专项突破练二　利用基本不等式求最值的常用方法-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，系统整合配凑法、“1”的整体代入、消元法、多次应用四大方法，构建“方法-题型-变式”训练体系，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |配凑法|4题|通过添拆项、凑系数转化为“定和”或“定积”|从基本不等式条件出发，针对单变量结构特征，培养代数式变形能力| |“1”的整体代入|4题|常数代换将分式和转化为乘积形式|基于“已知和求分式和”模型，发展数学模型意识与转化思维| |消元法|3题|多变量问题通过等量关系转化为单变量|建立变量间函数关系，体现数学抽象与问题简化逻辑| |多次应用|3题|确保等号“步步传递”的连续不等式应用|强化条件验证意识，培养严谨的数学推理品质|

专项突破练二　利用基本不等式求最值的常用方法 　　利用基本不等式求最值时,需满足三个条件: (1)“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,则必须把构成和的二项之积转化成定值,要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易出错的地方. 应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号,此时往往需要采用拆项、补项、配凑、“1”的整体代入、消元等变形技巧来帮助实现,选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化,达到事半功倍的效果. 类型一　配凑法 【类型综述】 配凑法的实质是代数式的灵活变形,即将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法. 【针对训练】 1.[2026·长春七中高一期中] 已知x>1,则4x+的最小值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.4 B.6 C.8 D.10 2.[2026·苏州高一期中] 已知0<a<,则a(3-2a)的最大值为　　　　.  3.[2026·滁州高一期中] 已知b<0,则-2b的最小值为　　　　.  4.[2026·襄阳部分高中教联体高一期中] 已知实数a,b满足a+2b+ab=3,b>-1,则2a+b的最小值为　　　　.  类型二　“1”的整体代入 【类型综述】 “1”的整体代入法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求 +的最值”的问题,先将+转化为·,再用基本不等式求最值. 【针对训练】 5.当0<x<1时,+的最小值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B.9 C.12 D.10 6.(多选题)[2026·邵阳二中高一期中] 若正实数m,n满足2m+n=2,则 (　 ) A.mn的最大值为 B.+的最大值为1 C.+的最小值为4 D.+的最小值为9 7.[2026·天津一中高一期中] 已知x>0,y>0,且满足+=2,若2x+y≥k2-1恒成立,则k的取值范围为　　　　　.  8.[2026·河北邢台卓越联盟高一月考] 已知正数a,b满足2a+3b=ab. (1)求ab的最小值; (2)求6a+b的最小值. 类型三　消元法 【类型综述】 对于含有多个变量的条件最值问题,当直接运用基本不等式无法求最值时,可尝试减少变量的个数,即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系,然后代入代数式转化为只含有一个变量的最值问题,即减元(三元化二元,二元化一元). 【针对训练】 9.[2026·合肥一中高一期中] 已知正实数a,b满足a+b=2,则++4的最小值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 10.设正实数x,y,z满足4x2-3xy+y2-z=0,则的最大值为 (　 ) A.0 B.2 C.1 D.3 11.[2026·广东江门棠下中学高一月考] 已知x>0,y>0,若x+xy=4,则x+y的最小值为　　　　.  类型四　多次应用基本不等式 【类型综述】 多次应用基本不等式求最值时,一定要求出同时取等号的变量的值,只有保证每次取等号的条件相同,即等号“步步传递”,才能求得最后的最大(小)值. 若多次不能同时取等号,此时可应用整体代入,恒等变换等技巧,凑出定值,再应用基本不等式求解. 【针对训练】 12.已知a>b>0,当代数式2a2+取最小值时,a+2b的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B.4 C.4 D.8 13.[2026·重庆一中高一月考] 若x>0,y>1,则+的最小值是 (　 ) A.4 B.6 C.7 D.8 14. 已知a,b,c>0,且a+b+c=4,则+的最小值为　　　　.  15. 16. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破练二　利用基本不等式求最值的常用方法 1.C　[解析] 由x>1,得x-1>0,则4x+=4(x-1)++4≥2+4=8,当且仅当4(x-1)=,即x=时等号成立,所以4x+的最小值为8.故选C. 2.　[解析] 因为0<a<,所以3-2a>0,所以a(3-2a)=×2a(3-2a)≤=,当且仅当2a=3-2a,即a=时取等号,所以a(3-2a)的最大值为. 3.8　[解析] -2b=+(4-2b)-4≥2-4=12-4=8,当且仅当=4-2b,即b=-1时取等号,所以-2b的最小值为8. 4.2-5　[解析] 由a+2b+ab=3,b>-1,得a=-2>-2.由a+2b+ab=3,得(a+2)(b+1)=5,又a+2>0,b+1>0,所以2a+b=2(a+2)+(b+1)-5≥2-5=2-5,当且仅当2(a+2)=b+1,即a=,b=-1时等号成立,所以2a+b的最小值为2-5. 5.B　[解析] 因为0<x<1,所以0<1-x<1,所以+=[x+(1-x)]=5++≥5+2=9,当且仅当x=时等号成立,所以+的最小值为9.故选B. 6.ACD　[解析] 对于A,由2m+n=2≥2,得mn≤,当且仅当即时取等号,故A正确;对于B,当m=,n=1时,+=2,故B错误;对于C,+=+=2++≥2+2=4,当且仅当=,即m=n=时取等号,故C正确;对于D,+=(2m+n)=≥=9,当且仅当=,即m=,n=时取等号,故D正确.故选ACD. 7.{k|-≤k≤}　[解析] 由+=2,得+=1,则2x+y=(2x+y)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即x=1,y=2时等号成立,所以(2x+y)min=4.又2x+y≥k2-1恒成立,所以(2x+y)min≥k2-1,即4≥k2-1,解得-≤k≤,所以k的取值范围为{k|-≤k≤}. 8.解:(1)因为a>0,b>0,所以2a+3b≥2,且ab>0,则2a+3b=ab≥2, 又因为ab>0,所以ab≥24, 当且仅当a=6,b=4时取等号,所以ab的最小值为24. (2)由2a+3b=ab,得=+=1, 所以6a+b=(6a+b)=20++, 因为a>0,b>0,所以>0,>0, 所以+≥2=12, 当且仅当a=4,b=8时取等号,所以6a+b≥20+12=32, 所以6a+b的最小值为32. 9.C　[解析] 因为正实数a,b满足a+b=2,所以b=2-a,4-a>0,则++4=a+++4=a+++4=++4=[a+(4-a)]+4=+4≥×+4=×(5+4)+4=,当且仅当4a2=(4-a)2,即a=时等号成立,所以++4的最小值为.故选C. 10.C　[解析] 因为正实数x,y,z满足4x2-3xy+y2-z=0,所以z=4x2-3xy+y2,则==≤=1,当且仅当y=2x时取等号,故的最大值为1.故选C. 11.3　[解析] ∵x>0,y>0,x+xy=4,∴x=,∴x+y=+y=+(1+y)-1≥2-1=3,当且仅当=1+y,即y=1时等号成立,∴x+y的最小值为3. 12.A　[解析] 因为a>b>0,所以b(a-b)≤=,当且仅当b=a-b,即a=2b时取等号,所以≥,所以2a2+≥2a2+≥2=8,当且仅当2a2=,即a=时取等号,所以当a=,b=时,2a2+取最小值,此时a+2b=2.故选A. 13.C　[解析] 令t=y-1>0,则+=+=++-1≥2+-1=4t+-1,当且仅当=,即t2=2x时等号成立,又4t+-1≥2-1=7,当且仅当4t=,即t=1时等号成立,所以当x=,y=2时,+取得最小值7.故选C. 14.1　[解析] 因为a,b,c>0,a+b+c=4,所以+=(a+b+c)=≥==(a+b+c)=≥=1,当且仅当b=2a=2c=2时取等号,所以+的最小值为1 学科网（北京）股份有限公司 $