湖北省团风中学2026-2027学年上学期高二数学周测B卷（2）

**基本信息** 高二数学周测试卷聚焦空间向量、立体几何与概率统计，通过翻折问题、电路概率等情境设计，考查空间观念与数据意识，实现基础巩固与能力提升的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|空间基底、复数象限、线面关系|基础概念辨析，如基底不共面判断| |多选题|3/18|长方体坐标、独立事件|多角度考查，如对称点坐标与事件独立性| |填空题|3/15|向量垂直、二面角计算、比赛概率|空间向量应用与概率分步计算| |解答题|5/77|平行六面体向量、频率分布直方图、四棱锥证明与距离|综合应用，如结合频率分布直方图的概率计算，体现数据意识与推理能力|

团风中学高二年级数学周测试题B（2）解析版 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ） A. O，A，B，C四点不共线 B. O，A，B，C四点共面，但不共线 C. O，A，B，C四点不共面 D. O，A，B，C四点中任意三点不共线 【答案】B【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内， 即O，A，B，C四点不共面， 所以A、C、D选项说法正确，B错误． 故选：B 2. 复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解： ∴复数在复平面内对应的点为，为第二象限内的点 故选: 3. 已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B【详解】若，则或相交或异面，故A错误； 若，则存在过的平面，，则由线面平行的性质定理可知，又因为，所以，因为，所以，故B正确； 若，，则或与相交或，故C错误； 若，，，当时，；当时，或与相交，或，故D错误； 故选：B 4. 已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】因为向量，，与夹角的余弦值为， 所以， 整理得(其中)，解得（负值舍去）. 故选：A. 5. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则，所以. 故选：B. 6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75 【答案】D【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个）， 共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为. 据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75. 故选：D. 7. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为，故选D． 8. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 【答案】C【详解】对于选项A：设的中点为，则， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于选项B：由A的分析知即为二面角的平面角， 故，即，可知，则， 所以是等边三角形，故B正确； 对于选项CD：以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 所以点与平面的距离，故C错误； 又因为，且与所成的角取值范围为， 可知与所成的角的余弦值为，所以与所成的角为，故D正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 点关于点对称的点为 C. 点关于直线对称的点为 D. 点关于平面对称的点为 【答案】ACD【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为因为，所以四边形为菱形，所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 10. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 与互斥 【答案】ABD【详解】由题意可得：，故A正确； 因为，满足，所以与相互独立，故B正确； 由于两次点数为奇数，不可能满足两次点数之和为奇数，所以不可能同时发生，故C错误； 因为事件同时发生，表示两次点数之和为偶数，故与两次点数之和为奇数，不可能同时发生，所以与互斥，故D正确. 故选：ABD 11. 在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 【答案】AC 【详解】由题意，画出正三棱柱如图所示， 向量，故A正确；假设存在点，设，，所以.因为，所以.解得.故B错误； 因为正三棱柱，所以，所以，所以，故C正确； 设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面所成的角，.故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则___________． 【答案】【详解】由可得，又因为，， 所以， 解得. 故答案为： 13. 如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则______. 【答案】 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故答案为： 14. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 【答案】【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为， 甲队在一轮比赛中得分的概率为，乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 乙队在一轮比赛中得分的概率为：， 设在这一轮中，满足且为事件， 则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分， 所以， 即在这一轮中，满足且的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，平行六面体中，，. （1）用向量表示向量； （2）求及. 【答案】（1） （2）， 【小问1详解】如图，. 【小问2详解】因为，，， 所以 又， ，所以. 16. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题： （1）这一组的频数､频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛成绩的众数和第75百分位数； （3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率. 【答案】（1）4，0.1 （2）75； （3） 【小问1详解】根据题意，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，则这一组的频率为，其频数为； 【小问2详解】一组的频率最大，人数最多，则众数为， 依题意，的频率为，而的频率为，因此第75百分位数在间，设第75百分位数为x，则： 解得：，即第75百分位数估计值为 【小问3详解】记“取出的人在同一分数段”为事件，因为之间的人数为，设为､､､，之间有人，设为､， 从这人中选出人，有、、、､、、、、、、､、、、，共个基本事件，其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件， 则. 17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，、分别是、中点． (1)求证：平面； (2)求与面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取的中点为，连接，因为分别为所在棱的中点，故，而，，故，故四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面. (2). （2）设，连接，设到平面的距离为. 因为底面，平面，故，同理， 而，故.故，同理.因为，而，故平面，而平面，故，所以， 故，又，因为，故，故， 设与面所成角为，则. 18. 全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响. （1）求甲没有获得执业医师证书的概率； （2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率. 【答案】（1） （2） 【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，， 在实践考试中合格依次为，，，设甲没有获得执业医师证书的概率为 . 【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，， 并且与，与，与相互独立，则，，,由于事件，，彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：， 概率为. 19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且． (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围 【答案】(1)由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 又，则，又，平面，因此平面， 又平面，所以. (2)； (3). （2）在中，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过作于， 由（1）知，平面，在中，， 则，，所以点到平面的距离为. （3）在平面内过作于M，作于N，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，则平面， 又平面，则，又平面，则平面， 又平面，因此，则即为二面角的平面角， 设，，由（1）得，则， 在中，由，得， 在中，由，得，在中，，因此， 由，得，则，所以二面角的正切值的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 团风中学2025级高二数学周测试卷B（2） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ） A. O，A，B，C四点不共线 B. O，A，B，C四点共面，但不共线 C. O，A，B，C四点不共面 D. O，A，B，C四点中任意三点不共线 2. 复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75 7. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 点关于点对称的点为 C. 点关于直线对称的点为 D. 点关于平面对称的点为 10. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 与互斥 11. 在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则___________． 13. 如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则______. 14. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，平行六面体中，，. （1）用向量表示向量； （2）求及. 16. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题： （1）这一组的频数､频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛成绩的众数和第75百分位数； （3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，、分别是、中点． （1）求证：平面； （2）求与面所成角的正弦值． 18. 全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响. （1）求甲没有获得执业医师证书的概率； （2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且． （1）求证：； （2）当时，求点到平面的距离； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $