30.3 正多边形与圆 课时2 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正多边形与圆的计算（半径、边心距、边长公式）及作图（等分圆周），从工业生产螺帽、齿轮等实例导入，通过中心角、分圆画多边形等问题链，衔接正多边形性质与应用，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于结合实际情境培养数学眼光，通过直角三角形模型推导公式发展数学思维，以刘徽割圆术、玉璧问题等例题强化数学语言表达。采用“问题-探究-应用”模式，分层练习与易错点总结助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 课时2 2026年8月3日 人教版九年级数学30.3 正多边形与圆（第2课时）同步练习题 一、知识梳理（课前回顾） 1. 正多边形核心计算模型：任意正多边形均可被半径分割为n个全等的等腰三角形，被边心距分割为2n个全等的直角三角形。直角三角形三要素：外接圆半径为斜边、边心距为一条直角边、边长的一半为另一条直角边，可利用勾股定理完成所有计算。 2. 常用计算公式汇总：设正n边形半径为R，边长为a，边心距为r。边长公式：$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{n}$$；边心距公式：$$r=R\cos\frac{180^\circ}{n}$$；周长公式：$$C=na$$；面积公式：$$S=\frac{1}{2}Cr$$（周长与边心距乘积的一半）。 3. 特殊正多边形固定结论：正方形外接圆半径$$R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$$，边心距$$r=\frac{1}{2}a$$；正六边形边长等于外接圆半径，边心距$$r=\frac{\sqrt{3}}{2}R$$；正三角形外接圆半径、边心距、边长比例固定，可直接套用。 4. 作图与应用：会利用等分圆周法作圆内接正方形、正六边形、正八边形等特殊正多边形，能结合边长、半径、面积解决几何计算与实际应用问题，是中考几何计算高频考点。 二、基础巩固练习题（选择+填空，共48分） 选择题（每题6分，共24分） 1. 已知正六边形的外接圆半径为4，则它的边心距为（） A. 2 B. $$2\sqrt{3}$$ C. 4 D. $$4\sqrt{3}$$ 解析：正六边形边心距$$r=R\cos30^\circ=4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$，故选B。 2. 正方形的边长为6，其内切圆半径为（） A. 3 B. $$3\sqrt{2}$$ C. 6 D. $$6\sqrt{2}$$ 解析：正方形内切圆半径等于边长的一半，即3，故选A。 3. 正n边形的边长a、半径R、边心距r的关系正确的是（） A. $$R^2=r^2+a^2$$ B. $$R^2=r^2+(\frac{a}{2})^2$$ C. $$r^2=R^2+a^2$$ D. $$a^2=R^2+r^2$$ 解析：三者构成直角三角形，半径为斜边，满足勾股定理$$R^2=r^2+(\frac{a}{2})^2$$，故选B。 4. 若正八边形的边心距为$$\sqrt{2}$$，则其外接圆半径为（） A. 1 B. $$\sqrt{2}$$ C. 2 D. 4 解析：结合正八边形角度与勾股定理计算，可得外接圆半径为2，故选C。 填空题（每题6分，共24分） 1. 边长为8的正方形，外接圆半径为________，面积为________。 2. 半径为6的圆内接正三角形，边长为________，边心距为________。 3. 正五边形的周长为50，则其边长为________，若边心距为6.8，面积为________。 4. 一个正多边形面积为120，周长为24，则它的边心距为________。 三、能力提升解答题（共52分） 9.（16分）已知⊙O半径为8，求圆内接正方形的边长、边心距、周长和面积。 10.（18分）已知正六边形边长为10，求该正六边形的外接圆半径、边心距、周长和总面积。 11.（18分）一个圆内接正三角形的边心距为4，求这个正三角形的边长、外接圆半径和面积。 四、参考答案与详细解析 选择题答案 1.B 2.A 3.B 4.C 填空题答案 5. $$4\sqrt{2}$$，64（解析：正方形外接圆半径为对角线一半，面积为边长平方） 6. $$6\sqrt{3}$$，3（解析：正三角形边长$$2R\sin60^\circ$$，边心距$$R\cos60^\circ$$） 7. 10，170（解析：边长=周长÷5，面积$$\frac{1}{2}\times50\times6.8=170$$） 8. 10（解析：由$$S=\frac{1}{2}Cr$$，代入数据解得r=10） 解答题解析 9. 解：圆内接正方形半径R=8， 边长$$a=\sqrt{2}R=8\sqrt{2}$$， 边心距$$r=\frac{a}{2}=4\sqrt{2}$$， 周长$$C=4\times8\sqrt{2}=32\sqrt{2}$$， 面积$$S=(8\sqrt{2})^2=128$$。 10. 解：正六边形边长等于外接圆半径，故R=10， 边心距$$r=10\times\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$$， 周长$$C=6\times10=60$$， 面积$$S=\frac{1}{2}\times60\times5\sqrt{3}=150\sqrt{3}$$。 11. 解：设外接圆半径为R，边心距$$r=\frac{1}{2}R=4$$，得R=8， 边长$$a=2\times8\times\sin60^\circ=8\sqrt{3}$$， 面积$$S=\frac{1}{2}\times3\times8\sqrt{3}\times4=48\sqrt{3}$$。 五、易错点总结 1. 公式套用混乱：混淆正多边形面积公式，切记通用面积公式为二分之一周长乘边心距，不可误用三角形、四边形面积公式。 2. 特殊图形性质混淆：误将正六边形边长等于半径的结论套用在正三角形、正方形上，导致计算错误。 3. 直角三角形模型出错：计算时忘记取边长的一半，直接用完整边长代入勾股定理，造成数据偏差。 4. 半径与边心距混淆：已知边心距求半径、已知半径求边心距时，三角函数对应角度记错，计算失误。 （全文1211字） 工业生产里的螺帽孔洞要均匀排布、齿轮齿牙要完全咬合，设计师是怎么精准画出这种规整的正多边形的？ 我们随手画的六边形容易边长参差不齐，怎么才能画出标准的正六边形、正八边形呢？ 关键是要等分圆周. 问题1：我们在前面学习了正多边形和圆的关系，正多边形的中心角是多少度？ . 问题2：既然正多边形的顶点都在外接圆上，且把圆分成相等的弧，那么我们能不能通过‘分圆’来‘画多边形’呢？ 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形. 思考：如何画一个边长为 1.5 cm 的正六边形呢？ (1) 以 1.5 cm 为半径作一个 ； (2) 用量角器画一个 60°的圆心角，它对着一段弧； (3) 在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的 6 个等分点； (4) 顺次连接各分点，即可得到正六边形（如图）. 60° · O 此方法可将圆任意n等分，所以用该方法可作出任意正多边形，但边数很大时，容易产生较大的误差 如图所示，在半径为 R 的圆中，先用量角器画一个等于  的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的 ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的 n 等分点，顺次连接各等分点从而作出半径为 R 的正 n 边形. 说明： 此方法可将圆任意 n 等分，所以用该方法可作出任意正多边形，但边数很大时，容易产生较大的误差. 由于正六边形的边长等于半径，在半径为 R 的圆上，从某一点开始，依次以 R 为半径画弧，就可以把圆六等分. 顺次连接各分点就得到半径为的正六边形（如图）. 思考：还有其他的方法画出正六边形吗？ 对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图. · O R 相同的方法可以作出正三角形. 作正六边形各边的垂直平分线即可得到正十二边形. · O R 思考：你能够画出圆内接正四边形、正八边形、正十六边形吗？ · O 如右图所示，在中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把四等分，从而作出正四边形； 再用直尺和圆规分别作与正四边形相邻两边垂直的直径，就可以作出正八边形； 同理可以作出正十六边形等边数逐次倍增的正多边形. 说明：此方法是一种比较准确的等分圆的方法，但有局限性，不能将圆任意等分. 返回 10. 司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点A～H代表八个方位，如图，BH与DG交于点P，则点P位于点D的(　　) A．南偏西75°方向 B．北偏东75°方向 C．南偏西67.5°方向 D．北偏东67.5°方向 D 举一反三 9 11. [沧州模拟如图，正六边形ABCDEF中，点M，N分别为边BC，EF上的动点，若正六边形的面积为a，则空白部分的面积为(　　) B 返回 举一反三 10 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元. 某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若  的半径为 2，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） A. 3 B. 12 C.  D.  例1 解析：如图 ，取正十二边形相邻两顶点 ，连接 .过点  作  于点 . ∵ 圆内接正十二边形的中心角为 ∴ ， ∴ OB⋅AC2×1=1， ∴ 这个圆内接正十二边形的面积为 12×1=12. B A B C 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 跟踪训练 解析：如图，连接  相交于点 . ∵ 正方形的内切圆的半径是2， ∴ ，， 在  中， ∴ ， ∴ 图中阴影部分的面积是ππ8π-4π=4π. D 1.画一个半径为 2 cm 的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星. 解：如图所示. 2. 用等分圆周的方法画出下列图案： 解：(1)作图，把圆六等分，分别以点A，B，C为圆心，以 CD长为半径画弧即可. 返回 12. [北京期末]如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝3，则正六边形ABCDEF的周长为________，面积为________． 18 举一反三 15 13. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题． 作法：(1)作直径AF；(2)以点F为圆心，FO的长为半径作弧，与⊙O交于点M，N；(3)连接AM，MN，NA. (1)△AMN是正三角形吗？请说明理由； 返回 举一反三 解：△AMN是正三角形．理由如下： 如图，连接ON，NF. 由题意可得FN＝OF＝ON，∴△FON是正三角形， ∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°. 同理可得∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°. ∴△AMN是正三角形． 返回 举一反三 (2)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些点，得到正n边形，则n的值为________． 返回 15 举一反三 14. 如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE等正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； 返回 举一反三 解：连接OB，OC. ∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，∴∠BOC＝120°. ∵OB＝OC，∴∠OBN＝∠OCN＝30°， ∴∠OBM＝30°＝∠OCN. 又∵BM＝CN，∴△OBM≌△OCN(SAS)． ∴∠BOM＝∠CON. ∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝∠CON＋∠BON＝∠BOC＝120°. 返回 举一反三 (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； 返回 90° 72° (3)直接写出∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系． 举一反三 正多边形的画法 尺规作图，等分圆周 课堂小结 谢谢观看 THANKS A.a B.a C.a D.a 解：∠MON＝. $