3.1第1课时 成比例线段及相似多边形课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦成比例线段及相似多边形，通过北京天坛、王家大院等古建筑情境导入，从形状相同图形抽象出相似图形，衔接八年级全等三角形知识，构建从具体到抽象的学习支架，逐步引出线段比、比例线段及相似多边形定义性质。 其亮点是以“情境串新知”贯穿教学，通过古建筑图形观察培养几何直观（数学眼光），木雕边框比例计算与相似多边形边角探究发展推理意识（数学思维），结合地图比例尺实例强化模型意识（数学语言）。结构化小结助学生系统掌握知识，丰富情境与练习设计既激发学生兴趣又方便教师教学。

第三章 图形的相似 九年级上│BS 3.1 相似多边形 第1课时 成比例线段及相似多边形 主题情境·古建筑之美 1.认识形状相同的图形，结合实例识别生活中形状相同的图形. 2. 借助几何直观了解线段的比和成比例线段，掌握比例的基本性质. 3. 理解并掌握相似多边形的性质，能进行简单的推理和计算. 学习目标 我国的古代建筑不仅凝聚了古代劳动人民的智慧，而且蕴含了很多数学知识. 情境串新知 北京天坛，位于北京市东城区南部，是明清两代皇帝祭天、祈谷的场所，也是世界文化遗产. 始建于明永乐十八年，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群，以其独特建筑风格与丰富文化内涵，承载深厚的历史底蕴. 研究对象一 北京天坛 情境串新知 探究 如图是天坛公园中某古亭的天花板藻井，这个古建筑结构中的图形有什么特点？ 情境串新知 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥ 抽象出来的两组图：图①、图②、图③形状相同大小不同；图④、图⑤、图⑥形状相同大小不同. 情境串新知 归纳总结 形状相同的图形叫作相似图形. 其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到，图形上的相应线段也被放大或缩小. 对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系. 情境串新知 王家大院，位于山西省晋中市，是由静升王氏家族经明清两朝及民国初年、历300余年修建而成，包括五巷六堡一条街，总面积达25万平方米，是一座具有传统文化特色的建筑艺术博物馆. 研究对象二 王家大院 情境串新知 A B m C D n 探究1 观察这个建筑的门头，思考如何表示这两种木雕边框长的比？ 情境串新知 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB，CD 的长度分别是 m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比， 即 AB : CD = m : n，或写成 = ． A B m C D n 其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项. 归纳总结 如果把 表示成比值k，那么 =k， 或 AB=k·CD．两条线段的比实际上就是两 个数的比. 情境串新知 探究2 若小木雕边框的长是0.4 m，宽是0.1 m，大木雕边框的长是1.2 m，宽是0.3 m，则这两种木雕边框长和宽的比分别是多少？ 木雕边框长的比为： ； 木雕边框宽的比为： . 比值相等 情境串新知 四条线段a，b，c，d 中，如果a与b 的比等于c与d 的比，即 = ，那么这四条线段a，b，c，d 叫作成比例线段，简称比例线段. 归纳总结 注意：(1)成比例线段是有顺序的，即若a，b，c，d是成比例线段，则 不能写成 . (2)在运用 运算时，通常情况下，四条线段a，b，c，d的长度单位要一致. 但有时为了计算方便，a、b的长度单位一致，c、d的长度单位一致也可以. 情境串新知 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad = bc. 思考·交流 (1)如果 a，b，c，d 四个数成比例，即 = ，那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘bd，得 ad = bc. 情境串新知 由此可得到： 如果 ad = bc (a，b，c，d 都不等于 0)，那么 . 思考·交流 (2)反过来，如果 ad = bc，那么 a，b，c，d 四个数还成比例吗？ 在等式中，四个数 a，b，c，d 可以为任意数；而在分式中，分母不能为 0，即b≠0，d≠0 . 情境串新知 苏州古典园林位于江苏苏州，始于春秋，盛于明清，有 “园林之城” 美誉.它以精巧布局、精致建筑和自然山水闻名，是中国古典园林杰出代表. 研究对象三 苏州园林 情境串新知 探究 如图，观察苏州园林窗户中的两种图形，你有什么发现？ C1 D1 A1 B1 A B C D 这两个图形形状相同，大小不同. 他们的边和角之间有什么关系？ 情境串新知 C1 D1 A1 B1 A B C D 8 4 把四边形放在网格中进行观察，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的顶点都在格点上. AB 与 A1B1，BC 与 B1C1，CD 与 C1D1，DA 与 D1A1的比都相等，称为对应边. ∠A 与∠A1，∠B 与∠B1，∠C 与∠C1，∠D 与∠D1分别相等，称为对应角. 情境串新知 归纳总结 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形. 1.相似多边形的定义： 符号语言： 如图，六边形 ABCDEF 与六边形 A1B1C1D1E1F1 相似， 记作：六边形 ABCDEF ∽ 六边形 A1B1C1D1E1F1 “∽”读作“相似于” 注意：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 . 情境串新知 归纳总结 2.相似多边形的特征： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 例：五边形 ABCDE ∽ 五边形 A1B1C1D1E1，对应边的比 3.相似比： 相似多边形对应边的比叫作相似比 . 五边形 ABCDE 与五边形 A1B1C1D1E1 的相似比为 k1 = 五边形 A1B1C1D1E1 与五边形 ABCDE 的相似比为 k2 = 情境串新知 思考1 之前八年级学过的全等三角形是相似图形吗？ ASA AAS SAS SSS 形状相同 形状相同 形状相同 形状相同 全等三角形是相似图形 归纳总结 相似与全等的关系：全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等. 情境串新知 思考2 任意两个等边三角形它们相似吗？ … 已知等边三角形的每个角都为 60°，三边都相等. 所以满足边数相同，对应角相等，以及对应边的比相等，即任意两个等边三角形都相似. 情境串新知 思考3 任意两个矩形它们相似吗？ 3 4 3 6 4 8 不相似. 因为它们的对应角虽然相等，但它们对应边不一定成比例. 情境串新知 思考4 任意两个菱形它们相似吗？ 不相似. 因为它们的对应边虽然是成比例的，但它们的对应角不一定相等. 情境串新知 思考5 任意两个正方形都相似吗？为什么？所有正多边形呢？ … 相似，正方形的每个角都为90°，四边都相等. 所以满足边数相同，对应角相等，以及对应边的比相等，即任意两个正方形都相似. 任意两个边数相等的正多边形都相似. 情境串新知 1.(2024连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　) A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 D 随堂练习 2.下列各组中的四条线段成比例的是(　　) A. a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B. a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ C. a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D. a＝ ，b＝3，c＝2，d＝ B 随堂练习 3.湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图．若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是______千米(结果精确到1千米)． 5500 随堂练习 4.两个相似多边形的相似比是3:7，其中一个多边形的最长边是21 ，则另一个多边形的最长边是_______. 不确定所在多边形是较大的还是较小的，所以要分类讨论 解析：设另一个多边形最长边为x， ①当x是较大的多边形的边， ，x=49． ②当x是较小的多边形的边： ，x=9， ∴x=49或9． 49或9 随堂练习 5.如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α，β 的大小和 EH 的长度 x. D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 在四边形 ABCD 中， β = 360°－(78°＋83°＋118°) = 81°. α = ∠C = 83°，∠A = ∠E＝118°. 解：∵四边形 ABCD 和 EFGH 相似，∴它们的对应角相等．由此可得 随堂练习 5.如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α，β 的大小和 EH 的长度 x. D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° ∵四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似，∴它们的对应边成比例，由此可得 ，即 . 解得 x = 28 . 随堂练习 四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比， 即 = ，那么这四条线段a, b, c, d叫作成比例线段， 简称比例线段. 比例的 基本性质 线段的比 AB : CD = m : n，或写成 = ． 成比例 线段 如果 = ，那么 ad = bc. 如果ad = bc (a , b, c, d都不等于0)，那么 = . 成比例线段 课堂小结 相似多边形 相似多边形 形状相同、大小不一定相同的图形 相似比 性质 定义 各角分别相等、各边对应成比例的 两个多边形叫作相似多边形 对应角相等、对应边成比例 相似多边形对应边的比叫作相似比 相似图形 课堂小结 $