 11．设椭圆的两焦点为、． （1）若点在椭圆上，且，求的面积； （2）若是经过椭圆中心的一条弦，求面积的最大值． 12.已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； (3)设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 13．（2026·上海·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于，两点（点在轴上方）． (1)当双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率； (2)若，点，点在双曲线上，且，求点的坐标； (3)若，点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧），且的重心在轴上，记，的面积分别为，，求的最小值． 题型5 三角换元·参数方程求最值 题型特征：椭圆（圆）上动点到定直线距离、与定点连线斜率、向量点积等二元最值。 通法步骤：①椭圆参数化 ，；②代入目标式；③辅助角合并/三角函数有界性求值域；④回代验证。 14．（2025·上海金山·一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 15．（2025·上海·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 16.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上． (1)求的方程； (2)设直线：与交于、两点． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值． 题型6 向量与坐标综合问题 题型特征：条件含向量点积、垂直、共线（常在压轴问），求参数范围或证明结论。 通法步骤：①向量条件坐标化；②设线联立，写韦达；③代入化简得参数约束关系；④结合 与隐藏约束求范围。 17.已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 18．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 20．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 21．（2026·上海金山·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，分别为椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点在轴左侧，满足，求的最大值； (3)直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 2．已知，，在曲线上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 3．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 4．已知，点，点是的图象上异于点的任意一点，直线的斜率记为，则的取值范围是____________． 5．已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 6．（2026高三下·上海·竞赛）椭圆的一条切线分别交轴正半轴、轴正半轴于点，则的最小值为_________． 7．平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 创新提升 8．设 ，第一象限内有两个动点 、 ，其中点 在曲线上，点 在曲线上，已知，，记，，若“”当且仅当“存在实数 ，使得”，则实数 的取值范围是________． 9．（26-27高三上·上海·开学考试）定义：若圆心在坐标原点的圆O与焦点在坐标轴上的圆锥曲线在两个不同点具有公切线，则称圆O为圆锥曲线的“开口圆”；已知椭圆C的“开口圆”与双曲线的“开口圆”相同．椭圆C的短轴长为2，过点作椭圆C的两条切线，作倾斜角为锐角的直线交椭圆于两点，设中点为． (1)请直接写出椭圆C及其“开口圆”的标准方程； (2)若椭圆C除顶点外的点都在其“开口圆”内： ①：若在轴上，且椭圆上存在点使得∥，设，求：的取值范围； ②：若在椭圆C的“开口圆”上，记的斜率为，求证： ． 10．在平面直角坐标系中，已知是曲线的焦点，直线，与轴交于点，与交于点. (1)用表示点到点的距离； (2)设，是曲线上的动点，求的最小值； (3)设，、分别是曲线与线段上的动点，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 11.如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合.      (1)已知，求的值，并写出椭圆和双曲线的离心率，； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 12.已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，为线段的中点，其中. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆有两个交点.在轴上是否存在点使得始终落在以为直径的圆内(含边界).若存在，求出这样的点的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 13.已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. (1)求的周长； (2)若，求点的坐标； (3)求动点到点距离的最大值和最小值. 14．（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 圆锥曲线中的范围与最值问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 弦长·面积型最值问题 2 题型2 参数取值范围问题 6 题型3 恒成立·存在性问题 11 题型4 焦半径·焦点三角形问题 18 题型5 三角换元·参数方程求最值 22 题型6 向量与坐标综合问题 27 重难专题分层过关练 36 巩固过关 36 创新提升 40 解题方法及技巧提炼 通法一 函数值域法（主线通法） 核心思想：把所求量表示成某一变量（斜率 k、参数 m 或点的坐标）的函数，用函数值域求范围。 操作步骤：①设参——直线优先设 ，动点设坐标；②联立曲线，写韦达定理；③把目标量化为参数的函数；④先定定义域（、曲线范围、参数自身范围）；⑤求值域（配方、单调性、导数、不等式）。 注意：定义域是范围题的生命线，漏掉 必失分；换元后必须先定新元的取值范围。 通法二 判别式法 核心思想：直线与圆锥曲线交于两个不同点 联立方程 ；相切 。 操作步骤：①联立消元；②讨论二次项系数（等于0时退化为一次，交点个数变化）；③写 并解不等式；④结合韦达符号条件（如"交于两支"需 ）。 注意：双曲线、抛物线联立时二次项系数可能为0（对应渐近线方向、对称轴方向），必须单独讨论。 通法三 基本不等式法 核心思想：目标式呈和、积结构时直接放缩。 操作步骤：①化简目标式为和/积形式；②凑定值；③验证取等条件（取等时参数取值须同时满足 与题设）。 注意：取等条件与判别式/定义域必须同时满足，否则最值结论错误。 通法四 几何性质转化法 核心思想：用定义、焦半径、焦点三角形把问题几何化，避开冗长联立。 操作步骤：①识别定义（距离和/差、到焦点与到准线）；②焦半径公式化（）；③转化为坐标范围（、）或几何不等式。 注意：双曲线焦半径要区分左右支，符号不同。 通法五 三角换元法 核心思想：椭圆上点参数化 ，，二元最值变一元三角式。 操作步骤：①参数化；②代入目标式；③辅助角合并或利用三角函数有界性求值域；④回代验证。 注意：注意 范围与几何意义（如"第一象限"→ ）。 通法六 向量坐标化 核心思想：把垂直、共线、点积等向量条件写成坐标等式，与韦达定理联立出约束关系。 操作步骤：①坐标化（如 ）；②代入韦达化简；③得到参数间关系式；④结合 与隐藏约束（如 ）解出取值范围。 注意：约束方程与判别式"双条件"缺一不可，隐藏约束常藏在"存在性"表述里。 题型通法及变式提升 题型1 弦长·面积型最值问题 题型特征：求直线与曲线相交所得弦长、三角形（四边形）面积的最大值或最小值；常含"过焦点/过定点"条件。 通法步骤：①设直线（优先 ，避开斜率不存在讨论）；②联立消元，写 、韦达；③用弦长公式与点到直线距离表示目标量；④换元化简（如令 ），求函数最值。 1．（26-27高三上·上海·阶段检测）已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． (1)求实数的取值范围； (2)当的面积最大时，求的直线方程． 【详解】（1）由题意直线的方程为， 由，消去y得， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以， 解得， 故实数的取值范围为. （2）设，， 则， 原点O到直线的距离， ， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以面积最大时，， 此时直线的方程为或. 2．（2025·上海·模拟预测）已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标； ②求面积的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，直线的方程为. 设点、的横坐标为、. 由，消得 于是，故. （2）①设，于是有，抛物线的准线方程为， 设、，过的直线的方程可设为， 由题意，两直线均与圆相切，故，整理得， 设直线、的斜率为、， 于是， 将代入上式，化简得，解得或（舍）， 故点的横坐标为3. ②由①，， 点到的距离，故的面积， 不妨令，于是， 当且仅当，即时，的面积取到最小值，最小值为. 3．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，过点作两条直线分别与抛物线相交于点、，设、的斜率分别为、，且满足. (1)求抛物线的焦点到准线的距离； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【详解】（1）由题意得准线方程为，焦点坐标为， 则抛物线的焦点到准线的距离为. （2）由题意直线的方程可设为， 联立，代入化简得， 由题意，从而，即， 从而，即; 同理可得，， ， 又，所以， 所以. （3）由（2）可知， 设直线为，即 联立，代入化简整理得: , 由故, 从而，， 点到直线的距离， ， 令，则，， 设，则，令，解得（负值舍去） 则当时，,单调递增； 当时，,单调递减； 从而， 即面积的最大值为. 题型2 参数取值范围问题 题型特征：含参数的直线与圆锥曲线满足某种位置关系（交于两点、相切、两支各一点等），求参数范围。 通法步骤：①联立消元；②二次项系数 讨论；③（或 ）；④需要"两支"时补韦达符号条件 ；⑤取交集。 4.已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 【详解】（1）对于双曲线，可得， 则，即，因此左焦点， 双曲线渐近线斜率为，在右支上，当趋向无穷远时，直线斜率趋近，且永远取不到， 因此的取值范围是. （2）① 设切线方程为，即，代入双曲线方程， 整理得： ， 因为是切线，判别式，化简整理得： . ②存在两条斜率存在的切线，说明上述关于的方程有两个不相等的实根， 因此： ， 结合，解得或 ， 所以 的取值范围为 由韦达定理，， 当时，，得； 当时，，得， 因此的取值范围为. 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）设与双曲线相交于不同两点. (1)若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； (2)若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； (3)在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 【详解】（1）对于双曲线，  ， 双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大 ， 又等轴双曲线离心率为 ，   ∴ ； （2）， 从而双曲线渐近线为，斜率分别为，  ， 因双曲线的两条渐近线的夹角为 ， ， 解得：或 ， ∴双曲线的标准方程为：或 . （3）设 ， 联立消去得： ， 由题设可得 ，由韦达定理可得： ， 从而：，得.由题可得，代入坐标， 可得： ，因， 则，令，则， 注意到，则. 6.已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.    (1)求椭圆的标准方程； (2)过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意知， 因为，所以，所以. 所以，解得，则. 所以椭圆的标准方程为. (2)①，直线的方程为. 联立该直线与椭圆方程得，化简得. 由，解得. 设，（）， 由韦达定理可得. 所以 ， 所以为定值，定值为. ②设直线的方程为，即. 令，则，所以. 设直线的方程为，同理可得. 则由①知，所以， 所以； . 又，所以. 由方程（）， 可得 所以， 令， 则 所以的范围是.      题型3 恒成立·存在性问题 题型特征："对任意……恒成立"求参数范围，或"是否存在……使得……"。 通法步骤：①恒成立 分离参数或整体构造，转化为新函数的最值；②存在性 方程/不等式有解 值域非空；③"对任意动点/动直线"类条件常化为含参不等式恒成立，对参数分类讨论。 7．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆，短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆W交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点： (1)若的周长是，求椭圆的方程； (2)若，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆的于点，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标； (3)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题设， 可得，又，可得， 故椭圆的方程为． （2）因为，又，可得， 故椭圆的方程为． 设， 当过点B的直线的斜率存在时，设其方程为， 联立，可得， 所以，    由题意得，即， 所以， 整理得， 由为任意实数，得，可得，即， 当过点B的直线的斜率不存在时，为椭圆的短轴，满足条件， 综上，． （3）由题设，易知点分别为，的重心，    设，设点， 根据重心性质及面积公式得， ， 而，则， ，故． 设直线，联立椭圆方程得， 消元得，则， 所以，令， 令， ， 当且时，，则， 当且时，，则， 可得在上单调递增，在上单调递减， ，则， 所以， 所以，得对任意恒成立， 所以， 又，故． 8．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知椭圆与椭圆，椭圆的左、右焦点分别为 ，点为椭圆上异于其左、右顶点的任一点，直线均过点. (1)求面积的最大值. (2)若过点且与交于两点，过点且与交于两点，当直线的斜率满足时，证明:为定值； (3)是否存在点，满足均与相切，且?若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由. 【详解】（1）对于椭圆 中， ，则，所以， 焦点，设点在上，所以， 因为的面积， 所以当时，面积取到最大值为1. （2）设直线，联立方程组， 整理得：， 其中 ， 设，所以， 所以， 同理，设，代入得：， 已知，所以，代入得：， 所以， 即为定值. （3）假设存在，若，则，此时直线不垂直， 因此直线的斜率存在，分别为，由，得. 若直线，即， 联立方程组，整理得：， 若与相切，则， 化简得：， 此方程的两根为，且， 所以，由，得：，即， 又因为在上，联立方程组， 解得或或或， 即存在点，满足题意. 9.已知抛物线Γ：，A为第一象限内Γ上的一点，设A的纵坐标为. (1)若点A到Γ的准线的距离为3，求a的值； (2)若，B为x轴上的一点，且线段AB的中点在Γ上，求点B的坐标及原点O到直线AB的距离； (3)设直线l：，P是第一象限内Γ上异于A的动点，直线AP与直线l交于点Q，点H为点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围. 【详解】（1）曲线的准线为， 点到的准线的距离为，又在第一象限， 所以； （2）因为，所以，即， 设，则线段的中点为，依题意，解得， 即，直线为，即， 所以坐标原点到的距离. （3）设，，则，，， 直线，即， 令，所以，即， 对恒成立. 即， 即对恒成立. ①当，又，即时，恒成立； ②当时，则，也成立； ③当，即时，则当时满足，此时， ， 显然不成立，故时不成立. 综上，. . 10．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知点，均在椭圆上，点在抛物线上，坐标原点为． (1)求椭圆与抛物线的交点坐标； (2)若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标； (3)是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）联立方程，消去得，整理得，解得或（舍去）．当时，，． 交点坐标为，． （2）设，， 联立椭圆方程得， 由韦达定理得，． 重心坐标得，代入抛物线方程得． 弦长， 点到直线的距离为， 面积公式得 ， 所以， 将代入化简得， 解得或，对应或． 点的坐标为，． （3）设，，且，，则中点， 因为四边形为平行四边形，故必定在椭圆内， 故，而，故，故， 故，而， 故存在横坐标满足的点，能使得四边形为平行四边形． 题型4 焦半径·焦点三角形问题 题型特征：涉及点到两焦点距离之和/差/积、焦点三角形面积的最值。 通法步骤：①焦半径线性公式化；②把目标式化为 （或 ）的函数；③利用 、 求值域；④面积以 为底，高即 。 11．设椭圆的两焦点为、． （1）若点在椭圆上，且，求的面积； （2）若是经过椭圆中心的一条弦，求面积的最大值． 【详解】解：（1），，， 设，， 则由椭圆的定义可得：①， 在△中， ②， 由①②得， ； （2）设，，， 则△面积为， 由椭圆的范围可得，最大为3， 即有△面积的最大值为12． 12.已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； (3)设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 【详解】（1）依题意，点，设，由，得， 解得，而，因此，双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）由（1）知，，直线的方程为， 由消去得，解得， 则， 的面积最小，当且仅当点到直线的距离最小， 平移直线与双曲线的右支相切的切点到直线的距离最小， 设切线方程为，由消去得， ，解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意，因此， 因此点到直线的距离为点到直线的距离， 所以求的面积的最小值为. （3）证明如下： 依题意，直线斜率存在，设其方程为，， 由为双曲线的左支上与不重合的点，得， 设点关于直线对称点为，则， 解得，由直线平分，得在直线上， 而，则， 即，整理得， 由消去得，， ，因此， 整理得，而，解得，直线：过定点， 所以直线MN恒过定点. 13．（2026·上海·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于，两点（点在轴上方）． (1)当双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率； (2)若，点，点在双曲线上，且，求点的坐标； (3)若，点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧），且的重心在轴上，记，的面积分别为，，求的最小值． 【详解】（1）已知双曲线渐近线方程为，即， 又，故，则， 所以双曲线的离心率为． （2）由，故双曲线，则， 又，所以，则， 因为， （i）当点在点右侧时，有， 则直线，即， 所以，解得，，即， 则，所以点的坐标为； （ⅱ）当点在点左侧时，有， 则直线，即， 所以 ，解得，，即， 则，所以点的坐标为； 综上，点的坐标为或． （3）若，则双曲线的方程为， 设直线，，，， ，联立得：，，， 则，， 的渐近线方程为， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 因为为的重心，所以，， 所以 ， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 题型5 三角换元·参数方程求最值 题型特征：椭圆（圆）上动点到定直线距离、与定点连线斜率、向量点积等二元最值。 通法步骤：①椭圆参数化 ，；②代入目标式；③辅助角合并/三角函数有界性求值域；④回代验证。 14．（2025·上海金山·一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 【详解】（1）中，，故离心率为， （2）设，则，则， 故到直线的距离， 所以为定值. （3）设，则， 由于是线段的中点，故到直线的距离与到直线的距离相等， 故， 设直线：， 联立其与椭圆的方程可得， 设，则， 故， ，故， ， 令，由于在直线上，所以， 由于，故， 化简可得， 由于该关于的方程在上有解，故，解得， 则，故当时，此时取到最大值. 15．（2025·上海·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【详解】（1）依题意有，解得. 所以离心率. （2）不妨设直线方程为，代入， 整理得，可得，所以， 将带入得， 由得， 所以， 解得 所以满足条件的的个数是3个. （3）设直线，设， 联立，得， 所以，所以. 所以，所以的中点为， 所以 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令， 记， 又，所以时，. 16.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上． (1)求的方程； (2)设直线：与交于、两点． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值． 【详解】（1）由椭圆的左、右焦点分别为，，则， 又椭圆过点，所以， 又，故，所以的方程为． （2）（ⅰ）因为直线：与椭圆交于、两点，设、两点坐标分别为，， 联立，消去，整理得， 则，解得， 则，， 又，， 则，即， 又因为点在椭圆上，即， 联立方程组，解得，，，， 由于点在直线方程上， 解得，，，， 又因为，所以． （ⅱ）设线段的中点坐标为，则， 所以，所以， 所以， 又，则点在以为直径的圆上， 而，当且仅当、、三点共线时等号成立， ，其中. 法1：（三角换元法） 设，，则， 所以，， 当时，，所以的最大值为． 法2：（导数法求最值） 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，由，得 当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减， 所以，所以的最大值为． 题型6 向量与坐标综合问题 题型特征：条件含向量点积、垂直、共线（常在压轴问），求参数范围或证明结论。 通法步骤：①向量条件坐标化；②设线联立，写韦达；③代入化简得参数约束关系；④结合 与隐藏约束求范围。 17.已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 【详解】（1）由题意，得，， 所以双曲线的实轴长离心率； （2）由（1）知，直线的方程为， 设，由，消去得， , 设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为. 联立，消去，得， 令，得 解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意， 因此， ，. 因此点到直线的距离， 所以的面积的最小值为. （3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，. 当直线的斜率为时，，， 则 当时， ，解得， 则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， ， 由，得， 所以 ， 即 ， 化简，得解得或. 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. 18．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【详解】（1）由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. （2）当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 【详解】（1）点在抛物线上，代入得，解得； ，， 设两直线夹角为，则， 两直线夹角为. （2）抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. （3）设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，， 则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 20．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. （2）设，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. （3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 21．（2026·上海金山·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，分别为椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点在轴左侧，满足，求的最大值； (3)直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意，在：中，，， ∴， ∴曲线的离心率为. （2）由题意及（1）得，在抛物线中，点为抛物线上一点， 设，则， 在椭圆中，设，， 易知，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，解得，即， 令， ∴，当且仅当时等号成立， ∴． （3）由题意，假设存在点使得，设， ∵， ∴，即， ∴，所以， 直线与椭圆交于不同的两点，，易知，关于对称， 设，（，）， 由（1）知，直线方程是，令得， 直线方程是，令得， 由，得， 又在椭圆上，∴， ∴，解得， ∴存在点，使得成立． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【详解】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线：过点， 过点与直线平行的直线方程为， 两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 2．已知，，在曲线上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【详解】设,则， ，直线方程为：，即， 所以到直线的距离为 设，由于，显然单调递减， ，无最小值， 即边上的高有最大值，无最小值，又为定值，故面积有最大值，无最小值. 3．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上， 则. 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以，则的最小值为. 4．已知，点，点是的图象上异于点的任意一点，直线的斜率记为，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】因为，所以，其定义域是， 令，故的图象为， 设，故， 当时，， 因为，故，则， 当时，， 因为，所以，故， 故， 当时，则， 综上，的取值范围是. 5．已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 6．（2026高三下·上海·竞赛）椭圆的一条切线分别交轴正半轴、轴正半轴于点，则的最小值为_________． 【答案】7 【详解】设切点为，切线方程为， 令得，令得， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为.    7．平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】由题意，曲线过原点，，，则 ，， 根据定义，对曲线上任意点，有 ， 由基本不等式得：， 等号成立当且仅当，结合，得，，满足三角不等式，存在这样的点，等号可取。 创新提升 8．设 ，第一象限内有两个动点 、 ，其中点 在曲线上，点 在曲线上，已知，，记，，若“”当且仅当“存在实数 ，使得”，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【详解】设点，，， 则，，，，， 则，； 由可得，整理得（1）； 而，故， 因为，故， 故. 又根据可知，，即， 整理得（2），联合（1）（2）即为， 由题设“”当且仅当“存在实数 ，使得”， 即为“”当且仅当. 设，，其中， 故， 若，则， 若，则， 故，， 若，则，即，这与矛盾； 若，则由可得， 故且，此关于的不等式组无解， 若，则同理可得， 因为“”当且仅当，故时，无解； 故. 综上 的取值范围为． 9．（26-27高三上·上海·开学考试）定义：若圆心在坐标原点的圆O与焦点在坐标轴上的圆锥曲线在两个不同点具有公切线，则称圆O为圆锥曲线的“开口圆”；已知椭圆C的“开口圆”与双曲线的“开口圆”相同．椭圆C的短轴长为2，过点作椭圆C的两条切线，作倾斜角为锐角的直线交椭圆于两点，设中点为． (1)请直接写出椭圆C及其“开口圆”的标准方程； (2)若椭圆C除顶点外的点都在其“开口圆”内： ①：若在轴上，且椭圆上存在点使得∥，设，求：的取值范围； ②：若在椭圆C的“开口圆”上，记的斜率为，求证： ． 【详解】（1）开口圆的标准方程： 椭圆C的标准方程： 或    （2）①若椭圆C除顶点外的点都在其“开口圆”内,则椭圆C的标准方程是， 由题意，显然直线的斜率存在，且或，故可设直线，、， 联立， 消去得，， 即＞0   (1)，则，， 则，，，故， 若，则有，设直线为， 联立，消去有， 要使得存在点，则， 整理得，故  (2)， 联立(1) (2)解得： ②证明：设，且；设过点的直线与椭圆相切， 联立：化简得： 由得 点在直线上，得代入上式： 化简得： 因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根 由韦达定理得； 由得 所以 ，又 所以． 10．在平面直角坐标系中，已知是曲线的焦点，直线，与轴交于点，与交于点. (1)用表示点到点的距离； (2)设，是曲线上的动点，求的最小值； (3)设，、分别是曲线与线段上的动点，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【详解】（1）由曲线，则焦点，准线为， 所以根据抛物线的定义，得. （2）当时，直线，则， 设，则， 则， 所以时，取得最小值. （3）存在，当时，直线，则，, 已知，设，， ①若，则， 因为在矩形中，，， 所以，， 又不在曲线上，则此情况不成立； ②若，则PF的斜率， 因为在矩形中，，则，得， 所以直线QF为， 则Q点纵坐标，得， 所以，， 因为在矩形中，， 设，则， 所以，得到， 要使得点在上，则将代入， 得到，解得， 又，得，即. . 11.如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合.      (1)已知，求的值，并写出椭圆和双曲线的离心率，； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【详解】（1）因为点在椭圆上，所以，得，所以， 所以的方程分别为， 由椭圆知：，则 ， 所以椭圆的离心率为 ； 由双曲线，，则 ， 所以双曲线的离心率为 ； （2）由（1）可知当时，，设，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 当交点在第一象限且在椭圆上时，且， 所以，所以交点不可能在第一象限的椭圆上， 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于轴下方时，也不成立， 综上直线l的方程为    （3）因为斜率为的直线过点，所以设直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为.    12.已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，为线段的中点，其中. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆有两个交点.在轴上是否存在点使得始终落在以为直径的圆内(含边界).若存在，求出这样的点的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由，可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 当且仅当在之间（或与重合），满足，即， 两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 13.已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. (1)求的周长； (2)若，求点的坐标； (3)求动点到点距离的最大值和最小值. 【详解】（1） 椭圆，得，，​， 上顶点，焦点， ， 根据椭圆的定义：，焦距， 周长； （2）设，由垂直性质得， ， ， 点积展开得： ， 又在椭圆上，满足， 代入上式得： ，得， 回代得​，即， 故的坐标为； （3）设， ，则， 距离平方为： ， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 最大值在对称轴处取得：即时，，得， 最小值在端点处取得：即时， ，得 故动点到点距离的最大值为​​​，最小值为. 14．（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为， 易得，，， 又因为为面积为1直角三角形，， 所以椭圆的离心率. （2）由第一问知，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $