17导数的综合应用(三)导数中的构造问题题型训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数构造问题，系统梳理抽象函数构造类型与指对同构模型，通过题型与方法对应培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法总结|构造类型+同构模型|结构特征分析→函数构造→单调性研究|从构造原理到类型应用，形成“原理-模型-应用”完整链条| |练习题|14题（选择/多选/填空/解答）|结合导数研究函数性质解决大小比较与不等式|覆盖高考高频题型，以题载法强化知识迁移能力|

导数中的构造问题 高考题中经常出现指、对、幂的大小比较、解不等式等题目，这类题目的命题形 式以选择题为主.解决这类题目常常结合代数式的特点，构造相应的函数，并结合构造后 函数的各类性质，如单调性、奇偶性、周期性等解题，当单调性不能直接得出时，通 常需要利用导数研究出函数的单调性，从而解决问题， 抽象函数构造的常见类型 已知的不等式中所含结构 构造函数的方向 xf(x)-f(x) F)=四，F)-)f四 x2 xf(x)+f(x) F(x)=xf(x).F(x)=f(x)+xf(x) f(x)+f(x) F(x)=e"f(x).F(x)=e f(x)+f(x) f(x)-f(x) F-但P-I回 e f(x)+2f(x) F(x)=xf(x).F(x)=xf(x)+2xf(x) f(x)-2f(x) F-@F-02因 f(x)cosx+f(x)sinx F(x)=f(x)sinx, F(x)=f(x)cosx+f(x)sinx f(x)sinx-f(x)cosx F)=田 sinx F()-f()sinx-f()cosx sin2x 常见的指、对同构的模型 xe=e+x,x+lnx=ln(xe） (1) e e -=ex-h:,x-Inx=In (2) x2e*=emt2s,x+2Inx=In(x2e*) (3) )t≥se2n,x-2nx=lh 二、练习题 a=0.1e,b= 1.设 gc=-ln0.9,则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 2.高考仿真设 (+) =,6=2n 1 ,则a6C的大小关系是( ) Aa<b<c B.b<ase c.b<e<a D.c<a<b 3.已知函数 =》】 则 的大小关系为() 到 。〔 。}) 。》头 4已知函数f因的导数为f),且x+()+可()>0对xeR恒成立，则 下列函数在实数集内一定是增函数的是() A.y=f(x) B.=x(x) c.y=e'f(a) D.y=xe'f(x) m+lnm=上+ -+em,n2e"=-Inn 5.(多选)已知 m,n∈(0，+oo) ,则下列结论正确的是 () A.m=em B.n=em C.mn<em D.mn≥e" .1 b=lh5。_ln6 6.设6 10,12则() A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 7已知a=e9b=19 8,c=l+n3 5则a,bB,c的大小关系是() Aa<bsc B asc<b c.c<b<a D.c<a<b 8.已知9”=10，a=10™-11，b=8”- 9则() A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 31, 9.已知326-co1 4,c=4sin- 1 a= 4,则() A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b a=e1-1,b=2 >c=In1.1 10.已知 ,则() A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 1.已知f()-2+2+cosx+若a=f4n).b=f儿h4)c=f4n3）则 () A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<e 12.(多选)已知a>b>1,则() b>b+1 A.aa+1 B.Inb<a-1 C.beaaeb D.loga<logb 13.已知f() 是定义域为 的函数 f(x) 的导函数，且 f(x)sinx+f(x)cosx<0 fnx ,则不等式 的解集为。 14.已知函数 f(x)=Inx+ax2-(a+2)x )当0<a≤2时，讨论函数 f(x) 的单调性； (2)若 x(0,+切)，都有)可()50 成立，求实数a的取值范围。 参考答案与解析 1.选C因为e≥x+1,当且仅当x=0时，有e=x+1, 所以当x=01时， e1>1-0.1=9 10 e1<l0 .a-0.l<gb 于是 设函数f闭)=e+h(1-) 则 r小--÷ 当0<x<01时， (（1-x2)e*-1>(1-x2)(x+1)-1=x1-x-x2)>0 所以f)>0fd在®，01上单诺增有f0>f0)=0 0.1e+ln0.9>0,所以a>c.枚c<a<b 2.选B由已知可得 c--) 1 若将5视为x,则在比较a,b的大小时，可构造函数 f(x)=x-In(1+sinx) 1 因为x之smx在R上恒成立所以之 5,所以 =h+mf》 X 设8()-r-lh(c+.xeQ 8()=1-1 >0 ,则 x+1x+1 所以(=x-血(+)在(Q)）上单调递， 所以 g-心 所以a>b 比较 a,c时可构造函数 )=xn(c*xeo） h(x)=1- 65x-1 5x+55(x+1) 则 h()<0 h(x)>0 时 时 h()-x-Sm(x+1) 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 <h(0)= 0 9- ,所以a<c,所以b<a<c.故选B. 易证f() 在 o. 3.选B 是偶函数， e 上单调递增，令 g()-mx.x>eg(x)-1-mx<0 ,则 x2 版函数8（冈在（仁） 上单调递减， 故 g(e)>8(3)>g(4)>g(5) 1>h3>n4>n5>0 In 4 In2 即e34>5 ,而42 >) 所以 〔)》 所以 故选B. 4.选D由已知 +/)+(>0可得.)+f四+可（小>0即 (+f》+f>0由+f冈 结构想到可构造y=ef(:) 从而想到 构造函数 F(x)=xe'f(x) 则 F(x)=(x+1)e"f(x)+xe'f(x)=e[(x+1)f(x)+xf(x)] (此处导函数中出现了 与已知相同的结构) 结合已知可得 F()>0F(闪在R上单调递增，故选D. 1.1 ne"e"In e"=-In 5.选AC由ne=-lhn,得 nn,(变形后等号两侧出现了相同的 结构，可利用该结构构造函数) Lin1>0 1 ->1 因为nn,所以”，即0<n<1则e>1 令f)=x且x>1所以h nn得 fe) 又因为f()-1+血>0即因在么+) 上单调递增， e=I 所以 n 11 m+lnm= +em m+nm=e+是-e+he 1 170 m 由 ,得 ,(左右结构相同)又m ,则 1 em >1 令8()=x+nx 且0则 (x)=1+1>0 上单调递增， 1 Inm=- 所以m=em ,即 m 综上，可知”是y=e y= 与 图象交点的横坐标，m是)=血x与下图象 交点的横坐标」 由于y=hx与y=©互为反函数所以它们的图象关于直线y=x对称，且 的图象也关于y=x对称，如图， y=lnx e m B(n,e"),A(m,Inm) 所以 两点关于直线y=x对称，所以m=e>1,且mm=e= ,故mn<e”=m 故选AC f(x)=x f(x)=1-2nx 6.选A设 ,则 x3 令f)=0 得=e则 在ov) 上单调递增，在 c树） 上单调递减 b=f5)c=f八6)则b>c, a-b=h5_5-3h5_hc-h125、0 61030 30 ,得a>b,所以a>b>C,故选A 7选A令f()=e-x-1 故f(国-1令f)=0解得=0， 当<0时.f()0因华调造减当>0时.了>0冈年话港则 f(x)≥f(0)=0 ,即e≥x+1,故e≥-x+1,当0<x<1时，有1-x,故 es<1=19 1-118 19 ,即a<b g)-h(e+c0叭 et-中yea可0 4 x2 则 故8因在Qm） 上单调递增，故8()>8(0)=0 2× 2 In +1 1 35 ts、2 35 2+ 2-18 即 x+2+这取 35 ,则 35 1+In 37、19 所以 3518 ,即c>b,综上a<b<c .故选A .9m=10,.m=log10 8.选A(构造函数) log,9<log,10<1og,V729=3 3 1<m<2a=10°-11=10-10-b=8-9=8”-8-1 构造函数 f=-x-1(c>.f()=r-1y1<m 2x>1,f()=mx1-1>0 ∴f(x)=x"-x-1(1,+oo) 在 上单调递增， fo0>f8又f0)=909-1=0 故a>0>b 故选A. 9.选A(不等式放缩) 1 c=4tan b 由题意得 ,因为当 时， x<tanx 所以 44 ,即b ,所 以c>b x∈0， 2) sinx<x,取 8, c1-in 1 8 =32 因为当 时 ,故 b>a,所以c>b>a.故选A 1n达D设f=e--1则f因=e-xe(0)时.f)<0f为被通 数，x∈(0，+切)时，f()>0f四为增函数 所以 62f0=0则01>0.即e-1>01 a树-ru0u-”.e0a因s ,则 时， 函数e+W）时，名（因<0,8（为减函数。 所以8()sg0=0g1.1)<0 即nl1.l<0.1,所以a>c h(y)=n(x+1）-2x 设 r+2x>-1 则 ÷e可0 x2 h(0.1)>h(0)=0 m1.1小2 为增函数，所以 ,所以 21 ,即C>b.综上， b<c<a.故选D. 11.选D易知 () 是偶函数，则可以研究X>0时， f) 的单调性。 f(x)=(2*-2*)In2-sinx+2x, 设s(=(2-2）h2-simx+2x 则()=(2+2)h2-60s+20 故在(0+w)上s) 为增函数，故 5)>s0=0即f(>0,f在 (0,+∞) 上为增函数， u(x)=nx x>e u()=1-lnx<0 设 ,则 x2 上为减函数，而 ln3、lhπ、h4 e<3<n<4,故3π4 故4hx>元血4，放3×4nx>3×xn4 所以4hen4>0最4h少小儿h4）放a>a 又πln3>3nπ，故4xl血3>4x3n元，即4ln3>4nx>0, f4nr)>/4nx）放>0综上c>a>6,版旋D 12.选BC对于A,因为a>b>1, bb+1_b(a+1)-ab+-b-a<0 aa+l a(a+1) a(a+1) 所以 ,故A错误 对于B,因为a>b>1,所以血b<血a,设f()=血x-x+,xe+o） f四-1-10 0所以在）上为减函数所以 f(x)<f(四)=0 即 f(a)=Ina-a+1<0 0,所以hb<na<a-1,放B正确 对于C,设 -要e+o g(✉)=c(-少0 因为 所以8四在(+） 上为增函数， e、eb 因为a>6>1所以8(@小>8） ,即ab即be>ae°，故C正确 Inx 对于D,设 h()=log:Hx=nx+xe+四) e+0-hr加(e+少-a hi(x)=x [n(x+1] x(x+1)[n(x+1)] 因为 k(x)=xhx,x∈(L,+o）k(x)=hx+1>0k(x)(L,+o) 所以 在 上为增函数， 因为+1>x>1,所以(+1)血(x+)-xhx>0 h()=+9h(x+-xnx0 即 x(x+儿n(x+] 所以（闲在+四）上为增函数。 因为a>b>1 ,所以 la)>h6)即og>lgnb 故D错误故选BC (f()sinxxe 解析设 ()=()sinx+f()cos 所以函数 四在 上单调递减， esmx>f(8f6mx>1活m后 r< 6 0<x<π 即 ,所以 0<x<r 所以 ,所以不等式的解集为 14.解析 ()(:)的定义域为 (0,+o） f()-+2ax-(a+2）=2r-a+2x+1_2x-lax-） 11 0当0<a<2时， a 2 当 时， f(x)>0,f() 上单调递增； 专6erwx 上单调递减， 上单调递增， 11 ②当a=2时，2， f(x)20 恒成立，故 f在0，+) 上单调递增， a 和 上单调递增，在 上单 调递减， 当a=2时， f在+) 上单调递增， Vx∈(0，+o) 都有 f()-f(x)s0 (2) 成立，（由不等式想到常见函数构造）令 F(x)=I() F)=f凶0 ,则 F(在(a,+o)） 即 上单调递增. F)f四_nx+ax-(a+2）F(y)1-h+a≥0 因为 xx x2 ,则 r∈(0，+切)，a≥血r-l x∈(0，+o),a≥ Inx-1 x2 即 x2 恒成立，等价于 令s6)(0份32 当0<<e则.8()小>0g( 0,e2 在 上单调递增， 当>e时.86)08（在 上单调递减. g(x)≤g e_ne2-11 3)2 2e 1 a≥ 2e 则 ,可得 1 故实数。的取值范围是 2e3,+oo