3.4 相似三角形的性质第1课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应线段之比，通过建筑模型情境导入，提问对应边、角关系及立柱高度，衔接相似三角形判定，搭建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过分步证明高、角平分线、中线性质发展推理思维，从特殊到一般探究n等分线提升创新意识。应用举例与随堂练习结合，助学生掌握性质应用，教师可高效开展教学。

第3章　图形的相似 4 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应线段之比 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1 情景导入 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′ ，CD和C′D′分别是它们的立柱。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 问题1：试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系和对应角之间的关系。 问题2：△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。 问题3：如果CD＝1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 问题4：据此，你可以发现相似三角形具有怎样的性质？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论. A B C A′ B′ C′ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ 又 ∠AHB=∠A′H′B′=90° △AHB∽∠A′H′B′ 证明 ∴ = 同样可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 5 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′ 又AT，A′T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线， ∴∠BAT=∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′ ∴△ABT∽△A′B′T′ ∴ = 同样可以证明其余两组对应角的角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 6 A B C A′ B′ C′ D D′ 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ ∴ = ∵ D、D′分别是BC和B′C′的中点 ∴BD = = B′D′ = ∴ = 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 7 ∵∠B=∠B′ ∴△ABD∽△A′B′D′ ∴ = 同样可以证明其余两组对应边上的中线的比也等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 A B C A′ B′ C′ D D′ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 如图，已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D、E在BC边上，点D′、E′在B′C′边上. （1）若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，则等于多少？ 操作思考 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 证明（1） ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ ， ∠BAC=∠B′A′C′ ∴△ABD∽△A′B′D′ ∵∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′， ∴∠BAD=∠B′A′D′ ∴ =k 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （2）若BE=BC， B′E′=B′C′，则等于多少？ （3）你能提出更一般性的问题吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 证明（2） ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ ， = ∵BE= BC， B′E′= B′C′ ∴ = ∴△ABE∽△A′B′E′ ∴ = = k （2）若BE=BC， B′E′=B′C′，则等于多少？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 相似三角形对应角的n等分线的比，对应边的n等分线的比都等于相似比。 （3）你能提出更一般性的问题吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 总结 (1)相似三角形对应边的比等于相似比； (2)相似三角形的各对应角相等，各对应边成比例； (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 应用举例 例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR=BC时，求DE的长.如果SR=BC呢？ 【方法指导】相似三角形的判定及相似三角形的性质。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似） ∴ = （相似三角形对应高的比等于相似比）， 即 = 当SR=BC时，得 = .解得DE= . 当SR=BC时，得 = .解得DE= . 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。 (1)则图中有几对相似三角形？ (2)若AD＝9 cm，CD＝6 cm，求BD的长。 (3)若AB＝25 cm，BC＝15 cm，求BD的长。 【方法指导】相似三角形的判定和性质的综合应用。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：(1)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°。 在△ADC和△ACB中，∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， 同理可知，△CDB∽△ACB，△ADC∽△CDB。 ∴图中有三对相似三角形。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (2)∵△ACD∽△CBD， ∴ ＝ ，即＝， ∴BD＝4 cm。 (3)∵△CBD∽△ABC， ∴ ＝，即＝，BD＝ ＝9(cm)。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线， ＝ ，BD=4cm，求B′D′的长. 解＝，＝ ∴ ＝， ＝ ＝ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线有多长？ 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比 解 ＝， ＝ 所以较长的中线是7.5cm 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的角平分线，且AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′对应中线的比是______。 8∶3 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4．如图，在△ABC中，内接矩形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高，AH交GF于点K，BC＝48，EF＝10，DE＝18。求AK的长。 解：∵四边形DEFG为矩形， ∴GF∥BC，GF＝DE＝18，KH＝FE＝10， ∴△AGF∽△ABC， ∴ ＝，即＝ ， ∴AK＝6。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $