第4章 整式的加减（举一反三讲义）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过分层题型框架系统梳理整式的加减知识体系，以框架图呈现单项式、多项式、整式等核心概念及同类项、去括号等运算要点，清晰展示从基础概念到综合应用的内在联系。 讲义的亮点在于“基础-拔高-创新”的分层练习设计，如题型8化简后整体代入求值培养运算能力，题型15探索规律中的整式表示提升推理意识与创新意识。每个题型配例题及变式题，基础学生可夯实概念，优秀学生能拓展思维，为教师实施分层教学提供精准支持。

第4章 整式的加减（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 单项式的相关概念】 1 【题型2 多项式的相关概念】 2 【题型3 整式的相关概念】 2 【题型4 同类项、合并同类项】 3 【题型5 去括号、添括号】 3 【题型6 整式的加减基本计算】 3 【题型7 按某一字母升幂或降幂排列】 3 【进阶拔高】 4 【题型8 化简后整体代入求值】 4 【题型9 去括号与合并同类项综合化简求值】 4 【题型10 整式加减中的错看问题】 4 【题型11 化简后结果与某字母无关】 5 【题型12 化简后结果不含某项】 6 【题型13 整式加减中的大小比较】 6 【创新思辨】 7 【题型14 多项式恒等条件下求未知量】 7 【题型15 探索规律中的整式表示与求值】 7 【题型16 整式加减与周长综合】 8 【题型17 整式加减与整除综合】 9 【题型18 含绝对值的整式化简求值】 10 【夯实基础】 【题型1 单项式的相关概念】 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【变式1-2】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可） 【变式1-3】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）若是关于x，y的六次单项式，且它的系数是，则___________． 【题型2 多项式的相关概念】 【例2】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【变式2-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【题型3 整式的相关概念】 【例3】（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式3-1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 【变式3-2】（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 【变式3-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则___________． 【题型4 同类项、合并同类项】 【例4】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【变式4-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 【变式4-2】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）如果单项式与 是同类项，那么___． 【变式4-3】（25-26六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式， ，且，则的值_____． 【题型5 去括号、添括号】 【例5】（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 【变式5-1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）若，则代数式的值为__________． 【变式5-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）（_____）；（_____）． 【变式5-3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 【题型6 整式的加减基本计算】 【例6】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【变式6-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）求整式与的差． 【变式6-2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）已知，且，求． 【变式6-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【题型7 按某一字母升幂或降幂排列】 【例7】（25-26七年级上·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 【变式7-1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）把多项式按字母a的降幂排列，第2项的次数是______． 【进阶拔高】 【题型8 化简后整体代入求值】 【例8】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，则_________． 【变式8-1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）若，则___________． 【变式8-2】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）当时，代数式的值为 ______． 【变式8-3】（25-26七年级上·山东滨州·期中）若，，则代数式_____． 【题型9 去括号与合并同类项综合化简求值】 【例9】（25-26七年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【变式9-1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【变式9-2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）先化简，再求值：，其中是最小的正整数，． 【变式9-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知多项式，． (1)求； (2)如果，，求的值． 【题型10 整式加减中的错看问题】 【例10】（25-26七年级上·四川广元·期中）某同学做一道数学题：“两个多项式，，已知，试求的值”时．他误将看成，结果答案为． (1)试求的正确结果； (2)当时，求的值． 【变式10-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）李明在计算多项式A减去时，忘记了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是． (1)求多项式A； (2)求这两个多项式相减的正确结果； (3)当时，求（2）中结果的值． 【变式10-2】（25-26七年级上·河北保定·期末）先化简再求值 (1)小强的妈妈给了一道关于两个整式加减运算的题 “（一个二次三项式）”，由于两整式之间运算符号印刷不清，小强按减法计算，结果得到，小强的妈妈看了看小强做的，告诉小强，你只是将印刷不清的运算符号看错了，结果与正确的答案不符，接着小强又算了一次，得到了正确的结果，你知道正确的结果是多少吗？ (2)若（1）中正确结果中的值是方程的根，你能求出（1）中正确结果的代数式的值吗？ 【变式10-3】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误算成成了“”，求得的结果为 (1)求多项式A； (2)求出的正确结果； (3)当时，求的值． 【题型11 化简后结果与某字母无关】 【例11】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）已知多项式，若的结果与的取值无关，则____________． 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·期中）已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则_______． 【变式11-2】（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）【阅读理解】 已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 已知，． (1)用含m，x的式子表示； (2)若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【变式11-3】（25-26七年级上·河北沧州·期中）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【题型12 化简后结果不含某项】 【例12】（25-26七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）代数式，，，其中的结果既不含x的一次项，也不含x的二次项． (1)求m和n的值； (2)若，求的值． 【变式12-1】（25-26七年级上·重庆大渡口·期中）已知多项式化简后不含项．求代数式的值． 【变式12-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，（其中，为常数）． (1)计算； (2)若不含三次项，求的值； 【变式12-3】（25-26七年级上·江西上饶·期末）化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 【题型13 整式加减中的大小比较】 【例13】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【变式13-1】（25-26七年级上·陕西·期中）若，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 【变式13-2】（26-27七年级上·全国·课堂例题）已知，比较M与N的大小关系：M________N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 【变式13-3】（24-25八年级下·江西上饶·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）、题（3）． （1）要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此．这种比较大小的方法称为作差法，即我们可以通过作差、变形，利用差与零的大小关系比较两个多项式的大小关系，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 请用上述方法，比较和的大小． （2）比较和的大小，并说明理由． （3）已知，比较与的大小关系． 【创新思辨】 【题型14 多项式恒等条件下求未知量】 【例14】（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知，， (1)关于x，y的式子不存在字母x的一次项和二次项，求式子的值； (2)当且时，若恒成立，求m、n的值 【变式14-1】（25-26七年级上·天津河东·期中）已知， (1)求； (2)当时，恒成立，求的值． 【变式14-2】（24-25七年级上·广东梅州·期中）已知，，若无论取何值时，恒成立，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【变式14-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型15 探索规律中的整式表示与求值】 【例15】（25-26七年级上·山东济宁·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为________． …… 【变式15-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是___； （2）当时，多项式前200项的和为___． 【变式15-2】（25-26七年级上·江苏南通·期中）按一定规律排列的一列数称为数列．对于一个数列中依次排列的任意相邻的三个数x，y，z，若，则称这个数列为梦想数列．已知数列是梦想数列，且，那么式子的值为_______． 【变式15-3】（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）观察下列算式：，，，，…，发现其中规律并用代数式表示为_________；利用该规律计算_________． 【题型16 整式加减与周长综合】 【例16】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为_________． 【变式16-1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图1所示，将大正方形分成两个相同的小正方形和三个相同的长方形，将分成的五个图形如图2所示放置在大长方形中．现将小长方形放置于大长方形中，且与五个图形均有重叠．已知图1大正方形周长为24，长方形和长方形的周长分别是56和40，则重叠部分（图2中阴影部分）的周长和为________． 【变式16-2】把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，则___________. 【变式16-3】（25-26七年级上·广东中山·期中）为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动． 【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，， （1）若，，，求长方形的面积； 【深入思考】 （2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值； 【拓展提升】 （3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示） 【题型17 整式加减与整除综合】 【例17】（25-26七年级下·江苏南通·期末）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为，即．显然能被整除，因此若能被整除，那么就能被整除，即能被整除．（1）一定能被质数________整除；（2）已知四位数，其中，，，均不为，且，．若能被整除，则满足条件的四位数的最大值为________． 【变式17-1】（25-26九年级下·重庆·期中）一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 【变式17-2】（24-25九年级上·重庆·期中）一个四位自然数，若它的所有数位上的数字均不相同且均不为，千位数字与百位数字的和等于，十位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位自然数为“双十一数”．如：，∵，，是偶数，∴是“双十一数”． (1)最大的“双十一数”为 _________； (2)若一个“双十一数”被整除，的所有数位上的数字之和为，且的和被整除，则满足条件的M为 _________． 【变式17-3】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）对于任意一个四位自然数，若M满足各个数位上的数字均不为0，且十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的差的5倍，则称四位数M为“千寻数”．例如：5346，因为，，，所以5346是“千寻数”．将“千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数，令，，若能被15整除，且能被7整除，则满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为________． 【题型18 含绝对值的整式化简求值】 【例18】（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 【变式18-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 【变式18-2】（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【变式18-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）若、为有理数，规定：，，例：，． (1)若，求的值； (2)直接写出的最小值为______，此时的取值范围为______； (3)若有理数、、满足，且关于的方程有无数解，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 整式的加减（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 单项式的相关概念】 1 【题型2 多项式的相关概念】 3 【题型3 整式的相关概念】 4 【题型4 同类项、合并同类项】 6 【题型5 去括号、添括号】 7 【题型6 整式的加减基本计算】 9 【题型7 按某一字母升幂或降幂排列】 10 【进阶拔高】 11 【题型8 化简后整体代入求值】 11 【题型9 去括号与合并同类项综合化简求值】 13 【题型10 整式加减中的错看问题】 14 【题型11 化简后结果与某字母无关】 18 【题型12 化简后结果不含某项】 20 【题型13 整式加减中的大小比较】 22 【创新思辨】 25 【题型14 多项式恒等条件下求未知量】 25 【题型15 探索规律中的整式表示与求值】 28 【题型16 整式加减与周长综合】 30 【题型17 整式加减与整除综合】 35 【题型18 含绝对值的整式化简求值】 41 【夯实基础】 【题型1 单项式的相关概念】 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式1-1】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【答案】D 【分析】注意单项式的系数含符号，次数为所有字母指数和，单独的数或字母均为单项式． 【详解】解：A．0和a都是单项式，故A错误． B．的次数是，故B错误． C．的系数是，故C错误． D．的次数是，故D正确． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义．根据单项式的定义，系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，因此，系数为、次数为的单项式需满足数字部分为，且字母部分的指数总和为即可． 【详解】解：可构造一个字母的指数为、系数为的单项式，如，其中的指数为，次数为，系数为，也可用多个字母，如，其中的指数为，的指数为，次数和为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-3】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）若是关于x，y的六次单项式，且它的系数是，则___________． 【答案】 【分析】根据单项式的系数与次数的定义，列出关于m和n的方程，求解得到m，n的值，再代入所求代数式计算得到结果． 【详解】解：∵是关于x，y的六次单项式，且它的系数是， ∴，， 解得：，， ∴． 【题型2 多项式的相关概念】 【例2】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【变式2-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 【变式2-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得，根据多项式的项数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 【题型3 整式的相关概念】 【例3】（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式3-1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 【答案】C 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义及相关性质，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：整式包括单项式和多项式，单独的字母m是单项式，属于整式，故A选项错误； 的系数是，次数是，故B选项错误； 单独的一个数是单项式，3是单独的数，是单项式，故C选项正确； ∵多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，的次数是，的次数是2， ∴该多项式的次数是3，故D选项错误． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 【答案】 单项式：{①⑤⑧…}； 多项式：{②③⑦…}； 三次多项式：{⑦…}； 整式：{①②③⑤⑦⑧…}． 【分析】本题考查了单项式、多项式、三次多项式和整式的定义进行判断；单项式是由数字或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和；三次多项式是多项式中最高次项的次数为3；整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可． 【详解】略 【变式3-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则___________． 【答案】10 【分析】本题考查的是多项式和单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式，单项式和整式的概念解答即可． 【详解】解：单项式为：，，则， 多项式为：，，，则， 整式为：，，，，，则， 则， 故答案为：. 【题型4 同类项、合并同类项】 【例4】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 【变式4-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了同类项的概念，同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，与是同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4-2】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）如果单项式与 是同类项，那么___． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，得到相同字母的指数相等，列方程求出和的值，再计算． 【详解】解：单项式与是同类项， 可得：， 解得：， ． 【变式4-3】（25-26六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式， ，且，则的值_____． 【答案】 【分析】先由题意得到，继而确定与是同类项，再由同类项的定义求出的值，即可求解． 【详解】解：∵， ，且 ∴， ∴， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴． 【题型5 去括号、添括号】 【例5】（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 【答案】 【分析】先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项可得到化简的结果． 【详解】解： ． 【变式5-1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）若，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式5-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）（_____）；（_____）． 【答案】 【分析】根据等式变形，结合添括号法则求解即可. 【详解】解：对于第一个等式，整理等式左边得 因此第一个括号内应填. 对于第二个等式，先去括号再整理得 因此第二个括号内应填. 【变式5-3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 【答案】4 【分析】根据题意可得的值，再把代入到得到，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，的值为， ∴， ∴， ∴当时， ． 【题型6 整式的加减基本计算】 【例6】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式6-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）求整式与的差． 【答案】． 【详解】解： 【变式6-2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）已知，且，求． 【答案】 【分析】根据整式加减的计算方法，即可求解． 【详解】解：由，得， 把代入，得 ． 【变式6-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）合并同类项，即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：    （2）解：                                      【题型7 按某一字母升幂或降幂排列】 【例7】（25-26七年级上·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的升降幂排列： （1）按a的升幂排列，即按照的指数依次增大，进行排列即可； （2）按b的降幂排列，即按照的指数依次减少，进行排列即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式7-1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 【变式7-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的升幂排列，即按照x的指数从小到大排列多项式各项，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式7-3】（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）把多项式按字母a的降幂排列，第2项的次数是______． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的降幂排列． 首先将多项式按字母的降幂排列，确定第2项为，然后计算该项的次数，即所有变量的指数之和． 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为， 其中第2项是，该项中的指数为2，的指数为1， 因此次数为． 故答案为：3． 【进阶拔高】 【题型8 化简后整体代入求值】 【例8】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，则_________． 【答案】 【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式8-1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）若，则___________． 【答案】6 【分析】本题考查整式加减中的化简求值、代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再计算整式的加减，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 【变式8-2】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）当时，代数式的值为 ______． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减化简求值．解题的关键是注意运算顺序，要注意解题的准确性．把化简为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：11． 【变式8-3】（25-26七年级上·山东滨州·期中）若，，则代数式_____． 【答案】 【分析】本题考查整式化简求值，涉及整式加减运算，熟记合并同类项运算法则是解决问题的关键． 先去括号、再合并同类项，化简代数式，并代入已知条件和代入化简代数式进行计算即可得到答案． 【详解】解： 当和时， 原式 ． 【题型9 去括号与合并同类项综合化简求值】 【例9】（25-26七年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】化简结果为，值为. 【详解】解： ． 当，时， 原式． 【变式9-1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 【详解】解： ∵ ∴ ∴      ∴原式． 【变式9-2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）先化简，再求值：，其中是最小的正整数，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 是最小的正整数， ， ， ， 原式. 【变式9-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知多项式，． (1)求； (2)如果，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代入求值，准确地进行运算是解题的关键． （1）根据题意表达，然后去括号化简即可； （2）根据（1）中的结果，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵，， ∴ ． 【题型10 整式加减中的错看问题】 【例10】（25-26七年级上·四川广元·期中）某同学做一道数学题：“两个多项式，，已知，试求的值”时．他误将看成，结果答案为． (1)试求的正确结果； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据计算得出，再根据整式的加减运算法则计算即可得解； （2）将代入（1）中计算的式子即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴ ， ∴ ； （2）解：当时，的值． 【变式10-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）李明在计算多项式A减去时，忘记了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是． (1)求多项式A； (2)求这两个多项式相减的正确结果； (3)当时，求（2）中结果的值． 【答案】(1)． (2)正确结果： (3)当时，原式． 【分析】本题主要考查了多项式的加减运算以及代数式求值，熟练掌握多项式加减运算法则是解题的关键． （1）根据错误的计算过程，利用“被减数=差+减数”的关系求出多项式． （2）用求出的多项式减去，按照多项式减法法则计算正确结果． （3）将代入（2）小题的结果，计算出具体数值． 【详解】（1）解：∵李明忘记加括号，计算的是， ∴， ； （2）解：∵，减数为， ∴正确结果为 ； （3）解：当时， 原式 ． 【变式10-2】（25-26七年级上·河北保定·期末）先化简再求值 (1)小强的妈妈给了一道关于两个整式加减运算的题 “（一个二次三项式）”，由于两整式之间运算符号印刷不清，小强按减法计算，结果得到，小强的妈妈看了看小强做的，告诉小强，你只是将印刷不清的运算符号看错了，结果与正确的答案不符，接着小强又算了一次，得到了正确的结果，你知道正确的结果是多少吗？ (2)若（1）中正确结果中的值是方程的根，你能求出（1）中正确结果的代数式的值吗？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设被减式为A，则由题意可得：，从而可得到A的表达式，再进行计算即可； （2）先解方程，得到方程的解为，再代入（1）中化简后的代数式求值即可． 【详解】（1）解：设被减式为A， 则由题意可得：， ∴ ； ∴ ； （2）， 移项得：， 合并得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是整式的加减运算的应用，求解代数式的值，一元一次方程的解法，理解题意，求解正确的被减式是解本题的关键． 【变式10-3】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误算成成了“”，求得的结果为 (1)求多项式A； (2)求出的正确结果； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A+3B=12x2−6x+7可以得出A=12x2−6x+7-3B，将B代入即可求出A； （2）将（1）中求出的A与B代入3A+B即可求解； （3）根据（2）的结果，将代入求值即可． 【详解】（1）∵=，， ∴ 即 （2）∵，， ∴= （3）当时 【点睛】本题考查了整式的加减，注意去括号时确认是否需要变号，合并同类项时，只把系数相加减，字母和字母的指数不变． 【题型11 化简后结果与某字母无关】 【例11】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）已知多项式，若的结果与的取值无关，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键，先计算并合并同类项，根据多项式的值与x和y的取值无关，令项和y项的系数为零，解出a和b的值，再求即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 由题意得：，， 解得，， 所以． 故答案为：． 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·期中）已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并后由结果与x、y的值无关，确定出a与b的值即可． 【详解】解： ， ∵多项式的取值与字母无关， ∴，， ∴，． 故答案为： 【变式11-2】（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）【阅读理解】 已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 已知，． (1)用含m，x的式子表示； (2)若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． （1）把，代入，然后去括号合并同类项即可； （2）合并关于m的同类项，然后令其系数等于0求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解： ， ∵的值与字母m的取值无关， ∴， ∴． 【变式11-3】（25-26七年级上·河北沧州·期中）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 【题型12 化简后结果不含某项】 【例12】（25-26七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）代数式，，，其中的结果既不含x的一次项，也不含x的二次项． (1)求m和n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题、代数式求值． （1）利用整式的加减运算法则可得，根据不含一次项和二次项可得，，进而可求解； （2）先化简，再将代入原式即可求解． 【详解】（1）解： ， 的结果中既不含x的一次项，也不含x的二次项， ，， 解得：，； （2）解： ， 将代入得：原式． 【变式12-1】（25-26七年级上·重庆大渡口·期中）已知多项式化简后不含项．求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键．先化简多项式，再根据题意求出的值，最后代入即可求值． 【详解】解： 化简后不含项， ， ， ． 答：代数式的值为． 【变式12-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，（其中，为常数）． (1)计算； (2)若不含三次项，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，整式加减中无关型问题． （1）列出算式，然后去括号，合并同类项即可； （2）不含三次项，可得，即可得出结果． 【详解】（1）解： ． （2）∵不含三次项， ∴， ∴． 【变式12-3】（25-26七年级上·江西上饶·期末）化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：∵小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项， ∴小华的计算过程为：， ∴，解得， ∴正确的化简结果为， 故答案为：． 【题型13 整式加减中的大小比较】 【例13】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】比较两个代数式的大小，可采用作差法，计算并化简，通过判断差的正负性，即可得到与的大小关系． 【详解】解： 去括号得： 合并同类项得： 对任意实数，都有 ， 即 ． 【变式13-1】（25-26七年级上·陕西·期中）若，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．通过计算与的差值，判断其符号，从而比较和的大小关系． 【详解】解： ，， ， ， ， ，即． 故选：C． 【变式13-2】（26-27七年级上·全国·课堂例题）已知，比较M与N的大小关系：M________N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了整式的加减及作差法比较大小，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用作差法比较大小即可得解． 【详解】 即， 故答案为：< 【变式13-3】（24-25八年级下·江西上饶·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）、题（3）． （1）要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此．这种比较大小的方法称为作差法，即我们可以通过作差、变形，利用差与零的大小关系比较两个多项式的大小关系，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 请用上述方法，比较和的大小． （2）比较和的大小，并说明理由． （3）已知，比较与的大小关系． 【答案】 （1），理由如下， ∵， ∴； （2）当时，；当时，；当时，；理由如下： ∵， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； （3）． 【分析】本题考查了整式的减法． （1）根据，即可解答； （2）根据，根据的取值，即可解答； （3）计算，判断其结果的正负，即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即． 【创新思辨】 【题型14 多项式恒等条件下求未知量】 【例14】（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知，， (1)关于x，y的式子不存在字母x的一次项和二次项，求式子的值； (2)当且时，若恒成立，求m、n的值 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题关键． （1）首先化简，然后根据其取值与字母x的取值无关列出m、n的方程，求出m、n的值，再代入求值即可； （2）首先根据恒成立列出m、n的方程，求出m、n的值即可． 【详解】（1）解： ∵关于，的式子不存在字母的一次项和二次项 ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵若恒成立 ∴ ∵且 ∴， ∴，． 【变式14-1】（25-26七年级上·天津河东·期中）已知， (1)求； (2)当时，恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是整式的加减运算，解一元一次方程，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）将，代入进行求解即可； （2）根据当时，恒成立得到求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， 当时，恒成立， ， 解得． 【变式14-2】（24-25七年级上·广东梅州·期中）已知，，若无论取何值时，恒成立，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先把，代入化简，可得，再根据无论取何值时，恒成立，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵无论取何值时，恒成立， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式14-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，解决本题的关键是求出、．根据题意，求出，且的取值与无关，所以，，即，；，因为是不含的多项式，所以，即；因为，将、、代入到式子中，可得，即，因为式子恒成立，所以，即，将、、、代入求出． 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为的取值与无关， 所以，， 得：，； ； 因为是不含的多项式， 所以， 即， 因为， 即， ， 因为该式子恒成立， 所以， 即， ． 故选：A． 【题型15 探索规律中的整式表示与求值】 【例15】（25-26七年级上·山东济宁·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为________． …… 【答案】 【分析】由图形可得规律为“品”字型上方的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2n-1，下方第一格的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2的n次方，下方第二格的数为上方的数加上下方第一格的数，由此问题可求解． 【详解】解：由图形可得：“品”字型上方的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2n-1，下方第一格的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2的n次方，下方第二格的数为上方的数加上下方第一格的数， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查图形规律及合并同类项，解题的关键是根据图形中所给数据得到规律． 【变式15-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是___； （2）当时，多项式前200项的和为___． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）由原多项式，观察其x的指数由一次到二次……次数逐渐增大，次数为连续的自然数，系数的绝对值为连续的奇数，在奇次项为正数，偶次项为负数，从而得到结果； （2）当时，得到，共200个数相加，相邻两个数之和为，共分为100组，从而得到结果． 【详解】解：（1）∵多项式 ∴经观察可知：x的指数由一次到二次……次数逐渐增大，次数为连续的自然数， 系数为1，，5，……系数的绝对值为连续的奇数，在奇次项为正数，偶次项为负数， ∴多项式的第5项是， 故答案为：； （2）∵当时，多项式的前200项和为， ∴ ． 故答案为：． 【变式15-2】（25-26七年级上·江苏南通·期中）按一定规律排列的一列数称为数列．对于一个数列中依次排列的任意相邻的三个数x，y，z，若，则称这个数列为梦想数列．已知数列是梦想数列，且，那么式子的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，根据题中给的“梦想数列”的定义，结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为数列是梦想数列， 所以， ， 得， 即 又因为， 所以， 即． 故答案为：． 【变式15-3】（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）观察下列算式：，，，，…，发现其中规律并用代数式表示为_________；利用该规律计算_________． 【答案】 （n为非负整数） 【详解】解：∵， ， ， ， ∴，（n为非负整数） ∴． 【题型16 整式加减与周长综合】 【例16】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为_________． 【答案】/ 【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，E号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为，求得，即可得出正方形A的周长，由图2求得，根据图2中长方形的周长为13求得，没有覆盖的阴影部分的周长为，计算即可得到答案． 【详解】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y， 则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为， E号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为8，可得，， 解得：， ∴正方形A的周长为； 如图， ， ∵图2中长方形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为：， ∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 【变式16-1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图1所示，将大正方形分成两个相同的小正方形和三个相同的长方形，将分成的五个图形如图2所示放置在大长方形中．现将小长方形放置于大长方形中，且与五个图形均有重叠．已知图1大正方形周长为24，长方形和长方形的周长分别是56和40，则重叠部分（图2中阴影部分）的周长和为________． 【答案】 【分析】本题考查整式加减的应用，根据图1的周长为24，得到大正方形的边长为6，可求出小正方形的边长3，进而得到小长方形的长为3，宽为2，如图，设，根据长方形的周长是56，求出，求出，，进而求出，可得阴影部分的周长为，代入数据计算即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵图1的周长为24， ∴大正方形的边长为， ∴小正方形的边长， ∴小长方形的长为，宽为， 设， ∵长方形的周长是56， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的周长为， ， ∵长方形的周长是40， ∴， ∴，即重叠部分（图2中阴影部分）的周长和为． 故答案为：． 【变式16-2】把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，则___________. 【答案】2m-2n. 【分析】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形得出2b+a=m，分别表示图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，作差后即可求出答案. 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图可知2b+a=m， ∴②阴影部分的周长为：=2（m+n）， ∴③阴影部分的周长为：=2m+2（n-a）+2（n-2b）=2m+4n-2(2b+a)= 2m+4n-2m=4n, ∴C2-C3=2（m+n）-4n=2m-2n. 故答案为2m-2n. 【点睛】此题主要考查整式加减的运用，做此类题要善于观察，在第②个图形中利用割补法进行计算，很容易计算得出结果． 【变式16-3】（25-26七年级上·广东中山·期中）为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动． 【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，， （1）若，，，求长方形的面积； 【深入思考】 （2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值； 【拓展提升】 （3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示） 【答案】（1）长方形的面积为48   （2） ，，   （3） 【分析】本题考查列代数式，整式的加减，属于中档题． （1）先表示长方形长和宽，代入数值计算面积； （2）通过周长公式列方程，相减得的值，再代入求各部分周长； （3）用、表示、，通过代数变形得出长方形 的周长为． 【详解】解：（1）长方形的长为：，长方形的宽为：， 故长方形的面积为：， ，，代入得，面积为：， 长方形的面积为48； （2）长方形的周长为24， 即，①， 同理，长方形的周长为16， 即，②， ②①得， 如图，， ， ， ，，； （3）由（2）可知：，，， 长方形的周长为， ，， 即③，④， 用③④得，． 故长方形的周长用，表示为． 【题型17 整式加减与整除综合】 【例17】（25-26七年级下·江苏南通·期末）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为，即．显然能被整除，因此若能被整除，那么就能被整除，即能被整除．（1）一定能被质数________整除；（2）已知四位数，其中，，，均不为，且，．若能被整除，则满足条件的四位数的最大值为________． 【答案】 【分析】（1）根据两位数的表示方法展开求和，分解因式后即可判断对应的质数． （2）根据能被整除的数的特征，要得到最大的四位数，优先让高位数字尽可能大，再依次验证确定低位数字即可． 【详解】解：（1） 根据题意，得： 是质数，因此一定能被质数整除． （2） 四位数， 能被整除， 若能被整除，则能被整除． 已知，均不为，要使最大，需尽可能大， 取最大值，此时． 已知，均不为，要使数更大，需尽可能大， 当时，，，，不能被整除，不符合； 当时，，，，不能被整除，不符合； 当时，，，，不能被整除，不符合； 当时，，，，能被整除，符合要求． 满足条件的四位数． 【变式17-1】（25-26九年级下·重庆·期中）一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 【答案】 7807 9507 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， ∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为； ，， ∴， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ∴， ∵能被7整除且能被13整除， ∴能被7整除，能被13整除， ∵ ∴， ∴， ∴能被7整除， ∵， 当，时，能被7整除，此时； 当，时，能被7整除，此时； 其余取值均不符合， ∴满足条件的值的和为； 故答案为：7807，9507． 【变式17-2】（24-25九年级上·重庆·期中）一个四位自然数，若它的所有数位上的数字均不相同且均不为，千位数字与百位数字的和等于，十位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位自然数为“双十一数”．如：，∵，，是偶数，∴是“双十一数”． (1)最大的“双十一数”为 _________； (2)若一个“双十一数”被整除，的所有数位上的数字之和为，且的和被整除，则满足条件的M为 _________． 【答案】 【分析】（1）根据题目定义即可； （2）先根据“双十一数”M被7整除，M+F(M)的和被9整除，列出代数式．将代数式进行因数分解，从而找到M各数位上数字的代数关系．接下来，条件类题目不能直接确定答案时，需要分类讨论或分别代入验算，最终确定结果． 【详解】解：（1）要想这个数最大，则千位最大，且千位数字与百位数字的和等于， 所以千位数为9，则百位数为2， 十位也需要尽可能的大，因为各数位数字不相等， 所以十位为8，个位为6， 所以这个“双十一数”为9286， 故答案为：9286； （2）设四位数的千位数是，百位数是，十位数是，个位数是．、、、为大于小于等于的自然数，且． ，为自然数，， 的和被整除， 为自然数，， 为自然数，， 为自然数，， 、均能被整除， 也能被整除， 即n为自然数，n≠0)， 由“双十一数”M的定义知： ． 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，可以被整除， ． ， ，或，． “双十一数”被整除， 为自然数，， 即为自然数，， 为自然数，， 、、均能被整除， 也能被整除． 为自然数，， 当，时，为自然数，， ，， 双十一数，不符合题意，舍去； 当，时，为自然数，， ①，不符合题意，舍去)； ②，，“双十一数”． 故答案为：． 【点睛】这道题属于综合型题目，考查有理数概念、代数式的计算，通过因式分解、分类讨论、代入法等方法求得结果，需要学会熟练运用多种方法来求解． 【变式17-3】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）对于任意一个四位自然数，若M满足各个数位上的数字均不为0，且十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的差的5倍，则称四位数M为“千寻数”．例如：5346，因为，，，所以5346是“千寻数”．将“千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数，令，，若能被15整除，且能被7整除，则满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义，整式的加减运算，根据定义得到，，，求出，根据能被15整除得到能被3整除，则最大为9，b最大是6，最小为4，b最小是1，再求出 ，得到，分别求出M的最大值与最小值，即可得到答案． 【详解】解；∵是“千寻数” ∴，， “千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数， ∴， ∴ ∴ ∵能被15整除， ∴能被3整除， 则最大为9，b最大是6，最小为4，b最小是1， ∴ 当时，， ∵能被7整除， ∴c最大为9， ∵ ∴此时， ∴M最大值为， 当时，， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∴， ∵ ∴此时， ∴M最小值为， ∵， 即满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为， 故答案为： 【题型18 含绝对值的整式化简求值】 【例18】（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，， ， . 【变式18-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据有理数a、b在数轴上的位置，结合有理数的加法法则可得答案； （2）根据（1）中结论和绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：，，则； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式18-2】（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【分析】本题考查化简绝对值、有理数的乘法法则， （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据有理数的乘法法则得a、b同号，即，或，，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可； （3）根据有理数的乘法法则得a、b、c全为负数或两正一负，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 【变式18-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）若、为有理数，规定：，，例：，． (1)若，求的值； (2)直接写出的最小值为______，此时的取值范围为______； (3)若有理数、、满足，且关于的方程有无数解，，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了列代数式，绝对值非负性，方程的解，化简绝对值，根据题意求出，，，满足的关系化简绝对值是解题的关键． （）根据题意列出等式，由绝对值的非负性求出，的值，再求代数式的值； （）由题意列出代数式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的意义求出最小值； （）由关于的方程有无数解，整理方程，得出，又，故有，代入得到，所以，进而化简绝对值求代数式的值． 【详解】（1）解：由，得：， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由绝对值的几何意义，的最小值为，此时， ∴的最小值为，此时， 故答案为：，； （3）解：整理方程，得：， 方程有无数组解， ∴， ∵， ∴， 把，代入，得，且， ∴， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $