3.4相似三角形的性质第1课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应线段比的性质，系统讲解对应高、角平分线、中线等的比等于相似比，通过建筑模型屋架立柱问题情境引入，结合知识回顾搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以情境化问题引导学生用数学眼光观察现实，通过严谨推导（如从具体高的比到一般定理证明）培养数学思维的推理能力，分层练习（如正方形边长计算）助力学生用数学语言解决问题。学生能深化性质理解，教师可借助清晰逻辑和实例提升教学效率。

第三章 图形的相似 3.4 相似三角形的性质 第1课时 学 习 目 标 1.明确相似三角形中对应线段的比与相似比的关系；（重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.（难点） ①相似三角形的对应角_________； ②相似三角形的对应边_________。 1.相似三角形的基本性质： A B C A′ B′ C′ 如图所示，△ABC ∽△A'B'C'， 则△ABC与△A'B'C'的相似比= . 知识回顾 2.相似三角形的相似比= 的比. 相等 成比例 对应边 情境引入 两个全等三角形的对应高、对应角平分线和对应中线分别 .两个相似三角形的这些对应线段会有怎样的关系呢? 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房屋的屋架△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱。 相等 图中除了△ABC与△A′B′C′相似，还有哪些相似三角形？ △ACD∽△A′C′D′，△BCD∽△B′C′D′. 你是如何得到的呢？ 新知探究 探究：相似三角形对应线段比的性质 如果CD=1.5cm，那么模型房的屋架立柱有多高？你是怎样想的？ ∵CD⊥ AB, C'D'⊥A'B', ∴∠ADC =∠A'D'C'= 90°. 又∵△ABC∽△A'B'C', ∴∠A=∠A'. ∴△ACD∽△A'C'D'. 可以通过相似的判定和性质进行解决. ∴ ∵CD=1.5cm, ∴ ∴C'D'=3cm.故模型房的屋架立柱高为3cm. 新知探究 (1)如图所示，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为3，那么这两个三角形的两条中线AD，A'D'有怎样的关系?你还能提出类似的问题吗?与同伴进行交流。 (1)中线AD=3A'D'. 还可以提出的问题不唯一.如若AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，则 AD，A'D'有怎样的关系? C A B D D' A' B' D' 新知探究 (2)如果两个三角形相似，那么它们的对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请说明你的理由。 如果两个三角形相似，那么它们的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.理由如下： 证明：①如图所示，∵△ABC ∽△A′B′C′， CD 和 C' D' 分别是△ABC和△A′B′C′对应边上的高， ∴∠A =∠A' ，∠ADC =∠A' D' C'=90°, ∴△ADC ∽△A' D' C' , ∴k.(k为相似比) 相似三角形对应高的比等于相似比. 新知探究 1.如果两个相似三角形的相似比为8∶9，那么它们对应高的比为( ) A．8∶9 B．9∶8 C．64∶81 D．2∶3 A 新知探究 C A B F D' A' B' F' 证明：②如图所示，∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠A =∠A' ，∠ACB=∠A' C' B'. ∵CE和 C' E'分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线， ∴∠ACE=∠ACB，∠A′C′E′=∠A' C' B'， ∴∠ACE=∠A′C′E′， ∴△ACE ∽△A' C' E' , ∴k.(k为相似比) 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 新知探究 2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______. 2∶ 3 新知探究 证明：③如图所示，∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠A =∠A' ，. 又∵CF, C'F'分别是△ABC和△A′B′C′对应边上的中线， ∴， ∴， ∴△ACF ∽△A' C' F' , ∴k.(k为相似比) C A B E D' A' B' E' 相似三角形对应中线的比等于相似比. 新知探究 3.△ABC∽ △A1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线，已知，B1D1 =4cm，则BD= cm. 6 C A B E D F D' D' A' B' E' F' 如图所示，△ABC ∽△A′B′C′，线段CD、CE、CF分别是AB边上的高、∠ACB的平分线、AB边上的中线，线段C'D' 、C'E'、C'F'分别是A'B'边上的高、∠A'C'B'的平分线、A'B'边上的中线. 新知探究 相似三角形对应线段比的性质定理： 知识归纳 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 则k(k为相似比). 新知探究 如图所示，已知△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为k;点D，E在边BC上，点D，E在边B′C′上。 (1)若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则的值等于多少? (1)由“两角分别相等的两个三角形相似”可知△ABD ∽△A′B′D′，所以. 新知探究 (2)由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可知△ABE ∽△A′B′E′，所以. (3)你能提出更一般性的问题吗? (2)若BE=BC，B′E′=B′C′，则的值等于多少? (3)答案不唯一，例如:若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则的值等于多少? 新知探究 相似三角形的其他性质： 知识归纳 相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比。 如图所示，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR=BC时，求DE的长. 如果SR=BC呢？ 例1 B A E R C D S 典例分析 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD， ∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴(相似三角形对应高的比等于相似比)， 即. 当SR=BC时，得解得DE=h. 当SR=BC时，得解得DE=h. 已知△ABC∽△DEF，BG，EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.求EH的长. 例2 A G B C D E F H 典例分析 解：∵ △ABC∽△DEF， ∴, ∴, 解得，EH＝3.2(cm). 答：EH的长为3.2cm. 巩固练习 1.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为(      ) A. B. C. D. D 2.已知△ABC∽△A′B′C′且相似比为，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为，则△ABC与△A″B″C″的相似比为(      ) A.                          B.    C.                 D.或 C 巩固练习 3.已知△ABC ∽△A′B′C′，BD和B'D'是它们的对应高，AE和A'E'是它们的对应中线，且BD=8cm，B'D'=4cm，A'E'=5cm，则AE= cm. 10 4.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′的对应高的比为________． 8:3 5.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________ cm. 16 巩固练习 6.两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：设较短的角平分线长为xcm， 则由相似性质有. 解得x＝18. 较长的角平分线长为24cm. 故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm. 7.如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60 cm，AD= 40 cm，四边形PQRS是正方形. (1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？ S R Q P E D C B A 巩固练习 解： AE是△ASR的高. 理由如下： ∵AD是△ABC的高, ∴ ∠ADC=90°. ∵四边形PQRS是正方形, ∴SR∥BC. ∴∠AER=∠ADC=90°. ∴ AE是△ASR的高. 巩固练习 (2) △ASR与△ABC相似吗？为什么？ S R Q P E D C B A 解：△ASR与△ABC相似. 理由如下: ∵ SR∥BC, ∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C. ∴△ASR与△ABC相似. (3)求正方形PQRS的边长. 解：∵△ASR ∽△ABC，AE，AD分别是△ASR 和△ABC对应边上的高, ∴. 设正方形PQRS的边长为 x cm, 则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm. ∴.，解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24 cm. 课堂小结 相似三角形的性质-第1课时 相似三角形对应线段比的性质定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 其他性质 相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比. 作业布置 1.必做题：习题3.4第1，2，5题。 2.探究性作业：习题3.4第6题。 感谢聆听! $