湖北武汉市第三中学2026-2027学年高二上学期开学收心考数学试题

**基本信息** 聚焦统计与立体几何核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配高二开学学情检测，融合数学文化与实际情境，发展空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|上四分位数、斜二测画法、方差计算|基础概念辨析，强化数学眼光| |多选题|3|圆台表面积体积、数据合并方差|综合应用，培养推理能力| |填空题|3|正三棱柱体积、四面体重心、概率模型|情境问题，提升数学语言表达| |解答题|5|频率分布直方图、面面角、祖暅原理|融合数学文化与跨知识综合，发展创新意识|

2026年高二开学收心考 一、单选题 1．数据7，8，12，5，6，7，10，6，12，8的上四分位数为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，，若原平面图形的面积为，则的长为（     ） A．2 B． C． D． 3．某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的方差为（    ） A．134 B．132 C．128 D．112 4．已知棱台的上、下底面均为有一个内角是的菱形，且上下底面边长分别为1和2，该棱台的高为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（    ） A． B． C．，独立 D．，独立 6．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 8．已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（    ） A．B，C互为对立事件 B．若，则 C．若A，B互斥，则 D．若A，B相互独立，则 二、多选题 9．已知圆台的下底面直径，母线，且，是下底面圆周上一动点，则（     ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．三棱锥体积的最大值为 D．的最大值为6 10．已知甲组数据，，…，的平均数为，方差为：乙组数据，，…，的平均数为，方差为．且，，…，．现将甲、乙两组数据合并成一组新数据，记为丙组，其平均数为，方差为，则（     ） A． B．若，，则 C．若甲组数据的众数为2，则乙组数据的众数为5 D．若甲组数据的中位数为，则乙组数据的中位数为 11．如图，平行六面体的棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（     ） A．，，，四点共面 B．在上的投影向量为 C．直线与所成角的余弦值为 D． 三、填空题 12．如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 13．在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 14．某人有一把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在这把雨伞在家里，那么连续上班两天，他两天都不淋雨的概率为________. 四、解答题 15．某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了名学生的成绩，整理后按照，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并基于频率分布直方图估计这名学生成绩的中位数． (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，再从这5人中随机选取人．写出该试验的样本空间，并用古典概型的概率计算公式求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 16．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 17．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 18．(1)如图1，设点为三棱锥外接球的球心，过作平面于点，作平面于点．设棱的中点为，连接，．设二面角为（），，，，，球的半径为．求证： i．为的外心； ii．，，，四点共面； iii．． 注：当三棱锥的形状变化时，图1的形状也可能发生变化（例如图2）．事实上，上述求解的公式对任意三棱锥都成立，不过你只需基于图1证明即可． (2) 已知等边三角形的边长为，直线将其分成两个多边形．将其中一个多边形绕旋转角度（），然后以这两个多边形为底面，连接它们边界上的对应点，构成一个多面体．若该多面体的所有顶点都在同一个球面上，求该球半径的最小值． 19．祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等． (1)现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，判断三者之间的关系，并说明理由；    (2)如图，过半径上一点A，且平行于半球犬圆（过球心的平面与球面相交所形成的圆）的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”，已知半球的半径为R，当点A为半径中点时，求截得的“球缺”的体积；    (3)《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱（圆柱的上下底面为正方体的上下底面，圆柱的侧面与正方体侧面相切）的公共部分组成的几何体为“牟合方盖”．显然，正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球．若正方体棱长为6，求“牟合方盖”体积．      试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $