专题01 实数重难点十一大题型汇编（专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以实数核心概念为统领，通过11类题型构建从基础概念到综合应用的训练体系，突出抽象能力、运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根与立方根|5题型(1-5)|概念辨析、解方程、综合运算、规律探索|从定义到运算再到规律发现，形成完整认知链| |无理数|3题型(6-8)|概念识别、大小估算、整数部分计算|围绕无理数核心属性，层层递进考查| |实数性质与数轴|2题型(9-10)|性质应用、数形结合|体现实数几何意义与代数性质的统一| |综合应用|1题型(11)+拔高题|程序运算、知识综合|整合实数知识解决复杂问题，培养应用意识|

专题01 实数重难点十一大题型汇编 常考题型·精准突破 题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念 题型2 利用平方根/立方根解方程】 题型3 平方根、算术平方根与立方根有关综合运算 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 题型5 与立方根有关的规律探索 题型6 无理数的概念 题型7 无理数大小估算 题型8 无理数整数部分的有关计算 题型9 实数的性质 题型10 实数与数轴 题型11 程序设计与实数的运算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念 1．36的算术平方根是（     ） A．6 B． C．8 D． 2．的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 3．的平方根是（    ） A． B． C． D． 4．的平方根是（   ） A．25 B． C． D． 5．一个数的立方根等于它的平方根，则这个数是（   ） A． B． C． D．， 6．的立方根是（     ） A． B． C．8 D．4 7．计算：（     ） A． B．2 C． D．4 8．计算的结果等于_________． ◆题型2 利用平方根/立方根解方程 9．求下列方程中x的值： (1)； (2)． 10．求式中的值： 11．求下列各式中的值． (1)； (2)． 12．解下列方程： (1)； (2) ◆题型3 平方根、算术平方根与立方根有关综合运算 13．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 14．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 15．已知一个正数的两个平方根分别为和． (1)求的值； (2)求的立方根． 16．已知实数的立方根是2，实数的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 17．已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 18．已知一个正数的两个平方根分别是与，的算术平方根是5． (1)求的值； (2)求的立方根． ◆题型4 与算术平方根有关的规律探索题 19．若，，则____． 20．观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 21．观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 22．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． ◆题型5 与立方根有关的规律探索 23．已知，，则______． 24．若 ， ，则 _________． 25．已知，，，，则的立方根是________． 26．下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． ◆题型6 无理数的概念 27．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 28．在、、5、、、（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ◆题型7 无理数大小估算 30．估计的值在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 31．估计的值应在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 32．估算在哪两个整数之间（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 ◆题型8 无理数整数部分的有关计算 33．已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 34．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 35．若，其中a为整数，则的值为（   ） A．3 B．7 C．8 D．9 36．已知，则的小数部分是（   ） A． B． C． D． ◆题型9 实数的性质 37．的绝对值是_________；的相反数是_________． 38．的相反数是_________． 39．的绝对值为___________． ◆题型10 实数与数轴 40．如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 41．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 42．如图，在数轴上表示实数的点可能是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D ◆题型11 程序设计与实数的运算 43．如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 44．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 45．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为81时，输出的数为（　　） A．1 B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 1．在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 3．估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 4．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 6．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 7．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知：若，，则 __________________． 9．比较大小：______．______． 10．已知3是的一个平方根，的立方根是3，则______． 11．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 三、解答题 12．计算：． 13．已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 14．如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数重难点十一大题型汇编 常考题型·精准突破 题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念 题型2 利用平方根/立方根解方程】 题型3 平方根、算术平方根与立方根有关综合运算 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 题型5 与立方根有关的规律探索 题型6 无理数的概念 题型7 无理数大小估算 题型8 无理数整数部分的有关计算 题型9 实数的性质 题型10 实数与数轴 题型11 程序设计与实数的运算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念 1．36的算术平方根是（     ） A．6 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根定义：若一个正数的平方等于，即，则这个正数叫做的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴36的算术平方根是． 2．的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 3．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的平方根是． 4．的平方根是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的值，再根据平方根的定义计算结果，注意区分所求的是哪个数的平方根． 【详解】解∶∵ ， 又∵ ， ∴ 的平方根为， 即的平方根是． 5．一个数的立方根等于它的平方根，则这个数是（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】根据负数没有平方根先排除错误选项，再验证剩余数是否满足条件即可得到答案． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴排除含的选项， ∵的平方根是，的立方根是，， ∴不满足条件，排除， ∵的平方根是，的立方根也是，满足立方根等于它的平方根， ∴这个数是，故选项符合题意． 6．的立方根是（     ） A． B． C．8 D．4 【答案】B 【详解】 的立方根是． 7．计算：（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据立方根的定义计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据立方根的定义可得． 8．计算的结果等于_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和性质，将被开方数写成某个数的立方，即可计算出这个数的立方根． 【详解】解：，， ∴， ∴． ◆题型2 利用平方根/立方根解方程 9．求下列方程中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】先将原方程整理为平方项等于非负常数的形式，再根据平方根的定义开平方，即可求出x的值． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 或． 10．求式中的值： 【答案】 【详解】 11．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】 （1）先移项化简方程，再根据平方根的定义开平方求解x； （2）先化简方程，再根据立方根的定义开立方求解x； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即或． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 12．解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 移项得 两边同除以9得 开平方得或 （2）解： 移项得 两边同除以27得 开立方得 解得 ◆题型3 平方根、算术平方根与立方根有关综合运算 13．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a，b值分别为3，4 (2)的算术平方根为2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，再根据立方根的定义得求出b； （2）根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， 解得， 答：a，b值分别为3，4； （2）解：∵， ∴， 答：的算术平方根为2． 14．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ∴的平方根是． 15．已知一个正数的两个平方根分别为和． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)的值为1 (2)的立方根是2 【分析】（1）根据平方根的定义计算即可得出结果； （2）先求出，再结合立方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）∵和是正数的平方根 ∴， 解得， ∴的值为1； （2）解：由（1）得的值为1， ∴，， ∵， ∴，则， ∵， ∴的立方根是2． 16．已知实数的立方根是2，实数的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：因为a的立方根是2， 所以； 因为b的算术平方根是4， 所以． （2）解：因为， 所以的平方根是． 17．已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ， (2) 的平方根为 【分析】（1）根据立方根的定义和算术平方根的定义得到关于、的方程，解方程求出、的值； （2）把、的值代入求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：是的立方根， ， ， ， 的算术平方根是， ， ， ； （2）解：，， ， 的平方根为，即． 18．已知一个正数的两个平方根分别是与，的算术平方根是5． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程可得的值；根据算术平方根的定义即可得的值； （2）将代入计算的值，再计算立方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得． ∵的算术平方根是5， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴8的立方根为2， ∴的立方根为2． ◆题型4 与算术平方根有关的规律探索题 19．若，，则____． 【答案】 【详解】解：， 由题干可知， ∴． 20．观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 【答案】 【分析】将所有数统一改写为算术平方根的形式，归纳出被开方数的排列规律，再根据规律计算求解． 【详解】解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． 21．观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 22．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． ◆题型5 与立方根有关的规律探索 23．已知，，则______． 【答案】 【分析】根据已知的式子，结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答即可． 【详解】解： ， 且被开方数的小数点向右移动三位，相应的立方根的小数点向右移动一位， ． 24．若 ， ，则 _________． 【答案】 【分析】根据立方根的小数点移动规律，被开立方的数的小数点向左移动3位，立方根的小数点相应向左移动1位，即可求解． 【详解】解：∵变为小数点向左移动了3位， ∴的立方根向左移动1位得到的立方根， ． 25．已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 26．下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 ◆题型6 无理数的概念 27．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，逐个判断选项中的数是否为无限不循环小数． 【详解】解：A、是负整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、，是正整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、属于无理数，故本选项符合题意； D、是有限小数，属于分数，是有理数，故本选项不符合题意； 28．在、、5、、、（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先化简，再筛选无理数即可． 【详解】解：和5是整数，是有限小数，是分数，均为有理数，，和（相邻两个1之间多一个0）是无限不循环小数，为无理数， 即无理数共2个． 29．在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先明确负无理数的定义：负无理数是小于0的无理数，再逐个判断题干中各数，统计符合条件的个数即可. 【详解】解：是正有理数，不符合要求； 开方开不尽，是无理数，且小于，因此是负无理数； 是正无理数，不符合要求； 是负分数，属于有理数，不符合要求； 是无理数，且小于，因此是负无理数； ，是负整数，属于有理数，不符合要求； （相邻两个之间的个数逐次加）是正无理数，不符合要求； 故 符合条件的负无理数共个. ◆题型7 无理数大小估算 30．估计的值在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 【答案】A 【分析】找到与29相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】∵ ∴ 即 因此的值在5和6之间． 31．估计的值应在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】D 【分析】先估算出的取值范围，再根据不等式性质得到的范围，即可判断结果. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ ， 即 ∴ 的值在4到5之间. 32．估算在哪两个整数之间（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的性质确定的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可得到答案. 【详解】解： 不等式两边同时减 在和之间 ◆题型8 无理数整数部分的有关计算 33．已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 34．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 35．若，其中a为整数，则的值为（   ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，准确的计算是解决本题的关键． 先估算无理数的整数部分可得a的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴a为3， ∴ ， 故选B． 36．已知，则的小数部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，由，可得，即可得的整数部分是，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故选：． ◆题型9 实数的性质 37．的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 38．的相反数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，的相反数为． 39．的绝对值为___________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． ◆题型10 实数与数轴 40．如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 41．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点A所表示的数及两点间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴边长， ∵， ∴， ∵顶点在数轴上，且表示的数为， ∴点所表示的数为． 42．如图，在数轴上表示实数的点可能是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】先求解出的范围，再结合数轴求解即可． 【详解】解：∵，， 由可得， ∵，则， ∴， ∴， ∴，即， 可知实数的点可能是点A． ◆题型11 程序设计与实数的运算 43．如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：当时，是有理数， 当时，是无理数， 故输出的y值为，选项C符合题意． 44．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】读懂程序计算过程，把x代入程序中计算，判断结果是否是正数，最后得到结果． 【详解】解：， 的立方根为， ， 的立方根为， 2的算术平方根为， ∴输出的值为． 45．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为81时，输出的数为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，求算术平方根，依据程序进行计算是解题的关键．根据算术平方根的求解，判断有理数以及无理数即可得出结果． 【详解】解：当输入的数为81时，取算术平方根，则， 9不是无理数，取算术平方根，则， 3不是无理数，取算术平方根，则，是无理数， 则输出的数为， 故选：D． 综合攻坚·知能拔高 1．在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】先化简可化简的开方数，再逐一判断各数类型，统计无理数个数． 【详解】解：计算得，有理数有，0.257，，共3个； 无理数有，，，（每两个1之间0的个数依次加1），共4个． 2．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 3．估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 【答案】C 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而推导的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 4．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用算术平方根的含义、立方根的含义可快速排除错误选项． 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C错误． ，D正确． 5．已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 6．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用夹逼法求得与的大小范围即可解答． 【详解】解：， ，即， ，即， ， ，即， ，即， ． 7．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 二、填空题 8．已知：若，，则 __________________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，据此规律计算即可． 【详解】解：， 与相比，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点向右移动2位， 所以． 9．比较大小：______．______． 【答案】 【分析】通过比较和的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小绝对值大的反而小即可；先比较和的大小，然后比较和的大小即可． 【详解】解：①，，， ∴． ， ∴， ∴． 10．已知3是的一个平方根，的立方根是3，则______． 【答案】 【分析】本题根据平方根和立方根的定义得到关于x和y的等式，求出x、y的值，再计算即可． 【详解】解：是的一个平方根，的立方根是， ，， 整理得：，， 解得：， 把代入，得， ． 11．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是． 三、解答题 12．计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 13．已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】由题意列方程组，然后解方程组即可；　　 把，，代入得，然后通过算术平方根定义即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由知，， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 14．如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 【答案】(1) (2)解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长为， ， ∴王芳的想法不可行． (3)解：∵一共有5个边长为1的小正方形，组成的大正方形的面积为5， ∴该大正方形的边长为，示意图如下： 【分析】（1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得的值，根据，即可得出结论； （3）一共有个小正方形，那么组成的大正方形的面积为，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为a，则：， 因为边长为正数，所以． （2）略 （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数重难点十一大题型汇编 常考题型·精准突破 ◆题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念 1． 【答案】A 【分析】根据算术平方根定义：若一个正数的平方等于，即，则这个正数叫做的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴36的算术平方根是． 2． 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 3． 【答案】D 【详解】解：， 的平方根是． 4． 【答案】C 【分析】先求出的值，再根据平方根的定义计算结果，注意区分所求的是哪个数的平方根． 【详解】解∶∵ ， 又∵ ， ∴ 的平方根为， 即的平方根是． 5． 【答案】A 【分析】根据负数没有平方根先排除错误选项，再验证剩余数是否满足条件即可得到答案． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴排除含的选项， ∵的平方根是，的立方根是，， ∴不满足条件，排除， ∵的平方根是，的立方根也是，满足立方根等于它的平方根， ∴这个数是，故选项符合题意． 6． 【答案】B 【详解】 的立方根是． 7． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据立方根的定义可得． 8． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和性质，将被开方数写成某个数的立方，即可计算出这个数的立方根． 【详解】解：，， ∴， ∴． ◆题型2 利用平方根/立方根解方程 9． 【答案】(1) (2)或 【分析】先将原方程整理为平方项等于非负常数的形式，再根据平方根的定义开平方，即可求出x的值． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 或． 10． 【答案】 【详解】 11． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】 （1）先移项化简方程，再根据平方根的定义开平方求解x； （2）先化简方程，再根据立方根的定义开立方求解x； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即或． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 12． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 移项得 两边同除以9得 开平方得或 （2）解： 移项得 两边同除以27得 开立方得 解得 ◆题型3 平方根、算术平方根与立方根有关综合运算 13． 【答案】(1)a，b值分别为3，4 (2)的算术平方根为2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，再根据立方根的定义得求出b； （2）根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， 解得， 答：a，b值分别为3，4； （2）解：∵， ∴， 答：的算术平方根为2． 14． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ∴的平方根是． 15． 【答案】(1)的值为1 (2)的立方根是2 【分析】（1）根据平方根的定义计算即可得出结果； （2）先求出，再结合立方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）∵和是正数的平方根 ∴， 解得， ∴的值为1； （2）解：由（1）得的值为1， ∴，， ∵， ∴，则， ∵， ∴的立方根是2． 16． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：因为a的立方根是2， 所以； 因为b的算术平方根是4， 所以． （2）解：因为， 所以的平方根是． 17． 【答案】(1) ， (2) 的平方根为 【分析】（1）根据立方根的定义和算术平方根的定义得到关于、的方程，解方程求出、的值； （2）把、的值代入求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：是的立方根， ， ， ， 的算术平方根是， ， ， ； （2）解：，， ， 的平方根为，即． 18． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程可得的值；根据算术平方根的定义即可得的值； （2）将代入计算的值，再计算立方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得． ∵的算术平方根是5， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴8的立方根为2， ∴的立方根为2． ◆题型4 与算术平方根有关的规律探索题 19． 【答案】 【详解】解：， 由题干可知， ∴． 20． 【答案】 【分析】将所有数统一改写为算术平方根的形式，归纳出被开方数的排列规律，再根据规律计算求解． 【详解】解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． 21 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 22． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． ◆题型5 与立方根有关的规律探索 23． 【答案】 【分析】根据已知的式子，结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答即可． 【详解】解： ， 且被开方数的小数点向右移动三位，相应的立方根的小数点向右移动一位， ． 24． 【答案】 【分析】根据立方根的小数点移动规律，被开立方的数的小数点向左移动3位，立方根的小数点相应向左移动1位，即可求解． 【详解】解：∵变为小数点向左移动了3位， ∴的立方根向左移动1位得到的立方根， ． 25． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 26． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 ◆题型6 无理数的概念 27． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，逐个判断选项中的数是否为无限不循环小数． 【详解】解：A、是负整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、，是正整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、属于无理数，故本选项符合题意； D、是有限小数，属于分数，是有理数，故本选项不符合题意； 28． 【答案】B 【分析】先化简，再筛选无理数即可． 【详解】解：和5是整数，是有限小数，是分数，均为有理数，，和（相邻两个1之间多一个0）是无限不循环小数，为无理数， 即无理数共2个． 29． 【答案】B 【分析】先明确负无理数的定义：负无理数是小于0的无理数，再逐个判断题干中各数，统计符合条件的个数即可. 【详解】解：是正有理数，不符合要求； 开方开不尽，是无理数，且小于，因此是负无理数； 是正无理数，不符合要求； 是负分数，属于有理数，不符合要求； 是无理数，且小于，因此是负无理数； ，是负整数，属于有理数，不符合要求； （相邻两个之间的个数逐次加）是正无理数，不符合要求； 故 符合条件的负无理数共个. ◆题型7 无理数大小估算 30． 【答案】A 【分析】找到与29相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】∵ ∴ 即 因此的值在5和6之间． 31． 【答案】D 【分析】先估算出的取值范围，再根据不等式性质得到的范围，即可判断结果. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ ， 即 ∴ 的值在4到5之间. 32． 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的性质确定的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可得到答案. 【详解】解： 不等式两边同时减 在和之间 ◆题型8 无理数整数部分的有关计算 33． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 34． 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 35． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，准确的计算是解决本题的关键． 先估算无理数的整数部分可得a的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴a为3， ∴ ， 故选B． 36． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，由，可得，即可得的整数部分是，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故选：． ◆题型9 实数的性质 37． 【答案】 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 38． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，的相反数为． 39． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． ◆题型10 实数与数轴 40． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 41． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点A所表示的数及两点间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴边长， ∵， ∴， ∵顶点在数轴上，且表示的数为， ∴点所表示的数为． 42． 【答案】A 【分析】先求解出的范围，再结合数轴求解即可． 【详解】解：∵，， 由可得， ∵，则， ∴， ∴， ∴，即， 可知实数的点可能是点A． ◆题型11 程序设计与实数的运算 43． 【答案】C 【分析】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：当时，是有理数， 当时，是无理数， 故输出的y值为，选项C符合题意． 44． 【答案】A 【分析】读懂程序计算过程，把x代入程序中计算，判断结果是否是正数，最后得到结果． 【详解】解：， 的立方根为， ， 的立方根为， 2的算术平方根为， ∴输出的值为． 45． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，求算术平方根，依据程序进行计算是解题的关键．根据算术平方根的求解，判断有理数以及无理数即可得出结果． 【详解】解：当输入的数为81时，取算术平方根，则， 9不是无理数，取算术平方根，则， 3不是无理数，取算术平方根，则，是无理数， 则输出的数为， 故选：D． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】B 【分析】先化简可化简的开方数，再逐一判断各数类型，统计无理数个数． 【详解】解：计算得，有理数有，0.257，，共3个； 无理数有，，，（每两个1之间0的个数依次加1），共4个． 2． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 3． 【答案】C 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而推导的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 4． 【答案】D 【分析】利用算术平方根的含义、立方根的含义可快速排除错误选项． 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C错误． ，D正确． 5． 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 6． 【答案】C 【分析】利用夹逼法求得与的大小范围即可解答． 【详解】解：， ，即， ，即， ， ，即， ，即， ． 7． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 二、填空题 8． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，据此规律计算即可． 【详解】解：， 与相比，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点向右移动2位， 所以． 9． 【答案】 【分析】通过比较和的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小绝对值大的反而小即可；先比较和的大小，然后比较和的大小即可． 【详解】解：①，，， ∴． ， ∴， ∴． 10． 【答案】 【分析】本题根据平方根和立方根的定义得到关于x和y的等式，求出x、y的值，再计算即可． 【详解】解：是的一个平方根，的立方根是， ，， 整理得：，， 解得：， 把代入，得， ． 11． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是． 三、解答题 12． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 13． 【答案】(1)； (2)． 【分析】由题意列方程组，然后解方程组即可；　　 把，，代入得，然后通过算术平方根定义即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由知，， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 14． 【答案】(1) (2)解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长为， ， ∴王芳的想法不可行． (3)解：∵一共有5个边长为1的小正方形，组成的大正方形的面积为5， ∴该大正方形的边长为，示意图如下： 【分析】（1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得的值，根据，即可得出结论； （3）一共有个小正方形，那么组成的大正方形的面积为，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为a，则：， 因为边长为正数，所以． （2）略 （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $