专题05 一元一次方程（期中真题汇编，江苏专用）七年级数学上学期

**基本信息** 江苏多地期中试题汇编，聚焦一元一次方程4大高频考点，涵盖选择、填空、解答题型，突出实际应用与数学探究能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约10题|从算式到方程、等式性质|结合方程解求参数，如已知解求被污染常数| |填空|约15题|解一元一次方程、实际问题|设计幻方、月历数字规律，如4阶幻方填数| |解答|约10题|实际问题与方程应用|综合探究如正方体顶点数字关系、数轴距离公式推导，篮球积分问题体现数学建模|

专题05 一元一次方程 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．B 2．B 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为零，由此求解即可． 【详解】 由于方程是关于的一元一次方程， 因此且， 所以，且， 则． 故答案为：． 考点02 等式的性质 1．C 2．D 3．【答案】等式的基本性质1 【分析】 本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立是解题的关键． 直接根据等式的基本性质即可解答． 【详解】 解：方程中，将从右边移到左边变为，同时将从左边移到右边变为，得到， 因此依据是等式的基本性质1． 故答案为：等式的基本性质1． 考点03 解一元一次方程 1．D 2．【答案】2 【分析】 本题考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，可列出关于的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】 解：把代入方程，得， ， 故答案为：2． 3．【答案】2或 【分析】 本题考查了解一元一次方程，绝对值．根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴或， 解得或． 故答案为：2或． 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； (1) 小问详解： 解： 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； (2) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为等，熟悉解一元一次方程的步骤是关键； （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． (1) 小问详解： 解：去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． (2) 小问详解： 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 6．【答案】（1）     （2）      (1) 小问详解： 解：移项，得． 合并同类项，得． ∴． (2) 小问详解： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． ∴． 【点睛】 本题考查解一元一次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）按照解一元一次方程的步骤求解：移项，合并同类项，系数化为1； （2）按照解一元一次方程的步骤求解：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 (1) 小问详解： 解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； (2) 小问详解： 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 9．【答案】（1）①；②     （2）     （3） 解：顶点D、F处的数相加和为0，（或说成互为相反数）， 理由：如图： 设点A、B、C、D、E、F、G、H处分别写的数为a，b，c，d，e，f，g，h， 由题意得： ①， ②， ③， ④， ⑤， 把② ③ ④代入①得：， ， ，，， 顶点D、F处的数相加和为      【分析】 本题考查了有理数的加法运算，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）根据有理数加法运算计算即可． （2）设点E，F，G，H分别写的数字为e，f，g，h，然后根据有理数加法运算计算即可． （3）设点A，B，C，D，E，F，G，H分别写的数字为a，b，c，d，e，f，g，h，然后根据有理数加法运算计算即可． (1) 小问详解： 解：①点A、C、E处分别写2、、0， 点F处的数， 故答案为：； ②点A、B、C处分别写3、4、7， 设点D、E、F、G、H处分别写的数为d，e，f，g，h， 由题意得：①， ②， ③， ④， ⑤ ， ② +③ +④得：， ，解得：， ② +③得：， 由⑤ 得， 点D处的数， 故答案为：； (2) 小问详解： 如图：、C、D处分别写2025、1、23， 设点E、F、G、H处分别写的数为e，f，g，h， 由题意得：①， ②， ③， ④， ② +③ +④得：， ，解得：， 点处的数为； (3) 小问详解： 略 10．【答案】（1）①，②，③0； （2）① 相等，理由如下： 由题意得，点P到点M的距离；点P到点N的距离 ∴； ② 当时，；当时，；当时，； （3） 【分析】 本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程等知识点，难度较大． （1）结合图示，根据绝对值的性质计算即可； （2）① 由题意得，点P到点M的距离；点P到点N的距离，即可得到； ②时，则，，则作差得到，然后再分类讨论化简绝对值； （3）将点放在数轴原点处，则点表示的数为，设测速仪为点，则点表示的数为，设小汽车为点，表示的数为，小汽车到地的距离为，小汽车到地的距离为，小汽车到测速仪的距离为，当时，即，时，，解得，然后再分类讨论解绝对值方程． 【详解】 解：（1）当时，分三种情况： 同理，当时，② ． 因为③ ，所以． 综上，． 故答案为：①，②，③0； （2）① 略 ②时，则，， ∴， 当时，，则； 当时， 若，，则； 若，，则； 若，，则； 当时，，则 综上：当时，；当时，；当时，； （3）解：将点放在数轴原点处，则点表示的数为，设测速仪为点，则点表示的数为，设小汽车为点，表示的数为， 当时，； 当时，； 当时， 小汽车到地的距离为，小汽车到地的距离为，小汽车到测速仪的距离为， 当时，即，时，，解得； 若，则， 解得； 若时，则， 解得（舍）， ∴当时，小汽车被测速， ∴被测速的路段长度为． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．A 2．C 3．B 4．【答案】10 【分析】 本题考查了数字规律探索，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．先求出每行、每列、每条对角线上的4个数字的和为，然后表达，，，，，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】 解：依题意，每行、每列、每条对角线上的4个数字的和都相等， 则， 设幻方的格子如下：（用字母表示未知数） ∴， 即， ∴，，，， ∴，，，， 同理得， ∴， 依题意，目前该有共9个数字， 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则，（与格子数值相同，舍去）， 当时，则，， ∴（与格子数值相同，舍去）， 当时，则，， ∴，， ∴， 目前还剩下， 唯有， ∵， ∴，， 当时，则，此时与相同，故舍去； 当时，则，， ∴， ∴， 目前还剩下， 唯有， ∵， ∴， 则（与格子数值相同，舍去）， 综上：满足题意的灰色格子内应填入的数字为， 故答案为： 5．【答案】打折 【分析】 该题考查了一元一次方程的应用，根据原价1000元，商家根据如图所示的优惠方案销售，则可获利，求出成本，若商家想获利，设打折，由题意列出方程解答即可． 【详解】 解：由题意可知：成本为元， 若商家想获利，设打折， 由题意可得， 解得：， 故相应的优惠方案为打折． 故答案为：打折． 6．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据幻方的特征找到等量关系．根据题意可得：，求出的值，即可求解． 【详解】 解：由图可知：， 解得，， 则． 故答案为：． 7．【答案】10 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，设这三个数中最小的数为x，则另外两个数为，根据这三个数的和为51建立方程求解即可． 【详解】 解：设这三个数中最小的数为x，则另外两个数为， 由题意得，， 解得， ∴这三个数中最小的数是10， 故答案为：10． 8．【答案】（1）     （2）46     （3） 不能，理由如下： 假设按照图1的框法，能框出4个数的和为40， 根据题意得： 解得：， 由于不是整数， 则不符合题意， 因此，假设不成立， 即按照图1的框法，不能框出4个数的和为．      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据题意得出，另外3个数分别为，，，计算四个数的和即可； （2）代入，求出的值即可； （3）假设按照图1的框法，能框出4个数的和为40，可列出方程，解出的值，进行判断即可． (1) 小问详解： 解：若框出的4个数中左下角的数为x，则另外3个数分别为，，， 因此，这4个数的和为 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当时，； (3) 小问详解： 略 9．【答案】（1）2     （2）10     （3）2或4      【分析】 本题主要考查有理数的混合运算和一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把代入程序进行计算即可求出的值； （2）把代入计算即可； （3）分和两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，， 解得：； (2) 小问详解： 解：当时，， 故答案为：10； (3) 小问详解： 解：当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：2或4． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了列一元一次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据纸条的剪法结合正方形的边长为，即可得出两次剪下的长条的长和宽，再根据两次剪下的长条面积相等列出关于的一元一次方程即可． 【详解】 解：由题意可得：第一次剪下长条的长为，宽为，即面积为； 第二次剪下长条的长为，宽为，即面积为； ∵两次剪去的长方形纸条面积相等， ∴． 故答案为：． 11．【答案】（1）9，11     （2） 识别图，如图所示：      （3）7年级4班25号      【分析】 本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，理解题意，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据规定的运算法则进行计算即可求解； （2）根据该学生所在年级、班级和学号求出每一行的数字，然后再画出图形即可． （3）由题意知，小吴加密后的编号为，根据原学号与加密后的学号之间的关系，可列出方程，然后解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：图2中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9年级的学生． 第二行数字从左到右依次为1，0，1，1，序号为，表示该生为11班的学生． 故答案为：9，11； (2) 小问详解： 解：， 第一行数字从左到右依次为1，0，0，0； ， 第二行数字从左到右依次为1，0，1，0； ， 第三行数字从左到右依次为0，0，1，1； ， 第四行数字从左到右依次为1，0，0，1； (3) 小问详解： 解：图4中第一行数字从左到右依次为0，0，1，1，序号为， 加密后的第一行表示所在年级数减4， ，表示该生为7年级的学生． 第二行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为， 加密后的第二行表示所在班级数加1， ，表示该生为4班的学生． 第三行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为， 由题意得，该结果表示加密后的学号十位上的数字， 设加密后的学号个位上的数字为，由题意得，原学号十位上的数字则为， 加密后的学号比原学号大29， ， 解得：， 原学号十位上的数字为， 原学号为25号． 答：小吴实际所在年级为7年级、班级是4班，学号是25号． 12．【答案】方法运用：；类比探究：；数学应用： 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，根据题意理解并运用无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 方法运用：设，则，那么，解得x的值即可； 类比探究：设，则，那么，解得m的值即可； 数学应用：根据得，再根据计算即可． 【详解】 解：方法运用： 设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：； 类比探究： 设， 则， 那么， 解得：， 即； 数学应用： ∵， ∴， ∴． 13．【答案】（1）-2，1，7；（2）4；（3），，；（4）不变．. 【分析】 （1）利用，得a+2=0，c-7=0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b=1；（2）先求出对称点，即可得出结果；（3）根据各点的运动速度和运动方向，表示出t秒后A,B,C三点所表示的数，然后求数轴上两点之间的距离；（4）计算的值发现其结果与t无关，即可求解． 【详解】 （1）∵，∴，，解得，， ∵是最小的正整数，∴； 故答案为-2，1，7． （2）， 对称点为，； 故答案为4． （3）由题意可知：t秒钟后，A点表示-2-t,B点表示1+2t，C点表示7+4t ∴； ； ； 故答案为，，． （4）不变． . 结果与t无关，所以的值不随着时间的变化而改变. 【点睛】 本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查实际问题与一元一次方程 ；利用幻方的性质得到第二行第二个方格中的数为，再结合已知条件，列出方程，并求解即可． 【详解】 解：∵第三行和第二列上的3个数之和相等， ∴第二行第二个方格中的数为； ∵第三列及对角线上的3个数之和相等， ∴， 即， ． 故答案为：． 15．【答案】（1）；；3600；     （2）①2.6元 ②      【分析】 本题考查了能源利用率，费用的计算，以及不等式的综合应用，解决本题的关键是读懂题意并能根据题目提供的公式计算数值，并由关系建立不等式． （1）根据“烧水所需理论热量单位能源使用量所产生的热量烧水所需理论使用量”以及“费用能源单价烧水所需理论使用量”这两个关系来计算即可； （2）① 先根据能源利用率求出天然气和电的实际使用量，再结合单价计算费用即可． ② 先分别求解使用天然气和电费的表示式，再根据“使用电更省钱”建立不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：根据表格以及关系式可知， ，即， ， ，即； 故答案为：；；3600； (2) 小问详解： 解：① 根据表格可知，烹饪用天然气的菜品， 即红烧肉，炒虾仁，宫保鸡丁，清炒茼蒿的理论总热量为千焦， ∵天然气的能源利用率为，单位天然气使用量所产生的热量37800千焦/米， ∴天然气的理论使用量米， ∴天然气的实际使用量米， ∵天然气的单价为3.03元/米， ∴天然气的费用为元； 根据表格可知，烹饪用电的菜品， 即玉米排骨汤，清蒸白鱼，蒸南瓜，米饭的理论总热量为千焦， ∵电的能源利用率为，单位电使用量所产生的热量3600千焦/度， ∴电的理论使用量度， ∴电的实际使用量度， ∵电的单价为0.56元/度， ∴电的费用为元； ∵元， ∴计算烹饪这些菜品消耗天然气和电的实际总费用为2.6元． ②设用电千焦能量， 天然气费用为，用电费用为， ∵要使用电的费用用天然气费用， ∴， ∴， 即， 答：当时，用电更省钱． 16．【答案】（1）；；；；；     （2）胜一场的积分为2分     （3） 解：某班的胜场总积分不能等于它的负场总积分，理由如下： 设某班胜y场，则负场，胜场总积分为分，负场总积分为分， 若胜场总积分等于负场总积分， 则， 解得： 因为y必须是整数，而不是整数， 所以不存在这样的 答：某班的胜场总积分不能等于它的负场总积分．      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是正确理解题意． (1)通过设未知数、用“胜场积分+负场积分=总积分”关系，列代数式，列方程求解即可； (2)利用(1)中得到的方程(如七(2) 班的)，解一元一次方程即可求出胜一场的积分； (3)设胜场数为y，则负场数为，分别表示胜场总积分和负场总积分，令两者相等列方程，解得的y需为整数(场次为整数)，若解不是整数，则说明无法相等． (1) 小问详解： 解：① 小智指出负一场得1分，七(2)班胜12场、负2场，总积分等于胜场积分加负场积分，故方程为，简化后为； ② 小慧指出胜一场积分加负一场积分共3分，设胜一场为x分，则负一场为分； ③ 小慧用七(5)班数据(胜8场、负6场、积分22)，胜场积分加负场积分等于总积分，故方程为； ④ 小聪用七(2)班数据，总积分减去胜场积分得负场总积分，再除以负场数，故负一场积分为； ⑤ 小聪用七(5)班数据，胜场积分加负场积分等于总积分，故方程为； 故答案为：；；；；； (2) 小问详解： 解：设胜一场的积分为x分，根据七(2)班的比赛数据，得方程：， 解得：， 答：胜一场的积分为2分； (3) 小问详解： 略 17．【答案】（1）20     （2）或1     （3）或或      【分析】 本题主要考查了新定义问题，数轴上两点之间的距离，解绝对值方程等知识． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）设“理想点”P表示的数为x，分两种情况当时和当时，根据“理想点”的定义列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （3）设点Q表示的数为q，然后分两种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：点M、N之间的距离为. (2) 小问详解： 解：设“理想点”P表示的数为x， 当时， ， ， ； 当时， 综上，P表示的数为或1； (3) 小问详解： 解：设点Q表示的数为q， 分两种情况讨论“理想点”： 情况1：当时，, 当是M、N的理想点， 即，即， 解得， 当，即 解得. 情况2：当时， N是、M的理想点， 当， 即， 解得 综上：点Q表示的数为或或． 18．【答案】（1）     （2）① 不是；②秒或秒     （3），，，，，      【分析】 本题考查了数轴，好点的定义，熟练掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键：即若点表示，点表示时，． （1）根据点到点的距离等于点到点的距离即可得到结论； （2）①先根据数轴上两点的距离表示出和的长，再根据好点的定义即可求解； ②根据题意可得，，再根据好点的定义即可求解； （3）分五种情况进行讨论：当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时，分别代入计算即可； (1) 小问详解： 解：， 点到点、点的距离相等， ， 点表示的数是； (2) 小问详解： 解：当点运动到原点时，，， ， 点不是关于的“好点”； 故答案为：不是； 根据题意可知：设点运动的时间为秒， ，， ， 解得或， 所以点的运动时间为秒或秒； (3) 小问详解： 解：根据题意可知：设点表示的数为， 或，，， 分五种情况进行讨论： 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即或，解得或不符合题意，舍去； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得． 综上所述：所有符合条件的点表示的数是：，，，，，． 19．【答案】（1）4；（2）当时，两点相距3个单位长度，此时的中点所对应的数为或当时，两点相距3个单位长度，此时的中点所对应的数为；（3）①；②当时，存在定值，为 【分析】 本题主要考查了整式的加减计算，数轴上两点之间的距离计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据两点中点计算公式求解即可； （2）用含t的式子表示出点P和点Q表示的数，再分两种情况：点P与点Q没有相遇和点P与点Q相遇后，根据两点距离计算公式分别建立方程求解即可； （3）① 根据题意即可求出答案；②根据题意表示出点E和点F表示的数，进而求出的结果，根据的值为定值讨论求解即可． 【详解】 解：（1）由题意得，的中点所对应的数为：， （2）由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P与点Q没有相遇时，则， 解得， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 此时，的中点所对应的数为； 当点P与点Q相遇时后， 解得， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 此时，的中点所对应的数为； 综上所述，当时，两点相距3个单位长度，此时的中点所对应的数为或当时，两点相距3个单位长度，此时的中点所对应的数为； （3）①由题意得，点对应的数为：； ②由（2）得点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点表示的数为，点所表示的数为， ， 当时，，不是定值， 当时，，是定值， 当时，，不是定值， 当时，存在定值，为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）若关于的方程的解是，则的值是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了一元一次方程的解． 将代入方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】 ∵方程的解是， ∴代入方程得：， 解得：． 故选：B． 2．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，这个被污染的常数是（     ） A.  B. 2 C.  D. 16 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是本题求解的关键． 将代入方程，即解出被污染的常数． 【详解】 解：∵是方程的解， ∴代入方程， 即， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为零，由此求解即可． 【详解】 由于方程是关于的一元一次方程， 因此且， 所以，且， 则． 故答案为：． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·江苏扬州高邮·期中）下列等式的变形正确的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【分析】 根据等式的性质，两边都加或减同一个数或同一个整式，结果不变，可判断A，根据等式的性质，两边都乘或除以同一个不为零的数或同一个整式，结果不变，可判断B、C、D． 【详解】 Ａ选项等式的左边加2，右边减2，故不符合题意； B选项等式的左边乘以3，右边除以3，故不符合题意； C选项等式的两边都乘以-1，故C正确； D选项，当a=0时，0不能作除数，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了等式的性质，熟记并掌握等式两边都加或减同一个数或同一个整式，结果不变；等式两边都乘或除以同一个不为零的数或同一个整式，结果不变，是解题的关键． 2．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）已知，则下列等式不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减或乘同一个数，等式仍成立；但除以同一个数时，除数不能为零，否则等式不一定成立，由此求解即可． 【详解】 由于，根据等式的基本性质有： A、，成立； B、，成立； C、，成立； D、，当时成立，但a可能为0，因此不一定成立． 故选：D． 3．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）方程移项得．这步变形的依据是　　　　　　　　　　　． 【答案】等式的基本性质1 【分析】 本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立是解题的关键． 直接根据等式的基本性质即可解答． 【详解】 解：方程中，将从右边移到左边变为，同时将从左边移到右边变为，得到， 因此依据是等式的基本性质1． 故答案为：等式的基本性质1． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·江苏淮安淮阴区·期中）已知关于x的方程a﹣x＝+3a的解是x＝4，则代数式3a+1的值为（　　） A. ﹣5 B. 5 C. 8 D. ﹣8 【答案】D 【分析】 先把x＝4代入方程求出a的值，再求代数式的值即可． 【详解】 解：把x＝4代入a﹣4＝2+3a， 移项合并得：﹣2a＝6， 解得：a＝﹣3， 则原式＝﹣9+1＝﹣8， 故选择：D． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的解及代数式的值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 2．（25-26学年七上·江苏淮安淮阴区·期中）已知方程，处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么处的数字是 　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，可列出关于的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】 解：把代入方程，得， ， 故答案为：2． 3．（25-26学年七上·江苏南京建邺·期中）若，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】2或 【分析】 本题考查了解一元一次方程，绝对值．根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴或， 解得或． 故答案为：2或． 4．（25-26学年七上·江苏苏州吴中区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； (1) 小问详解： 解： 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； (2) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 5．（25-26学年七上·江苏淮安淮阴区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为等，熟悉解一元一次方程的步骤是关键； （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． (1) 小问详解： 解：去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． (2) 小问详解： 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 6．（25-26学年七上·江苏扬州高邮·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      (1) 小问详解： 解：移项，得． 合并同类项，得． ∴． (2) 小问详解： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． ∴． 【点睛】 本题考查解一元一次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 7．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ． 8．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）按照解一元一次方程的步骤求解：移项，合并同类项，系数化为1； （2）按照解一元一次方程的步骤求解：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 (1) 小问详解： 解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； (2) 小问详解： 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 9．（25-26学年七上·江苏淮安淮阴区·期中）在正方体的八个顶点处各写一个数，使每个顶点处的数等于与这个顶点连接的三条棱上另外三个顶点处的数之和．例如，图1中，与点A连接的三条棱上的另外三个顶点处，分别写有1、2、3，那么点A处的数等于请根据这个规则，解答图2中的问题： （1）①若点A、C、E处分别写2、、0，则点F处的数等于______； ②若点A、B、C处分别写3、4、7，则点D处的数等于______； （2）若点A、C、D处分别写2025、1、23，求E点处的数等于多少？ （3）顶点D、F处的数之间具有什么数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②     （2）     （3） 解：顶点D、F处的数相加和为0，（或说成互为相反数）， 理由：如图： 设点A、B、C、D、E、F、G、H处分别写的数为a，b，c，d，e，f，g，h， 由题意得： ①， ②， ③， ④， ⑤， 把② ③ ④代入①得：， ， ，，， 顶点D、F处的数相加和为      【分析】 本题考查了有理数的加法运算，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）根据有理数加法运算计算即可． （2）设点E，F，G，H分别写的数字为e，f，g，h，然后根据有理数加法运算计算即可． （3）设点A，B，C，D，E，F，G，H分别写的数字为a，b，c，d，e，f，g，h，然后根据有理数加法运算计算即可． (1) 小问详解： 解：①点A、C、E处分别写2、、0， 点F处的数， 故答案为：； ②点A、B、C处分别写3、4、7， 设点D、E、F、G、H处分别写的数为d，e，f，g，h， 由题意得：①， ②， ③， ④， ⑤ ， ② +③ +④得：， ，解得：， ② +③得：， 由⑤ 得， 点D处的数， 故答案为：； (2) 小问详解： 如图：、C、D处分别写2025、1、23， 设点E、F、G、H处分别写的数为e，f，g，h， 由题意得：①， ②， ③， ④， ② +③ +④得：， ，解得：， 点处的数为； (3) 小问详解： 略 10．（25-26学年七上·江苏南京玄武·期中）探究数轴上两点之间的距离． 【数学探究】 （1）数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，设A，B两点之间的距离为d．补全下列探究过程． 同学们尝试探究，将两点之间的距离转化为两点到原点的距离来研究． 当时，分三种情况： 当时，； 当时，； 当时，     ①      同理，当时，     ②     ． 因为     ③     ，所以． 综上，． 【数学思考】 （2）数轴上，点M，N，P表示的数分别为m，n，p． ①若，点P到点M，N的距离相等吗？并说明理由； ②若，比较与的大小，直接写出结论． 【数学眼光】 （3）一段笔直的道路上有相距3千米的M，N两地，在两地之间距M地k（k为常数）千米处放置一个激光测速仪．一辆小汽车从M地驶向N地，当小汽车到M地的距离大于到测速仪的距离且小于到N地的距离时被测速，直接写出小汽车被测速的路段长度（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）①，②，③0； （2）① 相等，理由如下： 由题意得，点P到点M的距离；点P到点N的距离 ∴； ② 当时，；当时，；当时，； （3） 【分析】 本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程等知识点，难度较大． （1）结合图示，根据绝对值的性质计算即可； （2）① 由题意得，点P到点M的距离；点P到点N的距离，即可得到； ②时，则，，则作差得到，然后再分类讨论化简绝对值； （3）将点放在数轴原点处，则点表示的数为，设测速仪为点，则点表示的数为，设小汽车为点，表示的数为，小汽车到地的距离为，小汽车到地的距离为，小汽车到测速仪的距离为，当时，即，时，，解得，然后再分类讨论解绝对值方程． 【详解】 解：（1）当时，分三种情况： 同理，当时，② ． 因为③ ，所以． 综上，． 故答案为：①，②，③0； （2）① 略 ②时，则，， ∴， 当时，，则； 当时， 若，，则； 若，，则； 若，，则； 当时，，则 综上：当时，；当时，；当时，； （3）解：将点放在数轴原点处，则点表示的数为，设测速仪为点，则点表示的数为，设小汽车为点，表示的数为， 当时，； 当时，； 当时， 小汽车到地的距离为，小汽车到地的距离为，小汽车到测速仪的距离为， 当时，即，时，，解得； 若，则， 解得； 若时，则， 解得（舍）， ∴当时，小汽车被测速， ∴被测速的路段长度为． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·江苏扬州高邮·期中）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．设这个班有学生人，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是设这个班有学生x人，等量关系为图书的数量是定值，据此列方程． 【详解】 解：设这个班有学生人，列方程是：， 故选：A． 2．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）在如图所示的日历中，字母分别表示某个具体的日期，则的值可能是（     ） A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 【答案】C 【分析】 本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是要清楚地知道日历中每个数都是整数，且上下相差7，左右相邻的数相差1．根据日历中每个数都是整数，且上下相差7，左右相邻的数相差1，再依次列出方程求解判断即可． 【详解】 解：根据日历表可得， A、当时，解得：，不是整数，不符合题意； B、当时，解得：，不是整数，不符合题意； C、当时，解得：，符合题意； D、当时，解得：，不是整数，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年七上·江苏扬州高邮·期中）如图，表中给出的是10月的月历，任意选取“ ”，型框中的6个数（如阴影部分所示），则这6个的和不可能是（     ） A. 87 B. 99 C. 129 D. 135 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元一次方程的应用，可设这6个数按从小到大的顺序分别为，，，，，，然后建立方程可求解． 【详解】 解：设这6个数按从小到大的数分别为，，，，，，由题意得： ； ∴当时，解得：； 当时，解得：，此时在表格中数的下一行，不符合题意； 当时，解得：； 当时，解得：； 根据这6个数的特征可知：这6个数的和不可能是99； 故选：B． 4．（25-26学年七上·江苏南京建邺·期中）将16个数字填入的正方形方格内，如果每行、每列、每条对角线上的4个数字的和都相等，那么这个正方形就叫做4阶幻方．下图是由1，2，．．．，16这16个自然数构成的4阶幻方的一部分，则灰色格子内应填入的数字为　　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了数字规律探索，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．先求出每行、每列、每条对角线上的4个数字的和为，然后表达，，，，，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】 解：依题意，每行、每列、每条对角线上的4个数字的和都相等， 则， 设幻方的格子如下：（用字母表示未知数） ∴， 即， ∴，，，， ∴，，，， 同理得， ∴， 依题意，目前该有共9个数字， 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则（舍去）； 当时，则，（与格子数值相同，舍去）， 当时，则，， ∴（与格子数值相同，舍去）， 当时，则，， ∴，， ∴， 目前还剩下， 唯有， ∵， ∴，， 当时，则，此时与相同，故舍去； 当时，则，， ∴， ∴， 目前还剩下， 唯有， ∵， ∴， 则（与格子数值相同，舍去）， 综上：满足题意的灰色格子内应填入的数字为， 故答案为： 5．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）某种商品原价1000元，商家根据如图所示的优惠方案销售，则可获利．若商家想获利，则相应的优惠方案为　　　　　　　　　　　（写出一种即可）． 【答案】打折 【分析】 该题考查了一元一次方程的应用，根据原价1000元，商家根据如图所示的优惠方案销售，则可获利，求出成本，若商家想获利，设打折，由题意列出方程解答即可． 【详解】 解：由题意可知：成本为元， 若商家想获利，设打折， 由题意可得， 解得：， 故相应的优惠方案为打折． 故答案为：打折． 6．（25-26学年七上·江苏无锡新吴区·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方．将9个数填在的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图是一个未完成的广义三阶幻方，根据已知的3个数，可得　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据幻方的特征找到等量关系．根据题意可得：，求出的值，即可求解． 【详解】 解：由图可知：， 解得，， 则． 故答案为：． 7．（25-26学年七上·江苏盐城亭湖区·期中）在如图所示的月历表中，任意框出同一个竖列上的相邻三个数，算出它们的和是51，则这三个数中最小的数是　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，设这三个数中最小的数为x，则另外两个数为，根据这三个数的和为51建立方程求解即可． 【详解】 解：设这三个数中最小的数为x，则另外两个数为， 由题意得，， 解得， ∴这三个数中最小的数是10， 故答案为：10． 8．（25-26学年七上·江苏常州武进区·期中）按照图1所示方法，可以用平行四边形框出月历中的4个数． （1）若框出的4个数中左下角的数为（如图）则这4个数的和为______；（用含有x的代数式表示，需化简） （2）当时，求（1）中代数式的值； （3）在图1的月历中，按照图1的框法，能否框出4个数的和为．若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）     （2）46     （3） 不能，理由如下： 假设按照图1的框法，能框出4个数的和为40， 根据题意得： 解得：， 由于不是整数， 则不符合题意， 因此，假设不成立， 即按照图1的框法，不能框出4个数的和为．      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据题意得出，另外3个数分别为，，，计算四个数的和即可； （2）代入，求出的值即可； （3）假设按照图1的框法，能框出4个数的和为40，可列出方程，解出的值，进行判断即可． (1) 小问详解： 解：若框出的4个数中左下角的数为x，则另外3个数分别为，，， 因此，这4个数的和为 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当时，； (3) 小问详解： 略 9．（25-26学年七上·江苏南京建邺·期中）下图是一个数值转换器． 通过数值转换器转换的部分数值如下表所示． ．．． 1 3 5 ．．． ．．． 14 12 20 ．．． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求的值； （2）的值为___________； （3）若输出的的值为16，则输入的的值为___________． 【答案】（1）2     （2）10     （3）2或4      【分析】 本题主要考查有理数的混合运算和一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把代入程序进行计算即可求出的值； （2）把代入计算即可； （3）分和两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，， 解得：； (2) 小问详解： 解：当时，， 故答案为：10； (3) 小问详解： 解：当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：2或4． 10．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了列一元一次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据纸条的剪法结合正方形的边长为，即可得出两次剪下的长条的长和宽，再根据两次剪下的长条面积相等列出关于的一元一次方程即可． 【详解】 解：由题意可得：第一次剪下长条的长为，宽为，即面积为； 第二次剪下长条的长为，宽为，即面积为； ∵两次剪去的长方形纸条面积相等， ∴． 故答案为：． 11．（25-26学年七上·江苏无锡新吴区·期中）为便于学生信息管理，某校建立了一个身份识别系统．图1是某个学生的身份识别图，黑格表示1，白格表示0，每一行数字从左到右依次记为，，，，第一行可以转换为该生所在年级序号，其序号为（规定）．图1中第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为七年级的学生．第二行转换为班级序号，序号为，第三行，第四行分别为该学生学号的十位数字与个位数字，依次为，识别图表明该学生为7年级12班26号的学生． （1）图2是小新同学的身份识别图，则小新在___________年级，___________班； （2）在图3中为8年级10班39号的同学画出对应的身份识别图； （3）小吴同学还设计了一套信息加密系统．加密后的第一行表示所在年级数减4，第二行表示所在班级数加1，将两位数的学号（不足两位前面补零），个位与十位数字交换后再加2，第三行、第四行分别表示所得结果的十位数字和个位数字．图4是小吴加密后的身份识别图，由于损坏，第4行缺失，但已知加密后的学号比原学号大29，请求出小吴实际所在年级、班级与学号． 【答案】（1）9，11     （2） 识别图，如图所示：      （3）7年级4班25号      【分析】 本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，理解题意，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据规定的运算法则进行计算即可求解； （2）根据该学生所在年级、班级和学号求出每一行的数字，然后再画出图形即可． （3）由题意知，小吴加密后的编号为，根据原学号与加密后的学号之间的关系，可列出方程，然后解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：图2中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9年级的学生． 第二行数字从左到右依次为1，0，1，1，序号为，表示该生为11班的学生． 故答案为：9，11； (2) 小问详解： 解：， 第一行数字从左到右依次为1，0，0，0； ， 第二行数字从左到右依次为1，0，1，0； ， 第三行数字从左到右依次为0，0，1，1； ， 第四行数字从左到右依次为1，0，0，1； (3) 小问详解： 解：图4中第一行数字从左到右依次为0，0，1，1，序号为， 加密后的第一行表示所在年级数减4， ，表示该生为7年级的学生． 第二行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为， 加密后的第二行表示所在班级数加1， ，表示该生为4班的学生． 第三行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为， 由题意得，该结果表示加密后的学号十位上的数字， 设加密后的学号个位上的数字为，由题意得，原学号十位上的数字则为， 加密后的学号比原学号大29， ， 解得：， 原学号十位上的数字为， 原学号为25号． 答：小吴实际所在年级为7年级、班级是4班，学号是25号． 12．（25-26学年七上·江苏苏州·期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 【答案】方法运用：；类比探究：；数学应用： 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，根据题意理解并运用无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 方法运用：设，则，那么，解得x的值即可； 类比探究：设，则，那么，解得m的值即可； 数学应用：根据得，再根据计算即可． 【详解】 解：方法运用： 设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：； 类比探究： 设， 则， 那么， 解得：， 即； 数学应用： ∵， ∴， ∴． 13．（25-26学年七上·江苏徐州铜山区·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知数是最小的正整数，且、满足． （1）          ，          ，            ； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数          表示的点重合； （3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求、、的长（用含的式子表示）； （4）在（3）的条件下，的值是否随着时间的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）-2，1，7；（2）4；（3），，；（4）不变．. 【分析】 （1）利用，得a+2=0，c-7=0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b=1；（2）先求出对称点，即可得出结果；（3）根据各点的运动速度和运动方向，表示出t秒后A,B,C三点所表示的数，然后求数轴上两点之间的距离；（4）计算的值发现其结果与t无关，即可求解． 【详解】 （1）∵，∴，，解得，， ∵是最小的正整数，∴； 故答案为-2，1，7． （2）， 对称点为，； 故答案为4． （3）由题意可知：t秒钟后，A点表示-2-t,B点表示1+2t，C点表示7+4t ∴； ； ； 故答案为，，． （4）不变． . 结果与t无关，所以的值不随着时间的变化而改变. 【点睛】 本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 14．（25-26学年七上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图是一个三阶幻方，它的规则是每一行、每一列、每一斜对角线上的3个数分别相加，和都相等，则x的值为　　　　　　　　． k x 1068 【答案】 【分析】 本题主要考查实际问题与一元一次方程 ；利用幻方的性质得到第二行第二个方格中的数为，再结合已知条件，列出方程，并求解即可． 【详解】 解：∵第三行和第二列上的3个数之和相等， ∴第二行第二个方格中的数为； ∵第三列及对角线上的3个数之和相等， ∴， 即， ． 故答案为：． 15．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）为探究使用天然气和电的耗能和花费问题，小明进行了烧水实验，将一定量的水烧开，相关数据如下表： 能源 烧水所需理论热量 单位能源使用量所产生的热量 烧水所需理论使用量 能源单价 费用 天然气 378千焦 37800千焦/米 米3 3.03元/米 元 电 378千焦 c千焦/度 0.105度 0.56元/度 0.0588元 （1）___________，___________，___________； （2）在使用的灶具与电器的过程中，热量会有一定损失，因此使用天然气或电都存在能源的利用率问题．设使用天然气、电的能源利用率分别为（能源利用率=） ①下表是小明家某天家庭聚餐的菜单与烹饪所需的热量： 菜品 烹饪所用能源 烹饪所需的理论热量 红烧肉 天然气 3400千焦 炒虾仁 天然气 1100千焦 宫保鸡丁 天然气 1515千焦 清炒茼蒿 天然气 600千焦 玉米排骨汤 电 4600千焦 清蒸白鱼 电 850千焦 蒸南瓜 电 700千焦 米饭 电 1850千焦 当，时，计算烹饪这些菜品消耗天然气和电的实际总费用（保留1位小数）． ②当满足什么关系时，使用电更省钱（直接写出答案，不必说明理由）． 【答案】（1）；；3600；     （2）①2.6元 ②      【分析】 本题考查了能源利用率，费用的计算，以及不等式的综合应用，解决本题的关键是读懂题意并能根据题目提供的公式计算数值，并由关系建立不等式． （1）根据“烧水所需理论热量单位能源使用量所产生的热量烧水所需理论使用量”以及“费用能源单价烧水所需理论使用量”这两个关系来计算即可； （2）① 先根据能源利用率求出天然气和电的实际使用量，再结合单价计算费用即可． ② 先分别求解使用天然气和电费的表示式，再根据“使用电更省钱”建立不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：根据表格以及关系式可知， ，即， ， ，即； 故答案为：；；3600； (2) 小问详解： 解：① 根据表格可知，烹饪用天然气的菜品， 即红烧肉，炒虾仁，宫保鸡丁，清炒茼蒿的理论总热量为千焦， ∵天然气的能源利用率为，单位天然气使用量所产生的热量37800千焦/米， ∴天然气的理论使用量米， ∴天然气的实际使用量米， ∵天然气的单价为3.03元/米， ∴天然气的费用为元； 根据表格可知，烹饪用电的菜品， 即玉米排骨汤，清蒸白鱼，蒸南瓜，米饭的理论总热量为千焦， ∵电的能源利用率为，单位电使用量所产生的热量3600千焦/度， ∴电的理论使用量度， ∴电的实际使用量度， ∵电的单价为0.56元/度， ∴电的费用为元； ∵元， ∴计算烹饪这些菜品消耗天然气和电的实际总费用为2.6元． ②设用电千焦能量， 天然气费用为，用电费用为， ∵要使用电的费用用天然气费用， ∴， ∴， 即， 答：当时，用电更省钱． 16．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）综合与实践 【问题情境】某学校七年级举行篮球比赛，七年级共15个班参加比赛，比赛采取单循环赛（每两队之间比赛一场）．下表记录了5支篮球队的积分情况： 班名 比赛场次 胜场 负场 积分 七（2） 14 12 2 26 七（5） 14 8 6 22 七（9） 14 7 7 21 七（11） 14 4 10 18 七（15） 14 0 14 14 【提出问题】 某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【分析问题】 小智：观察积分榜，从七（15）班的比赛数据可以看出，负一场积1分．若设胜一场的积分为分，则根据七（2）班的比赛数据，可以得到方程___________①___________ 小慧：从七（9）班的比赛数据看，胜一场的积分+负一场的积分共为3分．若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示__________②__________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程__________③__________． 小聪：根据七（2）班的比赛数据，若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示为___________④___________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程___________⑤___________． 小明：只要我们求出了负一场和胜一场的积分各是多少分，就能解决上述问题了． 【解决问题】根据上面展示交流的过程，完成下列学习任务： （1）请将上述展示交流过程中，序号处缺少的内容补充出来： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________； （2）请求出胜一场的积分； （3）请你解决上述提出的问题：某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【答案】（1）；；；；；     （2）胜一场的积分为2分     （3） 解：某班的胜场总积分不能等于它的负场总积分，理由如下： 设某班胜y场，则负场，胜场总积分为分，负场总积分为分， 若胜场总积分等于负场总积分， 则， 解得： 因为y必须是整数，而不是整数， 所以不存在这样的 答：某班的胜场总积分不能等于它的负场总积分．      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是正确理解题意． (1)通过设未知数、用“胜场积分+负场积分=总积分”关系，列代数式，列方程求解即可； (2)利用(1)中得到的方程(如七(2) 班的)，解一元一次方程即可求出胜一场的积分； (3)设胜场数为y，则负场数为，分别表示胜场总积分和负场总积分，令两者相等列方程，解得的y需为整数(场次为整数)，若解不是整数，则说明无法相等． (1) 小问详解： 解：① 小智指出负一场得1分，七(2)班胜12场、负2场，总积分等于胜场积分加负场积分，故方程为，简化后为； ② 小慧指出胜一场积分加负一场积分共3分，设胜一场为x分，则负一场为分； ③ 小慧用七(5)班数据(胜8场、负6场、积分22)，胜场积分加负场积分等于总积分，故方程为； ④ 小聪用七(2)班数据，总积分减去胜场积分得负场总积分，再除以负场数，故负一场积分为； ⑤ 小聪用七(5)班数据，胜场积分加负场积分等于总积分，故方程为； 故答案为：；；；；； (2) 小问详解： 解：设胜一场的积分为x分，根据七(2)班的比赛数据，得方程：， 解得：， 答：胜一场的积分为2分； (3) 小问详解： 略 17．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为 ，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5． （1）求点、之间的距离； （2）求线段的“理想点”表示的数； （3）点是线段上一点，将线段沿点向右折叠，使点的对应点仍落在数轴上，若点、、三点中，其中一点是另外两个点所连线段的理想点，直接写出此时点表示的数． 【答案】（1）20     （2）或1     （3）或或      【分析】 本题主要考查了新定义问题，数轴上两点之间的距离，解绝对值方程等知识． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）设“理想点”P表示的数为x，分两种情况当时和当时，根据“理想点”的定义列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （3）设点Q表示的数为q，然后分两种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：点M、N之间的距离为. (2) 小问详解： 解：设“理想点”P表示的数为x， 当时， ， ， ； 当时， 综上，P表示的数为或1； (3) 小问详解： 解：设点Q表示的数为q， 分两种情况讨论“理想点”： 情况1：当时，, 当是M、N的理想点， 即，即， 解得， 当，即 解得. 情况2：当时， N是、M的理想点， 当， 即， 解得 综上：点Q表示的数为或或． 18．（25-26学年七上·江苏苏州吴中区·期中）已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． （1）若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； （2）若点运动到原点时，此时点            关于的“好点”（填是或者不是）； 若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； （3）若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【答案】（1）     （2）① 不是；②秒或秒     （3），，，，，      【分析】 本题考查了数轴，好点的定义，熟练掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键：即若点表示，点表示时，． （1）根据点到点的距离等于点到点的距离即可得到结论； （2）①先根据数轴上两点的距离表示出和的长，再根据好点的定义即可求解； ②根据题意可得，，再根据好点的定义即可求解； （3）分五种情况进行讨论：当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时，分别代入计算即可； (1) 小问详解： 解：， 点到点、点的距离相等， ， 点表示的数是； (2) 小问详解： 解：当点运动到原点时，，， ， 点不是关于的“好点”； 故答案为：不是； 根据题意可知：设点运动的时间为秒， ，， ， 解得或， 所以点的运动时间为秒或秒； (3) 小问详解： 解：根据题意可知：设点表示的数为， 或，，， 分五种情况进行讨论： 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即或，解得或不符合题意，舍去； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得． 综上所述：所有符合条件的点表示的数是：，，，，，． 19．（25-26学年七上·江苏盐城亭湖区·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为10，点D对应的数为，则的中点N所对应的数为                  ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，t为何值时，两点相距3个单位长度？并写出此时的中点M所对应的数． 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为最靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为                  ． ②在（2）的条件下，若是最靠近的八等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）4；（2）当时，两点相距3个单位长度，此时的中点所对应的数为或当时，两点相距3个单位长度，此时的中点所对应的数为；（3）①；②当时，存在定值，为 【分析】 本题主要考查了整式的加减计算，数轴上两点之间的距离计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据两点中点计算公式求解即可； （2）用含t的式子表示出点P和点Q表示的数，再分两种情况：点P与点Q没有相遇和点P与点Q相遇后，根据两点距离计算公式分别建立方程求解即可； （3）① 根据题意即可求出答案；②根据题意表示出点E和点F表示的数，进而求出的结果，根据的值为定值讨论求解即可． 【详解】 解：（1）由题意得，的中点所对应的数为：， （2）由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P与点Q没有相遇时，则， 解得， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 此时，的中点所对应的数为； 当点P与点Q相遇时后， 解得， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 此时，的中点所对应的数为； 综上所述，当时，两点相距3个单位长度，此时的中点所对应的数为或当时，两点相距3个单位长度，此时的中点所对应的数为； （3）①由题意得，点对应的数为：； ②由（2）得点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点表示的数为，点所表示的数为， ， 当时，，不是定值， 当时，，是定值， 当时，，不是定值， 当时，存在定值，为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）若关于的方程的解是，则的值是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，这个被污染的常数是（     ） A.  B. 2 C.  D. 16 3．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值为　　　　　　　　　　　． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·江苏扬州高邮·期中）下列等式的变形正确的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 2．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）已知，则下列等式不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）方程移项得．这步变形的依据是　　　　　　　　　　　． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·江苏淮安淮阴区·期中）已知关于x的方程a﹣x＝+3a的解是x＝4，则代数式3a+1的值为（　　） A. ﹣5 B. 5 C. 8 D. ﹣8 2．（25-26学年七上·江苏淮安淮阴区·期中）已知方程，处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么处的数字是 　　　　　　． 3．（25-26学年七上·江苏南京建邺·期中）若，则的值为　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年七上·江苏苏州吴中区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 5．（25-26学年七上·江苏淮安淮阴区·期中）解方程： （1）； （2）． 6．（25-26学年七上·江苏扬州高邮·期中）解方程 （1） （2） 7．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 8．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）解方程： （1）； （2）． 9．（25-26学年七上·江苏淮安淮阴区·期中）在正方体的八个顶点处各写一个数，使每个顶点处的数等于与这个顶点连接的三条棱上另外三个顶点处的数之和．例如，图1中，与点A连接的三条棱上的另外三个顶点处，分别写有1、2、3，那么点A处的数等于请根据这个规则，解答图2中的问题： （1）①若点A、C、E处分别写2、、0，则点F处的数等于______； ②若点A、B、C处分别写3、4、7，则点D处的数等于______； （2）若点A、C、D处分别写2025、1、23，求E点处的数等于多少？ （3）顶点D、F处的数之间具有什么数量关系，并说明理由． 10．（25-26学年七上·江苏南京玄武·期中）探究数轴上两点之间的距离． 【数学探究】 （1）数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，设A，B两点之间的距离为d．补全下列探究过程． 同学们尝试探究，将两点之间的距离转化为两点到原点的距离来研究． 当时，分三种情况： 当时，； 当时，； 当时，     ①      同理，当时，     ②     ． 因为     ③     ，所以． 综上，． 【数学思考】 （2）数轴上，点M，N，P表示的数分别为m，n，p． ①若，点P到点M，N的距离相等吗？并说明理由； ②若，比较与的大小，直接写出结论． 【数学眼光】 （3）一段笔直的道路上有相距3千米的M，N两地，在两地之间距M地k（k为常数）千米处放置一个激光测速仪．一辆小汽车从M地驶向N地，当小汽车到M地的距离大于到测速仪的距离且小于到N地的距离时被测速，直接写出小汽车被测速的路段长度（用含k的代数式表示）． 当时，； 当时，； 当时， 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·江苏扬州高邮·期中）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．设这个班有学生人，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）在如图所示的日历中，字母分别表示某个具体的日期，则的值可能是（     ） A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 3．（25-26学年七上·江苏扬州高邮·期中）如图，表中给出的是10月的月历，任意选取“ ”，型框中的6个数（如阴影部分所示），则这6个的和不可能是（     ） A. 87 B. 99 C. 129 D. 135 4．（25-26学年七上·江苏南京建邺·期中）将16个数字填入的正方形方格内，如果每行、每列、每条对角线上的4个数字的和都相等，那么这个正方形就叫做4阶幻方．下图是由1，2，．．．，16这16个自然数构成的4阶幻方的一部分，则灰色格子内应填入的数字为　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）某种商品原价1000元，商家根据如图所示的优惠方案销售，则可获利．若商家想获利，则相应的优惠方案为　　　　　　　　　　　（写出一种即可）． 6．（25-26学年七上·江苏无锡新吴区·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方．将9个数填在的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图是一个未完成的广义三阶幻方，根据已知的3个数，可得　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年七上·江苏盐城亭湖区·期中）在如图所示的月历表中，任意框出同一个竖列上的相邻三个数，算出它们的和是51，则这三个数中最小的数是　　　　　　　　． 8．（25-26学年七上·江苏常州武进区·期中）按照图1所示方法，可以用平行四边形框出月历中的4个数． （1）若框出的4个数中左下角的数为（如图）则这4个数的和为______；（用含有x的代数式表示，需化简） （2）当时，求（1）中代数式的值； （3）在图1的月历中，按照图1的框法，能否框出4个数的和为．若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 9．（25-26学年七上·江苏南京建邺·期中）下图是一个数值转换器． 通过数值转换器转换的部分数值如下表所示． ．．． 1 3 5 ．．． ．．． 14 12 20 ．．． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求的值； （2）的值为___________； （3）若输出的的值为16，则输入的的值为___________． 10．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年七上·江苏无锡新吴区·期中）为便于学生信息管理，某校建立了一个身份识别系统．图1是某个学生的身份识别图，黑格表示1，白格表示0，每一行数字从左到右依次记为，，，，第一行可以转换为该生所在年级序号，其序号为（规定）．图1中第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为七年级的学生．第二行转换为班级序号，序号为，第三行，第四行分别为该学生学号的十位数字与个位数字，依次为，识别图表明该学生为7年级12班26号的学生． （1）图2是小新同学的身份识别图，则小新在___________年级，___________班； （2）在图3中为8年级10班39号的同学画出对应的身份识别图； （3）小吴同学还设计了一套信息加密系统．加密后的第一行表示所在年级数减4，第二行表示所在班级数加1，将两位数的学号（不足两位前面补零），个位与十位数字交换后再加2，第三行、第四行分别表示所得结果的十位数字和个位数字．图4是小吴加密后的身份识别图，由于损坏，第4行缺失，但已知加密后的学号比原学号大29，请求出小吴实际所在年级、班级与学号． 12．（25-26学年七上·江苏苏州·期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 13．（25-26学年七上·江苏徐州铜山区·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知数是最小的正整数，且、满足． （1）          ，          ，            ； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数          表示的点重合； （3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求、、的长（用含的式子表示）； （4）在（3）的条件下，的值是否随着时间的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 14．（25-26学年七上·江苏宿迁宿豫区·期中）如图是一个三阶幻方，它的规则是每一行、每一列、每一斜对角线上的3个数分别相加，和都相等，则x的值为　　　　　　　　． k x 1068 15．（25-26学年七上·江苏南京鼓楼区·期中）为探究使用天然气和电的耗能和花费问题，小明进行了烧水实验，将一定量的水烧开，相关数据如下表： 能源 烧水所需理论热量 单位能源使用量所产生的热量 烧水所需理论使用量 能源单价 费用 天然气 378千焦 37800千焦/米 米3 3.03元/米 元 电 378千焦 c千焦/度 0.105度 0.56元/度 0.0588元 （1）___________，___________，___________； （2）在使用的灶具与电器的过程中，热量会有一定损失，因此使用天然气或电都存在能源的利用率问题．设使用天然气、电的能源利用率分别为（能源利用率=） ①下表是小明家某天家庭聚餐的菜单与烹饪所需的热量： 菜品 烹饪所用能源 烹饪所需的理论热量 红烧肉 天然气 3400千焦 炒虾仁 天然气 1100千焦 宫保鸡丁 天然气 1515千焦 清炒茼蒿 天然气 600千焦 玉米排骨汤 电 4600千焦 清蒸白鱼 电 850千焦 蒸南瓜 电 700千焦 米饭 电 1850千焦 当，时，计算烹饪这些菜品消耗天然气和电的实际总费用（保留1位小数）． ②当满足什么关系时，使用电更省钱（直接写出答案，不必说明理由）． 16．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）综合与实践 【问题情境】某学校七年级举行篮球比赛，七年级共15个班参加比赛，比赛采取单循环赛（每两队之间比赛一场）．下表记录了5支篮球队的积分情况： 班名 比赛场次 胜场 负场 积分 七（2） 14 12 2 26 七（5） 14 8 6 22 七（9） 14 7 7 21 七（11） 14 4 10 18 七（15） 14 0 14 14 【提出问题】 某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【分析问题】 小智：观察积分榜，从七（15）班的比赛数据可以看出，负一场积1分．若设胜一场的积分为分，则根据七（2）班的比赛数据，可以得到方程___________①___________ 小慧：从七（9）班的比赛数据看，胜一场的积分+负一场的积分共为3分．若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示__________②__________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程__________③__________． 小聪：根据七（2）班的比赛数据，若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示为___________④___________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程___________⑤___________． 小明：只要我们求出了负一场和胜一场的积分各是多少分，就能解决上述问题了． 【解决问题】根据上面展示交流的过程，完成下列学习任务： （1）请将上述展示交流过程中，序号处缺少的内容补充出来： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________； （2）请求出胜一场的积分； （3）请你解决上述提出的问题：某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 17．（25-26学年七上·江苏无锡滨湖区·期中）定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为 ，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5． （1）求点、之间的距离； （2）求线段的“理想点”表示的数； （3）点是线段上一点，将线段沿点向右折叠，使点的对应点仍落在数轴上，若点、、三点中，其中一点是另外两个点所连线段的理想点，直接写出此时点表示的数． 18．（25-26学年七上·江苏苏州吴中区·期中）已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． （1）若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； （2）若点运动到原点时，此时点            关于的“好点”（填是或者不是）； 若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； （3）若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 19．（25-26学年七上·江苏盐城亭湖区·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为10，点D对应的数为，则的中点N所对应的数为                  ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，t为何值时，两点相距3个单位长度？并写出此时的中点M所对应的数． 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为最靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为                  ． ②在（2）的条件下，若是最靠近的八等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $