4.5 不等式中的恒（能）成立问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦不等式恒成立问题，以分离参数、分类讨论、双变量处理、洛必达法则为核心方法体系，构建从单变量到双变量、常规到特殊技巧的知识逻辑链，培养数学推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分离参数法|5题|参数分离转化为函数最值求解|从函数单调性切入，建立参数与函数最值的关系| |分类讨论法|6题|按参数范围讨论函数单调性求最值|结合导数工具，体现分类整合的数学思想| |双变量恒成立|5题|“任意-存在”情境下的最值关系转化|单变量问题的拓展，强化变量关系的逻辑分析| |洛必达法则应用|4题|极限思想处理端点效应问题|特殊技巧补充，提升复杂问题的求解效率|

§4.5 不等式中的恒（能）成立问题 目录 题型1：分离参数法求参数范围 2 题型2：分类讨论法求参数范围 6 题型3：双变量的恒（能）成立问题 13 题型4：洛必达法则在恒（能）成立中的应用 18 题型1：分离参数法求参数范围 【例1.1.】 若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.52 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可. 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故实数a的取值范围为. 【例1.2.】 若关于的不等式在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.28 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题 【分析】将原不等式在上有解问题转化为（，），结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】不等式在上有解等价于不等式在上有解， 令，，则即可. ， 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增； 因此，当时，取得最小值， ， 所以. 故的最小值为. 【例1.3.】 不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】令，根据，结合的单调性，可得，进而得在上恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 【例1.4.】 已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 【答案】 【难度】0.35 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题可得在上恒成立，然后通过研究，单调性可得答案. 【详解】∵对任意的，恒成立， 即，在上恒成立， 即在上恒成立， 即，. 设函数，，则在R上为增函数， 则在上恒成立， 则. 令，， 则在上递增，在递减， 则. 【例1.5.】 若关于x的不等式恒成立，则的最大值为______． 【答案】/ 【难度】0.32 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】问题化为在上恒成立，利用导函数研究右侧的最小值，从而得到，令且，若并用导数研究其最大值，即可得. 【详解】由题设在上恒成立， 令，定义域为， 则， 令，解得，且， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 因此，则， 令且，若， 则， 令，得，即，易知在定义域上单调递增， 又时，满足上述方程， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，此时，， 所以. 题型2：分类讨论法求参数范围 【例2.1.】 设函数，且． (1)求函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增． (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可； （2）方法一：讨论当时成立，当时参变分离可得，再构造函数，，求导分析最小值即可； 方法二：将题意转化为，再构造函数，求导分类讨论单调性与最大值即可. 【详解】（1），， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，时，，则在上单调递减； 时，，则在上单调递增． （2）方法一：在恒成立，则 当时，，显然成立，符合题意； 当时，得恒成立，即 记，，， 构造函数，，则，故为增函数，则. 故对任意恒成立，则在递减，在递增，所以 ∴． 方法二：在上恒成立，即． 记，，， 当时，在单增，在单减，则，得，舍： 当时，在单减，在单增，在单减，，， 得； 当时，在单减，成立； 当时，在单减，在单增，在单减，，，而，显然成立． 综上所述，． 【例2.2.】 （多选）已知函数，存在使得能成立，则的值可以为（    ） A．－1 B． C．1 D．2 【答案】ABC 【难度】0.55 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求导得，再分、讨论函数单调性，利用单调性得到最值，结合题意求出的范围即可求解． 【详解】的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减． 且，故存在使得能成立，故A正确． （ⅱ）若，则由得． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增． 当时，取得最小值，最小值为． 故只需，又与均递增， 故单调递增，故， 综上所述正确． 【例2.3.】 ，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【详解】构建函数，由题意只需在上恒成立， 又，由端点效应，故， 下证时，恒成立，主参换位，以为主元，为参数， 看作，，显然单调递减或不增不减， 故，故只需证即可，令， 则，而， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即在上恒成立， ，得证． 当时，，由函数图象的连续性， 故，当时，所以在单调递减， 所以时，，与题意矛盾． 综上可得，． 【例2.4.】 已知函数，对于，均有，则实数的取值范围是_________． 【答案】a ≥ 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】用导数及分类讨论研究函数在区间上的单调性，讨论与区间的位置关系求区间单调性，进而求的最小值， 【详解】由且， 当时，，则在上单调递减， 即在上单调递减， 此时，只需， 所以，显然不成立； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，此时， 只需， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 只需，而且，故，所以不成立. 若，则在上单调递减，此时， 所以不满足前提， 综上，. 【例2.5.】 设函数． (1)求在处的切线方程； (2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导后对导函数再求导，分类讨论其零点存在的情况，再得到导函数的正负与原函数的单调性与最值判断即可. 【详解】（1）时，；又，则， 切线方程为：，即 （2）， 则，又令， ①当，即时，恒成立，∴在区间上单调递增， ∴，∴，∴在区间上单调递增， ∴（不合题意）； ②当即时，在区间上单调递减， ∴，∴，∴在区间上单调递减， ∴（符合题意）； ③当，即时，由， ∴，使，且时，， ∴在上单调递增，∴（不符合题意）； 综上，的取值范围是. 【例2.6.】 已知函数，其中． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数的范围． 【答案】(1)当时，．无极大值； 当时，，无极小值 (2) 【难度】0.43 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数分析出当和时的单调性，再根据极值的定义可求解出结果； （2）令，根据在上恒成立求出，然后再证明其充分性成立即可. 【详解】（1）因为， 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时无极大值； 当时，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时无极小值． （2）记， 即在上恒成立，且， 必要性：因为，又恒成立，所以是的最小值， 又因为，则在处取得极小值，故，得； 充分性：下面证时原式恒成立，即证， 且，， 令，则， 当时，， 所以单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以成立； 当时，因为， 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递减，所以成立， 当时，由辅助角公式得， 由（1）可知当时，，则， 综上，当时，成立，所以的取值范围为． 【例2.7.】 若关于x的不等式恒成立，则当取最小值时，的值为______． 【答案】 【难度】0.32 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先将条件转化为，，构造函数，求导，分析函数的单调性，从而得到，，再构造函数，求导，分析函数的单调性，从而得到当取最小值时和的值，进而即可求出的值． 【详解】由对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 若，即时，，则在上单调递增， 又时，，所以不存在使得对任意恒成立， 所以，即时，令，则，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以， 所以存在，使得成立，即存在，使得成立， 令，，则， 令，，则， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即时，，则在上单调递减； 当时，，即时，，则在上单调递增， 所以当时，，即， 即当取最小值时，，，此时． 题型3：双变量的恒（能）成立问题 【例3.1.】 已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】首先由已知条件得到，其次利用导数求得，利用二次函数的性质求得，最后解出实数的取值范围. 【详解】若对任意的，存在，使，则. 由已知得， 可知，当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 故当时，. 因为函数的对称轴为， 所以在上单调递减， 所以当时，. 于是，解得. 【例3.2.】 若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据导数的正负性与函数的单调性，结合构造函数法、任意性的性质进行求解即可. 【详解】令， 由， 因为，所以，所以， 所以在时，单调递减， 所以， 当时，一次函数单调递增， 所以， 所以要想对任意的，都有成立， 只需. 故选：D 【例3.3.】 已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】分析可得，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求出，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围 【详解】对任意的，总存在，使得，则， 因为， 则对任意的恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 则. 因为， 所以当时，，不满足，故； 当时，在上单调递增， 所以， 即，解得； 当时，在上单调递减， 当x趋于时，趋于, 由,解得,与矛盾，故舍去； 综上，的取值范围为.. 【例3.4.】 已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题 【分析】根据题意可得，再利用导数结合函数单调求出最值，然后解不等式即可． 【详解】若使得， 则，， 时，，则在上单调递增， ， 又在单调递增，所以， ，解得， 则实数a的取值范围为． 【例3.5.】 已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先利用导数求得，再将不等式化为在上恒成立，参变分离得在上恒成立，即只需求在上的最小值即得. 【详解】由，，求导得，，则当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减，则时， ，，使得成立， 而，故须使在上恒成立，即在上恒成立. 不妨设，，则， 再令，，则是减函数，当时，， 即在上为减函数，则， 又，故当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 即时函数取极大值，即最大值， 因，，，故得. 故选:A. 题型4：洛必达法则在恒（能）成立中的应用 【例4.1.】 恒成立,求的取值范围 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、洛比达法则 【分析】常数分离得，判断的单调性并用罗比塔法则求其最小值. 【详解】， 记，， 则， 记， 则， 而， 所以,在单调递增,所以， 所以,在单调递增,所以， 即在上,所以在上单调递增， 所以， 所以. 【例4.2.】 已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、洛比达法则 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 【例4.3.】 ，恒成立，求的取值范围 【答案】 【难度】0.65 【知识点】洛比达法则、求最值 【分析】根据题意，先讨论的情况，然后讨论的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可得到结果. 【详解】当时，; 当时，不等式可化为. 记， 则， 记，则， 当时，则; 当时，则. 因为，并且，所以. 这时符合题意. 综上可知，的取值范围是. 【例4.4.】 已知函数． (1)若是减函数，求的取值范围； (2)当时，，求的最大值； 【答案】(1) (2)1 【难度】0.56 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用单调性与导数的关系把问题转化为恒成立问题，再分离参数，利用导数求出函数最大值，进而求出取值范围即可. （2）利用分离参数法求出的取值范围，进而得到最大值即可. 【详解】（1）因为在上单调递减， 所以，即在上恒成立． 令，则． 令，则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的最大值为，所以的取值范围是． （2）由题意得, ①当时，，不等式恒成立，; ②当时，分参得， 设,不等式变为,设, 所以，令，可得， 当时，恒成立，则在上单调递增， 而，则，即， 得到函数在上单调递增，所以， 又题意可知，令,则， 当时，,所以 ， 令，由导数的定义得， 故，所以,即的最大值是1. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.5 不等式中的恒（能）成立问题 目录 题型1：分离参数法求参数范围 2 题型2：分类讨论法求参数范围 2 题型3：双变量的恒（能）成立问题 3 题型4：洛必达法则在恒（能）成立中的应用 4 题型1：分离参数法求参数范围 【例1.1.】 若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 若关于的不等式在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 【例1.5.】 若关于x的不等式恒成立，则的最大值为______． 题型2：分类讨论法求参数范围 【例2.1.】 设函数，且． (1)求函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【例2.2.】 （多选）已知函数，存在使得能成立，则的值可以为（    ） A．－1 B． C．1 D．2 【例2.3.】 ，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知函数，对于，均有，则实数的取值范围是_________． 【例2.5.】 设函数． (1)求在处的切线方程； (2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【例2.6.】 已知函数，其中． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数的范围． 【例2.7.】 若关于x的不等式恒成立，则当取最小值时，的值为______． 题型3：双变量的恒（能）成立问题 【例3.1.】 已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例3.2.】 若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【例3.4.】 已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 【例3.5.】 已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：洛必达法则在恒（能）成立中的应用 【例4.1.】 恒成立,求的取值范围 【例4.2.】 已知函数．当时，求的取值范围． 【例4.3.】 ，恒成立，求的取值范围 【例4.4.】 已知函数． (1)若是减函数，求的取值范围； (2)当时，，求的最大值； ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $