第1章 丰富的图形世界（举一反三讲义）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”三级题型归纳框架系统梳理立体图形知识，涵盖识别、展开图、截面等19类核心题型，以例题变式体系呈现知识内在联系，明确空间观念培养的重难点分布。 讲义亮点在于“例题+变式”的螺旋式练习设计，如题型6结合生活场景判断几何体视图培养几何直观，题型12通过展开图计算表面积渗透模型意识。分层题型满足不同学生需求，教师可精准把握学情，助力学生从直观感知到逻辑推理的能力提升。

第1章 丰富的图形世界（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 识别生活中的立体图形】 1 【题型2 判断棱柱的顶点、面、棱数】 3 【题型3 判断平面图形旋转所得几何体】 5 【题型4 判断展开图对应的几何体】 7 【题型5 判断展开图中相对面的文字】 8 【题型6 从不同方向看几何体】 10 【题型7 根据从不同方向看几何体识别简单几何体】 13 【进阶拔高】 16 【题型8 判断正方体展开图是否可折叠】 16 【题型9 点、线、面、体四者之间的关系】 18 【题型10 判断平面截几何体的截面形状】 19 【题型11 根据两个方向看几何体判断立方体个数】 22 【题型12 由展开图求几何体的表面积、体积】 24 【题型13 补全展开图使其可折成正方体】 27 【题型14 根据从不同方向看几何体计算几何体表面积】 29 【创新思辨】 33 【题型15 由从上面看到的图形判断其他图形】 33 【题型16 从不同方向看几何体综合求最多添加方块数】 35 【题型17 求截面面积】 38 【题型18 七巧板拼图形】 41 【题型19 展开图折叠后空间位置综合判断】 43 【夯实基础】 【题型1 识别生活中的立体图形】 【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见几何体判定求解即可； 【详解】解：A.是正方体； B.是球； C.是长方体； D.是圆柱体； 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】C 【详解】解：观察图片可得，该作品中的几何体有球，棱柱，圆锥，不存在圆柱． 【变式1-2】（25-26七年级上·广东深圳·期中）深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（   ）． A．图1（平安金融中心）——球体 B．图2（华润大厦）——圆柱 C．图3（深业上城主副塔）——棱柱 D．图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥 【答案】C 【分析】本题考查常见的几何体． 根据地标建筑几何体的特征，对各选项对应的地标建筑进行分析判断即可． 【详解】解：A．平安金融中心不能近似看成球体，不符合题意； B．华润大厦不能近似看成圆柱，不符合题意； C．深业上城主副塔可以近似看成棱柱，符合题意； D．深圳湾区之光摩天轮不能近似看成圆锥，不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级上·河北唐山·期中）鲜艳欲滴的水果是人们的最爱，观察图中的三幅图片，与如图所示的实物相类似的立体图形按从左到右的顺序依次是    (    ) A．球、圆锥、圆柱 B．球、棱柱、棱锥 C．圆柱、圆锥、球 D．球、圆柱、圆锥 【答案】D 【分析】常见的立体图形如:长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等；观察图形并结合上述立体图形,即可得到答案. 【详解】由题目可知，第一个水果是类似球，第二个类似圆柱，第三个类似圆锥. 故答案选D. 【点睛】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识. 【题型2 判断棱柱的顶点、面、棱数】 【例2】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）正方体有_____个面，_____个顶点，经过每个顶点有______条棱． 【答案】 6 8 3 【详解】解：根据正方体的结构特征可得：正方体有6个面，8个顶点，经过每个顶点有3条棱． 【变式2-1】（25-26七年级上·河南焦作·期中）有一个棱柱由5个面围成，那么它有（     ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 【答案】B 【详解】解：∵任意棱柱都有2个底面， ∴该棱柱的侧面数量为，即该棱柱为三棱柱． ∵三棱柱的上下底面各有3条棱，侧面有3条棱， ∴总棱数为条． 【变式2-2】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个棱柱如图所示，则这个棱柱有___________个顶点；它由___________个面围成；这些面相交成___________条棱． 【答案】 6 5 9 【分析】本题考查了几何体中的点、棱、面，根据三棱柱的特征进行分析，即可作答． 【详解】解：观察图形得出这个几何体是一个三棱柱， 这个三棱柱有6个顶点；它由5一个面围成；这些面相交成9条棱． 故答案为： 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空． (1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】(1)6，12，8 (2)7，15，10 (3)8，18，12 (4)，， 【分析】本题考查了立体图形中的顶点、棱、面． （1）四棱柱面数：2个底面4个侧面，棱数：个底面棱4个侧棱，顶点数：个底面顶点； （2）五棱柱面数：2个底面5个侧面，棱数：个底面棱5个侧棱，顶点数：个底面顶点； （3）六棱柱面数：2个底面6个侧面，棱数：个底面棱6个侧棱，顶点数：个底面顶点； （4）棱柱面数：2个底面 个侧面，棱数：个底面棱个侧棱，顶点数：个底面顶点． 【详解】（1）解：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； （2）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； （3）六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点； （4）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点． 【题型3 判断平面图形旋转所得几何体】 【例3】（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，将下面的图形绕虚线旋转一周，其中能形成如图几何体的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面图形绕轴旋转一周形成几何体（面动成体），依次判断每个选项中图形旋转后形成的几何体即可． 【详解】解：题目中的几何体是圆台（上、下底面为大小不同的平行圆，侧面为曲面），根据题意依次判断各选项： 选项：直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周，形成的几何体是圆台，与题目几何体一致，选项符合题意； 选项：半圆绕直径旋转一周，形成的几何体是球体，选项不符合题意； 选项：矩形绕一边旋转一周，形成的几何体是圆柱，选项不符合题意； 选项：直角三角形绕直角边旋转一周，形成的几何体是圆锥，选项不符合题意． 【变式3-1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）将一个平面图形绕它的一条边所在直线旋转一周得到的立体图形是圆柱，则这个平面图形的名称可能是________（写出一个即可） 【答案】长方形（答案不唯一） 【分析】本题考查了旋转体的定义和常见的几何体，掌握常见的几何体是解题的关键． 圆柱是由一个平面图形绕其一条边旋转一周形成的立体图形，根据旋转体的定义，长方形绕其一边旋转可得圆柱． 【详解】解：将一个长方形绕它的一条边所在直线旋转一周，其对边上的点到旋转轴的距离相等，形成的底面是圆，侧面是曲面，因此得到圆柱，故这个平面图形的名称可能是长方形， 故答案为：长方形（答案不唯一）． 【变式3-2】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 【答案】④ 【分析】当长方形绕其自身的一条边旋转一周时，会形成实心圆柱，而当矩形绕一条与自身边平行且保持一定距离的直线旋转时，因内外侧旋转半径不同，会形成空心圆柱，二者均具备两个平行且全等的圆形底面和曲面侧面． 【详解】解：图形①是直角三角形，绕直线旋转一周后得到圆锥； 图形②是半圆，绕直线旋转一周后得到球； 图形③是一边与直线重合的长方形，绕直线旋转一周后得到实心圆柱； 图形④是与直线平行且有一定距离的长方形，绕直线旋转一周后，形成两个同轴的圆柱面，中间为空心，即空心圆柱； 综上，能得到空心圆柱的是图形④． 【变式3-3】（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图是某酒店大堂的旋转门，将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是______，这给我们“_____”的形象． 【答案】 圆柱 面动成体 【分析】本题考查点，线，面，体，根据点动成线，线动成面，面动成体，进行作答即可． 【详解】解：由图可知，此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这给我们面动成体的形象； 故答案为：圆柱，面动成体． 【题型4 判断展开图对应的几何体】 【例4】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图是某几何体的平面展开图，该几何体是（     ） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 【答案】C 【分析】根据各几何体的展开图，进行判断即可． 【详解】解：∵圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形， ∴这个几何体是圆锥． 【变式4-1】（25-26九年级下·四川内江·期中）下面图形中，三棱锥的平面展开图是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱锥的特征，它由4个三角形面组成，且折叠后能围成封闭立体图形，据此逐一分析即可． 【详解】解：A．由4个三角形组成，且中间一个三角形周围连着三个三角形，折叠后可围成三棱锥，该项符合题意； B．4个三角形排成一排，折叠后会有两个面重合，无法围成三棱锥，该项不符合题意； C．有1个正方形和4个三角形，是四棱锥的展开图，该项不符合题意； D．有3个长方形和2个三角形，是三棱柱的展开图，该项不符合题意； 【变式4-2】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，是一个几何体的展开图，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【答案】D 【分析】本题考查了常见几何体展开图的识别，解决本题的关键是区分不同几何体展开图的特征． 根据常见几何体的展开图判断选项即可． 【详解】解：这个展开图是由4个长方形侧面和2个长方形底面组成，是长方体的展开图． 故选：D ． 【变式4-3】（24-25六年级上·山东淄博·期中）把如图所示的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是________． 【答案】五棱锥 【分析】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是五棱锥． 故答案为：五棱锥． 【题型5 判断展开图中相对面的文字】 【例5】（24-25六年级上·安徽合肥·阶段检测）2024年6月，嫦娥六号在月球背面着陆，顺利完成月壤采样任务，带回了约的月壤，实现世界首次月背采样返回．一名学生为庆祝我国首次月背“挖宝”成功，做了如图正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“月”字相对面上的字是( )． 【答案】成 【分析】根据相对面的特点是之间一定相隔一个正方形求解即可． 【详解】解：把展开图折叠成正方体后，与“月”字相对面上的字是“成”． 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）白水县是渭南市唯一的山区县，是全国五大苹果产区中唯一符合苹果生产最适宜区七项指标的县份．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“乡”字所在的面相对面上的字是（    ） A．中 B．国 C．苹 D．果 【答案】C 【分析】根据正方体的表面展开图中 ，相对的面之间一定相隔一个正方形即可解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “中”与“果”是相对面， “国”与“之”是相对面， “苹”与“乡”是相对面． 故选：C． 【变式5-2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）有一个立方体的六个面上分别写有：无、为、经、济、腾、飞，如图是能看到的三个面上写有的汉字，则其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体可得，三个汉字的面均是相邻的，C选项中，还原正方体后，符合题意；其它选项不符合题意 故选：C． 【变式5-3】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是_________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据正方体展开图的特点找出下底面和上底面，再根据涂有黑色漆的部分作出选择即可． 【详解】解：正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，将它展开得到的表面展开图如下： 则不是由正方体纸盒展开得到的表面展开图的是②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题关键． 【题型6 从不同方向看几何体】 【例6】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，从前面看得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的概念判断即可． 【详解】解：从题目所示的前面看，从上到下依次有一个正方形，两个正方形，从左到右依次有两个正方形，一个正方形，符合题意的为C． 【变式6-1】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，一个几何体由4个大小相同的小正方体搭成，至少添加__________个上述小正方体，可以使得从正面、左面、上面观察得到的形状图相同． 【答案】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据题意要使得从正面、左面、上面观察得到的形状图相同，添加个小正方体，即可求解． 【详解】解：如图所示， 要使得从正面、左面、上面观察得到的形状图相同，添加个小正方体，如图 此时从正面、左面、上面观察得到的形状图如图， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是用9块完全相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出这个几何体从三个方向看得到的形状图． 【答案】图见解析 【详解】解：由题意，画出图形如下： 【变式6-3】（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为，求该几何体的体积． 【答案】(1) 如图所示 (2)该几何体的体积为 【分析】（1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方体数目分别为3，2，2；从左面看有3列，每列小正方体数目分别为1，3，2．据此可画出图形． （2）根据题意可得出几何体的小正方体个数，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：该几何体的小正方体个数为个， 故该几何体的体积为． 【题型7 根据从不同方向看几何体识别简单几何体】 【例7】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成，从正面、上面、左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体中小立方块的个数有_____个． 【答案】5 【分析】本题考查从不同方面看立体几何图形的平面图形还原立体图形，发挥空间想象能力是解决问题的关键． 从上面看，最底层有4个，从正面看和左面看，第二层有1个，即可得到答案． 【详解】解：从上面看，最底层有4个， 从正面看和左面看，第二层有1个， ∴这个几何体中小立方块的个数有5个． 故答案为：5． 【变式7-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）小樱用4个小立方块搭成一个几何体，这个几何体从左面看到的图形和从正面看到的图形是一样的，则这几何体可能是正面（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握空间想象能力是解题关键．分别画出从左面看到的图形和从正面看到的图形，由此即可得． 【详解】解：A、这个几何体其从左面看到的图形和从正面看到的图形如下： 则此项不符合题意； B、这个几何体其从左面看到的图形和从正面看到的图形如下： 则此项符合题意； C、这个几何体其从左面看到的图形和从正面看到的图形如下： 则此项不符合题意； D、这个几何体其从左面看到的图形和从正面看到的图形如下： 则此项不符合题意； 故选：B． 【变式7-2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下面四个几何体中，同一几何体从上往下看和从左往右看，看到的图形形状相同的几何体共有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据正方体从上往下看和从左往右看都是正方形，球从上往下看和从左往右看都是圆形，圆锥从上往下看是圆形加中心一个点，从左往右看是三角形，圆柱从上往下看是圆形，从左往右看是长方形，即可得解． 【详解】解：①正方体从上往下看和从左往右看都是正方形，故符合题意； ②球从上往下看和从左往右看都是圆形，故符合题意； ③圆锥从上往下看是圆形加中心一个点，从左往右看是三角形，故不符合题意； ④圆柱从上往下看是圆形，从左往右看是长方形，故不符合题意； 综上所述，共有2个， 故选：B． 【变式7-3】（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）下面几何体中，从左面看是几何体有_________，从上面看是的几何体有_________．（填序号） 【答案】 ①⑤/⑤① ①③/③① 【分析】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，根据从左面和上面看到的形状进行选择即可． 【详解】 解∶从左面看是的几何体有①⑤， 从上面看是的几何体有 ①③． 故答案为∶①⑤，①③． 【进阶拔高】 【题型8 判断正方体展开图是否可折叠】 【例8】（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，可以涂黑的小正方形的位置一共有___________处． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，正方体的展开图有11种，其中“141”型有6种，“132”型有4种，“222”型有1种，“33”型有1种，观察已有 5 个涂黑小正方形的布局，逐一判断即可． 【详解】解：在②或③或④处涂黑一个小正方形可构成“132”型，满足题意； 在⑥处涂黑一个小正方形可构成“33”型，满足题意； 在①或⑦处涂黑一个小正方形，涂黑的6个小正方形不能形成一个正方体的展开图， ∴可以涂黑的小正方形的位置一共有4处， 故答案为：4． 【变式8-1】（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列图形中，属于正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3−3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：属于正方体的展开图的是： 【变式8-2】（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠成正方体后，与数字6重合的数字是（   ） A．8，10 B．7，9 C．2，7 D．4，8 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的平面展开图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据正方体的平面展开图解题即可 【详解】解：观察题图可知，折叠后与数字6重合的数字是2，7． 故选：C． 【变式8-3】（25-26七年级上·全国·期中）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，图1中的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？ (2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？ 【答案】(1)图1中的C图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒 (2)折叠后，与“保”字相对的是“卫” 【分析】本题主要考查了正方体展开图的知识，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案． 【详解】（1）解：图1中， A．图形中含有“田”字，根据“田、凹应弃之”可知它不能作为正方体的展开图，因此选项A中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒， B．正方体有6个面，无盖正方体形纸盒应该由5个面，但图中只有4个面，因此选项B中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒， C．符合正方体表面展开图，可以折叠成无盖的正方体的纸盒，因此选项C符合题意， D．有6个面，能折叠成正方体，但有盖，因此选项D不符合题意， 答：图1中的C图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒； （2）根据“相间、Z端是对面”可知， “保”与“卫”相对， “环”与“小”相对， 答：折叠后，与“保”字相对的是“卫”． 【题型9 点、线、面、体四者之间的关系】 【例9】（25-26七年级上·河南周口·期末）流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线、面之间的关系，将流星视为一个点，其运动轨迹形成一条线，根据点、线、面、体的关系，点移动生成线，因此用“点动成线”解释． 【详解】解：流星在夜空中可抽象为一个点，当点移动时，其轨迹形成一条连续的线，即光带，这符合几何中点动成线的原理． 故答案为：点动成线． 【变式9-1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键． 汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面． 【详解】解：汽车的雨刮器工作的时候，可用线动成面的数学知识来解释． 故选：B． 【变式9-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（    ）． A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【答案】A 【分析】根据从运动的观点来看点动成线，线动成面进行解答即可． 【详解】“枪挑”是用枪尖挑，枪尖可看作点，棍可看作线，故这句话从数学的角度解释为点动成线，线动成面． 故选A． 【点睛】本题考查了点、线、面得关系，难度不大，注意将生活中的实物抽象为数学上的模型． 【变式9-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）时钟秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了______________；三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了______________． 【答案】 线动成面 面动成体 【详解】分析：熟悉点、线、面、体之间的联系，根据运动的观点即可解． 详解：根据分析即知：点动成线；线动成面；面动成体． 故答案为点动成线；线动成面；面动成体． 点睛：本题考查了点、线、面、体之间的联系，点是构成图形的最基本元素． 【题型10 判断平面截几何体的截面形状】 【例10】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 【答案】③ 【分析】圆柱、圆锥、球体含有曲面，截面可能是圆；正方体由平面围成，截面只能是多边形． 【详解】解：①圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ②圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ③正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆； ④球，用任意平面去截，截面都是圆． 综上所述，截面不可能是圆的几何体是③． 【变式10-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）某校在数学学科节活动中，展出了一个密闭正方体形状的冰块流沙砖，将流沙砖任意放置时，流沙面形状不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的截面，正方体有六个面，解题的关键是熟练掌握面面相交得到线．用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案． 【详解】解：正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 将流沙砖任意放置时，流沙面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 故不可能出现七边形，可能是三角形、四边形、五边形和六边形． 故选：D． 【变式10-2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）某棱柱共有个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用一个平面截几何体的知识，先根据棱柱顶点数确定棱柱类型，再分析截面可能的边数，进而判断选项． 【详解】解：∵某棱柱共有个顶点， ∴该棱柱为棱柱， ∵棱柱有个侧面和个底面，共个面 ∴用一个平面截该棱柱时，截面最多与个面相交，得到边形 ∴截面的边数可能是． 故选：D． 【变式10-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面周长为，截去一个底面周长为的正三棱柱，截面的形状是________，截后剩下的几何体的底面周长为________． 【答案】 长方形 8 【分析】本题主要考查了截一个几何体，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形．根据题意可得截后剩下的几何体的底面是等腰梯形，，，进而得出截后剩下的几何体的底面周长． 【详解】解：由题可得，截面的形状为长方形； 截后剩下的几何体的底面是等腰梯形， 如图， 由题意得是周长为的等边三角形，是周长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即截后剩下的几何体的底面周长为． 故答案为：长方形；8． 【题型11 根据两个方向看几何体判断立方体个数】 【例11】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 【答案】或 【分析】先根据从上面看确定底层纸箱的数量，因为从上面看每个正方形对应底层一个位置的纸箱，所以可先得出底层纸箱总数，再结合从前面看和从左面看判断各位置上的层数，从前面看反映每列的最大层数，从左面看反映每行的最大层数，由此分析每个位置可能的层数取值．分别计算所有可能的层数组合对应的总纸箱数． 【详解】解：首先根据从上面看（图②）可得：这堆纸箱底层共有3个纸箱， 结合从前面看和左面看到的形状如图①，可得这堆纸箱排列如图 因此总个数为： 或 ，两种情况都满足从前面、从上面和左面看到的形状要求． 【变式11-1】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，如图所示的是分别从它的正面和上面看到的形状图、则组成这个几何体用的小正方体的个数最多为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查从不同方向看几何图形，有理数的加法，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，画出示意图，即可解答． 【详解】解：根据题意，如图 ∴组成这个几何体用的小正方体的个数最多为（个）． 故选：D． 【变式11-2】（24-25七年级上·江西鹰潭·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体的小立方体个数可能是_____． 【答案】6或7或8 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从正面、上面看到的形状图，求出摆放最多时和最少时的正方体的个数，进而可求解． 【详解】解：根据从正面、上面看到的形状图，可以得出最多时和最少时的摆放情形，如图： 该几何体最少需要6块小立方体，最多需要8块小立方体， 故该几何体的小立方体个数可能是6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【变式11-3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）用若干个大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，其中从上面看到的小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．完成下列问题：    (1)图中共有______个小正方体，并在从上面看到的形状图中补充填写对应位置小正方体的个数； (2)请在网格中画出从左面看到的形状图． 【答案】(1)9 (2) 从左面看的形状为： 【分析】（1）根据从正面看的图形，得出空余部分的正方体的个数，继而得解； （2）根据（1）中结论画图即可． 【详解】（1）解：从正面看，第2列最多有1个正方体，第3列最多有3个正方体， ∴共有个正方体， ∴从上面看如图所示：    （2）略 【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是通过空间想象能力，得出相应位置的正方体的个数． 【题型12 由展开图求几何体的表面积、体积】 【例12】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)长方体 (2)该几何体的体积为，表面积为 【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算． （1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体； （2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体； （2）长方体的长为：， 体积为； 表面积为；   因此，该几何体的体积为，表面积为． 【变式12-1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱，1 (2)该几何体的侧面积为，体积为 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键． （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的侧面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为； 故答案为：圆柱；1； （2）解：该几何体的侧面积； 几何体的体积． 【变式12-2】（25-26七年级上·辽宁营口·期末）用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积的最大值为_____． 【答案】400 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为 ， ∴容积为， ， 长方体无盖的容积最大值为， 故答案为：400． 【变式12-3】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． (3) 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）解：略 （3）解：； ； 【题型13 补全展开图使其可折成正方体】 【例13】（25-26七年级·全国·单元测试）如图，硬纸板上有10个无阴影的正方形，从中选1个，使得它与图中多个有阴影的正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，选法共有(    ) A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】利用正方体的展开图即可解决问题，共四种． 【详解】解：如图所示：共四种． 故选A． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 【变式13-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 _____． 【答案】A 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 【变式13-2】（2023·黑龙江大庆·一模）黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【变式13-3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图是由小正方形组成的图,请你用三种方法分别在下图中添画两个小正方形,使它能成为正方体的表面展开图． 【答案】 【分析】按照正方体及其表面展开图的特点分析作出图形即可. 【详解】正方体有11种展开图，如下 根据正方体的11种展开图，题中的图可用如下三种方法方法作出： 故答案为 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的11种展开图. 【题型14 根据从不同方向看几何体计算几何体表面积】 【例14】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，6个边长为1的正方体组成一个几何体，从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图的面积之和是__________． 【答案】13 【分析】先画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图，确定小正方形的和，乘以面积1即可 【详解】∵几何体从三个方向看的几何体的形状图如下： ∴从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图的面积之和是（5+4+4）×1×1=13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了从正面、左面、上面看几何体的形状图，正确画出形状图是解题的关键． 【变式14-1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，该几何体由边长为1的小立方块搭成，请你认真观察，并解决下面的问题： (1)请在上面的方格纸中分别画出从正面，左面，上面看到的这个几何体的形状图． (2)若将该几何体漏在外面的部分（不包含底面）统一涂上红色，那么红色部分的面积之和为________． 【答案】(1) 如图所示 (2)24 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，求小立方块堆砌图形的表面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真观察几何体，分别画出从正面，左面，上面看到的这个几何体的形状图，即可作答． （2）分别数出在外面的部分（不包含底面）一共有几个面，再运算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：从上往下数：第一层，有一个正方体，共有个面， 第二层，有六个正方体，共有个面， ∴． 故答案为：24． 【变式14-2】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，是由10个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体． (3)若每个小正方体的每个面面积都是1，则这个几何体的总表面积（含底面）为_____． 【答案】(1) 如图所示： (2)4 (3)36 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；从上面看到的图形决定底层立方块的个数． （1）根据从不同方向看几何体作图即可得； （2）从上面看确定位置，即可得到最多添加的数量； （3）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小正方体， 故答案为：4； （3）解：这个几何体的总表面积（含底面）为：， 故答案为：． 【变式14-3】（2025七年级上·全国·专题练习）一个长方体从左面、上面分别看到的平面图形如图所示（单位：），则从前面看该长方体，看到的图形的面积是__________ 【答案】10 【分析】本题主要考查了从不同方向看，先根据从左面、从上面看到的形状图的相关数据可得，从正面看到的形状图是长为，宽为的长方形，再根据长方形面积公式计算即可． 【详解】解：根据从左面、从上面看到的形状图的相关数据可得： 从正面看到的形状图是长为，宽为的长方形， 所以该长方形的面积是． 故答案为：10． 【创新思辨】 【题型15 由从上面看到的图形判断其他图形】 【例15】（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应的位置的小正方体的个数，确定从左边看的图形的层数和列数，进而确定对应列的小正方形数即可得到答案． 【详解】解：从左面看，看到的图形分为上中下三层，共两列，左边一列上中下三层各有一个小正方形，右边一列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： 【变式15-1】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图所示是几个小正方体所搭几何体的从上面看的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体从正面看的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． 根据从上面看的形状图可知，这个几何体从正面看的形状图左数第一行有两层，第二、三行有一层，进而作图即可． 【详解】解：这个几何体从正面看的形状图是 ． 故选：B． 【变式15-2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 如图所示： ． 【分析】本题考查了几何体的从不同方向看，熟练掌握几何体的画法是解题的关键． 根据从正面看，从左面看的画图要求，画图解答即可． 【详解】略 【变式15-3】（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图是由小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画出这个几何体从正面和左面看到的图形． 【答案】 如图所示： 【分析】本题考查作图-从不同方向看立体图形．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画图时应注意小正方体的数目及位置．根据从上面看到的图形和空间想象画图即可． 【详解】略 【题型16 从不同方向看几何体综合求最多添加方块数】 【例16】（2025七年级下·四川成都·专题练习）一个立体图形由若干个相同的小正方体组成． （1）要保持从上面看到的图形不变，最多可以拿走______个小正方体． （2）要保持从正面看到的图形不变，最多可以拿走______个小正方体． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． （1）要保持从上面看到的图形不变，可以把第一层和第二层的正方体全部拿走，计算出数量即可； （2）要保持从正面看到的图形不变，可以把最前面的3个小正方体全部拿走，不会影响从正面看到的图形． 【详解】（1）解：从上面看图形有5个正方形，要保持从上面看到的图形不变，则最多可以拿走4个小正方体； （2）解：从正面看图形有6个正方形，要保持从正面看到的图形不变，则最多可以拿走3个小正方体； 故答案为：4；3． 【变式16-1】（24-25七年级上·全国·期中）如图所示，这个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的．如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持其从正面看和从左面看得到的图形不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【答案】4 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，为保持这个几何体的从左面看和从正面看到的形状图不变，可在最底层第二列第三行加1个，第三列第二行加2个，第三列第三行加1个，即可得最多可以再添加4个小正方体，熟练掌握从不同方向看几何体的方法是解决此题的关键． 【详解】保持从上面看到的图形和从左面看到的图形不变，最多可以再添加4个小正方体； 故答案为：4． 【变式16-2】（25-26六年级上·山东威海·期中）有一个由11个完全相同的小立方块搭成的几何体． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有___________种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： (2) (3) 2，如图所示，一共有2种添加方法： 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，简单组合体的表面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． （1）根据从不同方向看几何体画出图形即可； （2）分别求出最上层，中间层和最下面一层需要涂色的面，即可求解； （3）根据再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可知，几何体的最上层一共有5个面需要涂色，中间一层一共有12个面需要涂色，最下面一层一共有18个面需要涂色， ∴一共有个面需要涂色， ∴涂上颜色部分的总面积 （3）略 【变式16-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，是由6个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，①添加小正方体的方法共有________种； ②请画出各种添加小正方体后，从上面看到的几何体的形状图． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)①2；② 【分析】（1）根据从三个方向看到的图形形状进行画图即可； （2）①根据图形形状进行解答即可； ②根据添加情况画图即可． 【详解】（1）略 （2）解：①可以从前排左一或左三处再摆放一个相同的小正方体，能保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，故添加小正方体的方法共有2种； ②略 【题型17 求截面面积】 【例17】（25-26七年级上·全国·单元复习）如下图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？截得的最大的长方形的面积为多少？ 【答案】(1)4 (2)能， 【分析】本题考查了圆柱几何性质、截面形状判断及长方形面积计算等知识点，解题的关键在于理解不同切割方向对圆柱截面形状的影响，并准确识别出最大长方形截面的形成条件，即截面需与圆柱底面垂直且通过圆柱轴心，进而利用长方形面积公式进行计算． （1）考虑不同的切割方式来确定圆柱截面的形状； （2）找到能截出最大长方形的切割方法，再根据长方形面积公式计算． 【详解】（1）解：该圆柱的截面有以下4种不同的形状，如图①所示． （2）能．过两底面圆的直径的长方形截面的面积最大，如图②所示． 此时长方形的面积为． 故截得的最大的长方形的面积为． 【变式17-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）一个圆柱体的高为8，底面半径为2，若截面是长方形，则这个长方形面积最大为（   ） A．16 B．32 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆柱的轴截面的含义，圆柱体的截面为长方形时，面积最大的情况是截面经过圆柱体的轴，此时长方形的宽为底面直径，高为圆柱体的高． 【详解】解：∵ 底面半径， ∴ 直径． ∵ 圆柱高， ∴ 最大长方形面积． 因此，答案为32，对应选项B． 故选：B 【变式17-2】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有_____条棱，有_____个面； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状可能是_____（填序号）： 三角形；长方形；五边形；六边形；圆形； (3)该三棱柱的所有侧面的面积之和是_____． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积等知识，熟练掌握三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积是解题的关键． 三棱柱上底面有条棱，侧面有条棱，下底面有条棱，所以三棱柱有条棱；三棱柱有个上底面，个侧面，个下底面，所以三棱柱有个面； 棱柱的侧面是矩形，矩形的长为，宽为，所以三棱柱的所有侧面的面积之和是个长为，宽为的矩形面积之和． 【详解】（1）解：三棱柱有条棱；个面； 故答案为：，； （2）解：三棱柱有个面， 用一个平面去截该三棱柱，截面形状可能是三角形、长方形、五边形， 不可能是六边形和圆形， 截面形状可能是， 故答案为：； （3）解：三棱柱的侧面是矩形，矩形的长为，宽为， 三棱柱的所有侧面的面积之和为． 【变式17-3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）三棱柱的上、下底面都是完全相同的三角形，正三棱柱的上、下底面都是完全相同的等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为11，侧棱长为8，在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱． (1)请写出截面的形状 ，并求出截面的面积； (2)请直接写出四边形的周长 ． 【答案】(1)长方形，8 (2)10 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意即可得出截面的形状为长方形；由题意得出，再根据长方形面积公式计算即可得解； （2）由题意可得，，再列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：截面的形状为长方形； ∵在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱， ∴， ∴截面的面积为； （2）解：由题意可得：，， ∴四边形的周长． 【题型18 七巧板拼图形】 【例18】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 【变式18-1】（26-27七年级上·河南开封·开学考试）如图，由七巧板拼成的兔子图形中，兔子耳朵（阴影部分）的面积是平方厘米，则兔子图形的面积是( )平方厘米． 【答案】 【分析】七巧板拼成的兔子图形面积等于原七巧板正方形的总面积. 观察图形可知，兔子耳朵（阴影部分）对应七巧板中的平行四边形，其面积占总面积的，据此列式计算即可． 【详解】解： 七巧板由 7 块图形组成，包括 2 个大的等腰直角三角形、1 个中等的等腰直角三角形、2 个小的等腰直角三角形、1 个正方形和 1 个平行四边形． 设七巧板拼成的正方形总面积为，其中平行四边形的面积占总面积的． 由图可知，兔子耳朵（阴影部分）即为七巧板中的平行四边形． ∵ 阴影部分的面积是 平方厘米， ∴ ， ∴ ， 即兔子图形的面积是 平方厘米． 【变式18-2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为______． 【答案】6 【分析】本题考查了七巧板问题． 用正方形的面积减去白色三角形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 【变式18-3】（25-26七年级上·河北·期末）请用七巧板图，拼成图的图案．（提示：先在图中用1、2、3、4、5、6、7等七个数字标明七巧板的七个部分，再在图中标出这七个部分的位置．） 【答案】 所拼图案，如图-2所示： 【分析】本题考查了七巧板拼图．根据题意拼出图形即可． 【详解】略 【题型19 展开图折叠后空间位置综合判断】 【例19】（25-26九年级下·山东青岛·课后作业）如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题： ①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合． 其中正确命题的序号是____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 【答案】②④ 【分析】将这个展开图还原之后可以找到每个点对应的位置，这样就可以进行判断了没注意判断不要出错. 【详解】把展开图，折叠为正方体如图，依据正方体展开图的特征，②④是正确的， 故答案为②④. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的展开图，我们将这个展开图还原之后可以找到每个点对应的位置，这样就可以进行判断了没注意判断不要出错. 【变式19-1】（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）下图是一个正方体纸盒的展开图，当把它折叠成正方体纸盒时，C点与( )点重合．    【答案】B 【分析】由正方体展开图的特征得到结论． 【详解】解：由正方体展开图的特征得出，折叠成正方体后， 故点A与点D、点B与点C重合． 故答案为：B． 【点睛】此题考查的是正方体的展开图，解决此题的关键是运用空间想象能力把展开图折成正方体，找到重合的点． 【变式19-2】（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图是正方体的表面展开图，在顶点处标有个自然数，当它折叠成正方体时，数字3与数字________重合．    【答案】,/5，9 【分析】根据正方体展开图相邻，相对面之间的关系逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， 与数字3重合的数字是：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查正方体展开图，解题的关键是熟练掌握正方体展开图相邻，相对面之间的关系． 【变式19-3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正方体的表面展开图如图所示．在这个正方体中，下列结论：①点与点重合；②与重合；③；④与的夹角是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图，将正方体的表面展开图还原成几何体即可解答本题． 【详解】解：将正方体的表面展开图还原成几何体，如图， ①点与点重合，结论正确； ②与垂直，不是重合，故结论错误； ③，结论正确； ④连接，则是等边三角形，所以，即与的夹角是，故结论正确． 所以，正确的结论为①③④． 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 丰富的图形世界（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 识别生活中的立体图形】 1 【题型2 判断棱柱的顶点、面、棱数】 2 【题型3 判断平面图形旋转所得几何体】 3 【题型4 判断展开图对应的几何体】 4 【题型5 判断展开图中相对面的文字】 5 【题型6 从不同方向看几何体】 6 【题型7 根据从不同方向看几何体识别简单几何体】 7 【进阶拔高】 8 【题型8 判断正方体展开图是否可折叠】 8 【题型9 点、线、面、体四者之间的关系】 9 【题型10 判断平面截几何体的截面形状】 10 【题型11 根据两个方向看几何体判断立方体个数】 11 【题型12 由展开图求几何体的表面积、体积】 11 【题型13 补全展开图使其可折成正方体】 13 【题型14 根据从不同方向看几何体计算几何体表面积】 13 【创新思辨】 15 【题型15 由从上面看到的图形判断其他图形】 15 【题型16 从不同方向看几何体综合求最多添加方块数】 16 【题型17 求截面面积】 17 【题型18 七巧板拼图形】 18 【题型19 展开图折叠后空间位置综合判断】 19 【夯实基础】 【题型1 识别生活中的立体图形】 【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【变式1-2】（25-26七年级上·广东深圳·期中）深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（   ）． A．图1（平安金融中心）——球体 B．图2（华润大厦）——圆柱 C．图3（深业上城主副塔）——棱柱 D．图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥 【变式1-3】（25-26七年级上·河北唐山·期中）鲜艳欲滴的水果是人们的最爱，观察图中的三幅图片，与如图所示的实物相类似的立体图形按从左到右的顺序依次是    (    ) A．球、圆锥、圆柱 B．球、棱柱、棱锥 C．圆柱、圆锥、球 D．球、圆柱、圆锥 【题型2 判断棱柱的顶点、面、棱数】 【例2】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）正方体有_____个面，_____个顶点，经过每个顶点有______条棱． 【变式2-1】（25-26七年级上·河南焦作·期中）有一个棱柱由5个面围成，那么它有（     ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 【变式2-2】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个棱柱如图所示，则这个棱柱有___________个顶点；它由___________个面围成；这些面相交成___________条棱． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空． (1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【题型3 判断平面图形旋转所得几何体】 【例3】（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，将下面的图形绕虚线旋转一周，其中能形成如图几何体的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）将一个平面图形绕它的一条边所在直线旋转一周得到的立体图形是圆柱，则这个平面图形的名称可能是________（写出一个即可） 【变式3-2】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 【变式3-3】（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图是某酒店大堂的旋转门，将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是______，这给我们“_____”的形象． 【题型4 判断展开图对应的几何体】 【例4】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图是某几何体的平面展开图，该几何体是（     ） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 【变式4-1】（25-26九年级下·四川内江·期中）下面图形中，三棱锥的平面展开图是（） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，是一个几何体的展开图，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【变式4-3】（24-25六年级上·山东淄博·期中）把如图所示的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是________． 【题型5 判断展开图中相对面的文字】 【例5】（24-25六年级上·安徽合肥·阶段检测）2024年6月，嫦娥六号在月球背面着陆，顺利完成月壤采样任务，带回了约的月壤，实现世界首次月背采样返回．一名学生为庆祝我国首次月背“挖宝”成功，做了如图正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“月”字相对面上的字是( )． 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）白水县是渭南市唯一的山区县，是全国五大苹果产区中唯一符合苹果生产最适宜区七项指标的县份．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“乡”字所在的面相对面上的字是（    ） A．中 B．国 C．苹 D．果 【变式5-2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）有一个立方体的六个面上分别写有：无、为、经、济、腾、飞，如图是能看到的三个面上写有的汉字，则其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是_________．（填序号） 【题型6 从不同方向看几何体】 【例6】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，从前面看得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，一个几何体由4个大小相同的小正方体搭成，至少添加__________个上述小正方体，可以使得从正面、左面、上面观察得到的形状图相同． 【变式6-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是用9块完全相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出这个几何体从三个方向看得到的形状图． 【变式6-3】（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为，求该几何体的体积． 【题型7 根据从不同方向看几何体识别简单几何体】 【例7】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成，从正面、上面、左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体中小立方块的个数有_____个． 【变式7-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）小樱用4个小立方块搭成一个几何体，这个几何体从左面看到的图形和从正面看到的图形是一样的，则这几何体可能是正面（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下面四个几何体中，同一几何体从上往下看和从左往右看，看到的图形形状相同的几何体共有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）下面几何体中，从左面看是几何体有_________，从上面看是的几何体有_________．（填序号） 【进阶拔高】 【题型8 判断正方体展开图是否可折叠】 【例8】（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，可以涂黑的小正方形的位置一共有___________处． 【变式8-1】（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列图形中，属于正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠成正方体后，与数字6重合的数字是（   ） A．8，10 B．7，9 C．2，7 D．4，8 【变式8-3】（25-26七年级上·全国·期中）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，图1中的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？ (2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？ 【题型9 点、线、面、体四者之间的关系】 【例9】（25-26七年级上·河南周口·期末）流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【变式9-1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【变式9-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（    ）． A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【变式9-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）时钟秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了______________；三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了______________． 【题型10 判断平面截几何体的截面形状】 【例10】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 【变式10-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）某校在数学学科节活动中，展出了一个密闭正方体形状的冰块流沙砖，将流沙砖任意放置时，流沙面形状不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）某棱柱共有个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面周长为，截去一个底面周长为的正三棱柱，截面的形状是________，截后剩下的几何体的底面周长为________． 【题型11 根据两个方向看几何体判断立方体个数】 【例11】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 【变式11-1】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，如图所示的是分别从它的正面和上面看到的形状图、则组成这个几何体用的小正方体的个数最多为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式11-2】（24-25七年级上·江西鹰潭·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体的小立方体个数可能是_____． 【变式11-3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）用若干个大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，其中从上面看到的小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．完成下列问题：    (1)图中共有______个小正方体，并在从上面看到的形状图中补充填写对应位置小正方体的个数； (2)请在网格中画出从左面看到的形状图． 【题型12 由展开图求几何体的表面积、体积】 【例12】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【变式12-1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【变式12-2】（25-26七年级上·辽宁营口·期末）用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积的最大值为_____． 【变式12-3】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【题型13 补全展开图使其可折成正方体】 【例13】（25-26七年级·全国·单元测试）如图，硬纸板上有10个无阴影的正方形，从中选1个，使得它与图中多个有阴影的正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，选法共有(    ) A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式13-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 _____． 【变式13-2】（2023·黑龙江大庆·一模）黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【变式13-3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图是由小正方形组成的图,请你用三种方法分别在下图中添画两个小正方形,使它能成为正方体的表面展开图． 【题型14 根据从不同方向看几何体计算几何体表面积】 【例14】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，6个边长为1的正方体组成一个几何体，从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图的面积之和是__________． 【变式14-1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，该几何体由边长为1的小立方块搭成，请你认真观察，并解决下面的问题： (1)请在上面的方格纸中分别画出从正面，左面，上面看到的这个几何体的形状图． (2)若将该几何体漏在外面的部分（不包含底面）统一涂上红色，那么红色部分的面积之和为________． 【变式14-2】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，是由10个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体． (3)若每个小正方体的每个面面积都是1，则这个几何体的总表面积（含底面）为_____． 【变式14-3】（2025七年级上·全国·专题练习）一个长方体从左面、上面分别看到的平面图形如图所示（单位：），则从前面看该长方体，看到的图形的面积是__________ 【创新思辨】 【题型15 由从上面看到的图形判断其他图形】 【例15】（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图所示是几个小正方体所搭几何体的从上面看的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体从正面看的形状图是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【变式15-3】（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图是由小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画出这个几何体从正面和左面看到的图形． 【题型16 从不同方向看几何体综合求最多添加方块数】 【例16】（2025七年级下·四川成都·专题练习）一个立体图形由若干个相同的小正方体组成． （1）要保持从上面看到的图形不变，最多可以拿走______个小正方体． （2）要保持从正面看到的图形不变，最多可以拿走______个小正方体． 【变式16-1】（24-25七年级上·全国·期中）如图所示，这个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的．如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持其从正面看和从左面看得到的图形不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【变式16-2】（25-26六年级上·山东威海·期中）有一个由11个完全相同的小立方块搭成的几何体． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有___________种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形． 【变式16-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，是由6个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，①添加小正方体的方法共有________种； ②请画出各种添加小正方体后，从上面看到的几何体的形状图． 【题型17 求截面面积】 【例17】（25-26七年级上·全国·单元复习）如下图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？截得的最大的长方形的面积为多少？ 【变式17-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）一个圆柱体的高为8，底面半径为2，若截面是长方形，则这个长方形面积最大为（   ） A．16 B．32 C． D． 【变式17-2】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有_____条棱，有_____个面； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状可能是_____（填序号）： 三角形；长方形；五边形；六边形；圆形； (3)该三棱柱的所有侧面的面积之和是_____． 【变式17-3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）三棱柱的上、下底面都是完全相同的三角形，正三棱柱的上、下底面都是完全相同的等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为11，侧棱长为8，在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱． (1)请写出截面的形状 ，并求出截面的面积； (2)请直接写出四边形的周长 ． 【题型18 七巧板拼图形】 【例18】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式18-1】（26-27七年级上·河南开封·开学考试）如图，由七巧板拼成的兔子图形中，兔子耳朵（阴影部分）的面积是平方厘米，则兔子图形的面积是( )平方厘米． 【变式18-2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为______． 【变式18-3】（25-26七年级上·河北·期末）请用七巧板图，拼成图的图案．（提示：先在图中用1、2、3、4、5、6、7等七个数字标明七巧板的七个部分，再在图中标出这七个部分的位置．） 【题型19 展开图折叠后空间位置综合判断】 【例19】（25-26九年级下·山东青岛·课后作业）如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题： ①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合． 其中正确命题的序号是____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 【变式19-1】（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）下图是一个正方体纸盒的展开图，当把它折叠成正方体纸盒时，C点与( )点重合．    【变式19-2】（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图是正方体的表面展开图，在顶点处标有个自然数，当它折叠成正方体时，数字3与数字________重合．    【变式19-3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正方体的表面展开图如图所示．在这个正方体中，下列结论：①点与点重合；②与重合；③；④与的夹角是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $