高一数学上学期第一次月考（苏教版必修第一册第一章～第三章，高效培优）

**基本信息** 聚焦苏教版必修一前三章，以集合、不等式为核心，通过校园校庆情境题与新定义“完美自相加集合”问题，分层考查数学抽象、逻辑推理及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、充要条件、不等式性质|第4题创新定义集合运算，考查数学抽象| |多项选择|3/18|命题否定、充分条件、封闭集|第11题以“封闭集”考查逻辑推理| |填空|3/15|集合关系、命题真假、最值问题|第14题结合max函数考最值，体现数学思维| |解答|5/77|集合综合、不等式应用、实际问题|第18题校园校庆建荣誉室，第19题“完美自相加集合”新定义，关联高考创新题型|

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的基本运算进行求解即可. 【详解】因为集合， 所以，. 故选：D. 2．已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，且，可得； 反之，由不一定得到，且，比如，时，， 所以“”是“，且”的必要不充分条件． 3．已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，比如，那么此时，所以A错误； 对于B： 因为，比如，那么此时，所以B错误； 对于C： 因为，不等式两边同除以一个正数，符号不变，所以C正确； 对于D： 因为，若，则，所以D错误. 故选：C. 4．已知集合，，定义集合，则中元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据新定义求出，可取值，从而可求出，即可得解. 【详解】，， 由， 得可取，可取， 所以有个元素. 故选：D. 5．已知集合A=，集合B={m2，m+n，0}，若A=B，则（    ） A．m=1，n=0 B．m=-1，n=1 C．m=-1，n=0 D．m=1，n=-1 【答案】C 【分析】根据，所以集合中元素相同，由此可知，且，，再根据元素的互异性，即可求出结果. 【详解】由，得，且，， 解得，． 又，. 故选：C． 6．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于的不等式，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以整数可取、，共个. 故选：A 7．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得. 【详解】由，得． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 综上，实数的取值范围为或. 故选：B. 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解. 【详解】设（），（）， 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 由不等式恒成立，得：或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，，则，即， 则当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．命题：存在，的否定是：任意， B．是的充分不必要条件 C．已知集合，，若，则实数 D．已知集合，，则 【答案】ACD 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A；根据充分条件的定义判断B；根据集合中元素的互异性和集合并集的运算判断C；利用并集定义计算判断D. 【详解】A：根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题：存在，的否定是： 任意，，正确； B：若，假设，，此时不成立， 故不是的充分条件，错误； C：因为，所以，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若，则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意.综上，正确； D：集合，， 根据并集运算概念知，正确. 故选：ACD 10．已知，，且，则下列说法中正确的是（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最小值为 【答案】AB 【分析】利用基本不等式可知A正确；由、结合基本不等式可求得BC正误；由，利用二次函数性质可求得D错误. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号）， 即的最大值为，A正确； 对于B，（当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，B正确； 对于C，（当且仅当时取等号）， 即的最小值为，C错误； 对于D，，又， 当时，取得最小值，D错误. 故选：AB. 11．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，，且，则实数组成的集合是_______. 【答案】 【分析】先求出集合，再由可知，通过对参数进行分类讨论求出的取值集合. 【详解】由， 当时，，满足，故； 当时，，由可得：， 所以或解得或， 即实数组成的集合是， 故答案为： 13．已知命题是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由原命题的否定是真命题，结合一元二次不等式恒成立可得． 【详解】因为命题是假命题， 所以其否定是真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过变量替换将三个差值设为，把用表示，分两种条件情况讨论，利用的不等式放缩，求出的下界，再比较得到最小值． 【详解】令，，，其中，，， 所以 若，则，故， 令， 因此故， 则． 若，则，即， ， 则故， 则，当且仅当且时，等号成立，即时等号成立． 综上可知，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用交集及并集定义计算求解； （2）根据并集结果分和列不等式计算求解. 【详解】（1）由，得，则. 因为，所以， 则. . （2）由，可得. 若，则，解得. 若，则由，可得 解得. 综上所述，的取值范围为. 16．（15分）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 17．（15分）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 18．（17分）江苏某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元.设荣誉室的左右两面墙的长度均为（米）. (1)将甲工程队的整体报价（元）表示为长度（米）的函数； (2)当（米）取何值时，甲工程队的整体报价最低？并求出最低整体报价； (3)现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，元 (3) 【分析】（1）根据已知条件计算出整体报价. （2）利用基本不等式对整体报价的最小值进行求解，同时求得对应的的值. （3）根据“乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低”列不等式，结合二次函数的知识求得的取值范围. 【详解】（1）依题意得： . （2）， 当且仅当，即时等号成立. 故当左右两侧墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元. （3）对任意的恒成立. 从而对任意的恒成立， 令，在上的最小值为，∴ 所以的取值范围为：. 19．（17分）已知集合A为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合；（不必写过程） (2)对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； (3)若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)、 (2)是，理由为： 因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍， 所以中的最小元素为， 同理，次自相加后得到的集合中的最小元素是， 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是“完美自相加集合”； (3) 【分析】（1）结合定义计算即可得； （2）由定义可知，集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍，计算即可得； （3）解出不等式后，设出集合，结合定义可得，，再利用交集与并集定义可得、，解出可得，再证明可取即可得. 【详解】（1）由、、，故； 由，，故； （2）略 （3）由，解得， 则， 设，其中， 且， 则有， 即可得， 且有，即可得， 又，故， 又集合中最大元素为，最小元素为，则， 则有，即有，解得， 即； 下证可取： 当时，， 此时，， 故满足题意，故可取； 综上可得，的最大值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，定义集合，则中元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．已知集合A=，集合B={m2，m+n，0}，若A=B，则（    ） A．m=1，n=0 B．m=-1，n=1 C．m=-1，n=0 D．m=1，n=-1 6．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列说法正确的是（   ） A．命题：存在，的否定是：任意， B．是的充分不必要条件 C．已知集合，，若，则实数 D．已知集合，，则 10．已知，，且，则下列说法中正确的是（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最小值为 11．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．设，，且，则实数组成的集合是_______. 13．已知命题是假命题，则实数的取值范围是__________. 14．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为________ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 17．（15分）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围 18．（17分）江苏某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元.设荣誉室的左右两面墙的长度均为（米）. (1)将甲工程队的整体报价（元）表示为长度（米）的函数； (2)当（米）取何值时，甲工程队的整体报价最低？并求出最低整体报价； (3)现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围. 19．（17分）已知集合A为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合；（不必写过程） (2)对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； (3)若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C D C A B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AB ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由，得，则. 因为，所以， 则. .（6分） （2）由，可得. 若，则，解得. 若，则由，可得 解得. 综上所述，的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此．（4分） （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为．（9分） （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得.（4分） （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为.（9分） （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）依题意得： .（4分） （2）， 当且仅当，即时等号成立. 故当左右两侧墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元.（10分） （3）对任意的恒成立. 从而对任意的恒成立， 令，在上的最小值为，∴ 所以的取值范围为：.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由、、，故； 由，，故；（4分） （2）是，理由为： 因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍， 所以中的最小元素为， 同理，次自相加后得到的集合中的最小元素是， 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是“完美自相加集合”；（10分） （3）由，解得， 则， 设，其中， 且， 则有， 即可得， 且有，即可得， 又，故， 又集合中最大元素为，最小元素为，则， 则有，即有，解得， 即； 下证可取： 当时，， 此时，， 故满足题意，故可取； 综上可得，的最大值为.（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $