增分微练5构造法在解决函数、导数问题中的应用专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦构造法在函数导数中的系统应用，通过题型分类提炼辅助函数构造策略，发展数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础构造|5题|构造单调性函数（如f(x)=lnx/x）、导数符号函数（如g(x)=f(x)e^x）|从函数概念生成辅助函数，利用导数推导单调性解决不等式、比较大小| |综合构造|3题|构造奇偶性函数（如F(x)=xf(x)）、恒成立转化函数（如g(t)=e^t-t）|结合函数性质与导数工具，构建问题与函数模型的逻辑联系| |创新构造|4题|构造复合型函数（如n(x)=x(e^x+1)）、参数分离函数（如φ(x)=lnx/x）|从复杂情境中抽象数学对象，通过构造实现问题转化与求解|

增分微练5　构造法在解决函数、导数问题中的应用 (时间:45分钟) 1.不等式2ln x>xln 2的解集是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(1,2) B.(2,4) C.(2,+∞) D.(4,+∞) 2.[2024· 江苏扬州期末] 已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意实数x,都有f(x)+f'(x)>0,且f(1)=1,则f(x)ex>e的解集为 (　 ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.[2025·南京六校联考] 已知2024m=2025,2023m=x+2024,2025m=y+2026,则 (　 ) A.0<x<y B.x<y<0 C.y<x<0 D.x<0<y 4.[2024·昆明模拟] 设a=,b=,c=e-2+ln 2,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 5.已知函数f(x)的定义域为R,设f(x)的导函数是f'(x),若f(x)·f'(x)+sin x>0恒成立,则 (　 ) A.f<f B.f>f C.< D.> 6.已知xx-1≥ln x+对任意x>0恒成立,则a的最大值为 (　 ) A.0 B. C.e D.1 7.(多选题)已知x>y>0,则下列结论正确的有 (　 ) A.ex-ey>x-y B.ln x-ln y>x-y C.ln x≥1- D.> 8.(多选题)[2024·浙江温州一模] 定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意实数x,都有f(-x)+e2xf(x)=0,且满足2f(x)+f'(x)=2,则下列说法正确的有 (　 ) A.函数F(x)=exf(x)为奇函数 B.不等式exf(x)-<0的解集为(0,ln 2) C.若方程f(x)-(x-a)2=0有两个根x1,x2,则x1+x2>2a D.f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x 9.[2024·福建厦门三模] 已知奇函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,f(1)=2,当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,则使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是　　　　　　.  10.对任意x1,x2,当1<x1<x2<e时,-<0,则a的取值范围为　　　　.  11.已知定义在[-4,4]上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)>f(x).若ex-1f(1+x)-f(2x)<0,则x的取值范围是　　　　.  12.[2025·重庆八中月考] 若aeax≥ln x-a对任意x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.  参考答案 增分微练5　构造法在解决函数、导数问题中的应用 1.B　[解析] 设f(x)=(x>0),则f'(x)=,当0<x<e时,f'(x)>0,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.原不等式可化为>,即f(x)>f(2),结合f(2)=f(4),可得2<x<4,所以原不等式的解集为(2,4).故选B. 2.B　[解析] 由f(x)ex>e,f(1)=1,可得f(x)ex>ef(1),令g(x)=f(x)ex,则g'(x)=ex[f'(x)+f(x)],又f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.原不等式等价于g(x)>g(1),所以x>1,则原不等式的解集为(1,+∞). 3.D　[解析] 因为2024m=2025,所以m=log20242025>1.构造函数f(x)=xm-x-1,x∈[1,2025],则f'(x)=mxm-1-1.令g(x)=f'(x)=mxm-1-1,x∈[1,2025],则g'(x)=m(m-1)xm-2>0,则g(x)=f'(x)在[1,2025]上单调递增,得f'(x)≥f'(1)=m-1>0,则f(x)在[1,2025]上单调递增.又f(2024)=0,f(2023)=x,f(2025)=y,所以x<0<y.故选D. 4.A　[解析] 构造函数f(x)=,则f'(x)=,当x=1时,f'(1)=0,当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)=在[1,+∞)上单调递减.因为a==f(1),b===f(ln 3),c=e-2+ln 2==f(2),且1<ln 3<2,所以f(1)>f(ln 3)>f(2),即a>b>c. 5.D　[解析] 设g(x)=[f(x)]2-2cos x,则g'(x)=2f(x)·f'(x)+2sin x>0,故y=g(x)在定义域R上是增函数,所以g>g,即>,所以>. 6.D　[解析] 由xx-1≥ln x+(x>0),得xx≥xln x+a,所以exln x-xln x≥a对任意x>0恒成立.令f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1在(0,+∞)上单调递增,令f'(x)=0,得x=,当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)≥f=-,即xln x≥-.令t=xln x,g(t)=et-t,则g'(t)=et-1在上单调递增,令g'(t)=0,得t=0,所以当-≤t<0时,g'(t)<0,当t>0时,g'(t)>0,所以g(t)在上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g(t)min=g(0)=1,所以a≤1,所以a的最大值为1.故选D. 7.ACD　[解析] 设f(x)=ex-x(x>0),则f'(x)=ex-1>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以f(x)>f(y),即ex-x>ey-y,即ex-ey>x-y,A正确;令x=e,y=1,则ln x-ln y=1,而x-y=e-1>1,所以ln x-ln y<x-y,B不正确;设h(x)=ln x-1+(x>0),则h'(x)=-=,当0<x<1时,h'(x)=<0,函数h(x)单调递减,当x>1时,h'(x)=>0,函数h(x)单调递增,则h(x)=ln x-1+在x=1处取得最小值,最小值为h(1)=ln 1-1+=0,所以ln x≥1-,C正确;设g(x)=x·ex(x>0),则g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)=x·ex在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以g(x)>g(y),即x·ex>y·ey,即>,D正确.故选ACD. 8.AC　[解析] 对于A,F(x)=exf(x),则F(-x)=e-xf(-x),由f(-x)+e2xf(x)=0可得e-xf(-x)+exf(x)=0,所以F(x)+F(-x)=0,又F(x)的定义域为R,所以F(x)=exf(x)为奇函数,A正确;对于B,因为[e2xf(x)-e2x]'=2e2xf(x)+e2xf'(x)-2e2x=e2x[2f(x)+f'(x)-2]=0,所以e2xf(x)-e2x=c,c为常数,则f(x)=,又在f(-x)+e2xf(x)=0中,令x=0,得f(0)=0,故f(0)==0,故c=-1,所以f(x)=,由exf(x)-<0可得e2xf(x)-3<0,又f(x)=,所以e2x-4<0,则x<ln 2,B错误;对于C,f(x)==1-在R上为增函数,而y=(x-a)2为图象开口向上,且对称轴方程为x=a的二次函数,由题知x1,x2是f(x)与y=(x-a)2的图象的两个交点的横坐标,不妨令x1<a<x2,设直线y=f(x1)与y=(x-a)2的图象的两个交点的横坐标为x1,x'2,则x1+x'2=2a,且x1<a<x'2<x2,所以x1+x2>2a, C正确;对于D,由2f(x)+f'(x)=2得2f(0)+f'(0)=2,因为f(0)=0,所以f'(0)=2,所以f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程为y=2x,D错误.故选AC. 9.(-∞,-1)∪(1,+∞) [解析] 当x>0时,因为xf'(x)+f(x)>0,所以[xf(x)]'>0.令F(x)=xf(x),则当x∈(0,+∞)时,F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=-x[-f(x)]=xf(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.因为f(1)=2,所以F(1)=f(1)=2,所以F(-1)=2,作出F(x)的大致图象如图所示.由图可知,使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞). 10.a≥e　[解析] 由-<0,得<,两边取自然对数,得x1x2ln<ax2-ax1,即ln x2-ln x1<-,则ln x2+<ln x1+.令h(x)=ln x+,则h(x)在(1,e)上单调递减,所以h'(x)≤0在(1,e)上恒成立,而h'(x)=-,则-≤0对任意x∈(1,e)恒成立,所以a≥x对任意x∈(1,e)恒成立,可得a≥e. 11.(1,2]　[解析] 设g(x)=,x∈[-4,4],则g'(x)==,因为f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,故g(x)在[-4,4]上为增函数.不等式ex-1f(1+x)-f(2x)<0等价于ex-1g(1+x)e1+x-g(2x)e2x<0,故g(1+x)-g(2x)<0,即g(1+x)<g(2x),因为g(x)在[-4,4]上为增函数,所以-4≤1+x<2x≤4,解得x∈(1,2]. 12.　[解析] 根据题意得axeax≥(x+1)ln x-ax,即ax(eax+1)≥(x+1)ln x=(eln x+1)ln x,令n(x)=x(ex+1),则n(ax)≥n(ln x),n'(x)=ex+1+xex,令m(x)=n'(x),则m'(x)=(x+2)ex,当x∈(-∞,-2)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,当x∈(-2,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,所以m(x)=n'(x)=ex+1+xex≥n'(-2)=1->0,所以n(x)在R上单调递增.因为n(ax)≥n(ln x),所以ax≥ln x,所以a≥.令φ(x)=(x>0),则φ'(x)=(x>0),当0<x<e时,φ'(x)>0,当x>e时,φ'(x)<0,所以φ(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以φ(x)max=φ(e)==,所以a≥,所以实数a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $