30.2 三角形的内切圆（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内切圆，涵盖内心、半径概念及性质，面积公式推导。通过“三角形木料截最大圆”导入，知识回顾外接圆、角平分线性质，搭建从外接圆到内切圆的学习支架，衔接前后知识。 亮点在于以实际问题培养数学眼光，用面积分割法推导公式渗透转化思想，对比外心与内心表格强化数学语言。典例结合切线长定理，真题提升应用能力，小结系统梳理知识方法易错点，助力学生提升几何推理能力，教师可高效开展教学。

30.2 三角形的内切圆 第三十章 直线与圆的位置关系 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解三角形的内切圆、内心、切点、内切圆半径的概念，掌握三角形内切圆的基本性质；掌握三角形内心是三条角平分线交点的性质，会作三角形的内切圆（尺规作图）；掌握内切圆半径与三角形面积的关系式，并能利用该关系式及相关知识进行计算与证明. 经历"观察图形—猜想性质—逻辑证明—归纳结论"的完整探究过程，提升几何猜想与推证能力；通过面积分割法推导内切圆半径公式，体会转化思想，掌握用"整体—部分"关系解题的方法. 在解决实际问题（覆盖木料等）中，感受数学来源于生活、服务于生活的价值，激发学习兴趣；在严谨的推理与作图过程中，培养严谨细致、实事求是的数学思维品质，增强几何学习自信心. 知识回顾 1.确定圆的条件是什么？ 3.什么是三角形外接圆？ （1）圆心与半径； 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作三角形的外心. 三角形的外心到三个顶点距离相等. 2.图中△ABC与⊙ O的关系？ ∟ ∟ ∟ ⊙O是△ABC的外接圆. △ABC是⊙O的内接三角形. 4.三角形的外心是什么？三角形的外心有什么性质？ 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆。 (2)判定:到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 还记得角平分线的性质定理与判定定理吗？ 知识回顾 A O B P ∟ F ∟ E C 角平分线上的点到角两边距离相等 (1)性质:角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 如果 P为∠AOB的平分线OC上的点， 且 PE⊥OA，PF⊥OB 那么 PE=PF 如果 PE⊥OA，PF⊥OB，且PE=PF 那么 P为∠AOB的平分线OC上的点 到角两边距离相等的点在角的平分线上 P为∠AOB的平分线OC上的点，且 PE⊥OA，PF⊥OB,若以P点为圆心, PE为半径的圆与OA、OB有什么位置关系? 相切 导入新课 一块三角形的木料，要在上面截一个最大的圆形木板（圆盘）， 如何确定这样的圆的圆心？ 圆心需要满足什么条件？ 最大的圆与三角形三边都相切 如何作出这个最大圆？ B A C I 新知探究 探究点1 三角形内切圆的概念与作法 如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切? 思 考 ►圆与三角形三边都相切 ►圆心到三边距离都等于半径 作图分析 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等。 所以只需作出三角形两个内角的平分线， 它们的交点即这个圆的圆心。 圆心到任意一边的距离即这个圆的半径. ∟ E ∟ F ∟ G 用直尺和圆规就可以作出与三角形三条边都相切的圆. 作法： 新知探究 探究点1 三角形内切圆的概念与作法 M N 已知：△ABC. 求作： ⊙I，使得⊙I和△ABC的各边都相切的圆. 1.作∠ABC，∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. B A C I 2.过点I作ID⊥BC，垂足为D. 3.以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆. D 如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切? 思 考 规范作图 新知探究 探究点1 三角形内切圆的概念与作法 归一归 外切三角形 三角形角平分线的交点 到三角形三边的距离相等 内心 内切圆 I B A C M N D （1）内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 内切圆与外切三角形 （2）内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心， （3）内心性质: 三角形内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角. 内心是三角形三条角平分线的交点，内切圆的半径叫做三角形的内切圆半径. 新知探究 探究点1 三角形内切圆的概念与作法 议一议 名称 外心 内心 图形 性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形三条边的距离相等 位置 外心不一定在三角形内部 内心一定在三角形内部 角度关系 ∠BOC=2∠A ∠BOC=90°+ ∠A 三角形外心、内心的区别： 新知探究 探究点2 内切圆半径与面积关系推导 议一议 已知三角形的内切圆半径r和三边，能否求三角形的面积？ O B A C D r 如图：△ABC三边为a、b、c，内切圆半径r，内心为O. a b c r r 三角形分割为三个以三边为底、内切圆半径为高的小三角形. =++ O为内心，圆心到三边距离均等于r， ∴=，=，=， ∴=++ =++=a+b+c)r = 其中=a+b+c为三角形周长. 归纳结论： r为内切圆半径，为三角形周长 =（a+b+c）r= 三角形内切圆半径公式： r =2. 典例分析 例1. 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB 分别相切于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14， CA ＝13，求AF，BD，CE的长. AF = AE BF = BD CD = CE ⊙O为三角形内切圆 设未知数求解 【分析】 解：设AF=x,则AE=x, 则CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得 (13-x)+(9-x)=14. 解得x=4. 因此，AF=4，BD=5，CE=9. A E C D B F O x x 13-x 13-x 9-x 9-x 等量关系：BC ＝14 即: BD+DC=14 典例分析 例1. 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB 分别相切于点D ， E ， F ，且AB＝a，BC ＝ab， CA ＝c，求AF，BD，CE的长. AF = AE BF = BD CD = CE ⊙O为三角形内切圆 设未知数求解 【拓展】 解：设AF=x,则AE=x, 则CD=CE=AC-AE=a-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得 (c-x)+(b-x)=a. 解得 x= 同理可得：BD=, CE= A E C D B F O x x b-x b-x c-x c-x 典例分析 例2.如图，，分别切、于点、．切于点，交于点与不重合）． （1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若半径为1，，求的长． 解：（1）如图，以A为圆心，AD长为半径作弧交于F点，连结AF并延长交BM的延长线于C,直线即为所求． （2）连接，． 是的内切圆，，，是切点， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设， 在中， ， ， ， ． 新知巩固 1.如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H.求证：AB+DC=AD+BC. 【教材P159 】 证明：∵四边形ABCD的各边与⊙O相切， ∴AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG. ∴ AE+BE+DG+CG =AH+BF+DH+CF， ∴ AB+DC=AD+BC. A B C D E F G H O 新知巩固 A B C O 解：∵ 点O是△ABC的内心， ∴BO平分∠ABC, CO平分∠ACB ∴∠OBC= ∠ABC= ×50°=25°， ∴∠OCB= ∠ACB =×75°=37.5° ， ∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° 2. 如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。 【教材P159 】 新知巩固 【教材P159 】 解：设△ABC的内心为O, 连接OA，OB，OC. 设△ABC的三边长分别为a，b，c， 则S△ABC = ar + ab + cr = (a+b+c)r = lr . 3. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的面积。(提示：设△ABC的内心为O,连接OA，OB，OC.) B A C O 拓展提升 1.如图，在中，，的角平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E，F． (1)试判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若，，求⊙O的半径． （1）解：与⊙O相切，理由如下， 证明：连接， ∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与⊙O相切； （2）解：在 中设半径为r， 根据勾股定理可得， ， ∵，， ∴ ， 解得:． 真题感知 1．（2026菏泽·统考）如图，在中，内切圆与边，，分别切于点，，．求证：． 证明：连接，   ∵内切圆与边，，分别切于点，，． ∴， 在四边形中， ， 又∵， ∴， ∴． 真题感知 2．（2026·聊城统考）如图，是的内切圆，与分别相切于点D，E，F，若，求的度数． 解：连接，如图，   ∵， ∴， ∵是的内切圆， 与分别相切于点D，E，F， ∴，， ∴， ∴， ∴． （1）核心概念：三角形的内切圆、内心（角平分线交点）、切点、内切圆半径； （2）核心性质： 内心到三边距离相等， 内切圆半径r； （3）尺规作图： 角平分线交点定圆心，垂直定半径； （4）必会应用：内切圆作图、半径与面积、周长计算、简单证明. 课堂小结 知识与技能 O B A C D r 课堂小结 （1）转化思想： 将"与三边相切"转化为"到三边距离相等"问题，将圆问题转化为三角形问题； （2）面积分割法： 用整体—部分关系推导半径公式，渗透整体思想； （3）模型化思想： 建立三角形内切圆几何模型，实现作图、计算、证明方法迁移. 思想与方法 课堂小结 ＊（1）概念混淆：内心（内切圆圆心）与外心（外接圆圆心）不可混用，内心是角平分线交点、外心是垂直平分线交点； ＊（2）公式误用：内切圆半径公式中l是三角形周长（三边和），不是单边，需准确代值； ＊（3）作图疏漏：尺规作图要保留作图痕迹，垂直、平分线作法要规范； ＊（4）推理漏洞：计算、证明要写明依据，直角三角形勾股求解不可跳步. 易错点提醒 课后练习 1. Rt△ABC中,∠ACB=90°, I是内心,∠BIC=120°, AC=2，求AB 的长. C A B 解：∵∠BIC=120°， ∴∠IBC+∠ICB=60°. ∵I是ΔABC的内心， ∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB. ∴∠ABC=2∠IBC， ∠ICB= ∠ ACB= ×90°=45° ∴∠IBC=60°-∠ICB=15° ∵BI平分∠ABC，（三角形内心定义） ∴∠ABC=2∠IBC=30°， ∴在Rt△ABC中，AB=2AC=4. . I 习题 30.2 课本p159页 课后练习 解：∵ ⊙O是△ABC的内切圆， ∴AF=AE=1，CE=CD=2，BD=BF=3. ∴AB=AF+BF=4，AC=AE+CE=3， BC=BD+CD=5. ∴AB²+AC²=4²+3²=25，BC²=5²=25， ∴AB²+AC²=BC²， ∴△ABC为直角三角形，且∠A=90° （勾股定理逆定理） ∴ S△ABC= AB·AC= ×4×3=6. 2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F.若AE=1,CD=2，BF=3，求△ABC的面积 C A B D E F . O 习题 30.2 课本p159页 课后练习 课本习题30.2第3题 解：∵I是ΔABC的内心， ∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB. ∴ ∠ABC=2 ∠ IBC，∠ACB=2∠ICB. ∵ ∠BIC=130°， ∴ ∠IBC+∠ICB=180°－∠BIC=50° ∴∠ABC+∠ACB=2(∠IBC+∠ICB)=100°. ∴ ∠BAC=180° －(∠ABC+∠ACB)=80°. ∴ ∠BOC=2∠BAC=160° 3.如图，在△ABC中，O是外心，I是内心.∠BIC=130°,求∠BOC的度数. 习题 30.2 课本p160页 课后练习 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AB，BC，CA的长分别为c,a,b，求△ABC的内切圆半径r. 解：连接OA，OB，OC. 由题意得： S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC， 即ab= cr + br+ ar, ∴r = C A B . O 习题 30.2 课本p155页 谢谢聆听 $