精品解析：四川省安岳中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（强基班）

安岳中学高2024级第三学期强基班入学考试 数 学 试 卷 满分：150分；考试时间：120分钟 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． ） 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直列方程求解即可. 【详解】已知向量，，且，则，解得. 故选：A. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数除法化简复数，根据对应点判断所在象限. 【详解】由题设，对应点为在第二象限. 故选：B 3. 已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积为，母线长为，由求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为， 因为圆锥的表面积为，母线长为， 所以， 即 ， 解得 或 （舍去） 故选：A 4. 三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式是等价的，都能用来求三角形的面积.印度数学家婆罗摩笈多在他的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四条边分别为a，b，c，d，则其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为1，2，3，4，则四边形最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知化简得，结合正弦函数的性质求面积的最大值，注意取值条件. 【详解】因为，所以， 则， 当，即时，S取得最大值，为. 故选：D 5. 已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量四点共面定理可得，然后利用一元二次函数的图像和性质求最小值即可. 【详解】由题意因为四点共面且平面唯一确定，， 所以，即， 所以， 由一元二次函数的图像和性质可得当时，取得最小值， 所以， 故选：A 6. 如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则 ，， ， ， 所以 ， 故直线与所成的角余弦值为0. 故选： D. 7. 设函数，则曲线与所有交点的横坐标之和为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知函数图象数形结合及已知函数的对称性求解横坐标之和即可. 【详解】曲线与的交点， 如图函数有7个交点， 因为与， 所以曲线与都关于对称， 所以所有交点的横坐标之和为. 故选：D. 8. 已知函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简，函数上一点与连线斜率的倍，求出的范围，即可得出答案. 【详解】因为，图象如下图，， ， 表示函数上一点与连线斜率的倍， ，， 由图可知：或， 所以或， 则的取值范围为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则在上的投影向量为 D. 两个非零向量的夹角是锐角的充要条件是 【答案】AC 【解析】 【分析】应用模长关系计算结合垂直的向量表示判断A，应用特殊值法计算判断B，D，根据投影向量及向量数量积公式计算判断C. 【详解】为非零向量，且，左右两边平方得出， 所以，则，A选项正确； 当，则，则不一定是等腰三角形，B选项错误； 因为，所以，则在上的投影向量为，C选项正确； 当两个非零向量的夹角是0时，，但是两个非零向量的夹角不是锐角，所以D选项错误； 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（    ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若、，直线过且与线段相交，则的斜率 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错； 对于B选项，若直线与直线互相平行， 则，解得， 所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对； 对于C选项，直线的斜率为， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对； 对于D选项，如下图所示： 设线段交轴于点，直线交线段于点， ，， 当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为； 当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对. 故选：BCD. 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹为一段圆弧 C. 若的外心为O，则为定值2 D. 若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平行线的性质结合给定条件判断底面积和高都是定值来处理A，利用圆的定义结合夹角求解轨迹来处理B，利用三角形外心和向量数量积的性质判断C，将三角形翻折后，利用勾股定理和余弦定理判断D即可. 【详解】对于A，如图，取靠近的三等分点为，靠近的三等分点为， 连接， 因为，所以， 令，而， 则，得到， 因为靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，所以， 而由直四棱柱性质得， 而，由勾股定理得， 在直四棱柱中，，， 得到四边形是平行四边形，故， 则，由题意得为的中点，则的面积是定值， 而面，面，所以面， 结合，由线面平行性质得到面的距离为定值， 即四面体的体积为定值，故A正确， 对于B，如图，在面中，过作，连接， 由直四棱柱性质得面，则， 而，面， 故面，则， 而面为菱形，则面为菱形， 因为，所以， 因为，所以，则， 由锐角三角函数定义得，解得，由勾股定理得， 因为，所以由勾股定理得， 则在以为圆心，为半径的圆上运动， 设该圆与交于，与交于， 由三角函数定义得，则， 即点的轨迹为一段圆弧，故B正确， 对于C，如图，作，由题意得的外心为，故是的中点， 由已知得，因为，所以， 而， ，故C错误， 对于D，若且，此时， 因为P为的中点，所以， 由向量加法法则得，故， 则点与点重合，此时把沿着翻折， 如图，使得四点共面，此时有最小值， 此时的点均为翻折过的点，因为P为的中点，所以， 由勾股定理得，如图，连接， 由已知得，则， 由余弦定理得，解得， 由直四棱柱性质得面，则， 则由勾股定理得， 则，故， 而，则，得到， 由余弦定理得，解得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人． 【答案】20 【解析】 【分析】根据分层抽样计算求解. 【详解】4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿． 这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人， 若总样本量为100人，则应从小区抽取人． 故答案为：. 13. 已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求出的外接圆直径，利用公式可计算得出三棱锥的外接球直径，然后利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为， 取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于， 则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得. 平面，设的外接圆为圆， 可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示： 设的外接圆直径为，，又， 由正弦定理可得， 该三棱锥的外接球直径为，则. 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 14. 如图，边长为4的等边，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，然后设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角恒等变换与正弦函数的性质求解即可． 【详解】根据题意，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示： 则，半圆弧的方程为：， 设，则，， 由，得 ，解得， 由，设，其中， 可得 ， 由，得， 则， 得， 得的取值范围为：. 故答案为： 【点睛】易错点睛：坐标变换的理解：建立坐标系时，特别是点和点的位置关系，必须理解清楚向量运算的基础，并避免在代入过程中的符号错误. 三角函数的应用：关于三角恒等变换以及三角函数的范围，需要注意区间的限制，确保在求解时不遗漏可能的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】（1）或. （2）最小值为4，. 【解析】 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【小问1详解】 当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. 【小问2详解】 由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 16. 已知函数的两条相邻对称轴的距离为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． 若，且，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性求出的值，即得函数解析式； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到的解析式，由题求得，结合的范围，求得，通过凑角后利用和角的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．所以． 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． 因为，所以． 因为，则，则， 所以 ． 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若是边的中点，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理或余弦定理进行边角互化即可得出结果； （2）用向量法利用中线定理，结合基本不等式即可得解． 【小问1详解】 方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 ∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 18. 象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： （1）根据直方图，求a的值： （2）估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； （3）决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2）平均数78分，中位数80分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各组频率之和等于1求出； （2）由频率分布直方图估算平均数、中位数计算得解； （3）由题，甲最终获胜，比分可能是，，分别求出概率，再根据互斥事件的概率公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为， 所以； 【小问2详解】 根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分， 因为前三组，，的频率之和为， 所以估计这次知识能力测评的中位数为80分； 【小问3详解】 因为甲最终获胜，比分可能是，， 设甲获胜为事件A，获胜为事件， 若甲获胜，则概率为， 若甲获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则甲最终获胜的概率为. 19. 如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面，. （1）证明：； （2）设直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值. 【答案】（1） 连接BD交AC于点O，连接OP. 因为底面ABCD为菱形，所以O为BD中点，. 因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面PAC. 因为平面PAC，所以. 因为O为BD中点，所以, 所以，所以. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接OP，则，再由面面垂直的性质可得平面PAC，则，再结合O为BD中点可得结论； （2）（i）过P作于点H，可得为直线CP与平面ABCD所成角，由已知可得平面PDH，则，从而得H为的垂心，而为等边三角形，则H为的重心，则可求出，进而可求出四棱锥的体积； （ii）以OB为x轴，OC为y轴，过O点作平面ABCD的垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，求出平面和平面的法向量，设二面角的平面角为，表示出，利用换元法可求出其最大值，从而可求出二面角的正弦值的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）过P作于点H， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAC， 所以平面ABCD， 所以为直线CP与平面ABCD所成角，即. 因为平面，平面ABCD，所以. 又，，，平面PDH， 所以平面PDH. 因为平面PDH，所以， 结合可知H为的垂心. 由于底面ABCD是边长为的菱形，， 故为等边三角形，因此H为的重心， ，，，，. 由于，，所以， 所以四棱锥的体积. （ii）以OB为x轴，OC为y轴，过O点作平面ABCD的垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 设，故. 设平面的一个法向量为， ，， 则， 取，则. 设平面的一个法向量为， ，， 则， 取，则， 设二面角的平面角为， 则 ， 令，则， 所以， 由于， 故， 当且仅当，即时取等号， 故的最大值为，因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2024级第三学期强基班入学考试 数 学 试 卷 满分：150分；考试时间：120分钟 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． ） 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 4. 三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式是等价的，都能用来求三角形的面积.印度数学家婆罗摩笈多在他的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四条边分别为a，b，c，d，则其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为1，2，3，4，则四边形最大面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（    ） A. B. C. D. 7. 设函数，则曲线与所有交点的横坐标之和为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 已知函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则在上的投影向量为 D. 两个非零向量的夹角是锐角的充要条件是 10. 下列说法正确的是（    ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若、，直线过且与线段相交，则的斜率 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹为一段圆弧 C. 若的外心为O，则为定值2 D. 若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人． 13. 已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 14. 如图，边长为4的等边，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 16. 已知函数的两条相邻对称轴的距离为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． 若，且，求的值； 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若是边的中点，，求面积的最大值． 18. 象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： （1）根据直方图，求a的值： （2）估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； （3）决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 19. 如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面，. （1）证明：； （2）设直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $