圆锥曲线专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以问题类型为线索，整合弦长、面积、向量等七大模块，通过高考真题与变式训练，提炼切线结论等方法，构建从定义应用到综合论证的逻辑链条，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |弦长问题|例1+5变式|联立韦达定理求弦长|椭圆定义→方程求解→弦长计算| |面积问题|例3+5变式|分割/坐标法求面积|离心率→直线与椭圆位置关系→面积最值| |向量型|例2+6变式|向量坐标转化与参数法|向量数量积→参数方程→轨迹方程| |定点与定直线|例5+11变式|特殊值探路+一般证明|曲线方程→动直线过定点→定值论证| |三点共线|例2+2变式|斜率相等或向量共线|交点坐标→斜率关系→共线证明| |与切线相关|例4+12变式|切线/切点弦方程结论|导数几何意义→切线方程→定点问题|

圆锥曲线一轮大题 目录 一、有关弦长问题 2 二、有关面积问题 9 三、向量型 20 四、向量型 30 五、定点与定直线问题 36 六、三点共线问题 60 七、与切线相关 64 复习前提：熟知椭圆、双曲线的第二、三定义及中点弦二级结论。 一、有关弦长问题 例1、已知椭圆，到点与点连线的距离为。 （1）求椭圆的离心率; （2）是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程。 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【详解】试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率； （2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程. 试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. （Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直. 设其直线方程为，代入（1）得 . 设，则，. 由，得，解得. 从而. 于是. 由，得，解得. 故椭圆的方程为. 变式训练： 1、已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，解得， 椭圆的方程为； （2）由（1）得，椭圆的左焦点，右焦点， 则直线的方程为：，设，， 联立，消去，得，显然， 则， 所以． 2、在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 3、已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个． （1）求椭圆的方程； （2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，求证：. 【答案】（1）（2）证明详见解析 【详解】（1）根据已知设椭圆的方程为，. 在轴上方使成立的点只有一个， ∴在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点. 当点是短轴的端点时，由已知得， 解得. ∴椭圆的方程为. （2）若直线的斜率为0或不存在时，且或且. 由， 得.得证！ 若的斜率存在且不为0时，设：， 由得， 设，，则，， 于是 . 同理可得. ∴. ∴.得证！ 4、已知椭圆C：的离心率是双曲线C1：的离心率的一半，且椭圆C与双曲线C1有公共的焦点。 （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的左焦点作两条互相垂直的直线，，使它们分别与椭圆C交于点P，R及Q，S，求四边形PQRS的面积的取值范围。 解：(Ⅰ) 由题意可设椭圆的半焦距为 ，由题意得 解得 故椭圆 的方程为 (Ⅱ)①当直线的斜率不存在或斜率为 0 时，此时不妨设,. 四边形 的面积为 ②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为 ， ， 联立 整理得 所以 ， 则 同理 故四边形 的面积为 令，则 因为，则，，则 综上，四边形 的面积的取值范围为。 5．已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程和短轴长； (2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值. 【答案】(1)椭圆的方程为，短轴长为 (2) 【详解】（1）已知椭圆 的标准方程为：， 因为 是椭圆的一个顶点，所以。又离心率为，解得， 所以，解得， 所以椭圆的方程为，短轴长为； （2）将直线的方程代入椭圆的方程得， 可得，整理得， 设直线与椭圆的交点为和， 所以， 直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为)， 直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为， 因为，即，所以， 因为 和 ，代入得， 化简， 展开分子 ， 所以， 所以 ， 又， 所以，整理得，解得. 二、有关面积问题 例1、已知椭圆：的中心是坐标原点，左、右焦点分别为，，设是椭圆上一点，满足轴，，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆左焦点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意是椭圆上一点，满足轴， ，离心率为可知，，， ，，所以椭圆方程为：. （2）过椭圆左焦点且倾斜角为的直线， 可知：，联立直线和椭圆，有 ，有， 设，， 则，， ， 所以. 例2．（2024年新高考1卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 例3．已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. （2）当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为． 因为，所以直线CD的斜率为． 因为右焦点，所以直线AB的方程为，设，． 由，消去y得． 则， 可得，． 则， 同理可得． 因为，所以 ． 当且仅当，即时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值； 当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换， 此时，，，或者，， 所以． 因为，所以四边形ACBD面积的最小值为． 变式训练： 1．已知椭圆：离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同两点，.当的面积为时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，，即， 又椭圆：离心率为，，， 又，， 椭圆的方程为. （2）    设直线的方程为， 当时，此时方程与椭圆只有一个交点，不符合题意， 设， 联立，得，即， ， 根据弦长公式，得， ， 又椭圆的右顶点为到直线 的距离为， 又的面积为时，， 即，，解得， 当时，直线的斜率为； 当时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为. 2、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . (1)求的标准方程； (2)若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 解：(1)(2)或 【详解】（1）由题意，设的标准方程为， 则，，即，所以， 所以的标准方程为； （2）设，， 由联立得， 由题意，即， ，，显然直线过定点， 所以， 所以，即， 所以，解得或，均满足， 所以或. 3．（2025新高考2卷）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 解：(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 4．已知椭圆：的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）由题意，，得，． 故椭圆的方程为． （2）联立，整理得． ，则. 设，，则，， 则． 原点到直线的距离． ． 当且仅当，即（满足）时取等号，最大值为1． 5．平面直角坐标系中，过椭圆 ：（ ）右焦点的直线交 于，两点，为的中点，且 的斜率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）， 为上的两点，若四边形的对角线 ，求四边形面积的最大值. 【答案】(Ι) （Ⅱ） 【分析】(1)把右焦点代入直线方程可求出c，设 ，线段AB的中点，利用“点差法”即可得出a,b的关系式，再与联立即可求出a,b，进而可得椭圆方程； (2)由，可设直线CD方程为,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长，把直线，利用即可得到关于m的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值. 【详解】(Ι)设 则，，（1）－（2）得： ，因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以M的方程为. （Ⅱ）因为，直线AB方程为，所以设直线CD方程为， 将代入得：，即、，所以可得；将代入得：，设 则=，又因为，即，所以当时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为 . 三、向量型 例1、已知椭圆E：过点Q（），椭圆上的动点P与其短轴两端点连线的斜率乘积为－． （1）求椭圆E的方程； （2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当＝2时，求的面积． 【答案】（1）（2） 【详解】解：（1）设，为短轴两端点，，则. 由于 ，∴.① 又在上，∴.② 解①②得，. 所以椭圆的方程为. （2）设直线：，代入得 .③ 设，，则，.④ .⑤ 把④代入⑤得 ，解得. 由对称性不妨取，则③变为，解得，. 的面积. 例2、已知曲线表示焦点在轴上的椭圆. （1）求的取值范围； （2）设，过点的直线交椭圆于不同的两点，（在，之间），且满足，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为曲线表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得：， 所以m的取值范围是；     （2）因为，所以椭圆方程为：； 当直线l的斜率不存在时，即直线，此时，， 由解得：；     当直线l的斜率存在时，设直线，，， 联立直线l与椭圆消得， 所以，，即，解得，     由，得， 而， 即， 又在上单调递增， 所以，又在，之间，即，解得：； 综上所述，的取值范围是. 变式训练 1：已知椭圆：的短轴为2，点在上。 （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，与不重合的点在轴上，且的面积等于的面积的2倍，求的斜率。 解： 2、已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上. (1)求C的方程；(2)若，求直线AB的方程； 解：．(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得， 故曲线的方程为， （2）根据题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 得，都在右支上， 由，消去可得， 易知，其中恒成立， ， 代入，消元得， 所以，解得，满足， 所以直线的方程为:， 3．（2019全国1卷）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设直线方程为：，， 由抛物线焦半径公式可知：     联立得： 则     ，解得： 直线的方程为：，即： （2）设，则可设直线方程为： 联立得： 则     ，         ，     则 4. （2026新高考1卷）已知椭圆的左焦点为，离心率为．（1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【小问1详解】已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，，因此椭圆方程为. 【小问2详解】解法一：设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ，由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二：（i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以，由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 5、已知双曲线的左、右焦点分别为，，且焦距为4，左顶点为E，过右焦点的动直线交于两点，当垂直于轴时，． (1)求的方程； (2)若动直线与的左支交于点，右支交于点B，求的取值范围． 解：(1) (2) （1）设，由题意知，焦距为4，故，所以，， 又因为当l垂直于x轴时，，所以可得． 把代入C中得，①，又②， 则联立①②方程解得，，．所以双曲线C的方程为． （2）如图，由双曲线C的性质可得：，． 设，， 则，，所以． 设，联立得，， 则恒成立， 所以，， 由于l与C交于异支，则，解得：； 又， 且． 令，且，则，所以， 所以，所以的取值范围为． 6．已知椭圆：的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率存在且不为0的直线，交椭圆于A，两点，点，且为定值． (1)求椭圆的方程； (2)求的值． 【答案】(1);(2)1或． 【详解】（1）的焦点为，∴．又， ∴，． ∴椭圆的方程为． （2）由题意，存在且不为零，设直线方程为,，， 联立方程组，消元得， 需满足 , ∴，， ∴ =， ∵为定值 ，∴， 即，∴，满足 ∴的值为1或． 四、向量型 例1．已知抛物线的准线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，点其中在抛物线上，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)设为原点，若，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）抛物线的准线经过点， 所以，所以抛物线的方程为. 设直线的方程为， 由消去并化简得， 由于直线与抛物线有两个不同的交点，所以且， 由于在抛物线上，且，所以，所以， 且直线不过点，即， 所以直线斜率的取值范围是. （2）设，由（1）得， 依题意可知直线的斜率存在， 直线的方程为，令， 即，同理可求得. ，由于， 所以、， 所以， 所以 所以 为定值. 变式训练： 1、 已知双曲线：过点，且右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值. （3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【小问1详解】 依题意，双曲线的左焦点为， 由双曲线定义知，的实轴长， 因此，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率存在，且，设直线的方程为：，，， 由消去x并整理得：，设， 则，而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以，为定值. 【小问3详解】 由（2）知，点，则，， 面积， 因为，令，而函数在上单调递减，即， 因此，所以. 2、已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于． (1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值； 解：(1) (2) （1）因为抛物线经过点，所以，所以， 所以抛物线的解析式为．又因为直线过点，且直线与抛物线有两个不同的交点．易知直线斜率存在且不为，故可设直线的方程式为. 根据题意可知直线不能过点，所以直线的斜率. 若直线与抛物线的一个交点为，此时该点与点所在的直线斜率不存在， 则该直线与轴无交点，与题目条件矛盾， 此时，所以直线斜率. 联立方程，得，因为直线与抛物线有两个不同交点，所以，所以．故直线的斜率的取值范围是且且.即率的取值范围是. （2）如图所示 设直线的方程为：由，得， 设，， 则，∵，， ，， ∴，，∴ ，. 3、已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值. 答案：(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，，所以， 因为点在上，所以， 解得，故， 所以椭圆的方程为. （2）由已知得直线的斜率必存在，可设直线的方程为， 代入椭圆方程，整理得，， 设，则， 又，由得. 所以， 因为， 所以为定值. 五、定点与定直线问题 例1．已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C的标准方程; (II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标. 【答案】(I) (II) 直线过定点，定点坐标为 【详解】解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 ， (II)设，由得 ， ，. 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点， ，， ， ，解得 ，且满足. 当时，，直线过定点与已知矛盾； 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 例2．动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为. (1)求的轨迹的方程； (2)过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且.证明：过和中点的直线过定点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，可知，则， 故点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆，则，，∴， 所以点的轨迹的方程为． （2）分别设直线和的中点为、，当直线斜率不存在或为0时，易知直线与轴重合， 直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 则直线的方程为，设，， 联立消去得， 则，所以， 即，同理：， 于是直线的斜率为， 故直线的方程为， 整理得，所以时，，故直线经过定点，此点在轴上． 综上，直线过定点． 例3．（2020·全国I卷·高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】【小题1】； 【小题2】证明如下： [方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的曲线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点． 例4、已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点． ①求证：点在定直线上； ②求面积的最大值 解：(1)(2)①证明见解析；②． 【详解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标， 得：，解得，所以椭圆的标准方程为． （2）如图： ①设直线的方程为，并记点，，， 由消去，得， 易知 则，． 由条件，，，直线的方程为， 直线的方程为， 联立解得， 所以点在定直线上． ② 而，所以， 则， 令，则，所以， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为． 例5、（不对称问题）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程；(2)求证：点在定直线上 解：．(1)；(2)证明见解析. 【详解】（1）依题意，，半焦距，则， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得， ，设， 则，且有， 直线，直线， 联立消去y得，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此， 所以点在定直线上. 变式训练： 1．已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 解：(1) (2)证明见解析，定点为 【详解】（1）因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 （2）显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 2．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的标准方程. (2)设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且. （i）若点的坐标为，求； （ii）证明：直线过定点. 解：(1) (2)（i）;（ii）证明见解析 【详解】（1） 由题意，，解得， 则的标准方程为. （2）（i）设，由（1）可得，因， 则，由可得， 代入，整理得：，解得（不合题意，舍去）或， 故得，则. （ii）因，直线的斜率不能为0，可设其方程为：， 代入，整理得：， 则， 设，则（*）， 则，化简得， 因，代入整理得：， 将（*）代入，可得，去分母可得： ， 化简得：，解得或. 当时，直线的方程为，直线经过定点， 此时由解得，则， 因，符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点，该点恰与点重合，不合题意，舍去. 故直线过定点. 3、设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为. (1)求方程; (2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 解：(1)(2)证明见解析 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线 的斜率， 同理，直线 的斜率， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为， 即点的轨迹是除去 两点的椭圆. （2）证明：设 ①当直线斜率不存在时，可知 ， 且有， 解得，此时直线为 0， ②当直线斜率存在时，设直线 ，则此时有： 联立直线方程与椭圆方程 ， 消去 可得： ， 根据韦达定理可得： ，， 所以， 所以， 所以 所以，则或， 当时，则直线 恒过点与题意不符，舍去， 故，直线恒过原点， 结合①，②可知，直线恒过原点 ，原命题得证. 4、已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6． （1）求点到上的点的距离的最小值； （2）过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为． ①证明：直线过定点； ②已知为坐标原点，求面积的取值范围． 【答案】（1）2 （2）①证明见解析 ；② 【小问1详解】 设是椭圆上一点，则，所以， 所以（）， 因为，所以当时，， ，解得或（舍去）， 所以，所以当时，． 【小问2详解】 ①证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（）， ，，，联立直线和的方程， 得消去并化简，得， 所以， 解得，且． 又点在点的右侧，则，且，， 所以直线的方程为， 所以， 因为 ， 所以，所以直线过定点． ②由①知直线的方程为，设，则， ，将，代入， 可得，由，且， 得取值范围为． 由消去并化简得， 则， ，． ， 原点到直线距离为， 所以， 令，由的取值范围为，得的取值范围为． 又函数在上单调递增，所以，的值域为． 所以的取值范围是，所以面积的取值范围为． 5、已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为． (1)求椭圆C的标准方程． (2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以， 所以，所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，显然直线l的斜率存在． 直线l的方程为，联立方程组 消去y得，由，得， 所以，． 因为点，所以直线AD的方程为． 又， 所以直线AD的方程可化为， 即， 所以直线AD恒过点（1，0）． 6、已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点．    (1)求C的方程； (2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）过定点，定点坐标；（ⅱ） 【详解】（1）因为离心率，所以，而，所以． 所以双曲线的方程为． 将点代入双曲线方程，得，所以． 所以的方程为． （2）（ⅰ）直线过定点． 由双曲线的方程可知，设． 方法一：由，可设，则直线即的方程为． 联立整理得. 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以． 所以，即． 又直线即的方程为， 联立得， 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以， 所以. ∴． 当时，直线的斜率 ． 直线的方程为． 化简整理得，直线过定点． 当时，，即， 解得．直线也过定点． 综上，直线过定点． 法二：设直线的方程为，联立 整理得， 则． 所以． 直线．令，得． 直线，令，得． 由，得， 即， 所以． 即． 因为， 所以． 整理可得． 所以，所以直线过定点． （ⅱ）由（ⅰ）知，直线过定点，    则． 由（ⅰ）知， ∴． 又点在双曲线的右支上，双曲线的渐近线方程为． 所以． 令，则， 于是． 令，，则，在单调递减， 所以在单调递增， 当，即时，取得最小值． 所以的取值范围是． 7、已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)过点（3,0）作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 解：(1)离心率为，标准方程为 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 8、已知椭圆的离心率为，，分别为的上、下顶点，为坐标原点，直线与交于不同的两点，． (1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)若，证明：直线BM与直线AN的交点G在定直线上 解：(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设，，则． 由两式相减得，即． 所以． （2）解法一： 由解得所以椭圆的方程为． 将直线的方程代入椭圆的方程，化简整理得．①    由，解得． 由韦达定理，得，．② 设，， 则直线的方程为，③ 直线的方程为，④ 由③④两式解得 ， 即，所以直线与直线的交点在定直线上． 解法二： 设直线（即直线）与直线（轴）的交点为，直线与直线的交点为， 则点，，构成椭圆的自极三点形，点一定在点对应的极线上，其方程为，即， 就是说直线与直线的交点在定直线上． 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2) 由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 10、已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)过点（3,0）作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 解：(1)离心率为，标准方程为 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 11、已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上 解：(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以. 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 六、三点共线问题 例1、已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点（0,1）的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线. 【答案】(1)；(2)证明见解析 解析：(1)根据题意，解得. 所以椭圆C的方程为：.... (2)由（1）知，. 根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为. 由，得. 根据题意，恒成立，设 则. 直线的方程为， 令，得，所以. 因为， 则直线的斜率分别为， . 又， ， ， .所以， 所以三点共线. 例2、如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； 【答案】(1) (2)证明如下： 设. 若，则直线AB，CD斜率不存在， 由对称性，可知M，N，H均在x轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：，方程：， BD方程：.设， 因，则. 则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC，BD交点为. 将代入直线AC方程， 则； 将代入直线BD方程， 则. 注意到 ，又，则P，Q两点重合， 即P，Q为线段与交点H，且点三点共线； 变式训练: 1、已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线. 【答案】(1)；(2)证明见解析 解析：（1）由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）证明：设点的坐标为，其中，易知点、， ，则直线的方程为， 联立，可得，即点， ，，则， 因此，、、三点共线. 2、已知椭圆的右焦点为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左顶点为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于两点，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使.求证：三点共线. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 解析：(1)依题意，椭圆的左焦点，由椭圆定义得： 即，则， 所以椭圆的标准方程为. (2)由(1)知，，直线不垂直y轴，设直线方程为，， 由消去x得：，则，， 直线的斜率，直线的方程：，而直线，即， 直线的斜率，而，即，直线的斜率， 直线的方程：，则点， 直线的斜率，直线的斜率， ， 而，即， 所以三点共线. 七、与切线相关 圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论： (1)过椭圆+=1上一点的切线方程为； (2)过椭圆+=1外一点的切点弦方程为； (3)过双曲线=1上一点的切线方程为； (4)过双曲线=1外一点的切点弦方程为. 例如：已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 【解答过程】如下图所示： 方法一： 根据题意，设切点坐标为， 根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是． 则可得切线的方程分别为，； 又因为在切线上，可得，； 因此在方程的两根， 可知直线的方程为，也即. 方法二： 可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是； 可得直线的方程为，也即. 例1．已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为； (3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值． 【答案】(1) (2)详见解析； (3) 【详解】（1）椭圆中，，则， 则，则椭圆的离心率为 （2）当切线斜率存在时，其方程可设为， 由，整理得， 则，则 此时方程的根为，则切点横坐标， 切点纵坐标， 则，， 则切线方程为，整理得； 当切线斜率不存在时，其切点为或， 切线方程为，满足. 综上，点是椭圆C上一点时， 过点P的椭圆C的切线方程为 （3）设，， 则椭圆C在点的切线方程分别为，， 又在两条切线上，则，， 则直线的方程为，即 由整理得，， 则， 则 ， 又点M到直线的距离， 则△的面积为 令，则，， 则， 令，， 则恒成立， 则在上单调递增，则 当且仅当即点M坐标为时等号成立， 则△的面积的最小值为.    例2、已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，过轴左侧一点作抛物线的两条切线，切点为分别交轴于两点，设，则判断下列正误：① ；② 四点共圆。 解：①②都正确！ 【详解】如图，对于①，由题，为抛物线上一点，则， 过点的切线方程为， 联立方程组消去得， 令，解得，即过抛物线上一点的切线的斜率为， 同理可得过点切线斜率为，所以，故①正确. 对于②，设， 所以过点的切线方程为，令，可得，即， 又，所以，则， 所以，即，同理可得， 则四点共圆，故②正确； 例3．已知抛物线，为其焦点，过的直线与抛物线交于两点，则（    ） A．若，则直线的倾斜角为 B．以为直径的圆与直线相切 C．若点在轴上的射影分别为，以线段为直径的圆与轴交于两点，则 D．过点分别作抛物线的切线，两切线分别交轴于两点，则以线段为直径的圆与直线相切 【答案】BCD 【详解】由题意，抛物线的准线方程为， 设直线的方程为， ，， 选项A：将直线方程与抛物线方程联立，消去整理得， 所以，， 由抛物线的性质可知，因为， 所以， 解得，即直线的倾斜角为或，A说法错误；    选项B：设中点为，则， 以为直径的圆半径，圆心到直线的距离， 所以以为直径的圆与直线相切，B说法正确； 选项C：由题意，， 以为直径的圆圆心为，即，半径， 因为，所以， 又圆心到轴的距离，所以，C说法正确； 选项D：对求导得， 所以过点的切线方程为，即， 令解得点坐标为，同理可得， 所以以为直径的圆的圆心为，即，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，D说法正确； 故选：BCD 例4、已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，. (1)求E的方程； (2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【解答过程】（1） 由已知，，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点， 设的方程为，, 联立，得，则， 则， 所以， 解得， 故抛物线E的方程为：. （2）设直线的方程为，，， 联立，得， ，即， 所以，， 令，当时， 可化为，则， 则在处的切线的方程为：， 即， 同理可得切线的方程为：， 联立与的方程，解得， 所以，则，满足， 则直线的方程为， 所以直线过定点，该定点坐标为. 变式训练： 1、已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 【解析】（1）因为， 所以曲线是以为焦点，以2为实轴长的双曲线， 所以实半轴长，半焦距，虚半轴长， 所以曲线的方程为. （2）由题知切线斜率均存在，所以设过点所作的切线分别为， 由题意知且，由得， 因为与相切， 所以，且，整理得. 此时可得，即. 同理.由得. 直线的斜率为，所以的方程为， 令，得， 即经过定点. 2、已知椭圆，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为， (1)当点坐标为时，求直线的方程； (2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点。 【解析】（1） 设，已知椭圆为， 由椭圆的切线方程，切线的方程为， 又点在该直线上，所以， 切线的方程为， 又点在该直线上，所以， 则点，都在直线上，即直线的方程是， 当点坐标为时，， 所以直线的方程是，即. （2）由（1）知直线的方程是， 又点在直线上，所以， 得，代入的方程得， 即，所以， 解得，直线恒过定点. 3、已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别是，离心率.过且斜率不为0的直线交于点两点，线段的中点为. (1)求的方程； (2)过分别作的切线，两条切线交于点， ①求证：点在定直线上； ②求的面积的最小值. 解：(1)(2)点在定直线上，证明见解析； 【详解】（1）如图，连接，因为分别是的中点，则，又，即，所以， 即，解得.又，所以，则， 故椭圆E的方程为； （2）设，由题意知过A点的E的切线斜率存在， 设过A点的切线方程为，即， 由，得， ， 即， 因为在椭圆E上，所以，得， 所以，即，得， 所以，即， 即切线方程为，同理切线方程为. ①证明：设点，因为点P在切线、上， 故、，即点均在直线， 所以直线的方程为，过点， 所以，解得， 所以点P在定直线上. ②解：由①知直线的方程， 由，得，所以， 所以， 点P到直线的距离为， 所以的面积为， 令，则，得， 设，则，所以在上单调递增， 所以，即.    4、已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过直线上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点. ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 【解析】（1）由条件可知， ，则， 则椭圆的标准方程为. （2）①设切点，，，又椭圆E在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程， 由条件，将点坐标代入直线PA的方程得，代入直线PB的方程得， 则A、B两点都在直线上， 则切点弦AB直线方程为， 直线AB过定点. ②，设直线过定点为， 显然直线不可能水平，故设直线方程为：， ， ， 因为直线恒过椭圆内点，所以恒成立， ，， ， 令， ， 当，为减函数， 所以当时，最大值为. 5．已知椭圆，为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1． (1)求的方程； (2)过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，当直线与轴垂直时，， 所以设点，则，因为的最小值为， 所以，又由，可解得， 故的方程为． （2）如图，    设点，注意到斜率不为0， 设， 联立，得， 因为与相切，所以， 于是， 化简得，又与相切，同理有， 故是一元二次方程的两根，则， 所以， 又，所以， 所以面积的取值范围为． 6、已知抛物线：过点，点B为直线上的动点，过点B向曲线C引两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标，否则说明理由. 【解析】将代入可得，解得，故， 设，， ∵，∴，∴： ∵在直线上，∴， 整理有：，同理 ∴，为的两根，∴， ， ∵，又的中点 ∴即， ∴过定点 7、已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 【解答过程】（1）由题意椭圆的上顶点为， ，∴，∴． （2）法一（同构法）． 设点，，． 由，∴直线的斜率为，∴ 即 同理可得 ∵点，代入得 ∵点，代入得 ∴点、都满足关系 ∴① 又点，∴，代入①得 故直线恒过定点． 法二（配极原则）． 设定点为，由题目可知点所在直线是点对应的极线，∴由配极原则可得 即 对比的系数可得 ∴直线恒过定点． 8、过直线上一个动点作抛物线的两条切线，分别为切点，直线与轴分别交于两点．证明：直线过定点，并求点的坐标； 【解析】（1）设的坐标分别为，点的坐标为， 由有，可得直线的方程分别为， 又由，直线的方程可化为， 同理直线的方程为， 又由点在直线上，有， 可得点都在直线上，整理为， 又由满足方程，故直线过定点，定点的坐标为； 9、已知抛物线，F为C的焦点，过点F的直线与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T． (1)当的斜率为时，求； (2)证明：． 【解析】（1）依题意，抛物线的焦点，准线方程，当l的斜率为时，l的方程为， 由，得，设，，则， 所以. （2）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 由消去y得，由（1），， ，，对求导，得， 切线的方程为，切线的方程为， 由，解得，即， 当时，，显然；当时，直线的斜率为，因此，所以. 10、如图，抛物线：上异于坐标原点的两不同动点、满足. (1)求证：直线过定点； (2)过点，分别作抛物线的切线交于点，求的面积的最小值. 【解析】（1）证明：设直线的方程为，，， 与抛物线方程联立 得，， ，， ，所以， 而， 代入得：，解得：或（舍去）， 直线的方程为，必过定点. （2）由抛物线的方程为,得:，所以, :,:, 联立方程 由（1）知:,. 解得，即. 点到直线的距离, , 所以, 因,所以, 故当时,的面积取得最小值32. 11、已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线E上，且到原点的距离为.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点. (1)证明：点P在一条定直线上； (2)求的面积最小值． 【解析】（1）由题意可得:，解得：，所以抛物线的方程为； 由抛物线焦点，易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为． 由，消去y并整理，得．． 设，，则，． 对求导，得，∴直线的斜率，则直线AP的方程为，即． 同理得直线的方程为． 设点，联立直线与的方程，，即． 即点P在直线上； （2）由， 点P到直线的距离， 得的面积，当且仅当时等号成立． 所以面积的最小值为16，此时直线l的方程为． 12、已知圆为坐标原点，点在圆上运动，为过点的圆的切线，以为准线的拋物线恒过点，抛物线的焦点为，记焦点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过动点的两条直线均与曲线相切，切点分别为，且的斜率之积为，求四边形面积的取值范围． 【解析】（1）分别过作的垂线，垂足分别为，连接， 由抛物线的定义，可得，则． 因为，所以焦点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中， 所以抛物线的焦点的轨迹方程为 （2）设点，过点的直线的斜率为，则方程为， 联立方程组，消得，， 整理得， ，即，所以点在方程为的圆上． 设点在椭圆上，则，则， 由知，满足： 则，即，故， 从而得切线的方程为 整理得，点满足方程，则， 同理可得 即点满足方程，所以的方程为． 消得， ，， ． 设，点到直线的距离为， ； ． 所以． 48 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线一轮大题 目录 一、有关弦长问题 2 二、有关面积问题 5 三、向量型 8 四、向量型 11 五、定点与定直线问题 13 六、三点共线问题 20 七、与切线相关 22 复习前提：熟知椭圆、双曲线的第二、三定义及中点弦二级结论。 一、有关弦长问题 例1、已知椭圆，到点与点连线的距离为。 （1）求椭圆的离心率; （2）是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程。 变式训练： 1、已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求． 2、在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 3、已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个． （1）求椭圆的方程； （2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，求证：. 4、已知椭圆C：的离心率是双曲线C1：的离心率的一半，且椭圆C与双曲线C1有公共的焦点。 （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的左焦点作两条互相垂直的直线，，使它们分别与椭圆C交于点P，R及Q，S，求四边形PQRS的面积的取值范围。 5．已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程和短轴长； (2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值. 二、有关面积问题 例1、已知椭圆：的中心是坐标原点，左、右焦点分别为，，设是椭圆上一点，满足轴，，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆左焦点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求的面积. 例2．（2024年新高考1卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 例3．已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 变式训练： 1．已知椭圆：离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同两点，.当的面积为时，求直线的斜率. 2、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . (1)求的标准方程； (2)若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 3．（2025新高考2卷）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 4．已知椭圆：的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 5．平面直角坐标系中，过椭圆 ：（ ）右焦点的直线交 于，两点，为的中点，且 的斜率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）， 为上的两点，若四边形的对角线 ，求四边形面积的最大值. 三、向量型 例1、已知椭圆E：过点Q（），椭圆上的动点P与其短轴两端点连线的斜率乘积为－． （1）求椭圆E的方程； （2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当＝2时，求的面积． 例2、已知曲线表示焦点在轴上的椭圆. （1）求的取值范围； （2）设，过点的直线交椭圆于不同的两点，（在，之间），且满足，求的取值范围. 变式训练 1：已知椭圆：的短轴为2，点在上。 （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，与不重合的点在轴上，且的面积等于的面积的2倍，求的斜率。 2、已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上. (1)求C的方程；(2)若，求直线AB的方程； 3．（2019全国1卷）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|． 4. （2026新高考1卷）已知椭圆的左焦点为，离心率为．（1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的倍，求的方程； （ii）求的最小值． 5、已知双曲线的左、右焦点分别为，，且焦距为4，左顶点为E，过右焦点的动直线交于两点，当垂直于轴时，． (1)求的方程； (2)若动直线与的左支交于点，右支交于点B，求的取值范围． 6．已知椭圆：的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率存在且不为0的直线，交椭圆于A，两点，点，且为定值． (1)求椭圆的方程； (2)求的值． 四、向量型 例1．已知抛物线的准线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，点其中在抛物线上，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)设为原点，若，求证：为定值. 变式训练： 1、 已知双曲线：过点，且右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值. （3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积. 2、已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于． (1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值； 3、已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值. 五、定点与定直线问题 例1．已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C的标准方程; (II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标. 例2．动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为. (1)求的轨迹的方程； (2)过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且.证明：过和中点的直线过定点. 例3．（2020·全国I卷·高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 例4、已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点． ①求证：点在定直线上； ②求面积的最大值 例5、（不对称问题）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程；(2)求证：点在定直线上 变式训练： 1．已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 2．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的标准方程. (2)设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且. （i）若点的坐标为，求； （ii）证明：直线过定点. 3、设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为. (1)求方程; (2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 4、已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6． （1）求点到上的点的距离的最小值； （2）过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为． ①证明：直线过定点； ②已知为坐标原点，求面积的取值范围． 5、已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为． (1)求椭圆C的标准方程． (2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 6、已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点．    (1)求C的方程； (2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 7、已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)过点（3,0）作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 8、已知椭圆的离心率为，，分别为的上、下顶点，为坐标原点，直线与交于不同的两点，． (1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)若，证明：直线BM与直线AN的交点G在定直线上 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 10、已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)过点（3,0）作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 11、已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上 六、三点共线问题 例1、已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点（0,1）的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线. 例2、如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； 变式训练: 1、已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线. 2、已知椭圆的右焦点为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左顶点为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于两点，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使.求证：三点共线. 七、与切线相关 圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论： (1)过椭圆+=1上一点的切线方程为； (2)过椭圆+=1外一点的切点弦方程为； (3)过双曲线=1上一点的切线方程为； (4)过双曲线=1外一点的切点弦方程为. 例如：已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 例1．已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为； (3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值． 例2、已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，过轴左侧一点作抛物线的两条切线，切点为分别交轴于两点，设，则判断下列正误：① ；② 四点共圆。 例3．已知抛物线，为其焦点，过的直线与抛物线交于两点，则（    ） A．若，则直线的倾斜角为 B．以为直径的圆与直线相切 C．若点在轴上的射影分别为，以线段为直径的圆与轴交于两点，则 D．过点分别作抛物线的切线，两切线分别交轴于两点，则以线段为直径的圆与直线相切 例4、已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，. (1)求E的方程； (2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 变式训练： 1、已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 2、已知椭圆，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为， (1)当点坐标为时，求直线的方程； (2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点。 3、已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别是，离心率.过且斜率不为0的直线交于点两点，线段的中点为. (1)求的方程； (2)过分别作的切线，两条切线交于点， ①求证：点在定直线上； ②求的面积的最小值. 4、已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过直线上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点. ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 5．已知椭圆，为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1． (1)求的方程； (2)过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围． 6、已知抛物线：过点，点B为直线上的动点，过点B向曲线C引两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标，否则说明理由. 7、已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 8、过直线上一个动点作抛物线的两条切线，分别为切点，直线与轴分别交于两点．证明：直线过定点，并求点的坐标； 9、已知抛物线，F为C的焦点，过点F的直线与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T． (1)当的斜率为时，求； (2)证明：． 10、如图，抛物线：上异于坐标原点的两不同动点、满足. (1)求证：直线过定点； (2)过点，分别作抛物线的切线交于点，求的面积的最小值. 11、已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线E上，且到原点的距离为.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点. (1)证明：点P在一条定直线上； (2)求的面积最小值． 12、已知圆为坐标原点，点在圆上运动，为过点的圆的切线，以为准线的拋物线恒过点，抛物线的焦点为，记焦点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过动点的两条直线均与曲线相切，切点分别为，且的斜率之积为，求四边形面积的取值范围． 27 学科网（北京）股份有限公司 $