精品解析：四川省资阳市某中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高2025级第三学期入学考试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟；满分：150分； 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上. 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 6．考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 5 D. 11 3. 某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（ ） A. 6人 B. 16人 C. 22人 D. 28人 4. 某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（ ） A. ， B. 2， C. ， D. 2， 5. 下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 11. 在正方体中，分别是的中点，则（ ） A. B. 与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知有从小到大的四个数1，a，b，9，这四个数的中位数和平均数相等，则________． 13. 若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________. 14. 在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 复数，当实数m取什么值时 （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）复数z在复平面内对应点在第三象限． 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17. 如图，在矩形ABCD中，已知，，，，相交于点N，，相交于点P． （1）若，求的值； （2）求的余弦值． 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M，N，D分别是，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19. 如图，平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，． （1）求的大小； （2）求面积的最大值； （3）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级第三学期入学考试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟；满分：150分； 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上. 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 6．考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，从而得到他的虚部． 【详解】复数，则其虚部为. 故选：B. 2. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 5 D. 11 【答案】A 【解析】 【详解】平面向量，，则. 3. 某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（ ） A. 6人 B. 16人 C. 22人 D. 28人 【答案】C 【解析】 【分析】由抽样比即可计算求解. 【详解】由题可得抽样比为. 所以小学教师应抽取人. 故选：C. 4. 某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（ ） A. ， B. 2， C. ， D. 2， 【答案】A 【解析】 【详解】，这个简谐运动的周期为，频率为，相位为. 5. 下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解. 【详解】根据拖尾效应，对于选项A和B，根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，所以A和B错误； 对于选项C，根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，所以C错误； 对于选项D，根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，所以D正确． 故选：D. 6. 已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形， 则圆柱的底面周长即为正方形的边长，正方形的边长即为圆柱的高， 所以正方形的边长为，圆柱的高为， 则圆柱侧面积为. . 7. 学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，进而在直角三角形中求得． 【详解】在中，，， ， 由， 得， 在中，， 由， 得． 8. 将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到翻折后四面体ABCD是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面AOC，又可求体积. 【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为， 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【详解】向量， ，所以A正确； 若，则，解得，所以B正确； 若，则，解得，所以C错误； 在上的投影向量为，所以D正确. 10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面、面面平行的性质判断A，根据线面垂直、面面平行的性质判断B，根据面面垂直的判定定理判断C，考虑特殊情况判断D. 【详解】当，时，可能，故A错误； 当，，可得，又，所以，故B正确； 当，时，可得，由知，故C正确； 如图，作出符合题意的图形， 当，，，时，与可以不垂直， 故D错误. 11. 在正方体中，分别是的中点，则（ ） A. B. 与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直角三角形特征判断A；利用定义法求出异面直线夹角余弦判断B；利用线面垂直的性质及判定推理判断C；求出点到平面距离判断D. 【详解】在正方体中，分别是的中点， 对于A，连接，由平面，平面，得， 由是的直角边的中点，得不垂直于，A错误； 对于B，，则是与所成的角或其补角，， ，，与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，取中点，连接，由， 得四边形是平行四边形，由， 得，则，即， 由平面，平面，得，而， 平面，因此平面，C正确； 对于D，由平面，平面，得平面平面， 平面平面，因此到平面的距离等于到的距离， 即斜边上的高，为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知有从小到大的四个数1，a，b，9，这四个数的中位数和平均数相等，则________． 【答案】 【解析】 【详解】已知四个数升序排列为：1，a，b，9，中位数为中间两个数的算术平均数，即， 平均数为， 已知中位数和平均数相等，故，解得． 13. 若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面的扇形弧长等于圆锥的底面周长可求母线长，进而由母线和底面半径可求圆锥的高，即可求体积. 【详解】由题可知该圆锥的底面半径，设圆锥的母线长为l，则，得.此该圆锥的体积. 故答案为： 14. 在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将正方体的侧面与平面展开到同一平面，的最小值就是点到直线的垂线段长度. 【详解】由题意知，是上的动点，平面，是上的动点，平面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面， 如图，当时，最小， 为等腰直角三角形，，其中， 则，，，则， 可得， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 复数，当实数m取什么值时 （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）复数z在复平面内对应点在第三象限． 【答案】（1） . （2） . （3） . 【解析】 【分析】（1）由为实数建立方程，可得答案. （2）由为纯虚数建立不等式与方程，可得答案. （3）由复数的几何意义，建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 ， 由为实数，则，解得. 【小问2详解】 由为纯虚数，则，解得. 【小问3详解】 由复数在复平面上的对应点为，该点在第三象限， 则，故，解得. 所以. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）； （2）84； （3）总平均数为65；总方差为37. 【解析】 【分析】（1）由频率直方图小矩形的面积和为1列方程求参数； （2）由百分位数的定义及直方图求上四分位数； （3）应用分层抽样的均值和方差公式求总平均数和总方差. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则； 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84； 【小问3详解】 成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 . 17. 如图，在矩形ABCD中，已知，，，，相交于点N，，相交于点P． （1）若，求的值； （2）求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线相似得到线段比例，再通过向量加减法完成基底转换，求出的值； （2）利用坐标法，把几何角转化为向量夹角，用数量积公式直接计算三角函数值． 【小问1详解】 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以． 【小问2详解】 建立如图所示的平面直角坐标系， 根据题意有，，，， 所以，， 由图有， 所以， 所以的余弦值为． 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M，N，D分别是，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）证明：过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以； （3） 【解析】 【分析】（1）求证，利用线面平行的判定定理求证； （2）过点作，利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理求证； （3）设平面平面，利用线面平行的性质定理得出，进而得出， ，即可得出平面与平面所成锐二面角的平面角为，利用余弦定理可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设平面平面， 因为平面，平面，所以，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以，则， 设，则，， 因为平面，所以与平面所成角为， ，得， 则，则由勾股定理可得，则， 因为，所以， 则平面与平面所成锐二面角的平面角为， 因为，,， 所以由余弦定理得， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 19. 如图，平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，． （1）求的大小； （2）求面积的最大值； （3）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中由正弦定理得到三边比例，设参后用余弦定理算出的余弦值，结合角度范围求出角； （2）先用正弦定理算出长，利用圆内接四边形对角互补得到，再借助余弦定理与均值不等式求出的最大值，代入三角形面积公式得面积最大值； （3）根据托勒密定理建立与的关系式，平方后拆分分式，用基本不等式求出目标代数式的最小值． 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， 设，，， 由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以，， 由四边形有外接圆可知， 在中设，， 由余弦定理得，即， 当且仅当时，等号成立， ， 所以面积的最大值； 【小问3详解】 由托勒密定理得， 即，平方得， 设， 所以， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以的最小值为，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $