第2章实数的初步认识题型分类练习 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 以平方根、立方根、实数概念为基础，通过8大题型模块系统整合定义辨析、方程计算、规律探索等方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|5题|定义辨析、性质应用|从平方根定义到立方根性质，形成概念对比体系| |方程计算|5题|开方运算、n次方根拓展|运算与概念结合，体现逆运算思想| |规律探索|11题|小数点移动规律、不完全开方数分布|从特殊到一般，培养归纳推理能力| |估值比较|18题|夹逼法、公式近似计算、作差法|无理数与有理数转化，强化数感| |几何应用|2题|勾股定理、图形拼接|代数与几何融合，发展空间观念|

实数题型分类练习 知识梳理 平方根 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作−，正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 知识点02 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2. 0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3. 负数没有平方根； 4. 5. 知识点03 算术平方根 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数， 即≥0. 立方根 知识点01 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 知识点02 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系    名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即a≥0 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和±1. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4. 实数 知识点01 无理数 1．无理数：无限不循环小数叫做无理数． 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数． 2．常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）． 3．任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式． 知识点02 实数及其分类 1．有理数和无理数统称为实数． 2．实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数． 知识点03 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用． 1．比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，． （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则． 题型分类练习 一、平方根、立方根的概念理解 1．4的平方根是（     ） A． B．2 C． D．16 2．如果的算术平方根是，则下列式子中成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C． D． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列各式中，正确的是（ ） A．＝－2 B．＝9 C．＝±3 D．＝±3 5．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）若，化简______. 二、平方根、立方根的方程计算 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列式子中的x (1) (2) 10．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）我们已经学习了平方根、算术平方根以及立方根的概念，类似的我们可以定义次方根．例如，类比平方根，可以定义四次方根：若一个数的四次方等于，则叫做的四次方根，记作，其中叫作的算术四次方根． (1)类比立方根，可以定义五次方根：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作__________． (2)的七次方根记作__________，结果是__________；64的六次方根记作__________，结果是__________； (3)解方程：① ② 三、已知平方根、立方根求这个数 11．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 12．已知的平方根是，的立方根是2． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 四、平方根立方根规律 13．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则约等于下列值中的（    ） A．265 B．837 C．26.5 D．83.7 15．已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 16．（25-26八年级上·江苏南京·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则_________． 17．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知，则______． 18．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）用科学计算器求（n为正整数）的近似值（精确到0．001）如下，从不同角度观察并思考． (1)变化趋势 随着n的增大，的值随之________（填“增大”或“减小”）．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：_________． (2)分布规律 1与2之间的不完全开方数有2个：，； 2与3之间的不完全开方数有4个：，，，； 3与4之间的不完全开方数有6个：，，，，，； …… 以上的2个、4个、6个、8个，是巧合还是必然？ 如果是巧合，请举出反例；如果是必然，请用符号解释两个相邻正整数之间的不完全开方数的个数总满足以上规律． (3)运算关系 注意到，，三者恰好满足，，于是推理得出它们之间的运算关系为，． ①从表格中再找出具备类似关系的3个值，并仿照写出它们之间的运算关系； ②结合以上发现，求的值（精确到个位）． 19．利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 20．已知，则_____． 21．已知，，则______． 22．已知，，则______；已知，，则______． 23．根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 24．已知，，，则______． 五、无理数估值 25．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知，其中是整数，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 26．若为正整数，且满足，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．估算介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 28．与最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 29．估计介于（  ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 30．下列与5最接近的数是（   ） A． B． C． D． 31．整数a满足，则a的值为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）估计的值在(    ) A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 33．为正整数的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．如：，这与科学计算器计算的结果，很接近． (1)按照以上方法，可知，此时______； (2)某数学兴趣小组提出以下求的方法： 解：，即， 设，其中，则，即， 当时，可忽略，所以，解得，即． 请任选一种方法求的近似值精确到． 34．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以，则可以设成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 35．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）我们在学习无理数时，曾估计过的近似值，某数学研究小组运用学过的知识对的近似值进行探索，下面是他们探索报告的片段： ①因为，所以； 又，所以更接近2； ②设，则________， 由于，接近0，可把略去，得到方程________； ③的近似值为________． (1)请将上述报告补充完整； (2)请用类似的方法求的近似值（精确到0.1）； (3)借助该思路，在（2）得到的近似值的基础上再进行探索，直接写出更精确的近似值为____________（精确到0.01）． 36．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 六、无理数的大小比较 37．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_______．（填“＞”“＜”或“＝”） 38．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_____3（填“>”、“”或“=”）． 39．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小： __________填“”“”或“” 40．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，比较与的大小，说明理由． 41．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 42．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 43．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，，，求证：． (1)证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)请用另一种方法证明． 七、无理数的整数部分、小数部分 44．（25-26八年级上·河南南阳·期中）期中复习，小李同学利用《数的开方》和《整式的乘除》知识，探索的近似值，过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，． ，可忽略，得， 解得，． 仿照小李的探索过程，解答下列问题： (1)的整数部分为________； (2)求的近似值（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程）． 45．阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 46．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 47．（25-26八年级上·江苏南京·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； 48．（25-26八年级上·江苏南京·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即∵，∴的整数部分是2，小数部分为． (1)的整数部分是_______，小数部分是_______． (2)的小数部分为a，的整数部分为b，则_______． (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求． 49．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．于是小汇进行了以下探索： 设（其中均为整数）， 则有 由均为整数，可得．故． 这样小汇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．同样热爱数学的小文仿照小汇的方法继续探索了下列问题： (1)当均为正整数时，若，请你用含的式子分别表示：__________，__________； (2)利用小汇和小文探索的方法，求满足的正整数的值； (3)若，且均为正整数，求的值． 八、无理数与几何 50．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 51．（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《实数题型分类练习》参考答案 题号 1 2 3 4 13 14 15 25 26 27 答案 A B C D B D A B D B 题号 28 29 30 31 32 答案 B A B B B 1．A 【详解】解：4的平方根是． 2．B 【分析】利用算术平方根的非负性即可推导出x与y的大小关系． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴ ． ∴． 3．C 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义解答即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、，该选项说法正确，符合题意； 、被开方数不能是负数，没有意义，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 4．D 【详解】试题分析：A．原式=|﹣2|=2，错误； B．原式=3，错误； C．原式=3，错误； D．原式=±3，正确． 故选D． 考点：1．立方根；2．平方根；3．算术平方根． 5． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可. 【详解】, 故答案为 【点睛】考查二次根式的化简，注意 6．(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）解：， ， 解得：． 7．(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的性质解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）利用方程思想，平方根的定义计算即可； （2）利用方程思想，立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ． 8．(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握相关定义是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 9．(1)或 (2) 【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 或， 或； （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 10．(1)； (2)，，，； (3)①，②； 【分析】本题主要考查了n次方根的定义和运用n次方根解方程，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据n次方根的定义得到答案即可； （2）根据n次方根的定义算出答案即可； （3）运用n次方根解方程即可； 【详解】（1）解：由n次方根的定义可知：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作． 故答案为：． （2）解：由n次方根的定义可得：的七次方根记作，结果是；64的六次方根记作，结果是； （3）解：① ， ② ， ． 11．(1) (2)9 【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解； （2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得：； （2）解：根据题意可知，， 解得：， 将代入，得其中一个平方根为， 所以． 12．(1) (2)4 【分析】本题考查平方根、算术平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据平方根及立方根的定义即可求得答案； （2）将（1）中结果代入中计算后根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得； （2）解：， ， ， 的算术平方根为4． 13．B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 14．D 【分析】被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点向右或者向左移动一位，据此求解． 【详解】解：∵ ∴ 15．A 【分析】根据被开方数的小数点向右移动两位，其算术平 方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【详解】解：， ∴． 16． 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解表格数据的规律是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此即可得到答案． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， ∵, ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了算术平方根的性质，根据被开方数扩大每倍，算术平方根扩大倍即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 18．(1)增大；正方形的面积越大，那么它的边长越大 (2) 解：上述规律是必然的，理由如下： 设a、b为两个相邻的正整数，且， ∴， ∴大于且小于的正整数为个， ∴b与a之间的不完全开方数有个，即个， ∴1与2之间的不完全开方数有2个； 2与3之间的不完全开方数有4个； 3与4之间的不完全开方数有6个： ……； (3)①选取， ∵， ∴，； ② 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，平方差公式，实数的运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据可得第一空的答案；根据正方形面积与其边长之间的关系可得第二空答案； （2）设a、b为两个相邻的正整数，且，则，则可推出b与a之间的不完全开方数有个，即个，据此可得答案； （3）①选取，根据表格中的数据可得，再仿照题意求解即可；②原式可变形为，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，随着n的增大，的值随之增大．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：正方形的面积越大，那么它的边长越大． （2）略 （3）解：①略 ② 19． 【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ，且是的小数点向左移动两位得到的， ． 20． 【分析】根据被开方数的小数点每向左移动2位，算术平方根的小数点向左移动1位求解即可． 【详解】解： ∴． 21． 【分析】根据已知的式子，结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答即可． 【详解】解：， 且被开方数的小数点向右移动三位，相应的立方根的小数点向右移动一位， ． 22． 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 23． 【详解】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位， ∴，， ∴． 24． 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 25．B 【分析】本题考查无理数的估算；是无理数，被开方数是13，在13的前后找到能能开平方的数即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B. 26．D 【分析】先估算无理数的取值范围，再解不等式得到的范围，结合为正整数求出的最小值． 【详解】，， ，即 又为正整数 的最小值为． 27．B 【分析】求出和的值，根据算术平方根的意义即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即介于和之间． 28．B 【详解】解：，， 又， 即， ，，且 ， 更接近，选项符合题意． 29．A 【分析】利用平方法确定的大致范围，再根据不等式性质推导的范围即可． 【详解】解：，，且， ， ∴ ∴， 即， 介于1和2之间． 30．B 【分析】由于，所以只要比较被开方数，看哪个与25更接近即可． 【详解】解：， ∵，且， ∴与5最接近的数是． 31．B 【分析】先估算和的整数范围，再根据不等式性质得到和的范围，最后找出区间内的整数即可得到结果. 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 即 ，， 不等式两边同乘，不等号方向改变，可得 ，， ∵ ， ∴ ， 又∵是整数， ∴， 32．B 【分析】根据算术平方根的性质得出，推出2＜＜3即可． 【详解】解：∵， ∴2＜＜3， 即在2和3之间． 故选B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解此题的关键是知道在和之间. 33．(1)25 (2)5.8 【分析】本题考查的是完全平方数． （1）根据最接近26的完全平方数25解答； （2）仿照题目给出的方法计算即可． 【详解】（1）解：最接近26的完全平方数25， ， 故答案为：25； （2）解：方法1：； 方法2：，即， 设，其中，则，即， 当时，可忽略， 所以， 解得，即． 34．（1）； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高， 理由如下；∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 【分析】（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）略 35．(1)，，； (2)3.2 (3)3.16 【分析】此题考查无理数的估算，完全平方公式计算，正确理解题意是解题的关键： （1）根据完全平方公式去括号，得一元一次方程，解方程即可； （2）仿照例题进行计算即可； （3）仿照例题进行计算即可； 【详解】（1）②设，则， 由于，接近0，可把略去，得到方程； ③的近似值为． 故答案为：，，； （2）设，则， 把略去，得到方程， 解得 所以 故的近似值为． （3）设，则， 把略去，得到方程， 解得 所以 故的近似值为． 36．(1)小强的近似值为10.18，小丽的近似值精确度更高 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及完全平方公式是正确解答的关键． （1）利用题目所提供的方法进行计算即可； （2）估算无理数的大小，设，得到，忽略，求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， 即， ， ． 比较小可以忽略不计， ，解得． 即的近似值为． ∴小丽的精确度较高． （2）由于，可设， ， 即， 由于，， 由于较小，忽略不计， ，解得， ∴． 37． 【分析】本题考查了无理数的大小比较，涉及了完全平方公式，比较的大小即可求解． 【详解】解：∵， ，且更靠近 ∴ ∴ 即： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 38．< 【分析】本题考查的是无理数的估算，不等式的基本性质．掌握“无理数的估算的方法”是解本题的关键． 由可得到则有从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：<． 39． 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 40． 解：；理由如下 ， ， ， 根据乘法公式：， ， 又， ， 即． 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和平方差公式． 整理二次根式，利用平方差公式因式分解，然后进行分析即可． 【详解】略 41．(1)；；；；； (2) 解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可； （2）采取（1）中相同的方法解答即可． 【详解】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）略 42．（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式、无理数的大小比较、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据作差法进行解题即可； （2）结合作差法和作商法解题即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，即， ，即， ∵， ∴的立方根一定大于的算术平方根，即； 综上，． 43．(1)， (2) 证明：，，． ，，，． ，，即． 【分析】此题考查了实数大小比较，能准确地理解和应用算术平方根和作差法是解题的关键． （1）结合题意应用不等式的性质进行求解； （2）运用算术平方根和平方差公式等知识进行变式、求解． 【详解】（1）解：，， ，． ， ，． ． ． 故答案为：，． （2）略 44．(1)13 (2) 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出，即可解答； （2）仿照示例画出图形，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为13， 故答案为：13； （2）解：示意图如图所示： ∵面积为176的正方形边长为， 且， ∴设，其中， 根据示意图，可得图中正方形面积为， ∵， ∴， 当时，可忽略， 得：，解得：， 即． 45．(1)4； (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 46．(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件估算无理数是解题的关键； （1）仿照材料求出，，再代入计算即可； （2）求出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ； 的值是； （2）解：， ， ， ，， ， 的值为． 47．(1)， (2) 【分析】本题重点考查无理数的估算及实数的整数部分与小数部分的确定，准确估算无理数所在整数区间是解题的关键． （1）根据题目中的方法，，从而得到答案； （2）根据题目中的方法，估计的大小，可得的值，进而计算可得的值． 【详解】（1），即， 的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，． （2）∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为，即， ∴． 48．(1)4， (2)1 (3) 【分析】（1）根据无理数的估算可得，由此即可得； （2）先根据无理数的估算可得，，从而可得的值，再代入计算即可得； （3）先根据无理数的估算可得，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：， ， 则的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，． （2）解：， ，， 的小数部分为，的整数部分为， ， ， 故答案为：1． （3）解：， ， ， 是的整数部分，是的小数部分， ， ． 【点睛】本题考查了无理数的估算和实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 49．(1)， (2)， (3)或 【分析】（）根据小汇的方法解答即可； （）根据小汇和小文探索的方法解答即可； （）根据小汇和小文探索的方法解答即可； 本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的恒等变形，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴，， ∴，； （3）解：∵， ∴，， ∵均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； ∴的值为或． 50．(1)直角三角形的三边长为15，20，25； (2) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有． 【详解】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：， 第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴， ∴直角三角形的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 51．（1）或 （2）证明：在与中， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图所示，四边形即为所求， 将面积为1的正方形与面积为5的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 【分析】本题考查勾股定理与全等三角形的应用，熟练掌握勾股定理与全等三角形是解题关键． （1）先由勾股定理得正方形边长，再结合点A表示的数，推出表示的数． （2）通过证明，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，推导得出结论． （3）利用勾股定理，结合面积为5、1的正方形，构造直角三角形得到斜边，再拼成正方形． 【详解】（1）解：由题可知， 点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合， 若在A的左侧，则表示的数为， 若在A的右侧，则表示的数为， 表示的数为或． 故答案为：或． （2）略 （3）略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $