专题03 有理数的运算七大技巧（题型专练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算七大核心技巧，以题型为载体系统提炼归类、凑整等解题方法，构建从运算律应用到数式变形的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |归类法|1典例+3变式|运用加法交换律、结合律归类同类数计算|整数/分数/同分母数的组合，基于数的分类思想| |凑整法|1典例+3变式|将得整数或零的数组合相消|相反数及互补数的识别，强化数感| |拆项法|1典例+3变式|拆分一数为两数和，用运算律简化|数的分解与重组，培养转化思想| |逆向法|1典例+3变式|小数分数互化后逆用乘法分配律|运算律逆向迁移，提升推理能力| |组合法|1典例+3变式|组合相同因数减少计算量|相邻数或规律数的组合，渗透整体思想| |裂项相消法|1典例+3变式|分解项使部分抵消简化求和|分式拆分规律，培养数学眼光| |倒数求值法|1典例+3变式|颠倒分子分母先求倒数再得原式|倒数性质应用，发展创新意识|

专题03 有理数的运算七大技巧 （题型突破·举一反三） 题型·01·归类法 题型·02·凑整法 题型·03·拆项法 题型·04·逆向法 题型·05·组合法 题型·06·袈项相消法 题型·07·倒数求值 ▌题型01 归类法 方法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 【典例1】计算：． 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，首先将减法转化为加法，再利用加法运算律进行计算，然后相加即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 【变式12】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则，并能简算是解决本题的关键． （1）根据分数的加法与减法运算计算即可； （2）根据小数的加法与减法运算计算即可； （3）根据带分数的加法与减法运算计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加减混合运算，熟记有理数加法、减法运算法则是解决问题的关键． （1）利用有理数加法运算的交换律与结合律，再由有理数加法运算求解即可得到答案； （2）将算式中的减法转化为加法，再利用有理数加法运算的交换律与结合律求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型02 凑整 方法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消 【典例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）利用加法的交换律与结合律计算即可； （2）先算绝对值，再利用加法的交换律与结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)10 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算顺序，运算法则和运算律是解题的关键． （1）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （2）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （3）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （4）化简符号，运用加法交换律与结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是灵活运用加法结合律、交换律进行简便运算． （1）同号的数先相加，然后再加减即可； （2）同分母的分数先加减即可解决问题． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算 （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型03 拆项法 方法:将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律)(结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁 【典例3】阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 【变式3-1】阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容．阅读下列材料，完成后面任务． 关于“用拆分法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：计算． 研究思路：直接运算太麻烦了！观察算式，可得原式可分为，再利用乘法分配律运算能简单很多． 研究方法：先利用拆分法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指_________，依据2是指________． (2)研究报告中，“▲”处空缺的内容是________． (3)请用拆分法，计算：． 【答案】(1)拆分；乘法分配律 (2) (3) 【分析】本题主要查了有理数乘法分配律： （1）根据乘法分配律解答，即可； （2）根据乘法分配律解答，即可； （3）根据有理数乘法分配律解答，即可． 【详解】（1）解：上述研究报告中的依据1是指拆分；依据2是指乘法分配律； 故答案为：拆分；乘法分配律 （2）解：原式 故研究报告中，“▲”处空缺的内容是； 故答案为： （3）解：原式 ． 【变式3-2】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】利用题目提供的方法计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 【变式3-3】阅读例题的计算方法，再用这种方法计算第（1）（2）小题． 例：计算： 解：原式＝ ＝ ＝ 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌题型04 逆向法 方法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单 【典例4】我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-1】下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘法分配律的逆用，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先根据有理数乘法分配律的逆用将原式变形为，再计算加法，然后计算乘法即可得； （2）先根据有理数乘法分配律的逆用将原式变形为，再计算加减法，然后计算乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式4-2】计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则运算，正确的运算是解题的关键．灵活的运用乘法的分配律计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-3】下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律 我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而使运算简便．例如，计算： ，若利用先乘后减显然很繁琐，可以注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 根据以上信息，解答下列问题． (1)计算：． (2)计算：． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题主要查乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌题型05 组合法 方法：通过组合相同的因数，减少计算量 【典例5】在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①______ ； (直接写出结果) ②； (2)计算： 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算； （1）①将两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可； ②将两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可； （2）将四个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为： ② ， ； （2）解： ， ； 【变式5-1】在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了一道例题，计算：．计算思路为：从1开始，将相邻两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有1010组，所以结果为．根据这个思路，解答下面的问题： (1)计算：①______________． ②_____________． (2)蚂蚁在数轴的原点0处，第一次向右爬行2个单位，第二次向右爬行4个单位，第三次向左爬行6个单位，第四次向左爬行8个单位，第五次向右爬行10个单位，第六次向右爬行12个单位，第七次向左爬行14个单位，第八次向左爬行16个单位…，按照这个规律，第1001次爬行后蚂蚁在数轴的什么位置？ 【答案】(1)①1010    ② (2) 【分析】（1）①根据每两个数为一组、其和为1，共1010组，据此可得； ②由每两个数为一组、其和为，共505组，即可求解； （2）根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共250组，最后一个数单独为一组，即可进行求解． 【详解】（1）解：①， ②， 故答案为：1010，． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据题意，将加数进行合理分组，从中找到和为固定常数的规律． 【变式5-2】计算． 【答案】1011 【分析】首先根据规律可得是这一组数中的第个数，把这一组数两两分组可得组，每组数的和都是，所以可得原式，经过计算即可求出结果． 【详解】解：设是第个数， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 解得：， 每两个数分为一组，共有组， ． 【变式5-3】计算：． 【答案】1 【分析】本题考查有理数加减运算中的简便计算，观察所给数据可知，从第2个数开始，每四个数字之和为0，由此可解． 【详解】解：原式 ▌题型06 列项相消法 方法：通过将数列中的每一项分解成两部分，然后重新组合，使得部分项在求和过程中相互抵消，从而简化计算。 【典例6】（1）观察并补全下面的算式： ___________；___________；___________； ___________；___________；___________． （2）算式___________． （3）计算：． 【答案】（1），，，，，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的混合运算、数字规律等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）由（1）可知，再进行计算即可； （3）仿照（2）的计算方法求解即可． 【详解】解：（1）；；； ；； 故答案为：；；；；；． （2）由（1）可知，，， 即， ∴ ； （3） ． 【变式6-1】观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项相消法． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算即可； （3）仿照题干计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式6-2】阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式＝__________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）根据（1）的规律裂项后前后项抵消，最后剩下没有抵消的项进行计算即可； （3）观察算式总结出规律：，，……，然后裂项后前后抵消，最后剩下没有抵消的项进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得：， ， ， …… ， ， ∴ ． （3）解：∵， ， …… ， ， ∴ ． 【变式6-3】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 以上三个等式两边分别相加得： 请解答下列问题： (1)根据上面的规律写出______为正整数； (2)直接写出计算结果：…______； (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律问题，能根据所给等式发现各部分的变化规律，并据此进行计算是解题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）将改写为，改写为，…，据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，；；，…， 所以第n个等式可表示为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， … ， ， ． 故答案为：； （3）解：因为，，…， 所以原式 ， ， ． ▌题型07 倒数求值法 方法：倒数法:有些含有分数的数学问题，直接求解比较繁琐，若将分子、分母上下颠倒，则便于求解，这种解法称为倒数法。 【典例7】【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解法：原式的倒数是， 所以． 【解决问题】 根据上述阅读材料提供的方法，计算：． 【答案】． 【分析】求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：原式的倒数为 ， 则． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式7-1】请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：原式的倒数 ． ∴原式． 【变式7-2】阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 【变式7-3】阅读下列材料：计算 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 =． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)一 (2)原式 【分析】此题考查了有理数的除法．熟练掌握除法法则，取倒数计算除法，乘法分配律，是解本题的关键． （1）解法一是错误的．根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．（2）被除数是一个数，除数是一个复杂算式，计算其倒数值，计算的倒数值，即得的值． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一； （2）解：∵ ， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数的运算七大技巧 （题型突破·举一反三） 题型·01·归类法 题型·02·凑整法 题型·03·拆项法 题型·04·逆向法 题型·05·组合法 题型·06·袈项相消法 题型·07·倒数求值 ▌题型01 归类法 方法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 【典例1】计算：． 【变式1-1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式12】计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． ▌题型02 凑整 方法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消 【典例2】计算： (1)； (2)． 【变式2-1】计算下列各题： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【变式2-3】计算： (1)； (2)． ▌题型03 拆项法 方法:将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律)(结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁 【典例3】阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【变式3-1】阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容．阅读下列材料，完成后面任务． 关于“用拆分法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：计算． 研究思路：直接运算太麻烦了！观察算式，可得原式可分为，再利用乘法分配律运算能简单很多． 研究方法：先利用拆分法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指_________，依据2是指________． (2)研究报告中，“▲”处空缺的内容是________． (3)请用拆分法，计算：． 【变式3-2】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【变式3-3】阅读例题的计算方法，再用这种方法计算第（1）（2）小题． 例：计算： 解：原式＝ ＝ ＝ 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． ▌题型04 逆向法 方法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单 【典例4】我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 【变式4-1】下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【变式4-2】计算：； 【变式4-3】下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律 我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而使运算简便．例如，计算： ，若利用先乘后减显然很繁琐，可以注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 根据以上信息，解答下列问题． (1)计算：． (2)计算：． ▌题型05 组合法 方法：通过组合相同的因数，减少计算量 【典例5】在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①______ ； (直接写出结果) ②； (2)计算： 【变式5-1】在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了一道例题，计算：．计算思路为：从1开始，将相邻两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有1010组，所以结果为．根据这个思路，解答下面的问题： (1)计算：①______________． ②_____________． (2)蚂蚁在数轴的原点0处，第一次向右爬行2个单位，第二次向右爬行4个单位，第三次向左爬行6个单位，第四次向左爬行8个单位，第五次向右爬行10个单位，第六次向右爬行12个单位，第七次向左爬行14个单位，第八次向左爬行16个单位…，按照这个规律，第1001次爬行后蚂蚁在数轴的什么位置？ 【变式5-2】计算． 【变式5-3】计算：． ▌题型06 列项相消法 方法：通过将数列中的每一项分解成两部分，然后重新组合，使得部分项在求和过程中相互抵消，从而简化计算。 【典例6】（1）观察并补全下面的算式： ___________；___________；___________； ___________；___________；___________． （2）算式___________． （3）计算：． 【变式6-1】观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 【变式6-2】阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式＝__________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 【变式6-3】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 以上三个等式两边分别相加得： 请解答下列问题： (1)根据上面的规律写出______为正整数； (2)直接写出计算结果：…______； (3)探究并计算： ▌题型07 倒数求值法 方法：倒数法:有些含有分数的数学问题，直接求解比较繁琐，若将分子、分母上下颠倒，则便于求解，这种解法称为倒数法。 【典例7】【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解法：原式的倒数是， 所以． 【解决问题】 根据上述阅读材料提供的方法，计算：． 【变式7-1】请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： 【变式7-2】阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【变式7-3】阅读下列材料：计算 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 =． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数的运算七大技巧 ▌题型01 归类法 【典例1】 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，首先将减法转化为加法，再利用加法运算律进行计算，然后相加即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 【变式12】 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则，并能简算是解决本题的关键． （1）根据分数的加法与减法运算计算即可； （2）根据小数的加法与减法运算计算即可； （3）根据带分数的加法与减法运算计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加减混合运算，熟记有理数加法、减法运算法则是解决问题的关键． （1）利用有理数加法运算的交换律与结合律，再由有理数加法运算求解即可得到答案； （2）将算式中的减法转化为加法，再利用有理数加法运算的交换律与结合律求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型02 凑整 【典例2】计算： 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）利用加法的交换律与结合律计算即可； （2）先算绝对值，再利用加法的交换律与结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-1】 【答案】(1) (2) (3) (4)10 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算顺序，运算法则和运算律是解题的关键． （1）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （2）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （3）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （4）化简符号，运用加法交换律与结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2-2】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是灵活运用加法结合律、交换律进行简便运算． （1）同号的数先相加，然后再加减即可； （2）同分母的分数先加减即可解决问题． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2-3】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算 （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型03 拆项法 【典例3】 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 【变式3-1】 【答案】(1)拆分；乘法分配律 (2) (3) 【分析】本题主要查了有理数乘法分配律： （1）根据乘法分配律解答，即可； （2）根据乘法分配律解答，即可； （3）根据有理数乘法分配律解答，即可． 【详解】（1）解：上述研究报告中的依据1是指拆分；依据2是指乘法分配律； 故答案为：拆分；乘法分配律 （2）解：原式 故研究报告中，“▲”处空缺的内容是； 故答案为： （3）解：原式 ． 【变式3-2】 【答案】 【分析】利用题目提供的方法计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 【变式3-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌题型04 逆向法 【典例4】 【答案】(1)15 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘法分配律的逆用，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先根据有理数乘法分配律的逆用将原式变形为，再计算加法，然后计算乘法即可得； （2）先根据有理数乘法分配律的逆用将原式变形为，再计算加减法，然后计算乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式4-2】 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则运算，正确的运算是解题的关键．灵活的运用乘法的分配律计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-3】 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题主要查乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌题型05 组合法 【典例5】 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算； （1）①将两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可； ②将两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可； （2）将四个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为： ② ， ； （2）解： ， ； 【变式5-1】 【答案】(1)①1010    ② (2) 【分析】（1）①根据每两个数为一组、其和为1，共1010组，据此可得； ②由每两个数为一组、其和为，共505组，即可求解； （2）根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共250组，最后一个数单独为一组，即可进行求解． 【详解】（1）解：①， ②， 故答案为：1010，． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据题意，将加数进行合理分组，从中找到和为固定常数的规律． 【变式5-2】 【答案】1011 【分析】首先根据规律可得是这一组数中的第个数，把这一组数两两分组可得组，每组数的和都是，所以可得原式，经过计算即可求出结果． 【详解】解：设是第个数， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 解得：， 每两个数分为一组，共有组， ． 【变式5-3】 【答案】1 【分析】本题考查有理数加减运算中的简便计算，观察所给数据可知，从第2个数开始，每四个数字之和为0，由此可解． 【详解】解：原式 ▌题型06 列项相消法 【典例6】 【答案】（1），，，，，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的混合运算、数字规律等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）由（1）可知，再进行计算即可； （3）仿照（2）的计算方法求解即可． 【详解】解：（1）；；； ；； 故答案为：；；；；；． （2）由（1）可知，，， 即， ∴ ； （3） ． 【变式6-1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项相消法． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算即可； （3）仿照题干计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式6-2】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）根据（1）的规律裂项后前后项抵消，最后剩下没有抵消的项进行计算即可； （3）观察算式总结出规律：，，……，然后裂项后前后抵消，最后剩下没有抵消的项进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得：， ， ， …… ， ， ∴ ． （3）解：∵， ， …… ， ， ∴ ． 【变式6-3】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律问题，能根据所给等式发现各部分的变化规律，并据此进行计算是解题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）将改写为，改写为，…，据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，；；，…， 所以第n个等式可表示为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， … ， ， ． 故答案为：； （3）解：因为，，…， 所以原式 ， ， ． ▌题型07 倒数求值法 【典例7】 【答案】． 【分析】求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：原式的倒数为 ， 则． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式7-1】 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：原式的倒数 ． ∴原式． 【变式7-2】 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 【变式7-3】 【答案】(1)一 (2)原式 【分析】此题考查了有理数的除法．熟练掌握除法法则，取倒数计算除法，乘法分配律，是解本题的关键． （1）解法一是错误的．根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．（2）被除数是一个数，除数是一个复杂算式，计算其倒数值，计算的倒数值，即得的值． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一； （2）解：∵ ， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $