重难点专训03 平面向量与三角函数综合六大压轴考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“四大通法+选择矩阵”构建平面向量与三角函数综合问题的系统性解法，通过分层题型实现从基础运算到几何最值的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|4大通法+选择矩阵|坐标化、基向量、极化恒等式、三角统一化通法，结合题面特征精准选法|向量运算转化为三角表达式，通过降幂、辅助角等实现代数与几何问题统一| |题型通法及变式提升|6类题型（含30+例题）|每题型配套“解题流程+易错提示”，如数量积最值转化为y=Asin(ωx+φ)+k|从基础坐标运算到解三角形综合，再到几何背景下的动态最值，难度梯度清晰| |重难专题分层过关练|巩固10题+创新8题|基础题强化通法应用，创新题融合跨模块知识（如圆柱表面动点问题）|对接高考命题趋势，强化数学思维的推理能力与数学语言的模型表达|

重难点专训03 平面向量与三角函数综合 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 向量坐标运算与三角求值（常考 · 基础） 2 题型2 数量积与三角函数最值（高频 · 重点） 3 题型3 向量与解三角形综合 4 题型4 夹角、模长与三角恒等变换（易错） 5 题型5 三角图像性质与向量综合 6 题型6 几何背景下的向量最值与取值范围 7 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 10 解题方法及技巧提炼 通法一：坐标化通法（建系优先） 口诀：建系 → 坐标 → 代数 → 求解。 步骤：①选原点与坐标轴（优先取直角顶点、对称中心、图形顶点）；②把点与向量全部坐标化；③把数量积、共线、垂直、模长写成坐标等式；④联立方程或三角关系求解。 适用：图形含直角、对称、正交背景；动点在规则曲线（圆、直线）上；一切“无处下手”时优先尝试建系。 通法二：基向量通法 口诀：选基底 → 线性表示 → 代数量积。 步骤：①选择一组不共线基底（常取同起点的两个向量，如 AB、AC）；②把目标向量用基底线性表示（利用共线、中点、重心、比例性质）；③代入数量积定义，利用已知模长与夹角求解。 关键：基底不共线时向量表示唯一，等式 ⇔ 对应系数相等。适用：三角形、四边形中的线性关系、中点、重心。 通法三：极化恒等式与几何意义 思想：把“数量积”转化为“模长平方之差”，把代数计算转为几何最值。 适用：已知和向量 / 差向量模长求数量积；动点在圆上求数量积最值；三角形中数量积定值问题。 通法四：三角统一化通法 思想：一切“向量×三角”最终都通向“sin、cos 的化简”。 流程：向量条件 → 三角表达式 → 降幂 / 辅助角 / 和差化积 → y = A sin(ωx + φ) + k → 由定义域求值域、最值、取值范围。 适用：向量坐标含三角参数；求取值范围与最值。是填空压轴最常用的“最后一步”。 通法选择矩阵 题面特征 首选通法 图形含直角 / 坐标背景 / 规则图形 通法一 坐标化 三角形内线性关系、中点、重心 通法二 基向量 已知和差向量模长、动点在圆上、求数量积最值 通法三 极化恒等式 向量坐标含三角参数、求值域范围 通法四 三角统一化 夹角 / 模长与三角求值结合 数量积定义 + 恒等变换（兼用通法一、四） 题型通法及变式提升 题型1 向量坐标运算与三角求值（常考 · 基础） 坐标代入 → 建立等式（共线 / 垂直 / 数量积）→ 解三角方程，用 sin²α + cos²α = 1 与 tanα = sinα/cosα 转化。 1．已知，，且与平行，则______. 2．设向量，，若，则____. 3．（25-26高三上·上海·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则_____. 4．（25-26高三上·上海松江·期中）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型2 数量积与三角函数最值（高频 · 重点） 展开 → 降幂 / 辅助角 → 化为 y = A sin(ωx + φ) + k → 先定定义域 → 再求值域。 5.在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 7．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 8．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值． 题型3 向量与解三角形综合 向量条件 → 边角关系（如 AB·AC = bc·cosA）→ 正余弦定理 → 解三角形。 9．（24-25高三上·上海·期中）已知向量，.设. (1)求函数的最小正周期以及单调增区间； (2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，的面积为，求边的长. 10.设的内角所对的边分别是，且向量与共线， (1)求； (2)若，，求边上的高. 11．（24-25高三上·上海·阶段检测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．设向量，，已知． (1)求角A的大小； (2)设D为边上一点，且，若，，求． 12．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知中，，，设，记； (1)若，求的值； (2)求函数的最大值，及相应的值. 13．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 题型4 夹角、模长与三角恒等变换（易错） 模长平方化 + 数量积公式 + 恒等变形；注意夹角范围 [0, π]。 14．若向量、的夹角为，且，则的最大值为___________. 15．已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______． 16．（24-25高三上·上海·期中）平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______． 题型5 三角图像性质与向量综合 平移只作用于 x（左加右减）；按向量 m = (h, k) 平移即 y = f(x) → y = f(x−h) + k；“先伸缩后平移”与“先平移后伸缩”结果不同，务必辨析对象。 17.已知，（），函数最大值为6. （1）求，并求函数的最小正周期； （2）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的值域. 18．（25-26高三上·上海·期中）已知向量，，记函数. (1)若为偶函数，求的最小值； (2)把图象向右平移个单位长度，得到函数图象.若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值. 19.已知向量，函数． (1)求函数的周期及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 20．（2025·上海·三模）设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 21.已知. （1）求的最小正周期； （2）若将函数图像向左平移个单位后得到函数的图像，求函数在区间上的值域； （3）锐角三角形中，若，，求的面积. 题型6 几何背景下的向量最值与取值范围 优先建系 → 动点参数化（圆上点取 (cosθ, sinθ)）→ 化为三角最值；或直接使用极化恒等式转化为几何最值。 22．在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____. 23．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 24．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 25．（2025·上海静安·一模）如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为__________． 26．（2025·上海普陀·一模）设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是___________． 27．（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为________ 28．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 29.已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 30．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知向量，则（   ） A． 的最大值为 1 B．曲线 关于直线对称 C． 在 上单调递增 D． 在 上有 5 个零点 2．已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D．12 3．中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（    ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 4．已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 5．在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 6．在中，若，，平分交于，则的最大值为______． 7．在中，角的对边分别为，记的面积为，且满足. (1)证明：； (2)若，且，求. 8．已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 9．的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． (1)求； (2)点满足，且，求． 10．在中，设，．已知，，，． (1)求，； (2)求与； (3)求的面积． 创新提升 1．在中，，，，为内一点（含边界），且．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动（包括端点），点满足，若点满足，则直线的斜率的取值范围为___________. 3．（2025·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知平面上两点，距离为2，为平面上任一点，动点均满足，则的最大值是_______. 5．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 6．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 7．已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 8．已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 平面向量与三角函数综合 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 向量坐标运算与三角求值（常考 · 基础） 2 题型2 数量积与三角函数最值（高频 · 重点） 4 题型3 向量与解三角形综合 6 题型4 夹角、模长与三角恒等变换（易错） 11 题型5 三角图像性质与向量综合 13 题型6 几何背景下的向量最值与取值范围 17 重难专题分层过关练 23 巩固过关 23 创新提升 28 解题方法及技巧提炼 通法一：坐标化通法（建系优先） 口诀：建系 → 坐标 → 代数 → 求解。 步骤：①选原点与坐标轴（优先取直角顶点、对称中心、图形顶点）；②把点与向量全部坐标化；③把数量积、共线、垂直、模长写成坐标等式；④联立方程或三角关系求解。 适用：图形含直角、对称、正交背景；动点在规则曲线（圆、直线）上；一切“无处下手”时优先尝试建系。 通法二：基向量通法 口诀：选基底 → 线性表示 → 代数量积。 步骤：①选择一组不共线基底（常取同起点的两个向量，如 AB、AC）；②把目标向量用基底线性表示（利用共线、中点、重心、比例性质）；③代入数量积定义，利用已知模长与夹角求解。 关键：基底不共线时向量表示唯一，等式 ⇔ 对应系数相等。适用：三角形、四边形中的线性关系、中点、重心。 通法三：极化恒等式与几何意义 思想：把“数量积”转化为“模长平方之差”，把代数计算转为几何最值。 适用：已知和向量 / 差向量模长求数量积；动点在圆上求数量积最值；三角形中数量积定值问题。 通法四：三角统一化通法 思想：一切“向量×三角”最终都通向“sin、cos 的化简”。 流程：向量条件 → 三角表达式 → 降幂 / 辅助角 / 和差化积 → y = A sin(ωx + φ) + k → 由定义域求值域、最值、取值范围。 适用：向量坐标含三角参数；求取值范围与最值。是填空压轴最常用的“最后一步”。 通法选择矩阵 题面特征 首选通法 图形含直角 / 坐标背景 / 规则图形 通法一 坐标化 三角形内线性关系、中点、重心 通法二 基向量 已知和差向量模长、动点在圆上、求数量积最值 通法三 极化恒等式 向量坐标含三角参数、求值域范围 通法四 三角统一化 夹角 / 模长与三角求值结合 数量积定义 + 恒等变换（兼用通法一、四） 题型通法及变式提升 题型1 向量坐标运算与三角求值（常考 · 基础） 坐标代入 → 建立等式（共线 / 垂直 / 数量积）→ 解三角方程，用 sin²α + cos²α = 1 与 tanα = sinα/cosα 转化。 1．已知，，且与平行，则______. 【答案】 【详解】由与平行，可得，所以. 故答案为：. 2．设向量，，若，则____. 【答案】3 【详解】由可得，所以. 故答案为：3. 3．（25-26高三上·上海·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则_____. 【答案】 【详解】由题意可知，，因，则， 解得，则 . 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海松江·期中）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【详解】（1）∵，∴，即，∴， 又，∴，∴； （2）∵，∴，化简得， 又，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 题型2 数量积与三角函数最值（高频 · 重点） 展开 → 降幂 / 辅助角 → 化为 y = A sin(ωx + φ) + k → 先定定义域 → 再求值域。 5.在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 由余弦定理得，整理得， 则， 当且仅当时取等， 所以的最小值为. 故选：D 6．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【答案】 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 7．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由题可设，，则， 对任意实数，有，故恒成立， 即对任意实数恒成立， 故，即，即或. 故在直线的上方（含边界）或在直线的下方， 由对称性不妨设在直线的上方（含边界），如图， 设与直线的交点为，因， 故与夹角即为的夹角，即， 而，当且仅当重合时等号成立，故， 设，当且，则， 当或时，，也符号上式， 故且， 故，所以，当且仅当时取最小值. 所以的最小值为. 8．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值． 【详解】（1）由，得，此时， ，， 所以当，即时函数取到最大值1. （2）当时，，则， 当为锐角时，，因此满足时，，得， 此时，即， 由余弦定理得，即， 因此的最小值为，在时取到. 题型3 向量与解三角形综合 向量条件 → 边角关系（如 AB·AC = bc·cosA）→ 正余弦定理 → 解三角形。 9．（24-25高三上·上海·期中）已知向量，.设. (1)求函数的最小正周期以及单调增区间； (2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，的面积为，求边的长. 【详解】（1）由题设，易知其最小正周期为， 令，，则，， 所以单调增区间为，. （2）由题设，则，，即， 又，则， 所以. 10.设的内角所对的边分别是，且向量与共线， (1)求； (2)若，，求边上的高. 【详解】（1）因为向量与共线， 所以， 边化角可得，， 因为，所以，所以， 即， 因为，所以. （2）由余弦定理，可得， 整理得，解得或（舍）， 所以， 即，解得. 11．（24-25高三上·上海·阶段检测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．设向量，，已知． (1)求角A的大小； (2)设D为边上一点，且，若，，求． 【详解】（1），即． 在中，由正弦定理得， 即． 由于B为三角形内角，故，上式即． 由于A为三角形内角，解得． （2）在中，由余弦定理得， 故． 再由余弦定理，得． 因此． 12．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知中，，，设，记； (1)若，求的值； (2)求函数的最大值，及相应的值. 【详解】（1）因为，则， 由正弦定理，即，所以， 又，所以，所以，所以； （2）由正弦定理有 所以， 所以 ，， 因为，所以， 所以当，即时取得最大值，且. 13．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 题型4 夹角、模长与三角恒等变换（易错） 模长平方化 + 数量积公式 + 恒等变形；注意夹角范围 [0, π]。 14．若向量、的夹角为，且，则的最大值为___________. 【答案】 【详解】因为， 即， 设，， 所以，，， 因此， ，其中为锐角，且， 因为， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 15．已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______． 【答案】4 【详解】如图，作，，，与的夹角为，不妨设， 则 ， 当时，最大，即最大，此时． 故答案为：4. 16．（24-25高三上·上海·期中）平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】如图所示建立坐标系，则． 其中,则. 设满足， 故， 整理得到. 故． 当三点共线时，即BE与单位圆相切，在时，有最小值为； 又， 则 ，当且仅当，即时取等号. 又注意到当时，，则，当且仅当时取等号. 则，当，即在等号成立． 故答案为：．    题型5 三角图像性质与向量综合 平移只作用于 x（左加右减）；按向量 m = (h, k) 平移即 y = f(x) → y = f(x−h) + k；“先伸缩后平移”与“先平移后伸缩”结果不同，务必辨析对象。 17.已知，（），函数最大值为6. （1）求，并求函数的最小正周期； （2）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的值域. 【详解】（1） ， 又因为最大值为6，且，故， （2）函数的图像向左平移个单位后 得到 又因为，所以，所以 故，所以在上的值域为 18．（25-26高三上·上海·期中）已知向量，，记函数. (1)若为偶函数，求的最小值； (2)把图象向右平移个单位长度，得到函数图象.若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值. 【详解】（1）， 因为为偶函数， 所以，， 因此当时，. （2）把图象向右平移个单位长度， 得到函数，， 令，则. 所以，或，， 解得，或，. 函数的每个周期内有2个零点， 函数在一个周期内有两个零点，20个零点即10对， 为使区间长度最小，该区间应从第1个零点延续到第20个零点， 所以的最小值为. 19.已知向量，函数． (1)求函数的周期及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1） ． 所以， 令，． 所以对称中心为； （2）由（1）知，， 由题意，， 当时，，所以， 因为恒成立恒成立 所以． 所以， 所以的取值范围为. 20．（2025·上海·三模）设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 【详解】（1）， 故函数的最大值为，相应的值为，； （2）设，则平移后的函数为， 为奇函数，故，，得，， 于是，当时，最小，此时. 21.已知. （1）求的最小正周期； （2）若将函数图像向左平移个单位后得到函数的图像，求函数在区间上的值域； （3）锐角三角形中，若，，求的面积. 【详解】解:(1)由已知,得 , 所以的最小正周期; (2)由题意,得. 因为,所以,所以. 所以函数在上的值域为; (3)因为,所以. 因为三角形为锐角三角形,所以,所以, 所以,所以. 又,所以,所以, 所以. 题型6 几何背景下的向量最值与取值范围 优先建系 → 动点参数化（圆上点取 (cosθ, sinθ)）→ 化为三角最值；或直接使用极化恒等式转化为几何最值。 22．在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，有最小值，所以的最小值为. 故答案为：. 23．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 24．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 25．（2025·上海静安·一模）如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】 连接，由， 知， 设，则为锐角，且， 所以 ， 由于，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 26．（2025·上海普陀·一模）设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是___________． 【答案】 【详解】以正六边形的中心为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由，得轴交于点，交于点， 由，得在以线段为直径的圆上，圆心为，半径为， 因此 ， 则， 当且仅当是圆与线段的交点时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 27．（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为________ 【答案】 【详解】如图所示：为的外心，以O为原点，平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 因等边的高为，则， 因圆，则设， 则， 所以，所以当时，的最大值为. 故答案为： 28．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【详解】由题意，， . 设，因为为内角，所以， 所以当时，有最小值. 所以，所以. 所以， 所以， 所以为直角三角形，. 如图，，， 设，，. 所以，. 所以当时，取得最小值，为. 29.已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】以点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设， ，，，解得， 所以在边上，不妨设，，点， 因为，所以有，设，则， 故，，即，， 因为，所以， 即， 结合，当时，取最大值， 当时，取最小值， 故． 30．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】设，对平方得： ， 由于, ，所以当时，取到最小值， 即， 因为，所以， 由余弦定理可得：， 取中点为，则， 因为为边上任意一点，则的最小值为点到的距离， 再由正弦定理可得：， 所以，即的最小值为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知向量，则（   ） A． 的最大值为 1 B．曲线 关于直线对称 C． 在 上单调递增 D． 在 上有 5 个零点 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以的最大值为，故A错误； 对于B，因为，所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C，令，则在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确； 对于D，令，则()，则()， 因为，所以，所以共有个零点，故D错误. 故选：C. 2．已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】A 【详解】由已知，， ， 所以， ，其中，为锐角， 所以的最大值为， 所以的最大值为， 故选：A. 3．中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（    ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而， 所以，即，于是得是等腰三角形，即， 令直线交于点，则是边的中点，， 而，因此，从而得， 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 4．已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 5．在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】设，由，得， 由，得， 设， 因此 ， 所以的取值范围是. 6．在中，若，，平分交于，则的最大值为______． 【答案】 【详解】设中所对的边为， 因为，且，故，故. 而， 所以， 故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 7．在中，角的对边分别为，记的面积为，且满足. (1)证明：； (2)若，且，求. 【详解】(1)由，得， 因为，所以，化简得，故. （2）由（1）知，因为，所以，化简得， 又因为，所以， 所以，故， 所以的面积. 8．已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【详解】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 9．的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． (1)求； (2)点满足，且，求． 【详解】（1）根据三角形面积公式，向量点积公式， 代入已知条件得， 约去得. 因为，故. （2）由于， 分别对和平方展开，代入得 ​； ​​. 由，得，代入化简得. 由余弦定理，，代入，得 . 因此. 10．在中，设，．已知，，，． (1)求，； (2)求与； (3)求的面积． 【详解】（1）设，．由题意得，， 又，，由， 得．解得． 又，故． 代入，得，解得． 因此，是方程的两个根，解得． 由于，所以，，故，． （2）由题意得角是向量与的夹角， 所以，又． 于是． 可得． （3）由，得到． 由三角形面积公式得. 创新提升 1．在中，，，，为内一点（含边界），且．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，以A为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，则， 设， 过点作轴的垂线，垂足为，则，， ，，即， 则，其中， 当时，有最大值为. 2．在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动（包括端点），点满足，若点满足，则直线的斜率的取值范围为___________. 【答案】 【详解】设上的点，，点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程为， 设，且， 所以，整理得，所以， 所以，所以能成立， 所以或，所以； 3．（2025·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知共个元素， 记为， 假设中最大交集为， 所以含的四元集合中剩下的两个元素不能相同， 因为中共8个元素，则还剩下6个元素， 所以中，含的四元集合最多有个, 即数对在中最多出现3次， 同理任何一个二元数对可在中最多出现3次， 所以一个四元集中出现个二元数对， 所以个四元集中共出现次， 因为中最多有种不同的二元数对，每个最多出现3次， 所以，解得. 所以正整数的最大值为. 故答案为： 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知平面上两点，距离为2，为平面上任一点，动点均满足，则的最大值是_______. 【答案】 【详解】如图以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 则，，设， 由可得， 整理得，即， 又，则，即， 故动点在以为直径的单位圆上，其轨迹方程为， 不妨设， 则， ， 将上式看成关于角的函数， 则可得 ， 设，则， 故当时，即时，. 5．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】不妨设，因为， 则有，整理得， 即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线， 设，由得，整理得， 即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆， ，其中表示到的距离， 由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数， 且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上， 设使，点满足，即， ， ， 则有，解得， 则， 易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离， ， 当时取最小值 ，即， 即， 即的最小值为.    6．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】如图：过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，，，    设点在圆，上的射影点为，，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由， 则，当且仅当时取等， 如图在圆所在平面，取点为圆与轴负半轴交点，建立平面直角坐标系.    则，设，， 所以，， 则 当，时，等号成立. 故， 所以的最小值为. 7．已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 【详解】（1）∵ ，， ∴ . ∴ . 函数的最小正周期. 令， 解得， 即的单调递增区间为. （2）∵ ，∴ ，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，则， ∴ ，得. 由正弦定理得， ∴ ，. 又，故. ∵ 为锐角三角形，∴ ，解得. 的周长， ∵， ∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即周长的取值范围为. 8．已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题可知， 则， 最小正周期． （2）当时，， ， 所以值域为； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，再向上平移个单位长度，得到． 当时，，． 方程有两个不同实数解，即 有两个不同解， 等价于在上有两个不同解． 结合正弦函数图像，可知， 解得． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $