30.2 三角形的内切圆 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三角形的内切圆”，系统讲解内切圆定义、作法、内心性质及与外心的区别。通过作图步骤演示、实际问题导入（如直角三角形布料裁剪），搭建从概念到应用的学习支架，衔接前后知识。 亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如例1用布料裁剪问题培养抽象能力，例2通过角度计算发展推理意识，练习1总结半径公式体现模型观念。采用讲练结合、中考真题融入的方法，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

30.2 三角形的内切圆 第三十章 圆与直线的位置关系 第4课时 三角形的内切圆 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 三角形的内切圆 三角形的内心 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 三角形的内切圆 1 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的作法 步骤 作法 图示 (1)定圆心：作 三角形任意两内角的平分线， 其交点为圆心 如图，作∠ ABC，∠ ACB 的平分线l1，l2 交于点I (2)定半径：以 圆心到边的距离为半径画圆 如图， 过点I 作边BC( 或AB，AC)的垂线，垂足为D，以I 为圆心，ID 长为半径作圆，⊙ I 即为△ ABC 的内切圆 知1－讲 感悟新知 作图题中，这句话不可缺少 感悟新知 知1－讲 特别提醒 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 知1－练 感悟新知 [母题 教材P160 习题T4]如图30.2-1，王奶奶有一块三角形的布料ABC，∠ACB=90 °，她要裁剪一个圆片，已知AC=60 cm，BC=80 cm.为了充分 地利用这块布料，使裁剪下来的圆片 的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？ 这个圆片的半径是多少？ 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：在三角形中裁剪下的最大圆就是这个三角形的内切圆. 知1－练 感悟新知 解：如图30.2-1，设△ ABC 的内切圆⊙O的半径为 r cm，⊙O分别切AB，BC，AC 于点D，E，F，连接OE，OF，易得四边形OECF为正方形. ∴ CE=CF=r cm. 由切线长定理可得AD=AF,BD=BE. ∵∠ACB=90°，AC=60 cm，BC=80 cm， ∴ AB=100 cm ，AD=AF=(60 - r)cm ， 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 1-1. [新考向 数学文化]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15 步，该直角三角形能容纳的最大的圆(内切圆)的直径是多少？”此问题中， 该内切圆的直径是_______步. 6 感悟新知 知2－讲 知识点 三角形的内心 2 1. 三角形的内心 (1)定义：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形. (2)性质 ①三角形的内心到三角形三边的距离相等； ②三角形的一个顶点与三角形内心的连线平分三角形的一个内角. 感悟新知 知2－讲 2. 三角形的外心、内心的区别 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点 三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点 图形 感悟新知 知2－讲 性质 外心到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC 内心到三角形三条边的距离相等，即ID=IE=IF； 内心与顶点连线平分三角形的内角，如BI 平分∠ ABC 位置 外心不一定在三角形的内部 内心一定在三角形的内部 角度关系 ∠ BOC=2 ∠ BAC 感悟新知 知2－讲 特别提醒 三角形的外接圆与内切圆中“接”与“切”的含义：三角形的顶点都在圆上叫“接”，三角形的边都与圆相切叫“切”. 感悟新知 知2－讲 特别解读 正三角形的外接圆与内切圆是同心圆，即外心与内心重合. 感悟新知 知2－练 [母题 教材P159 练习T2]如图30.2-2，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠OAC=40°，则∠BOC的度数为 ( ) A. 80° B. 100° C .130° D. 140° 例2 解题秘方：利用三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点，结合三角形内角和是180°进行计算. 知2－练 感悟新知 答案：C 知2－练 感悟新知 2-1. 如图，D 是△ ABC的内心，AD 的延长线交△ABC的外接圆于点E，∠ BCA=50 °，则∠BDE=________. 65° 课堂小结 三角形的内切圆 三角形的内切圆 定义 作法 内心 性质 与外心区别 综合应用创新 应用 利用三角形的内心计算面积 1 例3 综合应用创新 解题秘方：作出△DBC中CD边上的高，根据三角形内心的性质求出∠BDH的度数，最后求出高后利用三角形面积公式求解. 综合应用创新 答案：B 综合应用创新 方法总结 1. 利用三角形的内心计算时常用到： (1)内心到三角形三条边的距离相等； (2)三角形顶点与内心的连线平分对应的内角. 2. 有时只出现内心，画出内切圆有助于解题. 综合应用创新 应用 利用三角形的内心比较线段的大小 2 如图30.2-4，△ABC的内心为I，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，连接BD，则线段DI与DB的大小关系是( ) A. DI=DB B. DI>DB C. DI<DB D. 不确定 例4 综合应用创新 解题秘方：连接BI，利用三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点，结合“同弧所对的圆周角相等”进行等角的转化，最后利用“等角对等边”得出结论. 综合应用创新 解：如图30.2-4 所示，连接BI. ∵△ABC的内心为I，∴∠ 1= ∠ 2，∠ 3= ∠ 4. ∵∠ 2= ∠ 5，∴∠ 1= ∠ 5. ∵∠DIB= ∠ 1+ ∠ 3，∠DBI= ∠ 4+ ∠ 5， ∴∠DIB= ∠DBI，∴ DI=DB. 答案：A 综合应用创新 技巧点拨 观察图形发现，DI和DB 不在一个三角形中，因此连接BI构造三角形，再利用三角形内心的性质和圆周角定理的推论求解. 综合应用创新 应用 综合利用三角形的外心和内心计算 3 [中考·聊城]如图30.2-5，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB, IA.若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为( ) A. 15° B. 17.5° C. 20° D. 25° 例5 综合应用创新 解题秘方：正确区分三角形的内心和外心，利用圆周角定理和等边对等角计算. 综合应用创新 答案：C 综合应用创新 知识链接 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点. 综合应用创新 易错点 混淆三角形的内心和外心导致判断错误 下列关于“三角形内心”的说法错误的是( ) A. 三角形的内心是三角形两内角平分线的交点 B. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C. 三角形的内心到三角形的三边距离相等 D. 三角形的内心是三角形内切圆的圆心 例6 综合应用创新 错解：A 正解：三角形的内心是三角形内切圆的圆心，是三角形三个内角平分线的交点，且到三边的距离相等，因此A，C，D 正确，B 错误. 答案：B 综合应用创新 诊误区： 三角形的内心和外心是两个容易弄混的概念，内心是内切圆的圆心，是三个内角平分线的交点；外心是外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点.解题时一定要分清二者的区别. 中考风向标 [中考· 宁夏]如图30.2-6，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC= _______°． 考法 利用三角形内心的性质求角的度数 1 例7 117 中考风向标 试题评析：本题考查三角形内心的性质与三角形内角和定理. 根据⊙O是△ABC的内切圆，得出∠OBC，∠OCB分别与∠ ABC，∠ ACB 的数量关系，进而得出∠ABC+ ∠ACB的度数，即可得出答案． 中考风向标 中考风向标 [中考·攀枝花]如图30.2-7，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F, ∠DOE=120°，∠EOF=150°. 考法 与三角形内切圆相关的计算与证明 2 例8 中考风向标 试题评析：本题考查的知识点较多，包括三角形的内切圆、切线的性质定理、切线长定理、矩形的判定等，熟练掌握这些知识点并能够灵活运用是解题关键. 中考风向标 (1)求△ABC的三个内角的大小； 解：∵ ⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F,∴AB⊥OD，BC⊥OE,CA⊥OF. ∴∠ODB= ∠OEB= ∠OEC= ∠OFC =90°. ∵∠DOE =120°，∠EOF=150°， ∴ ∠ B=360 ° - ∠ ODB- ∠ OEB-∠DOE=60°，∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF =30°. ∴∠A=180°- ∠B- ∠C=90°. 中考风向标 (2)设⊙O的直径为d，证明：d=AB+ACBC. 解：证明：由切线长定理得AD=AF，BD=BE,CF=CE， ∴BD+CF=BE+CE =BC.∵ AB+AC=AD+BD+CF+AF= 2AF +BC，∴ 2AF =AB+AC -BC. 易得∠ODA= ∠OFA= ∠A=90°，∴四边形ADOF是矩形. ∴OD=AF.∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径， ∴ d=2OD=2AF.∴ d=AB+AC-BC． 综合素养训练 1. [期末·洛阳洛龙区]根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是( ) B 综合素养训练 2. 如图，点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC的度数为( ) A.60° B.65° C.70° D.80° D 综合素养训练 3. [期中·南通启东市]如图，△ABC是一张周长为24 cm 的三角形纸片，BC=7 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为( ) A. 12 cm B. 11 cm C. 10 cm D.随直线MN的变化而变化 C 综合素养训练 A 综合素养训练 5. 如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC. 当AB=4，BC=5，AC=6时，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3=______________ . 4∶5∶6 综合素养训练 6. 如图，AB是⊙O的直径，AC交⊙O于点G，E是AG上一点，点D为△BCE的内心，BE交AD于点F，且∠DBE= ∠BAD. 求证： 综合素养训练 (1)BC是⊙O的切线； 证明：∵点D为△BCE的内心， ∴BD平分∠EBC.∴∠EBD=∠CBD. 又∵∠DBE=∠BAD，∴∠CBD=∠BAD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. ∴∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CBD+∠ABD=90°，即∠ABC=90°. ∴BC⊥AB.又∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线. 综合素养训练 (2)DF=DG. 证明：如图，连接DE.则ED平分∠BEC， ∴∠BED=∠CED. ∵四边形ABDG为⊙O的内接四边形， ∴∠EGD=180°-∠ABD=180°-(90°-∠CBD)=90°+∠CBD= 90°+∠EBD.∵∠EFD=∠ADB+∠EBD=90°+∠EBD， ∴∠EFD=∠EGD.又∵DE=DE，∴△DFE≌△DGE(AAS).∴DF=DG. 综合素养训练 7. [中考.烟台] 如图，AB 是⊙ O 的直径，△ABC内接于⊙O，点I 为△ABC的内心，连接CI 并延长交⊙O于点D，E是BC 上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． ⌒ 综合素养训练 (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数； 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°. ∵∠ABC=25°，∴∠CAB=90°-25°=65°. ∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形， ∴∠CEB+∠CAB=180°.∴∠CEB=180°-∠CAB=115°. 综合素养训练 (2)找出图中所有与DI 相等的线段，并证明； 解：DI=AD=BD.证明如下：如图，连接AI. ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI. ∴AD=BD.∴∠DAB=∠ACI，AD=BD. ∵∠DAI=∠DAB+∠BAI，∠DIA=∠ACI+∠CAI， ∴∠DAI=∠DIA.∴DI=AD.∴DI=AD=BD. ⌒ ⌒ 综合素养训练 解：如图，过点I分别作IQ⊥AB， IF⊥AC，IP⊥BC， 垂足分别为Q，F，P. ∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心， ∴Q，F，P分别为该内切圆与△ABC三边的切点. ∴AQ=AF，CF=CP，BQ=BP. 综合素养训练 谢谢观看！ $