5.1.1 从算式到方程（课时1）教学设计 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦“从算式到方程”核心知识点，通过登山队追及问题导入，先让学生用算术法体验逆推困难，再引出方程，搭建小学算术到初中代数的学习支架，梳理知识脉络。 特色在于以生活实例（追及、水杯单价、纪念币面积）引导学生抽象数量关系，体现数学眼光，通过递进式提问培养推理意识（数学思维），列方程建模强化数学语言表达。融入数学文化，采用探究法与合作交流，助学生建立代数思维，为教师提供清晰教学流程与实例，提升教学效率。

5.1.1 从算式到方程（课时1） 教学设计 课题 5.1.1 从算式到方程（课时1） 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1.经历方程概念的形成过程，理解方程的定义，能够清晰地区分算式与方程的差异。 2.能分析实际应用题中的数量关系，找准题目蕴含的相等关系，规范完成设未知数、列方程的完整操作。 3.体会用方程建模解决问题的代数思想，感受从算术思维向代数思维的转变，提升分析实际问题、构建数学模型的能力。 教学重点 方程概念的理解，辨析算式与方程的区别，依据实际问题的相等关系设未知数列方程。 教学难点 精准挖掘实际问题中的隐藏相等关系，顺利完成从算术列式到列方程建模的思维转换，灵活列出符合题意的方程。 教学方法 讲授法、探究法、合作交流、练习巩固 教学准备 多媒体课件 课后练习 完成课本第5.1节随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、新知导入 提问导入：小学六年我们一直用算术方法解决应用题，谁来说说算术解题有什么特点？ 引导：算术方法只能用题目给的已知数字，遇到复杂题目很难想清算式，需要反向推导。 过渡：今天我们学习全新解题工具，不用反复逆向思考，顺着题意就能列式。 出示本章登山队追及问题：甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营 1 km 的一号营地出发，每小时行进 1.2 km；乙队从距大本营 3 km 的二号营地出发，每小时行进 0.8 km。多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 提问：大家先用小学学过的算术方法试着想一想，这个问题该怎么列式求解？可以同桌互相讨论思路。 引导列式：一开始两队相距 3−1＝2 km，甲每小时比乙多走 1.2−0.8＝0.4 km，追及时间＝路程差÷速度差＝(3−1)÷(1.2−0.8)＝2÷0.4＝5（h），所以 5 小时后甲队追上乙队。 （h）。 追问：大家在思考算术式时，是不是需要先反向算出路程差、速度差？如果题目条件再多几层，逆向推导会非常困难。有没有一种方法，顺着题目描述直接写式子？ 点明：本章我们学习方程，就能解决这个难题。 自由发言算术解题特点：只能用已知数字、遇到复杂题目要反向推导、较难列式；用算术法计算追及问题：两队相距 3−1＝2 km，速度差 1.2−0.8＝0.4，追及时间 (3−1)÷(1.2−0.8)＝2÷0.4＝5（h）；交流逆推列式的困难，思考能否顺着题意直接列式。 用章节引言的经典追及问题唤醒小学算术解题经验，通过算术法的局限引出方程学习的必要性，自然开启新课内容。 二、探究新知 探究1 列方程（追及） 过渡：我们回到登山追及问题，用新的方程思路来分析。 提问1：题目里已知甲、乙两队行进速度，行进时间和最终路程是未知量，我们可以设哪个量为未知数？ 引导：可以设两队行进时间为 x 小时。 提问2：根据“路程＝速度×时间”，甲、乙两队各自行进的路程怎么表示？他们距大本营的总路程又该怎么写？ 引导列式：甲行进路程为 1.2x km，距大本营总路程为 (1.2x＋1) km；乙行进路程为 0.8x km，距大本营总路程为 (0.8x＋3) km。 km， km； km， km。 教师绘图如下： 提问3：想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？ 点拨：追上时两队处于同一位置，距大本营的路程是相等的。 师生共同总结：此时甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程，因此 1.2x＋1＝0.8x＋3。 。 讲解：这个式子含有未知数 x，是根据相等关系写出的等式；这样我们就根据实际问题中的相等关系，得到了一个含有未知数 x 的等式，通过本章学习将能够从这个等式解出未知数的值。 思考并回答设两队行进时间为 x 小时；据“路程＝速度×时间”推导甲行进路程 1.2x km、距大本营 (1.2x＋1) km，乙行进路程 0.8x km、距大本营 (0.8x＋3) km；结合教师绘图独立思考，发现追上时两队同一位置、距大本营路程相等，归纳得方程 1.2x＋1＝0.8x＋3。 顺着教材逻辑拆解追及问题的数量链条，通过递进式提问引导学生自主找到等量关系，第一次完成列方程的完整过程，初步感知方程的形式特点。 三、探究新知 探究2 生活实例列方程 过渡：教师依次出示两道生活应用题，带领学生完整列式。 问题1：用买 3 个大水杯的钱，恰好能买 4 个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 提问：如果设大水杯单价为 x 元，小水杯单价可以怎么表示？题目里的相等关系是什么？ 引导列式：设大水杯的单价为 x 元，那么小水杯的单价为 (x−5) 元；相等关系为 3×大水杯单价＝4×小水杯单价，列出方程 3x＝4(x−5)。 。 讲解：由这个含有未知数 x 的等式可以求出大水杯的单价，进而可以求出小水杯的单价。 问题2：下图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立 100 周年纪念币，其面积是 4000 mm²，长和宽的比为 8∶5（即宽是长的 5/8）。这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ ，宽是长的 。 提问：设长为 x mm，宽和面积分别怎么用含 x 的式子表示？根据面积条件能列出什么等式？ 引导列式：如果设长为 x mm，则宽可以表示为 5/8 x mm，面积可以表示为 5/8 x² mm²，根据“长×宽＝面积”列得方程 5/8 x²＝4000。 mm， mm²，。 讲解：由这个含有未知数 x 的等式可以求出这枚纪念币的长，进而可以求出纪念币的宽。 问题1：设大水杯单价为 x 元，得出小水杯单价 (x−5) 元，由“3×大水杯单价＝4×小水杯单价”列出方程 3x＝4(x−5)；问题2：类比问题1，设长为 x mm，宽表示为 x mm，面积表示为 x² mm²，根据“长×宽＝面积”列出方程 x²＝4000。 用两例贴近生活的应用题巩固设未知数、找相等关系、列方程的操作，其中纪念币问题引入比与分数，强化列方程过程中用代数式表示数量关系的能力。 四、探究新知 探究3 方程概念与辨析 引导观察三个式子：1.2x＋1＝0.8x＋3；3x＝4(x−5)；5/8 x²＝4000。 ；；。 提问：这三个式子有什么共同特征？ 归纳：都含有未知数，同时都是等式。 讲解方程的概念：像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。 追问：算术列出的算式和方程最大的区别是什么？ 讲解辨析：列算式，列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数，对于较复杂的问题列算式比较困难；列方程，方程是根据题中的相等关系列出的等式，既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便。 强调：从算式到方程是数学的一大进步。 拓展方程的溯源：汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题，我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章；19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将 equation（指含有未知数的等式）一词译为“方程”；在我国古代一般用“天元”“地元”“人元”“物元”等表示未知数，17世纪法国数学家笛卡儿最早使用 x、y、z 等字母表示未知数并沿用至今。 观察三个等式，归纳共同特征：都含有未知数、都是等式；口答算式与方程的区别：算式只能由已知数构成、表示计算过程、需逆向推导，方程可由已知数和未知数共同构成、根据相等关系列出、正向列式更方便；听讲方程的名称来源与用字母表示未知数的发展沿革。 用 3 个不同场景的实例强化方程特征，从具体案例抽象出定义，清晰辨析算术与方程的本质差异，完成概念建构，并以方程溯源拓展数学文化视野。 五、典型例题 例1 设未知数列方程 例1　根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80 人，这所学校有多少名学生？ （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m²，求正方形绿地的边长。 引导（1）：设这所学校的学生数为 x，那么女生数为 0.52x，男生数为 (1−0.52)x，根据“女生比男生多 80 人”列得方程 0.52x−(1−0.52)x＝80。 。 引导（2）：设正方形绿地的边长为 x m，那么扩大后的绿地面积为 (x²＋5x) m²，根据“扩大后的绿地面积是 500 m²”列得方程 x²＋5x＝500。 。 提问：你能解释这些方程的左边、右边各表示什么意思吗？ 讲解：方程 0.52x−(1−0.52)x＝80 的左边表示女生比男生多出的人数，右边表示实际多出的 80 人；方程 x²＋5x＝500 的左边表示加宽之后绿地的总面积，右边表示已知面积 500 m²。 总结建模过程：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法，可表示为：实际问题→设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系→方程。 分别设未知数并列出方程：第(1)题设学生数为 x，女生 0.52x、男生 (1−0.52)x，列方程 0.52x−(1−0.52)x＝80；第(2)题设边长为 x m，扩大后面积 (x²＋5x) m²，列方程 x²＋5x＝500；解释两个方程左右边各自的含义，并梳理“实际→设未知数→用等式表示相等关系→方程”的建模过程。 选取百分数、几何两类实际情境，引导学生规范设未知数列方程，借助问答明晰等式两边实际意义，落实找等量关系建模的方法，推动学生从算术思维转向代数思维。 六、当堂检测 通过课件当堂出示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固本节课的新知。 检测围绕两个层面进行：① 依据方程的两个必要条件正确判定哪些是方程、哪些不是；② 依据实际问题中的相等关系完成设未知数、列方程的完整操作。 独立完成课件中的当堂练习，集体评议、订正，重点核对方程判定条件与所列方程的相等关系是否正确。 当堂检验学生对方程概念、算式与方程区别、以及设未知数列方程操作的掌握情况，反馈矫正，巩固本节新知。 七、课堂小结 提问：今天我们学习了哪些知识？ 1.方程概念：先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。判定方程两个必要条件：一是有字母未知数，二是带有等号的等式，二者缺一不可。 2.算式与方程的区别：算式仅由已知数构成，需要逆向推导；方程可同时包含已知数和未知数，顺着题意找等量正向列式，从算式到方程是数学思维的一大进步。 3.方程的实际应用：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。 回顾方程的概念及两个必要条件，比较算式与方程的区别，梳理利用相等关系设未知数列方程的实际应用流程。 系统梳理方程概念、算式与方程辨析、列方程实际应用三大要点，帮助学生形成从算式到方程的思维进阶与认知结构。 板书设计 5.1.1 从算式到方程（从算式到方程） 一、方程的概念 含有未知数的等式（据相等关系列出） 两个必要条件：含未知数＋是等式 二、算式 与 方程 算式：仅已知数，逆向推导 方程：已知数＋未知数，正向列式 三、列方程步骤 设未知数→找相等关系→列方程 四、典型例题 0.52x−(1−0.52)x=80；x²+5x=500 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $